§ 4.10 全通函数和最小相移函数的零、极点分布一、全通函数全通,幅度特性为常数。对所有频率的正弦信号按相同的幅度传输系数通过。
全通函数的特征,极点位于 s左半平面。零、极点关于 jw轴镜像对称。
)]()[(
321
321 321321)( je
MMM
NNNKjwH
KjwH )(
00 360,;,;180,0 www 减小增大
K
)(jwH
w
故全通函数的幅度特性为常数，而相位特性不受约束。全通网络可用于相位校正。即不影响幅度的对应关系，只影响相位。
例：求下图的传输函数 并说明是否全通。
22
1
()( ) ( )
()
Vs LH s R
V s C
1
'1
1V
2
'2
2V
1V
ocV
2
'2
2
'2
2V
eqR
ocV
2
2121,,
1,,RZZ
sCZsLZ 则令解对上电路从 2— 2’向左用戴维南定理，则：
1
21
12
1
21
1
1
21
2 V
ZZ
ZZV
ZZ
ZV
ZZ
ZV
oc?
21
212
ZZ
ZZR
eq
sLR
sLR
ZR
ZR
RR
R
ZZ
ZZ
sV
sVsH
eq?
1
1
21
12
1
2
)(
)()(
)()()( wj
jws ejw LR
jw LRsHjwH?
R
wLwjwH a r c t a n2)(,1)(
系统全通二、最小相移函数定义,系统函数的 极点 全部落于 s的 左 半平面，而全部 零点落于 左半平面 或 jw轴上的网络。所有振幅频谱相同，而 相位滞后最小 的转移函数为最小相移函数。
非最小相移网络：网络函数在 s右半平面有一个或多个零点，称 …
它可以写成最小相移函数与全通函数的乘积。
相移小 相移大非最小相移网络可以写成 最小相移函数 与 全通函数 的乘积
1z
1?j
1?j?
1p
2z
1?j
1?j?
1p
2p
1z
2z
1z
1?j
1?j? 2z
非最小相移网络
n
i
ji
m
j
jj
n
i
i
m
j
j
zsps
zszsk
ps
zsk
sH
1
1
1
1
))((
))((
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
j
j
n
i
i
m
j
j
zs
zs
ps
zsk
非最小相移网络最小相移函数全通函数
§ 4.11 系统的稳定性一、系统的稳定及其条件
a.稳定系统：对 有限 (有界 )的 激励 只能产生 有限 (有界 )响应 的系统。
为有限的正实数则响应函数为有限的正实数若激励函数
MrtMrtr
MetMete
0)(:
0)(:
dxxhMeMethtr
tethtr
)(*)()(
)(*)()(由
( ) ( ) ( )h x d x r t若 存 在 有 限 有 限,
dxxh )(:系统稳定的充要条件是必要性的说明,
不妨对系统施加特定激励：
dxxhdxxexhrdxxtexhtr )()()()0()()()(
0)(,1
0)(,0
0)(,1
)](s g n [)-(
th
th
th
thte
b.从表征系统特征的冲激响应 h(t)得充分性说明,
即,系统稳定二、因果系统的稳定性分类
.
,)0(,)(
使系统产生无界响应激励会说明至少有一个特定的无界则有无界 rdxxh
.)( 是系统稳定的必要条件故 dxxh
稳定系统 h(t)的特征,h(t)除在 t=0处可以有孤立的冲激外，
都应是有限的, tMth 0,)(
1、稳定系统：在 S 域中,H(s)全部极点在 s 左半平面（不含 jw 轴 )
0)]([lim?
th
t2、不稳定系统,H(s)有极点在 s 右半平面，或 jw 轴上有二阶以上极点。 h(t)增长。
3、临界稳定系统,H(s)极点在 jw轴上有单阶的共轭极点或有在原点处有一阶极点，
h(t)为非零数值或为等幅振荡。
若在时 域中例：已知两系统及其激励，求响应，并判稳。
)(s in)(,)(:;)(,1)(,022
0
2211 ttuwtews
ssHtute
ssH 系统二系统一
2
0
2
0
21 )(
1)(:
ws
wsE
ssE解
)()(111)( 121 ttutrssssR
)(s in21)()( 022
0
22
0
2
0
2 ttuwttrws
s
ws
wsR
稳定性分析：
1、自输入输出关系看：输入有界，输出无界，系统不稳定。
2、自 h(t)看：两者均不满足绝对可积条件，系统不稳定。
3、自 H(s)的极点位置看：两者在 jw轴上有一阶极点，系统临界稳定。
一、双边拉普拉斯变换
§ 4.12 双边拉普拉斯变换（ 1）
1.定义,
dtetftfLTsF stdd )()]([)(
0,)(
0,)()(
ttf
ttftf
b
a若定义
0,
0,)(
te
tetf
at
at
如
)()()()()( tutftutftf ba则
)()()()()()]([)( 00 sFsFdtetfdtetfdtetftfLTsF abstastbstdd
只有当左边函数与右边函数有公共的收敛区时,Fd(s)的收敛域才存在,f(t)的双边拉氏变换才存在
2.收敛域
ba
a? b?
的求法同前述单边变换。
)(sFa
:,)( 讨论如下而言对 sF b 0 )()( dtetfsF stbb
:有令 xt
0
)()()( dxexfsF xsbb
01 )()(,dxexfpFsp pxbb有令
:)( 求取步骤为于是 sF b
)(,,,xfxta b 构造右边函数令对时间取反
)()(,1 pFxfb bb 的单边拉普拉斯变换求?
)(,,sFpsc b求得代替用?
)()()( sFsFsF abd
)()()( sFsFsF abd
3,f(t)双边拉氏变换的求解例,.)(),()()( 与公共收敛域求其双边变换反 sFtuetutf t
解,1、讨论收敛域：
00 1)( dtedteedtetf tttt
.,0;,1 上式右边第二项收敛时上式右边第一项收敛时
10,收敛域为
2、原函数的双边拉普拉斯变换存在，求得
stuLTsF a
1)]([)(
:)( 求取如下sF b
1
1
)()(.
1
1
)]([)(.
0,)()(.
1
1
s
pFsFc
p
xfLTpFb
xetfxfa
spbb
bb
x
xtbb
)10(1
1
1
11)()()(
sssssFsFsF ba
例,求响应,)()()(:;0,)(,423 tuetuetfteth ttt 信号系统
)()(1,sHsF d 与、求解
)3(,
3
1
)(
)24(,
2
1
4
1
)()()(
s
sH
ss
sFsFsF bad
收敛域。确定有无公共的收敛域，并与、考察 )()()(2 sRsHsF d
收敛域。亦即公共收敛域为,)(,23- sR
)23(,
)4)(3)(2(
2
)()()(
)(3
sss
sHsFsR
sR
d
、求有反变换：由、对 23)(4sR
对应右边时间信号。，对应左边时间信号，有：极点由 43-2-23
4
1
3
2
2
1)(
ssssR
)(]2[
)(]
2
1[
)(
43
21
tuee
tue
s
LTtr
tt
t
b
小结
(1)拉氏变换定义式的意义,拉氏变换与付里叶变换的关系
(2)收敛域的含义及计算方法
(3) 常用的拉氏变换对
(4)拉氏变换的性质线性,时域与 S域微积分性,平移性,初值终值 定理
(5)系统函数 H(S)零极点分布对时域特性频域特性的影响极点的影响,稳定性,振荡频率零点的影响,幅度,相位零极点分布与滤波器的类型对应关系
(6)系统的稳定性定义,条件
(7)双边拉氏变换
(8)拉氏变换分析法及 S域模型
ba,,:)( 左边变换右边变换单边第四章习题课
1、用定义求单边拉氏变换及 其收敛域。
)s i n ()()1( wttf
dtewtsF st )s i n ()(,0?解
dtewtwt st )s i nc o sc o s( s i n0
dtw t edtewt stst c o ss i ns i nc o s 00
222222
s i nc o ss i nc o s
ws
sw
ws
s
ws
w
0)s in (lim
:0,)(
t
tewt
sF
方可满足有存在
,)( 的收敛域为sF
tatf?)()2(
dteasF stt
0
)(:解
dtee stat
0
ln
as ln
1
0li m
:ln,)(
ln?
tat
t
ee
asF
方可满足必须存在若
asF ln)( 的收敛域为
2、求图示因果周期的信号拉氏变换。
,,),[)()(,则令解 ttftf
)(tf?
ttftf 其中为周期的延拓以是,)()(
sesFsF
)()(
)()()()()( tututttutf
)(
)]([)(
ss
ss
see
s
e
s
e
ss
tfLTsF
)(
)( s
ss
es
seesF
)(
思考：
3、用拉氏变换的性质求拉氏变换。
)()()( tuet t
2s
1L T [t],?解
)(]L T [ t e:
t-
s由频率搬迁特性有
]1 ) e-(tL T [ e]1 ) e-L T [ ( t
:
1)-(t-1-t- tutu
由时移特性有
se
s
e
)(
)(
)(
s
e s )(
)](s in[)( ttuedtd t
sttu )](s i nL T [:解
)(
)](s i n[)(F
:s
1 sttueLTs
t
域下的频移特性有由
)(')()()](s i ndL T [
:
2
fsfsFsttuedt
t
由时间微分特性有
)(',)(:,ff有由于是单边信号
)()()](s i n
dL T [ 2
s
ssFsttue
dt
t )(
4、求下列函数的初值与终值。
)()()( s
ssF
解：由于 F(s)不是真分式，不可以直接用初值定理，长除后，正分式部分用初值定理。
)()(,sFss sss ssF
解
ss
sssFf
ss
lim)(lim)(
F(s)仅有极点 -1在 s平面左侧,可用终值定理,
ss
ssssFf
ss
lim)(lim)(
))(()()(
ss
sssF
))((lim)(lim)(,ss
sssssFf
ss
解由于 F(s)存在极点 -1,2i,-2i,即在 jw轴上有共轭极点,所对应的时间函数 f(t)含有振荡成分,不存在终值,
a
k
a
k
a
k
aaaaFsa
321
1
2
42)4)(2(
1)(,?
有：解：令
4
1)()2(
211aaFak 81)()4( 412aaFak
8
1)(
013aaaFk
aaaaaaaF
1
8
1
4
1
8
1
2
1
4
1
)4)(2(
1)(
1
22222
1
8
1
2
2
16
1
)2(
2
24
1)(
ssssF
222
1s i n
stws
wwt?
)(]812s in1612s in8 2[)( tuttttf
5、用部分分式展开法或留数发求拉氏反变换。
222 )4)(2(
1)().1(
ssssF
)()()( s
ssF
解,F(s)不是真分式，不可直接用留数法
)()()()( sFs sss ssF
ttt
s
ststst
s
st
ettee
etsstese
esFs
dt
d
])()([
])()[(
!
]R e [
)(][)()]([)( tuetttsFLTtf t
5、用部分分式展开法或留数发求拉氏反变换。
6,LTI系统如下，用拉氏变换法求系统的零输入响应，零状态响应及全响应：
)(')(),()()(')('' rrtutrtrtr
解：对微分方程两边同时取拉氏变换，并由微分性质有：
ssRrssRrsrsRs
1)(10)0(7)(7)0(')0()(2
sssRss
)()(
ss sss ssR )(
ss
st )(r:
zi零输入响应为
)(][][)( tueessLTtr ttzi
)(
)(r,zs
sssss
st零状态响应
)()()( tueetr ttzs
...)()()( trtrtr zszi全响应
7、系统如图示,v ( t ),)(,.)( 求
Lc ivv
)(ttu
F?
)(tvc
)(tvc?
)(tue t
)(tv
s
s?
s
)(sVc
)(sV
s
解：作 s域下的电路图如下，有：
)(sVc
)()()()(
)()()(
sV
s
sV
s
sV
s
sVsV
s
cc
c
即：
s
sV
s
sV
s
sVsVs
c
c
)()()(
)()()(
)()()( sssss
ssV
)(]s i n[)]([)( tutesVLTtv t
)(sV
8、一个 LTI系统对单位阶跃的响应 s(t)为,)(][)( tuteets tt
若该系统对某一输入 x(t)的响应 y(t)为,)(][)( tueety tt
求输入信号 x(t).
ssXtutx
)()()(,输入解
0,)1( 1)()(]1[)( 21sssYtuteets tt输出
,)()(
)(YH ( s ):)()()(Y
1 ssX
ssXSHs 有由
,))(()()(][)( ssssYtueety tt又
,
)(
)(
)(
))((
)(
)(
)(
ssss
s
s
sss
sH
sY
sX
)(][)]([)( tuesXLTtx t
9.某系统初始状态为零,若输入为：
则输出为,
s
ssXttxt )(,;)(,
tuetuety tt )()(
h ( t )b..H ( s ),求及其收敛域求a
.,)(:,时的输出求输入为 tetxc t
2,)(., 收敛域为是左边变换解 sssXa
,
))((
)()()(
)()(
ss
s
ss
sYsYsY
tuetuety
ab
tt
,))(()( )()( ss ssX sYsH
？
（因为 y(t)有界,H(s)必然稳定,Y(s)的收敛域必然包含 X(s)与 Y(s)的公共收敛域，故而,H(s)的收敛域为 … ）
,))(()(,ssss ssHb
)(][)]([)( tueesHLTth tt
))()(()()()(, sss
ssXsHsYc ),( Rt错误
,][,;,][,,seLTtseLTt tt正解
,))()(()()()(,sss ssXsHsYt aa时
,))()(()()()(,sss ssXsHsYt bb时
)(][)()(
:)(,
tueekekty
ss
k
s
ksY
sY
ttt
aa
a
对应的为右边变换由上知
)()(][)(
)()(
:,)(
tuetuekekty
ty
ss
k
s
k
sY
sY
ttt
b
bb
b
又有左边变换对应的既有右边变换
)()()()()( tuetuetytyty ttba
tety t,)(
),(,)()()(
LTIe,3t
teeHesHty tt
s
st
系统的特征函数是另解
)()()()(
,)(
_0
)(
sHedehedehty
te
stsstts
zs
st
卷积积分求得为系统的零状态响应由时当系统的激励为其条件,S位于 H(S)的收敛域内上式表明,若激励是无时限的复指数信号时,则零状态响应 (也是全响应 )仍为相同复频率的指数信号,但加权了 H(S)或者说只要将激励乘以系统函数便可求得,
思考：一个冲激响应为 h(t)的因果系统有以下特性：
).(),()(e:)()(
6
1y ( t ):,)(,)(
4t- thtbutuh ( t )h ' ( t )th
eetxt tt
求的方程其输出为输入
6
1|)(
6
1|)()(
2
2
2
2
s
t
s
t sHesHety
解,
)()1(
2
1
)(
1
)2(
4
tueth
b
t?
代入条件
10、如图电路,f(t)=4v,t<0时,k打开，电路工作已稳定，
,),(k,,)( tituttu 时的求时刻闭合
)(tf
.
)(tu
)(tu
)(tu
s?
s?
s s? s
s
)(sI
)(sI?
)(.)();(..)(
)(:,,:
vuvu
ukt
有打开解
t>0时,得 s域电路图如右上,列回路方程如下,
s
sI
ss
sI
s
sss
sI
s
sI
ss
)()()(
)()()(
s
s
s
sU
s
s
sI
)(
)(
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)()()]([)(
.
.
tuesULTtu
tuetsILTti
t
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全通函数的特征,极点位于 s左半平面。零、极点关于 jw轴镜像对称。
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故全通函数的幅度特性为常数，而相位特性不受约束。全通网络可用于相位校正。即不影响幅度的对应关系，只影响相位。
例：求下图的传输函数 并说明是否全通。
22
1
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sCZsLZ 则令解对上电路从 2— 2’向左用戴维南定理，则：
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jw LRsHjwH?
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wLwjwH a r c t a n2)(,1)(
系统全通二、最小相移函数定义,系统函数的 极点 全部落于 s的 左 半平面，而全部 零点落于 左半平面 或 jw轴上的网络。所有振幅频谱相同，而 相位滞后最小 的转移函数为最小相移函数。
非最小相移网络：网络函数在 s右半平面有一个或多个零点，称 …
它可以写成最小相移函数与全通函数的乘积。
相移小 相移大非最小相移网络可以写成 最小相移函数 与 全通函数 的乘积
1z
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非最小相移网络
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非最小相移网络最小相移函数全通函数
§ 4.11 系统的稳定性一、系统的稳定及其条件
a.稳定系统：对 有限 (有界 )的 激励 只能产生 有限 (有界 )响应 的系统。
为有限的正实数则响应函数为有限的正实数若激励函数
MrtMrtr
MetMete
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0)(:
dxxhMeMethtr
tethtr
)(*)()(
)(*)()(由
( ) ( ) ( )h x d x r t若 存 在 有 限 有 限,
dxxh )(:系统稳定的充要条件是必要性的说明,
不妨对系统施加特定激励：
dxxhdxxexhrdxxtexhtr )()()()0()()()(
0)(,1
0)(,0
0)(,1
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b.从表征系统特征的冲激响应 h(t)得充分性说明,
即,系统稳定二、因果系统的稳定性分类
.
,)0(,)(
使系统产生无界响应激励会说明至少有一个特定的无界则有无界 rdxxh
.)( 是系统稳定的必要条件故 dxxh
稳定系统 h(t)的特征,h(t)除在 t=0处可以有孤立的冲激外，
都应是有限的, tMth 0,)(
1、稳定系统：在 S 域中,H(s)全部极点在 s 左半平面（不含 jw 轴 )
0)]([lim?
th
t2、不稳定系统,H(s)有极点在 s 右半平面，或 jw 轴上有二阶以上极点。 h(t)增长。
3、临界稳定系统,H(s)极点在 jw轴上有单阶的共轭极点或有在原点处有一阶极点，
h(t)为非零数值或为等幅振荡。
若在时 域中例：已知两系统及其激励，求响应，并判稳。
)(s in)(,)(:;)(,1)(,022
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2211 ttuwtews
ssHtute
ssH 系统二系统一
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1)(:
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ssE解
)()(111)( 121 ttutrssssR
)(s in21)()( 022
0
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2 ttuwttrws
s
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wsR
稳定性分析：
1、自输入输出关系看：输入有界，输出无界，系统不稳定。
2、自 h(t)看：两者均不满足绝对可积条件，系统不稳定。
3、自 H(s)的极点位置看：两者在 jw轴上有一阶极点，系统临界稳定。
一、双边拉普拉斯变换
§ 4.12 双边拉普拉斯变换（ 1）
1.定义,
dtetftfLTsF stdd )()]([)(
0,)(
0,)()(
ttf
ttftf
b
a若定义
0,
0,)(
te
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如
)()()()()( tutftutftf ba则
)()()()()()]([)( 00 sFsFdtetfdtetfdtetftfLTsF abstastbstdd
只有当左边函数与右边函数有公共的收敛区时,Fd(s)的收敛域才存在,f(t)的双边拉氏变换才存在
2.收敛域
ba
a? b?
的求法同前述单边变换。
)(sFa
:,)( 讨论如下而言对 sF b 0 )()( dtetfsF stbb
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01 )()(,dxexfpFsp pxbb有令
:)( 求取步骤为于是 sF b
)(,,,xfxta b 构造右边函数令对时间取反
)()(,1 pFxfb bb 的单边拉普拉斯变换求?
)(,,sFpsc b求得代替用?
)()()( sFsFsF abd
)()()( sFsFsF abd
3,f(t)双边拉氏变换的求解例,.)(),()()( 与公共收敛域求其双边变换反 sFtuetutf t
解,1、讨论收敛域：
00 1)( dtedteedtetf tttt
.,0;,1 上式右边第二项收敛时上式右边第一项收敛时
10,收敛域为
2、原函数的双边拉普拉斯变换存在，求得
stuLTsF a
1)]([)(
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例,求响应,)()()(:;0,)(,423 tuetuetfteth ttt 信号系统
)()(1,sHsF d 与、求解
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收敛域。确定有无公共的收敛域，并与、考察 )()()(2 sRsHsF d
收敛域。亦即公共收敛域为,)(,23- sR
)23(,
)4)(3)(2(
2
)()()(
)(3
sss
sHsFsR
sR
d
、求有反变换：由、对 23)(4sR
对应右边时间信号。，对应左边时间信号，有：极点由 43-2-23
4
1
3
2
2
1)(
ssssR
)(]2[
)(]
2
1[
)(
43
21
tuee
tue
s
LTtr
tt
t
b
小结
(1)拉氏变换定义式的意义,拉氏变换与付里叶变换的关系
(2)收敛域的含义及计算方法
(3) 常用的拉氏变换对
(4)拉氏变换的性质线性,时域与 S域微积分性,平移性,初值终值 定理
(5)系统函数 H(S)零极点分布对时域特性频域特性的影响极点的影响,稳定性,振荡频率零点的影响,幅度,相位零极点分布与滤波器的类型对应关系
(6)系统的稳定性定义,条件
(7)双边拉氏变换
(8)拉氏变换分析法及 S域模型
ba,,:)( 左边变换右边变换单边第四章习题课
1、用定义求单边拉氏变换及 其收敛域。
)s i n ()()1( wttf
dtewtsF st )s i n ()(,0?解
dtewtwt st )s i nc o sc o s( s i n0
dtw t edtewt stst c o ss i ns i nc o s 00
222222
s i nc o ss i nc o s
ws
sw
ws
s
ws
w
0)s in (lim
:0,)(
t
tewt
sF
方可满足有存在
,)( 的收敛域为sF
tatf?)()2(
dteasF stt
0
)(:解
dtee stat
0
ln
as ln
1
0li m
:ln,)(
ln?
tat
t
ee
asF
方可满足必须存在若
asF ln)( 的收敛域为
2、求图示因果周期的信号拉氏变换。
,,),[)()(,则令解 ttftf
)(tf?
ttftf 其中为周期的延拓以是,)()(
sesFsF
)()(
)()()()()( tututttutf
)(
)]([)(
ss
ss
see
s
e
s
e
ss
tfLTsF
)(
)( s
ss
es
seesF
)(
思考：
3、用拉氏变换的性质求拉氏变换。
)()()( tuet t
2s
1L T [t],?解
)(]L T [ t e:
t-
s由频率搬迁特性有
]1 ) e-(tL T [ e]1 ) e-L T [ ( t
:
1)-(t-1-t- tutu
由时移特性有
se
s
e
)(
)(
)(
s
e s )(
)](s in[)( ttuedtd t
sttu )](s i nL T [:解
)(
)](s i n[)(F
:s
1 sttueLTs
t
域下的频移特性有由
)(')()()](s i ndL T [
:
2
fsfsFsttuedt
t
由时间微分特性有
)(',)(:,ff有由于是单边信号
)()()](s i n
dL T [ 2
s
ssFsttue
dt
t )(
4、求下列函数的初值与终值。
)()()( s
ssF
解：由于 F(s)不是真分式，不可以直接用初值定理，长除后，正分式部分用初值定理。
)()(,sFss sss ssF
解
ss
sssFf
ss
lim)(lim)(
F(s)仅有极点 -1在 s平面左侧,可用终值定理,
ss
ssssFf
ss
lim)(lim)(
))(()()(
ss
sssF
))((lim)(lim)(,ss
sssssFf
ss
解由于 F(s)存在极点 -1,2i,-2i,即在 jw轴上有共轭极点,所对应的时间函数 f(t)含有振荡成分,不存在终值,
a
k
a
k
a
k
aaaaFsa
321
1
2
42)4)(2(
1)(,?
有：解：令
4
1)()2(
211aaFak 81)()4( 412aaFak
8
1)(
013aaaFk
aaaaaaaF
1
8
1
4
1
8
1
2
1
4
1
)4)(2(
1)(
1
22222
1
8
1
2
2
16
1
)2(
2
24
1)(
ssssF
222
1s i n
stws
wwt?
)(]812s in1612s in8 2[)( tuttttf
5、用部分分式展开法或留数发求拉氏反变换。
222 )4)(2(
1)().1(
ssssF
)()()( s
ssF
解,F(s)不是真分式，不可直接用留数法
)()()()( sFs sss ssF
ttt
s
ststst
s
st
ettee
etsstese
esFs
dt
d
])()([
])()[(
!
]R e [
)(][)()]([)( tuetttsFLTtf t
5、用部分分式展开法或留数发求拉氏反变换。
6,LTI系统如下，用拉氏变换法求系统的零输入响应，零状态响应及全响应：
)(')(),()()(')('' rrtutrtrtr
解：对微分方程两边同时取拉氏变换，并由微分性质有：
ssRrssRrsrsRs
1)(10)0(7)(7)0(')0()(2
sssRss
)()(
ss sss ssR )(
ss
st )(r:
zi零输入响应为
)(][][)( tueessLTtr ttzi
)(
)(r,zs
sssss
st零状态响应
)()()( tueetr ttzs
...)()()( trtrtr zszi全响应
7、系统如图示,v ( t ),)(,.)( 求
Lc ivv
)(ttu
F?
)(tvc
)(tvc?
)(tue t
)(tv
s
s?
s
)(sVc
)(sV
s
解：作 s域下的电路图如下，有：
)(sVc
)()()()(
)()()(
sV
s
sV
s
sV
s
sVsV
s
cc
c
即：
s
sV
s
sV
s
sVsVs
c
c
)()()(
)()()(
)()()( sssss
ssV
)(]s i n[)]([)( tutesVLTtv t
)(sV
8、一个 LTI系统对单位阶跃的响应 s(t)为,)(][)( tuteets tt
若该系统对某一输入 x(t)的响应 y(t)为,)(][)( tueety tt
求输入信号 x(t).
ssXtutx
)()()(,输入解
0,)1( 1)()(]1[)( 21sssYtuteets tt输出
,)()(
)(YH ( s ):)()()(Y
1 ssX
ssXSHs 有由
,))(()()(][)( ssssYtueety tt又
,
)(
)(
)(
))((
)(
)(
)(
ssss
s
s
sss
sH
sY
sX
)(][)]([)( tuesXLTtx t
9.某系统初始状态为零,若输入为：
则输出为,
s
ssXttxt )(,;)(,
tuetuety tt )()(
h ( t )b..H ( s ),求及其收敛域求a
.,)(:,时的输出求输入为 tetxc t
2,)(., 收敛域为是左边变换解 sssXa
,
))((
)()()(
)()(
ss
s
ss
sYsYsY
tuetuety
ab
tt
,))(()( )()( ss ssX sYsH
？
（因为 y(t)有界,H(s)必然稳定,Y(s)的收敛域必然包含 X(s)与 Y(s)的公共收敛域，故而,H(s)的收敛域为 … ）
,))(()(,ssss ssHb
)(][)]([)( tueesHLTth tt
))()(()()()(, sss
ssXsHsYc ),( Rt错误
,][,;,][,,seLTtseLTt tt正解
,))()(()()()(,sss ssXsHsYt aa时
,))()(()()()(,sss ssXsHsYt bb时
)(][)()(
:)(,
tueekekty
ss
k
s
ksY
sY
ttt
aa
a
对应的为右边变换由上知
)()(][)(
)()(
:,)(
tuetuekekty
ty
ss
k
s
k
sY
sY
ttt
b
bb
b
又有左边变换对应的既有右边变换
)()()()()( tuetuetytyty ttba
tety t,)(
),(,)()()(
LTIe,3t
teeHesHty tt
s
st
系统的特征函数是另解
)()()()(
,)(
_0
)(
sHedehedehty
te
stsstts
zs
st
卷积积分求得为系统的零状态响应由时当系统的激励为其条件,S位于 H(S)的收敛域内上式表明,若激励是无时限的复指数信号时,则零状态响应 (也是全响应 )仍为相同复频率的指数信号,但加权了 H(S)或者说只要将激励乘以系统函数便可求得,
思考：一个冲激响应为 h(t)的因果系统有以下特性：
).(),()(e:)()(
6
1y ( t ):,)(,)(
4t- thtbutuh ( t )h ' ( t )th
eetxt tt
求的方程其输出为输入
6
1|)(
6
1|)()(
2
2
2
2
s
t
s
t sHesHety
解,
)()1(
2
1
)(
1
)2(
4
tueth
b
t?
代入条件
10、如图电路,f(t)=4v,t<0时,k打开，电路工作已稳定，
,),(k,,)( tituttu 时的求时刻闭合
)(tf
.
)(tu
)(tu
)(tu
s?
s?
s s? s
s
)(sI
)(sI?
)(.)();(..)(
)(:,,:
vuvu
ukt
有打开解
t>0时,得 s域电路图如右上,列回路方程如下,
s
sI
ss
sI
s
sss
sI
s
sI
ss
)()()(
)()()(
s
s
s
sU
s
s
sI
)(
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)(][)]([)(
)()()]([)(
.
.
tuesULTtu
tuetsILTti
t
t
)(ti
