第四章 拉普拉斯变换 连续时间系统的 S域分析本章研究信号、系统的复频域分析（拉氏变换法）
系统函数 H（ S）以及零极点的分析
§ 4.1 引言一、拉氏变换的来源二、拉氏变换的优点
1、简化求解步骤同时给出微分议程通解和特解，且初始条件自动计入。
2、将微分、积分转化为乘法、除法，简化 运算。
同时将微分方程转化为代数方程。
§ 4.1 引言
3、指数函数，超越函数和有不连续点的函数转化为初等函数。
4、拉氏变换化时域卷积为乘法，减小运算难度。
5、利用系统函数的 零极点分布 来直观表征系统的时域和频域特性三、拉氏变换法应用范围拉氏变换依赖于系统的叠加性与齐次性，
用于 连续 线性 时不变 系统，对于离散系统，非线性系统，
时变系统，拉氏变换无能为力。
四、对拉氏变换的总体理解
1、可理解为求解线性微分方程的工具，类似算子法。
2、可理解为广义的傅立叶变换。即对时间函数进行复频域分解，
但此时 不是正交分解 。
§ 4.2 拉氏变换的定义、收敛域有几种情况不满足狄里赫利条件：
u(t)
增长信号
周期信号
)0(?ae at
若乘一衰减因子为任意实数，则收敛，于满足狄里赫利条件
te
tetf)(
tetu)(
)(,aee tat
te t 1co s
t1c o s?
一,从傅氏变换到拉氏变换
tetftf )()(
1
dtetfF tj
0
)(
1 )()(
因果
0
)()( dtetfsF st
js
FT,实频率 是振荡频率
LT,复频率 S 是振荡频率,控制衰减速度
单边拉氏正变换拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换
dwesFetf j w tt?
)(
2
1)(
dwesFtf
e
tjw
t
)(
)(
2
1
)(
有：两边同时乘以
ds
j
dwd jwddsjws
1
于是上式写为：
反变换式
dsesF
j
tf
j
j
st
)(
2
1)(
二、拉氏变换与傅氏变换的区别
1、傅氏,FT[f(t)]=F(w) t,w为实数,w表示频率拉氏,LT[f(t)]=F(s) t为实数,s为复数,s表示复频率
2、傅氏：建立时域与频域的关系。将时域信号分解成正弦和的形式。
拉氏：建立时域与 s域（复频域）的关系。将时域信号分解成 的和的形式。
三、复频域与复频率称复频率,jws1
平面）。称复平面（
系，为纵轴建立起来的坐标为横轴，、以
s
jw?2
wtee tst c o s?或
4、由 s平面上点的位置，易分析 的变化规律
(见下页图 )
jw ttst eee
反应频率。反应幅度变化规律，,wA?
大，频率高。幅度变化快；大,weB st,?
jws 时，即：
换的特殊情况：、傅立叶变换是拉氏变
0
5
.
,.3
的值值决定值一个复平面上任意一点对应
j w ttst eee
ss
wteee
jwC
ttjwtjw c o s2)()(
振荡或指数为包络线的正弦对应一个正弦振荡：一对共轭复频率一阶极点
j
js
jw ttst eee
四、拉氏变换的收敛域
1、收敛区：使 满足绝对可积的 的取值范围,
=Re{s},收敛区内拉氏变换存在，收敛区外拉氏变换不存在。 ( 收敛区可记为 ROC.)
tetf)(?
内是收敛的。即：在，则限为时，其极若当而言，取对
、收敛条件：
0
0
)(0
,)(
2
t
t
etf
tetf
)(0)(l im 0 tt etf
0?
,)()( 00 性质有关与函数的收敛条件，为 tftf
之右的右半平面垂直于实轴的直线平面中为单边拉氏变换的收敛域根据收敛条件
C
S
0
例 1
的拉氏变换及收敛域求右边信号的 )()( tuetf at
上式积分只有在 (Re{s}+a>0),Re{s}>-a,即 >-a时收敛,此时有?
aastue at,1)(
的拉氏变换及收敛域求左边信号的例 )()(.2 tuetf at
()0
( ) 0( ) [ ( ) ] ( ) |
s a t
a t a t s t s a t eF s L T e u t e u t e d t e d t
sa
上式积分只有在 (Re{s}+a<0),Re{s}<-a,即 <-a时收敛,此时有?
结论,只有拉氏变换式和收敛域一起才能与信号建立建立一一对应关系,必须指明收敛域,
0
)(
0
)(
0 |)()]([)( as
edtedtetuetueLTsF tastasstatat
aastue at,1)(
3.几种信号的收敛情况
a.对于右边信号,其收敛域在收敛轴的右边,
1
)(tf
t
)(tue at?
a
j
a?
)(tu
j
0
t
b.对于左边信号,收敛域在收敛轴的左边,
1.,,,,,0lim
tt ee
t
te
12
c.对于双边信号,其收敛域在 内
21
0
1
2
d.凡是有始有终 能量信号,对于整个 s平面都收敛。
1t 2t
j
)0(,22 ttee tt
e,不收敛信号除非
)0( Tt
五．常用信号的拉氏变换（单边）
定义法
傅立叶变换与拉普拉斯变换的互推
1、互推条件：函数 f(t)的拉氏变换收敛区包含 jw轴在内。
收敛区包含 jw轴在上
jwssjw sFjwFjwFsF )()(;)()(2,互推法：
n
nnjs ksFjF )()()(
)(tf )]([ tfF )]([ tfL
ate
as?
1
ate?
aj
1
as?
1
t0sin?
)]()([2 00j
2
0
0
2
2
0
2
0
s
（１）比较傅氏变换与拉氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号
)(tueat
a
a
t
)(tf
0)1( 0
as
sF
1)(
傅氏变换不存在，拉氏变换存在
j
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号
0)(
0
tf
t
0)2( 0
)(tf
t
)(tue at?
a?
a
j
as
sF
1)( ajjF 1)(
js?
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号 0)( 0tft
0)3( 0
存在傅氏变换，但以虚轴为收敛边界，不能简单用,要包含奇异函数项。)(tu
ssF
1)(? )(1)(
jjF
n
nnjs ksFjF )()()(
js?
K1=1
从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换
)(.s i n 0 tut?
)(.s i n)( 0 tuttf
LT
2
0
2
0)(
ssF
n
nnjs ksFjF )()()(
00
2
0
2
0 22)(
js
j
js
j
s
sF
)()(
2
)( 0022
0
0
jjF
2
0
2
0
)()(
jjF
K2K1
（２）常用信号的拉氏变换
S
1
tetu)( as?
1
nt 1
!
ns
n
)(t? 1
)( 0tt 0ste?
)t(u
正弦余弦信号的拉氏变换
2
)()(
tjtj ee
tutf
22
2
1
)
11
()(
S
S
jSjS
SF
j
eetutf tjtj
2
)()(
22
2
1
)
11
()(
S
jjSjS
SF
c o s ( )tu t? s i n ( )tu t?
衰减余弦的拉氏变换
tetf t co s)(
220 ][ c o s)( S
StLTSF
22)()(
S
S
SF
频移特性
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (1)
1、线性：
)()()()(
)()()()(
22112211
2211
sFasFatfatfa
sFtfsFtf
有若例：求 f(t)=coswt的拉氏变换 F(s)
22]
11[
2
1][
2
1][ c o s
ws
s
jwsjwseeLTwtLT
j w tj w t
2、时间平移
0)()(:)()( 0 stesFttfsFtf 则设
0t
)()( tutf )()( 00 ttuttf
收敛域 21 RRR O C
0
ROC=R 保持不变
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (2)
0
0
1
),( 00
st
st
e
s
ttuet
其拉氏变换为
。如，则其拉氏变换乘以即：若时域中波形延迟
)()(
)()()(
,
)()()()()(
00
0
0
0
0
)(
00
0
0
0000
sFedxexfe
dxexfxuxfLT
txtttx
dtettfdtettuttfttuttfLT
tsxsts
txs
t
stst
令证明：
（１）周期信号的拉氏变换
)()( 11 sFtf
LT
)()( 11 sFenTtf s n TLT
ST
n
SnT
LT
n
e
sF
esFnTtf
1
)(
)()(
1
0
1
0
第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷递减等比级数求和时间平移的应用
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (2)
例 1：求因果矩形脉冲的拉氏变换。
…
T
)(tfT
)(0tf
)2()()()(,000 TtfTtftftf T解由时间平移特性有：
sT
sTsT
sTsT
T
e
sFeesF
esFesFsFsF
1
1
)()1)((
)()()()(
0
2
0
2
000
公式
E
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (3)
:)(0 有对 tf )1()()(
00 00
sstT st e
s
EdtEedtetfsF
sT
s
T e
e
s
EsF
1
1)(?
又如下图示信号的拉氏变换，同样用平移特性。
)(sin ttu
…
…)1()1s in ( tut
)(sin ttu )1()1s in ( tut
)]1()([s i n tutut
= +
…
)(sin ttu= )1(sin ttu
)1(sin?ttu
平移因子周期因子求周期信号的拉氏变换
)(tf
1
2
T0 T
2
T
1
)(0 tf
0
t
t
22
)1( 2
S
e
Ts
LT
T
2?
2
22
1
1)1( 2
T
S
s
e
S
e
T
信号加窗第一周期
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (4)
)]2()([2s in TtututT
（２）抽样信号的拉氏变换
0
)()(
n
T nTtt
ST
n
SnT
T ees?
1
1)(
0
)()()( ttftf Ts
0
)()(
n
SnT
s enTfsF
抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (5)
3：尺度变换
0,)(1)(:)()( aasFaatfsFtf 有若
0,0)()()(, basFtutf若例
sabe
a
sF
abatubatf
)(1)()(:证明解,a:先进行尺度变换再时移
)()()( sFtutf )(1)()(
a
sF
aatuatf
对 f(t)在时间轴上压缩 a倍后，沿 t轴时移 b有：
)]([)]([)()( abtauabtafbatubatf
※
在 ※ 式下，标度变换已完成，现于 ※ 式上推迟 即可
ab
)]([)]([ abtauabtaf sa
b
easFa )(1
)(1)()]([,:
0
1
a
sF
adxexfatfLTatx
x
a
a
s令证明
ROC=aR
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (6)
b.先时间平移再尺度变换
sbesFbtubtf )()()(
对 t进行尺度变换 a倍，有：
sabe
a
sF
abatubatf
)(1)()(
4,S域平移
)()()()( 00 ssFetfsFtf ts 有若
)(
)(])([
0
0
00
ssF
dteetfetfLT tststs
证明：
2222 )(s ins in,was
wwte
ws
wwt at
有如
}Re{ 0S
ROC=R+
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (7)
5、时间微分
)0()(:)()( fssFdtdfsFtf 有若
0][,dtedtdfdtdfLT st证明
:,,用分部积分法有令 dtdtdfdveu st
)()0()()(][ 00 ssFfdtetfsetfdtdfLT stst
)0(')0()()]0()([][,202
2
fsfsFsdt
dffssFs
dt
fdLT
t同理有用数学归纳法或类推均可证明,
)0()0(')0()()]([ )1()2(1)( nnnnn ffsfssFstfLT?
.00 系统的差别系统与注意
0?0
ROC包含 R
注意,如果 F(S)在 S=0有一阶极点,该极点将被 S抵消,则 SF(s)收敛域可能会比 R更大如阶跃信号与冲激信号
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (8)
例：求 的导数的拉氏变换 (a>0))()( tuetf at
)(tf
)(' tf
)1(
a?
astueLTsF
at
1)]([)(:解系统采用?0.a
)()()()()]([)( tuaettuaetetuedtddt tdf atatatat
as
s
as
atuaetLT
dt
tdfLT at
1)]()([])([?
i.用定义求解
ii.用微分特性求解
as
sssFfssF
dt
tdfLT
0)()0()(])([
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (9)
b.采用 系统时,
0
i.用定义求解
as
atuaetuaetue
dt
d
dt
tdf atatat
)()()]([)(
ii.用微分特性求解
as
assFfssF
dt
tdfLT
1)()0()(])([
)0()2()(,)2( atuetf ta 的导数的拉氏变换思考
)(tf )(' tf
)(tf
)(' tf
)1(
a?
如没有特别说明，取 0_系统
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (10)
例,求下列拉氏变换,注意其区别
tw0c o s.1 )(co s.2 0 ttuw ][c o s.3 0 tw
dt
d )]([ c o s.4
0 ttuwdt
d
tw0cos
)(co s 0 ttuw
1)0(f
0)0(f
][cos 0twdtd
)]([c o s 0 ttuwdtd
)1(
解一：对单边拉氏变换
2
0
200 )]([ c o s][ c o s)( ws
sttuwLTtwLTsF
2
0
2
2
0
000 ]s i n[)]( c o s[ ws
wtwwLTtw
dt
dLT
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (11)
解二,用微分特性有：
2
0
2
2
0
2
0
20 1)0()()]( c o s[ ws
w
ws
ssfssFtw
dt
dLT
2
0
2
2
2
0
20 0)0()())](( c o s[ ws
s
ws
ssfssFttuw
dt
dLT
2
0
2
2
000 )](s i n)([) ) ](( c o s[ ws
sttuwwtLTttuw
dt
dLT
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (12)
6、时间积分
s
df
s
sFdf
s
sFdfsFtf tt
0
0
)()(
)()()(:)()(
以及有若
0 00 ])([])([,t stt dtedfdfLT证明
:,)(0 用分部积分法有令 dtedvdfu stt
dtetfsdfesdtedf sttstt st
0000 0
)(1)(1])([
)(10 sFs
s
sFdft )()(
0
s
df
s
sFdfdfdf tt
0
0
0 )()(
)()()(
而
))(( ns sFn 重积分下变换为可推广至常数
)0}( R e {1 sRR OC?
例,试用阶跃信号 u(t)的积分求 tu(t)的拉氏变换
2
0
0
1)(
)]([)(
)()(
1
)]([)(
)(
)(
ss
sF
ttuLTttu
duttu
s
tuLTsF
s
sF
df
t
t
而
1
!
)]([
,
n
n
s
n
tutLT
可得重复利用这个质
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (14)
7、复频域积分与微分：
s
dssF
t
tf
ds
sdF
ttf
sFtf
)(
)(;
)(
)(
:)()( 有若
dtettfsFs st ].)([)(' 0求导两边对
0 )()( dtetfsF st
证明,
dte
t
tfdtdsetf
dsdtetfdssFS
st
s
st
st
ss
00
0
1
)(])[(
])([)(:积分有两边对
ROC=R
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (15)
9、初值定理,
:),()(,)(')( 有且可以进行拉氏变换与若 sFtftftf?
)(lim)(lim)0( 0 ssFtff st
证明：由时域的微分特性有：
dte
dt
df
ffdte
dt
df
tf
dte
dt
df
dte
dt
df
dte
dt
df
fssF
stst
ststst
00
0
0
0
0
00
)0()0()(
)0()(
dtedtdffssF st
0
)0()(
0]lim[lim,
00
dtedtdfdtedtdfs st
s
st
s
时
)(lim)(lim)0( 0 ssFtff st
0
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (16)
特别地,f(t)在 t=0处有冲激及其导数，即：
)(...)]([ 10 sFsasaatfLT ppp
初值定理表示为,)(lim)0( ssFf
ps
)0(12)(, fs ssF 求若例
1
22)(:
ssF解
212l i m)0(
ssf s
即,信号在时域 t=0+时的值可通过 F(S)乘以 S,再取极限得出,不必求其反变换,注意 其条件 是,F(S)为真分式
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (17)
10、终值定理
:),()(,)(')( 有且可以进行拉氏变换与若 sFtftftf?
)(lim)(lim 0 ssFtf st
dtedtdffssF st
0
)0()(,初值定理中已证明证明
:0,时有上式下?s
)0()(li m)0(li m)0()(li m
000
ftffdtedt
dffssF
t
st
ss
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)(l i m)( 0 ssFf s即终值定理的应用是有条件的，即使 存在,F(s)的极点全部位于 s左半平面,但允许原点处 F(s)有一阶极点。)(lim tft
是否存在问思考已知 )(,11)(, fssF
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (18)
例,
)(,0,)()( faass asF 求点极点单阶即极点在左半平面且原的极点为解,0,)(,21 sassF
1)(lim)(lim)(
00
ass
asssFf
ss
终值为
.)0(,)()( 2 是无终值的或相反若 aas sSFsasF
)(tf
t
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (19)
11、卷积定理
)()(
2
1
)()(
)()()()(
:)()(,)()(
2121
2121
2211
sFsF
j
tftf
sFsFtftf
sFtfsFtf
则若时域卷积频域卷积
)()()( tethtr由于两边同时取拉氏变换有,R(s)=H(s)E(s)
)(th )(sH
)(te )(sE
)()()( tethtr )()()( sEsHsR?
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (20)
例：
)())(( 1)(1 tfsssFaseLT at 的原函数求已知
)(1)]([
)(
1
)]([:
22
11
sF
s
tfLTeLT
sF
s
tfLTeLT
t
t
令解
tt
t
tt eedee
tftfsFsFLTsFLT
0
)(
2121
11 )()()]()([)]([
:)(,有重根时有即当 tf
t
ttt
teetee?
01
)(0limlim
举 例
例 1 锯齿波 )(tf
tT0
A )]()([)( TtttT
Atf
方法一：用频域微分性质：
)1(1)()( sTesTtt
sTsTsT eT
sesesds
d
1)1(1)1(1
2
sTsT e
s
Ae
s
TAsF )1(/)(
2
)(tf?
tT0
TA
)( TtA
方法二：用时域微分性质：
0)0(f? sTsT AeeTsAssF )1()(
sTsT e
s
Ae
s
TAsF )1(/)(
2
举 例
例 2
方法二：
)1()( )2( tettf t?
方法一,因为 用频域微分性质,Sest 1)1(?
Se
s
stt
2
1)1(? 1
2
2
)1(
2)1(
St e
s
sttee?应用频移性质：
)1()( )1( tetetf t? 11)( ste t
St e
ste
1
1)1()1(?应用时移性质,应用频域微分性质：
ssSt e
sesesds
dtet
1
1
)1(
1)
1
1()1(
2
)1(?
1
2)1(
2)(
Se
s
ssF
举 例
例 2 )1()( )2( tettf t?
方法三：
应用频移性质：
应用时移性质：
1
2)1(
2)(
Se
s
ssF
)]1()1()1[()( 2 ttteetf t
2
1)(1)(
sttst
ss e
sttest
2
1)1()1(1)1(
sss e
s
se
sesttt
22
111)1()1()1(
例 3 求下列函数的拉普拉斯变换。
)()( 3 tettf t
(1)
21)( stt 2)3(
13 )(
s
t tte?
方法一：
313 )( st te? 2)3( 1313 ][)( ssdtdt tet?
st 1)( ss et 1)1(?
方法二：
方法一：
)(][)1( 12212 2322 ssssssdtd eett
方法二：
)1()1()1(2)1()1(
)1()11()(
2
2
ttttt
tttf
)()( 122 23 ssssesF
2( 2 ) ( ) ( 1 )f t t t
§ 4.4 拉普拉斯反变换
部分分式展开法
留数法
查表法
应用拉氏变换的性质
§ 4.4 拉普拉斯反变换一、部分分式展开法
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sD
sNsF
n
n
n
m
m
m
m
与算子法相似：系数为实数； m,n为正整数。 F(s)为假分式时，
用分式长除法化为真分式与多项式之和。
12
3456)(
2
23
ss
ssssF例如：
3456 23 sss12 2 ss
s3
sss 336 23
38 2 ss
4?
448 2 ss
75?s
12
7543)(
2
ss
sssF化为：
式反变换可得多项由 )(]1[,)('][ 11 tLTtsLT
以下按照极点的不同,真分式部分的拉氏变换分为几种情况,
1,m<n,D(s)=0无重根且根为实数 。 D(s)分解因式，有：
)()())(()( 21 nk sssssssssD
)()())((
)(
)(
)()(
21 nk ssssssss
sN
sD
sNsF
n
n
k
k
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
2
2
1
1)(
种求法：为待定系数，有以下两其中 nkkk,,,21?
）（ *
有：）两边同乘以式（ )(*,kssA?
n
nk
k
kk
k ss
kssk
ss
kss
ss
ksssFss
)()()()()(
2
2
1
1
时，有：当 ksssD sNsF,)( )()( ksskk sD
sNssk
])(
)()[(
ksskk sD
sNsskAB
])(
)()[(,有：由
0)(,0)()( sDsNssss kk 时：显然
：型，可以用罗比塔法则为 00kk
k
k
k
k
ss
k
ss
ssk
ss
k
sD
ds
d
sNss
ds
d
sD
sN
ssk?
]
)(
)()(
[]
)(
)(
)[( l i ml i m
)()](')()(01[)]()([ limlim sNsNsssNsNssdsd k
ss
k
ss kk
kssk sD
sNk
])('
)([
综上，有：
ipsii sFpsK )()(?
n
i
tp
i teKtf i
1
)()(?
kssk sD
sNk
])('
)([
)0)(,.2 jSDnm 包含共轭复根，（设为
))((
1)(
))()((
)(
)(
)()(
1 jsjssFjsjssB
sN
sD
sNsF
js kjs ksFSF 21)()( 可以分解为：则有：由的确定方法系数
ksskkk sD
sNsskAk
])(
)()[(:
jjFjsjs
sF
js
sFjsk
kss
js
2
)()(
1
1
1
jjFsFjsk js 2)()( 12同理：
*212*121,kjBAkkkkk 设共轭，即与
js
k
js
kLT
js
k
js
kLTtf
c
*
111211 ][令
]s inc o s[2
])()[(
)(
*
11
*
11
tBtAe
ejBAejBAe
ekekeeekeektf
t
tjtjt
tjtjttjttjt
c
方法 B:
2222 )()()))(((
)(
)(
)()(
s
BAs
sB
k
ssB
sN
sD
sNsF
利用比较系数法确定 A和 B
2222 )(
)(
)(
s
kasA
s
BAs式子
)s inc o s(
s inc o s)(
wtkwtAe
wtkewtAetf
at
atat
c
则例：求下列函数的拉氏逆变换
sss
sssF
34
107)(.1
23
2
31)(
321
s
k
s
k
s
kSF解：
3
10
)'34(
107
3
10
31
10)(
023
2
101 ss sss
sskssFk 或
2
2
4
3)1(8)1(3
107)1(
)'34(
107
2
2
4
)31(1
107)1(
)()1(
2
2
123
2
2
2
12
s
s
sss
ss
k
sFsk
或
3
1
)13(3
10)3(7)3()()3( 2
33
ssFsk
3
1
)'34(
107
323
2
3 ssss
ssk或
33
1
1
2
3
10)(
ssssF
)(312310)( 3 tueetf tt?
23
795)(.2
2
23
ss
ssssF
)2)(1(
32)()(
ss
sssFsF 化为真分式解：
212)(
21
s
k
s
kssF
1
)2)(1(
3
)2(
2
)2)(1(
3
)1(
2
2
1
1
s
s
ss
s
sk
ss
s
sk
2
1
1
22)(
ssssF
tueetttf tt ]2[)(2)(' 2
252
3)(.3
2
2
sss
ssF
21212
2)21(21
3
)(
210
2
js
k
js
k
s
k
sjsjs
s
sF
解：
5
7
5)2(2)2(
3)2()()2(
2
2
20
ssFsk
5
21
2)21(21
3)21(
21
2
1
j
sjsjs
sjsk
js
)s inc o s(2)(52,5 1 tBtAetfBA atc；又即：
)()]2s i n
5
2
2c o s
5
1
(2
5
7
[
)2s i n
5
2
2c o s
5
1
(2
5
7
)(
2
2
tuttee
tteetf
tt
tt
22
0
22
2
2)1()2()2)1) ( (2(
3)(:
s
BAs
s
k
ss
ssF或者
5
7
0?k
)2)1)((2(
)2)(()2)1(()(
22
22
0
ss
sBAsskSF
1,0 Ak比较系数得 325 0 Bk
2,52 BA
)2s i n542c o s52(57)( 2 tteetf tt
2
5
7
2)1(
2*54)1(52
2
5
7
2)1(
252
)( 2222
Ss
s
Ss
s
SF
1 2 0
11
2 5 5sK ss
已知,求 f(t)。
)52(
1)(
2 ssssF
解：
22
1
2)1()(
s
NMs
s
KsF
)(2s i n10 12c o s5151)( ttetetf tt
)52(
)52(
)52(
1)(
2
22
5
1
2
sss
NsMsss
sss
sF
可得：
22
10
1
22
5
1
5
1
2)1(
2
2)1(
)1()(
ss
s
ssF
12,
55MN
3,若 m<n,D(s)=0有 重根 （设 为 p重根），有：
1s
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
1
11
1
1
)1(1
1
1
1
sB
sA
ss
k
ss
k
ss
k
sBss
sN
sD
sN
sF
p
p
p
p
p
可有：无关的部分，对为展开式中与其中 pkssB sA 11)( )(
1)]()[( 11 ss
pp sFssk
但其他 k值不可用类似方法，因如此分母将出现零，而得不到 k值。
有：令 ),()()(1 sFsssF pk
pppp sssB sAsskkssksF )()( )(...)()( 11111)1(1111
※
1
)(1)1(1 ssp sFdsdk 1)(21 12
2
)2(1 ssp sFds
dk
)12,1,()()!( 1
111
ppprsFdsdrpk ssrp
rp
r
tsrr
r
r et
r
k
ss
kLT 111
1
11
)!1(
]
)(
[
由
])( )([]...)!2()!1([])( )([ 111122)1(1111 1 sB sALTektktpktp ksD sNLT tspppp
对上式求导有：
,..),,,(2)(' 21111)2(1)1(11 ppp ssksskksF
若 D(s)=(s – p1)n,令 n=3
F(s)可展开成
1
3
2
1
2
3
1
1
)()()( ps
K
ps
K
ps
KsF
1
)]()[( 312 pssFpsdsdK
1
)]()[(21 312
2
3 pssFpsds
dK
)(2)( 111 3221 teKetKetKtf tptptp
1
3
11( ) ( ) spK s p F s
已知,求 f(t)。
解：
)1(
1)(
23 sssF
11)1)(1(
1)( 543
2
2
3
1
3 s
K
s
K
s
K
s
K
s
K
ssssF
111
021
ss
K 0)1( 2
0222
ss
sK
1)1( 2)1(4)1(221
042
222
3
ss
ssssK
2
1
)1(
1
134
sss
K
2
1
)1(
1
135
sss
K
)(2121121)( 2 teettf tt－
例：求下列单边拉氏反变换：
222 )4)(2(
1)(.2
ssssF
a
k
a
k
a
k
aaaaFsa
321
1
2
42)4)(2(
1)(,?
有：解：令
4
1)()2(
211aaFak 81)()4( 412aaFak
8
1)(
013aaaFk
aaaaaaaF
1
8
1
4
1
8
1
2
1
4
1
)4)(2(
1)(
1
22222
1
8
1
2
2
16
1
)2(
2
24
1)(
ssssF
222
1s i n
stws
wwt?
)(]812s in1612s in8 2[)( tuttttf
§ 4.4 拉普拉斯反变换二、留数法（围线积分法）：
jj st dsesFjtf )(2 1)(拉氏反变换为：
，则上式写为：其中，令区间内。对特定的实部在则上式积分上、下限的的收敛区为若
00
0
,)(
,)(:
ccsF
sFa
jc jc st dsesFjtf )(2 1)(?
0? c
jw
jc
jc
留数定理,复平面上任意 闭合围线 积分等于围线内被积函数所有的极点的留数之和乘以 j?2
圆弧应补在左边包围所有极点如图，
圆弧应补在右边包围所有极点如图，
b、若 F(s)的收敛域为
0
t<0封闭积分路线t>0封闭积分路线
j
0?0
A
B
D
R
0?
j
0?0
A
B
D
R
0?
Rc c stjc jc stc st dsesFdsesFdsesF )()()(
0)(
Rc
st dsesF
,A D BR
cA D B Ac Rc
的圆弧部分表示，为整个积分路径其中
则条件根据约当引理，若满足,0)(l im?
sF
s
cc stjc jc st dsesFjdsesFjtf )(2 1)(2 1)(因此由留数定理得,
极点的留数 ])([)(2 1 stc st esFdsesFj
c?
],)([Re 右边所有极点直线 jwcsesFs st0
0 ],)([Re 左边所有极点直线 jwcsesFs st
n
i
i
jc
jc
st sdsesF
jtfc 1 Re)(2
1)(.
综上有：
i.当 F(s)为有理函数时，若 为一阶极点，有：
ks
kss
stkk esFsss ])()[(Re
ii.当 F(s)为有理函数时，若 为 p阶极点，有：
ks
kss
stp
kp
p
k esFssds
d
ps
])()([)!1( 1Re 1
1
iii.由于冲激函数及其导数不满足 的条件，不可用留数法求之，即用留数法时 F(s)要为真分式。 0)(lim sFs
例 求下列 F(S)的原函数：
解：留数法 F(s)的一阶极点 p1=-2，二阶极点 p2=-1。
tSts eesFs 22)()2(故 Res(p1)=
tt
S
tsts
S
ts
eetet
s
s
e
s
esFs
ds
d
2
2
3
)2(
1
)()1(
1
2
1
2
Res(p2)
1,已知,求 拉氏反变换 f(t)。
)2()1(
3)(
2
ss
ssF
2( ) 2 ( )t t tf t t e e e t
例：求下列 F(S)的原函数：
2
22,( )
( 1 )
sFs
ss
解：其极点为 0与 -1，分别求留数，有：
2)1( 2])()[(Re 02011 1 sssst ssesFsss
1
2
212
12
2 2])()([)!12(
1Re
ssstesFssdsds
12
1
])2(2[2
s
st
s
st
s
etsse
s
s
ds
d
)(])2([ tuet t
)(])2(2[ReRe)( 21 tuetsstf t
2
33,( )
( 2 ) ( 1 )
sFs
ss
解：其极点分别为一阶极点 -2与二阶极点 -1，分别求留数，有：
tssst eesFsss 2211
1])()[(Re
1
2
212
12
2 2])()([)!12(
1Re
ssstesFssdsds
12
3
s
ste
s
s
ds
d tt ete 2
)(]2[ReRe)( 221 tuteeesstf ttt
系统函数 H（ S）以及零极点的分析
§ 4.1 引言一、拉氏变换的来源二、拉氏变换的优点
1、简化求解步骤同时给出微分议程通解和特解，且初始条件自动计入。
2、将微分、积分转化为乘法、除法，简化 运算。
同时将微分方程转化为代数方程。
§ 4.1 引言
3、指数函数，超越函数和有不连续点的函数转化为初等函数。
4、拉氏变换化时域卷积为乘法，减小运算难度。
5、利用系统函数的 零极点分布 来直观表征系统的时域和频域特性三、拉氏变换法应用范围拉氏变换依赖于系统的叠加性与齐次性，
用于 连续 线性 时不变 系统，对于离散系统，非线性系统，
时变系统，拉氏变换无能为力。
四、对拉氏变换的总体理解
1、可理解为求解线性微分方程的工具，类似算子法。
2、可理解为广义的傅立叶变换。即对时间函数进行复频域分解，
但此时 不是正交分解 。
§ 4.2 拉氏变换的定义、收敛域有几种情况不满足狄里赫利条件：
u(t)
增长信号
周期信号
)0(?ae at
若乘一衰减因子为任意实数，则收敛，于满足狄里赫利条件
te
tetf)(
tetu)(
)(,aee tat
te t 1co s
t1c o s?
一,从傅氏变换到拉氏变换
tetftf )()(
1
dtetfF tj
0
)(
1 )()(
因果
0
)()( dtetfsF st
js
FT,实频率 是振荡频率
LT,复频率 S 是振荡频率,控制衰减速度
单边拉氏正变换拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换
dwesFetf j w tt?
)(
2
1)(
dwesFtf
e
tjw
t
)(
)(
2
1
)(
有：两边同时乘以
ds
j
dwd jwddsjws
1
于是上式写为：
反变换式
dsesF
j
tf
j
j
st
)(
2
1)(
二、拉氏变换与傅氏变换的区别
1、傅氏,FT[f(t)]=F(w) t,w为实数,w表示频率拉氏,LT[f(t)]=F(s) t为实数,s为复数,s表示复频率
2、傅氏：建立时域与频域的关系。将时域信号分解成正弦和的形式。
拉氏：建立时域与 s域（复频域）的关系。将时域信号分解成 的和的形式。
三、复频域与复频率称复频率,jws1
平面）。称复平面（
系，为纵轴建立起来的坐标为横轴，、以
s
jw?2
wtee tst c o s?或
4、由 s平面上点的位置，易分析 的变化规律
(见下页图 )
jw ttst eee
反应频率。反应幅度变化规律，,wA?
大，频率高。幅度变化快；大,weB st,?
jws 时，即：
换的特殊情况：、傅立叶变换是拉氏变
0
5
.
,.3
的值值决定值一个复平面上任意一点对应
j w ttst eee
ss
wteee
jwC
ttjwtjw c o s2)()(
振荡或指数为包络线的正弦对应一个正弦振荡：一对共轭复频率一阶极点
j
js
jw ttst eee
四、拉氏变换的收敛域
1、收敛区：使 满足绝对可积的 的取值范围,
=Re{s},收敛区内拉氏变换存在，收敛区外拉氏变换不存在。 ( 收敛区可记为 ROC.)
tetf)(?
内是收敛的。即：在，则限为时，其极若当而言，取对
、收敛条件：
0
0
)(0
,)(
2
t
t
etf
tetf
)(0)(l im 0 tt etf
0?
,)()( 00 性质有关与函数的收敛条件，为 tftf
之右的右半平面垂直于实轴的直线平面中为单边拉氏变换的收敛域根据收敛条件
C
S
0
例 1
的拉氏变换及收敛域求右边信号的 )()( tuetf at
上式积分只有在 (Re{s}+a>0),Re{s}>-a,即 >-a时收敛,此时有?
aastue at,1)(
的拉氏变换及收敛域求左边信号的例 )()(.2 tuetf at
()0
( ) 0( ) [ ( ) ] ( ) |
s a t
a t a t s t s a t eF s L T e u t e u t e d t e d t
sa
上式积分只有在 (Re{s}+a<0),Re{s}<-a,即 <-a时收敛,此时有?
结论,只有拉氏变换式和收敛域一起才能与信号建立建立一一对应关系,必须指明收敛域,
0
)(
0
)(
0 |)()]([)( as
edtedtetuetueLTsF tastasstatat
aastue at,1)(
3.几种信号的收敛情况
a.对于右边信号,其收敛域在收敛轴的右边,
1
)(tf
t
)(tue at?
a
j
a?
)(tu
j
0
t
b.对于左边信号,收敛域在收敛轴的左边,
1.,,,,,0lim
tt ee
t
te
12
c.对于双边信号,其收敛域在 内
21
0
1
2
d.凡是有始有终 能量信号,对于整个 s平面都收敛。
1t 2t
j
)0(,22 ttee tt
e,不收敛信号除非
)0( Tt
五．常用信号的拉氏变换（单边）
定义法
傅立叶变换与拉普拉斯变换的互推
1、互推条件：函数 f(t)的拉氏变换收敛区包含 jw轴在内。
收敛区包含 jw轴在上
jwssjw sFjwFjwFsF )()(;)()(2,互推法：
n
nnjs ksFjF )()()(
)(tf )]([ tfF )]([ tfL
ate
as?
1
ate?
aj
1
as?
1
t0sin?
)]()([2 00j
2
0
0
2
2
0
2
0
s
（１）比较傅氏变换与拉氏变换从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号
)(tueat
a
a
t
)(tf
0)1( 0
as
sF
1)(
傅氏变换不存在，拉氏变换存在
j
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号
0)(
0
tf
t
0)2( 0
)(tf
t
)(tue at?
a?
a
j
as
sF
1)( ajjF 1)(
js?
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号 0)( 0tft
0)3( 0
存在傅氏变换，但以虚轴为收敛边界，不能简单用,要包含奇异函数项。)(tu
ssF
1)(? )(1)(
jjF
n
nnjs ksFjF )()()(
js?
K1=1
从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换
)(.s i n 0 tut?
)(.s i n)( 0 tuttf
LT
2
0
2
0)(
ssF
n
nnjs ksFjF )()()(
00
2
0
2
0 22)(
js
j
js
j
s
sF
)()(
2
)( 0022
0
0
jjF
2
0
2
0
)()(
jjF
K2K1
（２）常用信号的拉氏变换
S
1
tetu)( as?
1
nt 1
!
ns
n
)(t? 1
)( 0tt 0ste?
)t(u
正弦余弦信号的拉氏变换
2
)()(
tjtj ee
tutf
22
2
1
)
11
()(
S
S
jSjS
SF
j
eetutf tjtj
2
)()(
22
2
1
)
11
()(
S
jjSjS
SF
c o s ( )tu t? s i n ( )tu t?
衰减余弦的拉氏变换
tetf t co s)(
220 ][ c o s)( S
StLTSF
22)()(
S
S
SF
频移特性
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (1)
1、线性：
)()()()(
)()()()(
22112211
2211
sFasFatfatfa
sFtfsFtf
有若例：求 f(t)=coswt的拉氏变换 F(s)
22]
11[
2
1][
2
1][ c o s
ws
s
jwsjwseeLTwtLT
j w tj w t
2、时间平移
0)()(:)()( 0 stesFttfsFtf 则设
0t
)()( tutf )()( 00 ttuttf
收敛域 21 RRR O C
0
ROC=R 保持不变
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (2)
0
0
1
),( 00
st
st
e
s
ttuet
其拉氏变换为
。如，则其拉氏变换乘以即：若时域中波形延迟
)()(
)()()(
,
)()()()()(
00
0
0
0
0
)(
00
0
0
0000
sFedxexfe
dxexfxuxfLT
txtttx
dtettfdtettuttfttuttfLT
tsxsts
txs
t
stst
令证明：
（１）周期信号的拉氏变换
)()( 11 sFtf
LT
)()( 11 sFenTtf s n TLT
ST
n
SnT
LT
n
e
sF
esFnTtf
1
)(
)()(
1
0
1
0
第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷递减等比级数求和时间平移的应用
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (2)
例 1：求因果矩形脉冲的拉氏变换。
…
T
)(tfT
)(0tf
)2()()()(,000 TtfTtftftf T解由时间平移特性有：
sT
sTsT
sTsT
T
e
sFeesF
esFesFsFsF
1
1
)()1)((
)()()()(
0
2
0
2
000
公式
E
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (3)
:)(0 有对 tf )1()()(
00 00
sstT st e
s
EdtEedtetfsF
sT
s
T e
e
s
EsF
1
1)(?
又如下图示信号的拉氏变换，同样用平移特性。
)(sin ttu
…
…)1()1s in ( tut
)(sin ttu )1()1s in ( tut
)]1()([s i n tutut
= +
…
)(sin ttu= )1(sin ttu
)1(sin?ttu
平移因子周期因子求周期信号的拉氏变换
)(tf
1
2
T0 T
2
T
1
)(0 tf
0
t
t
22
)1( 2
S
e
Ts
LT
T
2?
2
22
1
1)1( 2
T
S
s
e
S
e
T
信号加窗第一周期
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (4)
)]2()([2s in TtututT
（２）抽样信号的拉氏变换
0
)()(
n
T nTtt
ST
n
SnT
T ees?
1
1)(
0
)()()( ttftf Ts
0
)()(
n
SnT
s enTfsF
抽样序列抽样序列的拉氏变换时域抽样信号抽样信号的拉氏变换
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (5)
3：尺度变换
0,)(1)(:)()( aasFaatfsFtf 有若
0,0)()()(, basFtutf若例
sabe
a
sF
abatubatf
)(1)()(:证明解,a:先进行尺度变换再时移
)()()( sFtutf )(1)()(
a
sF
aatuatf
对 f(t)在时间轴上压缩 a倍后，沿 t轴时移 b有：
)]([)]([)()( abtauabtafbatubatf
※
在 ※ 式下，标度变换已完成，现于 ※ 式上推迟 即可
ab
)]([)]([ abtauabtaf sa
b
easFa )(1
)(1)()]([,:
0
1
a
sF
adxexfatfLTatx
x
a
a
s令证明
ROC=aR
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (6)
b.先时间平移再尺度变换
sbesFbtubtf )()()(
对 t进行尺度变换 a倍，有：
sabe
a
sF
abatubatf
)(1)()(
4,S域平移
)()()()( 00 ssFetfsFtf ts 有若
)(
)(])([
0
0
00
ssF
dteetfetfLT tststs
证明：
2222 )(s ins in,was
wwte
ws
wwt at
有如
}Re{ 0S
ROC=R+
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (7)
5、时间微分
)0()(:)()( fssFdtdfsFtf 有若
0][,dtedtdfdtdfLT st证明
:,,用分部积分法有令 dtdtdfdveu st
)()0()()(][ 00 ssFfdtetfsetfdtdfLT stst
)0(')0()()]0()([][,202
2
fsfsFsdt
dffssFs
dt
fdLT
t同理有用数学归纳法或类推均可证明,
)0()0(')0()()]([ )1()2(1)( nnnnn ffsfssFstfLT?
.00 系统的差别系统与注意
0?0
ROC包含 R
注意,如果 F(S)在 S=0有一阶极点,该极点将被 S抵消,则 SF(s)收敛域可能会比 R更大如阶跃信号与冲激信号
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (8)
例：求 的导数的拉氏变换 (a>0))()( tuetf at
)(tf
)(' tf
)1(
a?
astueLTsF
at
1)]([)(:解系统采用?0.a
)()()()()]([)( tuaettuaetetuedtddt tdf atatatat
as
s
as
atuaetLT
dt
tdfLT at
1)]()([])([?
i.用定义求解
ii.用微分特性求解
as
sssFfssF
dt
tdfLT
0)()0()(])([
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (9)
b.采用 系统时,
0
i.用定义求解
as
atuaetuaetue
dt
d
dt
tdf atatat
)()()]([)(
ii.用微分特性求解
as
assFfssF
dt
tdfLT
1)()0()(])([
)0()2()(,)2( atuetf ta 的导数的拉氏变换思考
)(tf )(' tf
)(tf
)(' tf
)1(
a?
如没有特别说明，取 0_系统
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (10)
例,求下列拉氏变换,注意其区别
tw0c o s.1 )(co s.2 0 ttuw ][c o s.3 0 tw
dt
d )]([ c o s.4
0 ttuwdt
d
tw0cos
)(co s 0 ttuw
1)0(f
0)0(f
][cos 0twdtd
)]([c o s 0 ttuwdtd
)1(
解一：对单边拉氏变换
2
0
200 )]([ c o s][ c o s)( ws
sttuwLTtwLTsF
2
0
2
2
0
000 ]s i n[)]( c o s[ ws
wtwwLTtw
dt
dLT
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (11)
解二,用微分特性有：
2
0
2
2
0
2
0
20 1)0()()]( c o s[ ws
w
ws
ssfssFtw
dt
dLT
2
0
2
2
2
0
20 0)0()())](( c o s[ ws
s
ws
ssfssFttuw
dt
dLT
2
0
2
2
000 )](s i n)([) ) ](( c o s[ ws
sttuwwtLTttuw
dt
dLT
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (12)
6、时间积分
s
df
s
sFdf
s
sFdfsFtf tt
0
0
)()(
)()()(:)()(
以及有若
0 00 ])([])([,t stt dtedfdfLT证明
:,)(0 用分部积分法有令 dtedvdfu stt
dtetfsdfesdtedf sttstt st
0000 0
)(1)(1])([
)(10 sFs
s
sFdft )()(
0
s
df
s
sFdfdfdf tt
0
0
0 )()(
)()()(
而
))(( ns sFn 重积分下变换为可推广至常数
)0}( R e {1 sRR OC?
例,试用阶跃信号 u(t)的积分求 tu(t)的拉氏变换
2
0
0
1)(
)]([)(
)()(
1
)]([)(
)(
)(
ss
sF
ttuLTttu
duttu
s
tuLTsF
s
sF
df
t
t
而
1
!
)]([
,
n
n
s
n
tutLT
可得重复利用这个质
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (14)
7、复频域积分与微分：
s
dssF
t
tf
ds
sdF
ttf
sFtf
)(
)(;
)(
)(
:)()( 有若
dtettfsFs st ].)([)(' 0求导两边对
0 )()( dtetfsF st
证明,
dte
t
tfdtdsetf
dsdtetfdssFS
st
s
st
st
ss
00
0
1
)(])[(
])([)(:积分有两边对
ROC=R
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (15)
9、初值定理,
:),()(,)(')( 有且可以进行拉氏变换与若 sFtftftf?
)(lim)(lim)0( 0 ssFtff st
证明：由时域的微分特性有：
dte
dt
df
ffdte
dt
df
tf
dte
dt
df
dte
dt
df
dte
dt
df
fssF
stst
ststst
00
0
0
0
0
00
)0()0()(
)0()(
dtedtdffssF st
0
)0()(
0]lim[lim,
00
dtedtdfdtedtdfs st
s
st
s
时
)(lim)(lim)0( 0 ssFtff st
0
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (16)
特别地,f(t)在 t=0处有冲激及其导数，即：
)(...)]([ 10 sFsasaatfLT ppp
初值定理表示为,)(lim)0( ssFf
ps
)0(12)(, fs ssF 求若例
1
22)(:
ssF解
212l i m)0(
ssf s
即,信号在时域 t=0+时的值可通过 F(S)乘以 S,再取极限得出,不必求其反变换,注意 其条件 是,F(S)为真分式
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (17)
10、终值定理
:),()(,)(')( 有且可以进行拉氏变换与若 sFtftftf?
)(lim)(lim 0 ssFtf st
dtedtdffssF st
0
)0()(,初值定理中已证明证明
:0,时有上式下?s
)0()(li m)0(li m)0()(li m
000
ftffdtedt
dffssF
t
st
ss
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)(l i m)( 0 ssFf s即终值定理的应用是有条件的，即使 存在,F(s)的极点全部位于 s左半平面,但允许原点处 F(s)有一阶极点。)(lim tft
是否存在问思考已知 )(,11)(, fssF
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (18)
例,
)(,0,)()( faass asF 求点极点单阶即极点在左半平面且原的极点为解,0,)(,21 sassF
1)(lim)(lim)(
00
ass
asssFf
ss
终值为
.)0(,)()( 2 是无终值的或相反若 aas sSFsasF
)(tf
t
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (19)
11、卷积定理
)()(
2
1
)()(
)()()()(
:)()(,)()(
2121
2121
2211
sFsF
j
tftf
sFsFtftf
sFtfsFtf
则若时域卷积频域卷积
)()()( tethtr由于两边同时取拉氏变换有,R(s)=H(s)E(s)
)(th )(sH
)(te )(sE
)()()( tethtr )()()( sEsHsR?
§ 4.3 拉普拉斯变换的性质 (20)
例：
)())(( 1)(1 tfsssFaseLT at 的原函数求已知
)(1)]([
)(
1
)]([:
22
11
sF
s
tfLTeLT
sF
s
tfLTeLT
t
t
令解
tt
t
tt eedee
tftfsFsFLTsFLT
0
)(
2121
11 )()()]()([)]([
:)(,有重根时有即当 tf
t
ttt
teetee?
01
)(0limlim
举 例
例 1 锯齿波 )(tf
tT0
A )]()([)( TtttT
Atf
方法一：用频域微分性质：
)1(1)()( sTesTtt
sTsTsT eT
sesesds
d
1)1(1)1(1
2
sTsT e
s
Ae
s
TAsF )1(/)(
2
)(tf?
tT0
TA
)( TtA
方法二：用时域微分性质：
0)0(f? sTsT AeeTsAssF )1()(
sTsT e
s
Ae
s
TAsF )1(/)(
2
举 例
例 2
方法二：
)1()( )2( tettf t?
方法一,因为 用频域微分性质,Sest 1)1(?
Se
s
stt
2
1)1(? 1
2
2
)1(
2)1(
St e
s
sttee?应用频移性质：
)1()( )1( tetetf t? 11)( ste t
St e
ste
1
1)1()1(?应用时移性质,应用频域微分性质：
ssSt e
sesesds
dtet
1
1
)1(
1)
1
1()1(
2
)1(?
1
2)1(
2)(
Se
s
ssF
举 例
例 2 )1()( )2( tettf t?
方法三：
应用频移性质：
应用时移性质：
1
2)1(
2)(
Se
s
ssF
)]1()1()1[()( 2 ttteetf t
2
1)(1)(
sttst
ss e
sttest
2
1)1()1(1)1(
sss e
s
se
sesttt
22
111)1()1()1(
例 3 求下列函数的拉普拉斯变换。
)()( 3 tettf t
(1)
21)( stt 2)3(
13 )(
s
t tte?
方法一：
313 )( st te? 2)3( 1313 ][)( ssdtdt tet?
st 1)( ss et 1)1(?
方法二：
方法一：
)(][)1( 12212 2322 ssssssdtd eett
方法二：
)1()1()1(2)1()1(
)1()11()(
2
2
ttttt
tttf
)()( 122 23 ssssesF
2( 2 ) ( ) ( 1 )f t t t
§ 4.4 拉普拉斯反变换
部分分式展开法
留数法
查表法
应用拉氏变换的性质
§ 4.4 拉普拉斯反变换一、部分分式展开法
01
1
1
01
1
1
...
...
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sD
sNsF
n
n
n
m
m
m
m
与算子法相似：系数为实数； m,n为正整数。 F(s)为假分式时，
用分式长除法化为真分式与多项式之和。
12
3456)(
2
23
ss
ssssF例如：
3456 23 sss12 2 ss
s3
sss 336 23
38 2 ss
4?
448 2 ss
75?s
12
7543)(
2
ss
sssF化为：
式反变换可得多项由 )(]1[,)('][ 11 tLTtsLT
以下按照极点的不同,真分式部分的拉氏变换分为几种情况,
1,m<n,D(s)=0无重根且根为实数 。 D(s)分解因式，有：
)()())(()( 21 nk sssssssssD
)()())((
)(
)(
)()(
21 nk ssssssss
sN
sD
sNsF
n
n
k
k
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
2
2
1
1)(
种求法：为待定系数，有以下两其中 nkkk,,,21?
）（ *
有：）两边同乘以式（ )(*,kssA?
n
nk
k
kk
k ss
kssk
ss
kss
ss
ksssFss
)()()()()(
2
2
1
1
时，有：当 ksssD sNsF,)( )()( ksskk sD
sNssk
])(
)()[(
ksskk sD
sNsskAB
])(
)()[(,有：由
0)(,0)()( sDsNssss kk 时：显然
：型，可以用罗比塔法则为 00kk
k
k
k
k
ss
k
ss
ssk
ss
k
sD
ds
d
sNss
ds
d
sD
sN
ssk?
]
)(
)()(
[]
)(
)(
)[( l i ml i m
)()](')()(01[)]()([ limlim sNsNsssNsNssdsd k
ss
k
ss kk
kssk sD
sNk
])('
)([
综上，有：
ipsii sFpsK )()(?
n
i
tp
i teKtf i
1
)()(?
kssk sD
sNk
])('
)([
)0)(,.2 jSDnm 包含共轭复根，（设为
))((
1)(
))()((
)(
)(
)()(
1 jsjssFjsjssB
sN
sD
sNsF
js kjs ksFSF 21)()( 可以分解为：则有：由的确定方法系数
ksskkk sD
sNsskAk
])(
)()[(:
jjFjsjs
sF
js
sFjsk
kss
js
2
)()(
1
1
1
jjFsFjsk js 2)()( 12同理：
*212*121,kjBAkkkkk 设共轭，即与
js
k
js
kLT
js
k
js
kLTtf
c
*
111211 ][令
]s inc o s[2
])()[(
)(
*
11
*
11
tBtAe
ejBAejBAe
ekekeeekeektf
t
tjtjt
tjtjttjttjt
c
方法 B:
2222 )()()))(((
)(
)(
)()(
s
BAs
sB
k
ssB
sN
sD
sNsF
利用比较系数法确定 A和 B
2222 )(
)(
)(
s
kasA
s
BAs式子
)s inc o s(
s inc o s)(
wtkwtAe
wtkewtAetf
at
atat
c
则例：求下列函数的拉氏逆变换
sss
sssF
34
107)(.1
23
2
31)(
321
s
k
s
k
s
kSF解：
3
10
)'34(
107
3
10
31
10)(
023
2
101 ss sss
sskssFk 或
2
2
4
3)1(8)1(3
107)1(
)'34(
107
2
2
4
)31(1
107)1(
)()1(
2
2
123
2
2
2
12
s
s
sss
ss
k
sFsk
或
3
1
)13(3
10)3(7)3()()3( 2
33
ssFsk
3
1
)'34(
107
323
2
3 ssss
ssk或
33
1
1
2
3
10)(
ssssF
)(312310)( 3 tueetf tt?
23
795)(.2
2
23
ss
ssssF
)2)(1(
32)()(
ss
sssFsF 化为真分式解：
212)(
21
s
k
s
kssF
1
)2)(1(
3
)2(
2
)2)(1(
3
)1(
2
2
1
1
s
s
ss
s
sk
ss
s
sk
2
1
1
22)(
ssssF
tueetttf tt ]2[)(2)(' 2
252
3)(.3
2
2
sss
ssF
21212
2)21(21
3
)(
210
2
js
k
js
k
s
k
sjsjs
s
sF
解：
5
7
5)2(2)2(
3)2()()2(
2
2
20
ssFsk
5
21
2)21(21
3)21(
21
2
1
j
sjsjs
sjsk
js
)s inc o s(2)(52,5 1 tBtAetfBA atc；又即：
)()]2s i n
5
2
2c o s
5
1
(2
5
7
[
)2s i n
5
2
2c o s
5
1
(2
5
7
)(
2
2
tuttee
tteetf
tt
tt
22
0
22
2
2)1()2()2)1) ( (2(
3)(:
s
BAs
s
k
ss
ssF或者
5
7
0?k
)2)1)((2(
)2)(()2)1(()(
22
22
0
ss
sBAsskSF
1,0 Ak比较系数得 325 0 Bk
2,52 BA
)2s i n542c o s52(57)( 2 tteetf tt
2
5
7
2)1(
2*54)1(52
2
5
7
2)1(
252
)( 2222
Ss
s
Ss
s
SF
1 2 0
11
2 5 5sK ss
已知,求 f(t)。
)52(
1)(
2 ssssF
解：
22
1
2)1()(
s
NMs
s
KsF
)(2s i n10 12c o s5151)( ttetetf tt
)52(
)52(
)52(
1)(
2
22
5
1
2
sss
NsMsss
sss
sF
可得：
22
10
1
22
5
1
5
1
2)1(
2
2)1(
)1()(
ss
s
ssF
12,
55MN
3,若 m<n,D(s)=0有 重根 （设 为 p重根），有：
1s
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
1
11
1
1
)1(1
1
1
1
sB
sA
ss
k
ss
k
ss
k
sBss
sN
sD
sN
sF
p
p
p
p
p
可有：无关的部分，对为展开式中与其中 pkssB sA 11)( )(
1)]()[( 11 ss
pp sFssk
但其他 k值不可用类似方法，因如此分母将出现零，而得不到 k值。
有：令 ),()()(1 sFsssF pk
pppp sssB sAsskkssksF )()( )(...)()( 11111)1(1111
※
1
)(1)1(1 ssp sFdsdk 1)(21 12
2
)2(1 ssp sFds
dk
)12,1,()()!( 1
111
ppprsFdsdrpk ssrp
rp
r
tsrr
r
r et
r
k
ss
kLT 111
1
11
)!1(
]
)(
[
由
])( )([]...)!2()!1([])( )([ 111122)1(1111 1 sB sALTektktpktp ksD sNLT tspppp
对上式求导有：
,..),,,(2)(' 21111)2(1)1(11 ppp ssksskksF
若 D(s)=(s – p1)n,令 n=3
F(s)可展开成
1
3
2
1
2
3
1
1
)()()( ps
K
ps
K
ps
KsF
1
)]()[( 312 pssFpsdsdK
1
)]()[(21 312
2
3 pssFpsds
dK
)(2)( 111 3221 teKetKetKtf tptptp
1
3
11( ) ( ) spK s p F s
已知,求 f(t)。
解：
)1(
1)(
23 sssF
11)1)(1(
1)( 543
2
2
3
1
3 s
K
s
K
s
K
s
K
s
K
ssssF
111
021
ss
K 0)1( 2
0222
ss
sK
1)1( 2)1(4)1(221
042
222
3
ss
ssssK
2
1
)1(
1
134
sss
K
2
1
)1(
1
135
sss
K
)(2121121)( 2 teettf tt－
例：求下列单边拉氏反变换：
222 )4)(2(
1)(.2
ssssF
a
k
a
k
a
k
aaaaFsa
321
1
2
42)4)(2(
1)(,?
有：解：令
4
1)()2(
211aaFak 81)()4( 412aaFak
8
1)(
013aaaFk
aaaaaaaF
1
8
1
4
1
8
1
2
1
4
1
)4)(2(
1)(
1
22222
1
8
1
2
2
16
1
)2(
2
24
1)(
ssssF
222
1s i n
stws
wwt?
)(]812s in1612s in8 2[)( tuttttf
§ 4.4 拉普拉斯反变换二、留数法（围线积分法）：
jj st dsesFjtf )(2 1)(拉氏反变换为：
，则上式写为：其中，令区间内。对特定的实部在则上式积分上、下限的的收敛区为若
00
0
,)(
,)(:
ccsF
sFa
jc jc st dsesFjtf )(2 1)(?
0? c
jw
jc
jc
留数定理,复平面上任意 闭合围线 积分等于围线内被积函数所有的极点的留数之和乘以 j?2
圆弧应补在左边包围所有极点如图，
圆弧应补在右边包围所有极点如图，
b、若 F(s)的收敛域为
0
t<0封闭积分路线t>0封闭积分路线
j
0?0
A
B
D
R
0?
j
0?0
A
B
D
R
0?
Rc c stjc jc stc st dsesFdsesFdsesF )()()(
0)(
Rc
st dsesF
,A D BR
cA D B Ac Rc
的圆弧部分表示，为整个积分路径其中
则条件根据约当引理，若满足,0)(l im?
sF
s
cc stjc jc st dsesFjdsesFjtf )(2 1)(2 1)(因此由留数定理得,
极点的留数 ])([)(2 1 stc st esFdsesFj
c?
],)([Re 右边所有极点直线 jwcsesFs st0
0 ],)([Re 左边所有极点直线 jwcsesFs st
n
i
i
jc
jc
st sdsesF
jtfc 1 Re)(2
1)(.
综上有：
i.当 F(s)为有理函数时，若 为一阶极点，有：
ks
kss
stkk esFsss ])()[(Re
ii.当 F(s)为有理函数时，若 为 p阶极点，有：
ks
kss
stp
kp
p
k esFssds
d
ps
])()([)!1( 1Re 1
1
iii.由于冲激函数及其导数不满足 的条件，不可用留数法求之，即用留数法时 F(s)要为真分式。 0)(lim sFs
例 求下列 F(S)的原函数：
解：留数法 F(s)的一阶极点 p1=-2，二阶极点 p2=-1。
tSts eesFs 22)()2(故 Res(p1)=
tt
S
tsts
S
ts
eetet
s
s
e
s
esFs
ds
d
2
2
3
)2(
1
)()1(
1
2
1
2
Res(p2)
1,已知,求 拉氏反变换 f(t)。
)2()1(
3)(
2
ss
ssF
2( ) 2 ( )t t tf t t e e e t
例：求下列 F(S)的原函数：
2
22,( )
( 1 )
sFs
ss
解：其极点为 0与 -1，分别求留数，有：
2)1( 2])()[(Re 02011 1 sssst ssesFsss
1
2
212
12
2 2])()([)!12(
1Re
ssstesFssdsds
12
1
])2(2[2
s
st
s
st
s
etsse
s
s
ds
d
)(])2([ tuet t
)(])2(2[ReRe)( 21 tuetsstf t
2
33,( )
( 2 ) ( 1 )
sFs
ss
解：其极点分别为一阶极点 -2与二阶极点 -1，分别求留数，有：
tssst eesFsss 2211
1])()[(Re
1
2
212
12
2 2])()([)!12(
1Re
ssstesFssdsds
12
3
s
ste
s
s
ds
d tt ete 2
)(]2[ReRe)( 221 tuteeesstf ttt
