第八章 z变换、离散时间系统的 z域分析本章研究离散信号、离散系统的 变换域 (Z域 )分析,
系统函数 H（ Z）以及零极点的分析为避免解差分方程的困难,对离散系统常用变换域分析 。
§ 8.1 引言
① z变换,时域 → z域,差分方程 → 代数方程 。 类似于连续时间系统的拉氏变换 。
② 离散付立叶变换 (DFT)：针对有限长序列,便于计算机处理 。
③ 快速付立叶变换 (FFT),DFT的快速算法 (实用 )。
④ 沃尔什变换及其快速算法 。
第九章
§ 8.2 z变换的定义、典型序列的 z变换一,z变换的定义为便于理解 z变换与拉氏变换的关系,由 抽样信号 拉氏变换导出：
n
Ts nTtnTfttftf )()()()()(
n
s n T
n
st
st
on
st
ss
enTfdtenTtnTf
dtenTtnTfdtetfsF
)()()(
)()()()(
抽样信号：
其中 T为抽样间隔，对上式进行拉氏变换，有：
sTe令z? 有：)ln( zs
T
n
nznTfzF )()(
有：令T
n
nznfzF )()(
单边 Z变换二,拉氏变换与 Z变换的区别
TjTjTTj
sT
ezeeez
js
ez
)(
.
,
坐标复平面为纵轴建立起来的直角为横轴，平面以是复变量 jwsS?
为极角的极坐标复平面为模平面以是复变量 j w TT eezz,,?
即,序列 f(n)的 Z变换是复变量 1/Z的幂级数,其系数为 f(n)序列值
§ 8.6 Z变换与拉氏变换的关系
（一）从 S 平面到 Z 平面的映射
jreZ?
Ter T
Z
T
sez sT ln1
js
TjTjTTj ezeeez )(
了解 S平面与 Z平面的关系,便于分析系统函数 H(Z)Z平面决定的系统时域、频域特性。
Tez
js)(
10)2( z?
z)(
c o n s t e n t)(
c o n s t e n t)(
11?
Rz
rz
R
r ]Re[z
]Im [zj
到 Z 平面
jreZ?
js
S 平面
s0)6(
0)7( c o n s te n t
21)8(
0?
1?
2?
]Re[z
]Im [zj
)()( k
TjreZ?
j
S
]Re[z
]Im [zj
1
2
3
12 1? 2?
1?j
2?j
3?j
4?j?
5?j?
2
TT
32
2
TT 2354
1
3
1?
2?
3?
4?
5?
2e
1?e
2?e
1e
Z
（二） Z变换与拉氏变换表达式之对应
抽样信号的拉氏变换与 Z 变换的关系
)()( sXzX sez sT
连续信号的拉氏变换与 Z 变换的关系
Tp
i
i
i
i
i
iez
A
zX
ps
A
sX
1
1
)(
)(
nTttxnTx )()(
二,典型序列的 Z变换
单位样值序列
单位阶跃序列
斜变序列
指数序列
正弦余弦序列
n
nznnZT )()]([)(
zz
znznnZT
n
n
n
n
)()()]([)(
m
n
n zzmnmnZT?
0
)()]([)2(
)1(
11
1)()]([
1
0
z
z
z
z
znunuZT
n
n
)(
1
1)]([
1
0
az
az
z
az
zanuaZT n
n
nn?
2
0 )1(
)()]([
z
zznnunnuZT
n
n
由此可以看出变换的基本形式：
mzz
z
1c o s2
)c o s(
2/)(
]2/)[(][ c o s
][
][
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
zz
zz
ez
z
ez
z
eeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnj
j
nj
j
nj
余弦序列的 Z 变换,
正弦序列的 Z 变换,
1c o s2
s i n
2/)(
]2/)[(][ s i n
][
][
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
zz
z
j
ez
z
ez
z
jeeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnj
j
nj
j
nj
)(
c o s2
)c o s(
2/)(
]2/)([]c o s[
][
][
2
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
z
zz
zz
ez
z
ez
z
eeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnjnn
j
njn
j
njn
例
§ 8.3 Z变换的收敛域
2
0
)2()1()0()()(
z
x
z
xxznxzX
n
n
收敛域：当 为有界时，令上述 变换定义式级数收敛的所有可取的值的集合称为收敛域
)(nx z
1xR
]Re[z
]Im[zj
单边 变换的收敛域是在平面内以原点为中心的一圆的圆外
z
0
)(
n
nznx即,
1）比值判别法
2) 根值判别法
n
n
n a
a 1
l i m
，方法失效
，发散
，收敛
n
nn al im
判定方法例：
)()( nuanx n?
0
1
0
)()(
n
n
n
nn azzazX
11lim az
a
a
n
n
n
za
za
za
11l i m azazn n
n
收敛几类序列的收敛域
（ 1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列
nnnznxzX
n
nn
n)()(
收敛域为除了 0和 的整个 平面? z
]Re[z
]Im[zj
)(nx
（ 2）右边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列
1nn?
)(nx
nnznxzX
nn
n)()(
x
x
n
n
n
n
n
Rz
zRnx
znx
)(lim
)(lim
收敛半径圆外为收敛域
1xR
]Re[z
]Im[zj
（ 3）左边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列
2nn? )(nx
nnznxzX
n
n
n)()(
nn
n
mn
nm
m
nm
znxzmxzX )()()(
x
n
n
n
n
n
n
n
R
nx
z
znx
znx
)(l i m
)(l i m
)(l i m
收敛半径圆内为收敛域，
若则不包括 z=0点
02?n
2xR
]Im[zj
]Re[z
（ 4）双边序列：只在 区间内，
有非零的有限值的序列
n
)(nx
nznxzX
n
n)()(
n
n
n
n znxznxzX )()()(
圆内收敛圆 外 收敛
12 xx RR?
12 xx RR?
有环状收敛域没有收敛域
12 xx RR?
]Im[zj
]Re[z
例：
)(
3
1)()1( nunx n
右边序列
3
1
3
1
1
1
3
1
)(
10
1
z
z
z
zzX
n
n
3
1
1
xR
3
1 z 311?xR
31
]Im[zj
]Re[z
例：
)1(
3
1)()2(
nunx
n左边序列
3
131
1
1)3(1
3
1
3
1
)(
0
1
1
1
1
z
z
z
z
zzzX
m
m
m
m
n
mn
n
x
n
n
n
Rz
z )(lim
收敛半径
2xR
31
]Im[zj
]Re[z
例：
)]8()([
3
1)()3(
nununx
n 有限长序列收敛域为除了 0 和的整个 平面
z
]Re[z
]Im[zj
2
8
8 8 21
3
1
3
1
3
()
0
k
jk
j
ze
ze
z
z
8个零点
7阶极点一阶极点
)(
)(
1
)(1
3
1)(
3
17
8
3
18
1
3
1
81
3
17
0
1
zz
z
z
zzzX
n
n
例：
n
nx?
3
1)()4(
双边序列
1
1
0
8
3
1
3
11
()
33
13 ( 3 ) ( )
3
nn
n
nn
X z z z
zzz
z z z
z
]Im[zj
z
]Re[z
非因果信号的 Z变换非因果信号无始，终于 n=-1点。
1、对 x(n)求反，令 -k=n,构成因果序列 x(-k)
2、对 x(-k)求单边 Z变换并标注收敛域。有：代、令,)()()(3 zwwFZFwxzw
0)(vZ?变换。的例：求双边指数序列 nv
)()()()( nfnfnuvnuvv bannn解：
vZaZ ZnfZTZF aa,)]([)(
如下：求 )(F b Z
)()()()()( kkuvkuvnfkx kkknb：
vwvw vvw wkxZTwX,)]([)(:
vzvzFzFzF ba,..,)()()(
1
11,)()(:3 1
vzvz
z
vz
vwXzF
zwb
§ 8.4 Z变换的逆变换
（ 1）留数法
（ 2）幂级数展开法
（ 3）部分分式法
（ 1）留数法
假设有一固定的围线 C，
它包围原点，沿围线逆时针转一圈，两边乘以,然后沿着围线积分，得到：
0
)()(
n
nznxzX
C C n n C
mnnmm dzznxdzznxzdzzXz )()()(
mz
c
]Re[z
]Im [zjZ逆变换的导出,
由复变函数中的柯西定理
右边的 即
于是
逆变换
00
021
k
kj
dzz
C
k?
nm?
C
n
C
n
dzzzX
j
nx
njxdzzzX
1
1
)(
2
1
)(
)(2)(
0 mn
n
zz
n
C
n
m
zzXs
dzzzX
j
nx
]c,)([Re
)()(
内各极点用留数求围线积分
mm zz
n
mzz
n zzXzzzzXs
])()[(])([Re 11
一阶极点：
S 阶极点：
mzz
s
m
n
s
s
zzzzX
dz
d
s?
])()([
)!1(
1 1
1
1
当 X(Z)为 有理分式,用留数定理，有：
n>=0,围线 C内包含一阶极点 z=0,-1,5，右边序列；
已知,求 f(n)。 5||
54
132)(
2
2
zzz zzzF
22
11 2 3 1 2 3 1( ) R e s [ ( ) ] R e s R e s
( 1 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 5 )
n n nz z z zf n F z z z z
z z z z z
1
z0
11 R e s [ ( ) ] ( )
5
nr F z z n
2
1
1z - 1
2 3 12 R e s [ ( ) ] ( 1 ) ( )
( 5 )
n n n
z
zzr F z z z u n
zz
2
1
5z5
2 3 1 63 R e s [ ( ) ] ( 5 ) ( )
( 1 ) 5
n n n
z
zzr F z z z u n
zz
16( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 5 ) ( )
55
nnf n n u n u n
解例例
)()().)(()(
nxzzzz zzzX
)(1 nxz
解 必然是因果序列，右边序列
m
m
zz
n
n
zz
n
z
zzz
zz
s
zzXsnx
).)((
Re
])([Re)(
zzzn
zzzn
zzn
,.,,
,.,,
.,,
,
围线 C所包围的 极点
n
z
n
z
n
z
zz
z
z
zz
znxn
)5.0(138
1
12
5.0
12
)(2)1( 5.0
23
2
1
23
2
11386
)5.0(138)'
)5.0)(1(
12
()(0)2( 00
23
z
zz
zz
nxn
5.3)5.0(1382
)5.0(138
)5.0)(1(
12
)(1)3(
1
0
23
z
zz
zz
nxn
)2())5.0(138()1(5.3)()( nunnnx n
（ 2）部分分式法
k
k
k
k
r
r
r
r
zazazaa
zbzbzbbzX
)(
k
m m
m
vz
zBBzX )(
)(
)(
k
k
k
k
r
r
r
r
zazazaaz
zbzbzbb
z
zX
k
k
vz
B
vz
B
z
B
,..
若 x(z)的极点是单阶的
)( Rz?
)( Rz? )()()( nBnuvBnx nm
k
m
m
若 x(z)含高阶极点，最好用留数法。
)()()( 0
1
nBnuvBnx nm
k
m
m
例：
双边序列
)()231(23 5)( 2 nxzzz zzX
z
z
z
z
zX )(
左边序列右边序列
)1(2)()()( 31 nununx nn
（ 3）幂级数展开法右边序列,若把 F(z)展开成 的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列 f (n) 的值。
左边序列,把 F(z)展开成 的幂级数之和
12
0
( ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )n
n
F z f n z f f z f z
1z?
z
一般情况下 X(Z)为有理分式
k
k
k
k
r
r
r
r
zazazaa
zbzbzbb
zD
zNzX
1
110
1
110
)(
)()(
1.当 x(n)为右边序列,X(Z)分子分母按 Z的降幂排列
2.当 x(n)为左边序列,X(Z)分子分母按 Z的升幂排列例 已知,求 f(n)。
33
10)(
2 zz
zzF
4321
32
321
21
21
1
1
2
150703010
140150
14021070
6070
609030
2030
203010
1023
zzzz
zz
zzz
zz
zz
z
zz
zzz
4321 150703010)( zzzzzF
( ) [ 0,1 0,3 0,7 0,1 5 0,]fn
用长除法可得
z-1的幂级数。
但得不到解析式
§ 8.5 Z变换的基本性质
线性和位移性
序列线性加权（ Z 域微分）
序列指数加权（ Z 域尺度变换）
初值定理和终值定理
时域卷积和 Z 域卷积定理
1、线性
zXnxZT若 RzR
zXnxZT RzR
zXCzXCnxcnxcZT则：
RRzRR,m i n,m a x
2、位移特性：
)3(?nx
)(nx
)(nx
)2(?nx
双边序列单边（因果）序列
① 双边 z变换若 的双边 z变换为：nxzXnxZT?
zXzmnxZT m则：
② 单边 z变换
a.若 为双边序列，其单边变换为：nxzXnunxZT?
则移序后的单边变换为：
m
k
km zkxzXznumnxZT
1
mk
km zkxzXznumnxZT
b.若 为因果序列：
zxznumnxZT m
m
k
km zkxzXznumnxZT
nx
双边 Z变换
zXzmnxZT m同样左移：
单边 Z变换 若 为双边序列nx
同样右移序列的单边 Z变换若为因果序列：
zxznumnxZT m
m
k
km zkxzXznumnxZT
例：求因果离散线性时不变系统nunyny的零状态响应,
解：对方程两边同取 z变换，有：
z zzYzzY
zzz zzz zzY
z
A
z
A
z
A
z
zY
zz
zA
A?
A
nuny nn?
221)(
2
1
2
z
zz
z
zzX
)2(21)( 1
2
zzzzX )(nx例,求象函数 时间信号由平移性可得：
)2(2)( 2 nunx n
解：由题意
3、序列线性加权特性
则：若 zXnxzXdzdznnx
例：已知 求 的 z变换
z
znuZTnunnnu?,
解：
zz zz zdzdznuZTdzdznnuZT,
zz zzz zdzdznuZTdzdznunZT,
0
)()(
n
nznxzX证明,
4、尺度变换特性 (序列的指数加权 )
则：若 zXnx
azXnxa nazXnxa
n;
例,1、求 的单边 z变换nuanx n?
zzXz znuZT,
a
z
a
zXnuaZT n,
az
az
z
a
z
a
z
nuaZT n?
,
解：由于由 z域尺度变换性可知：
特别地：当 a=-1时，有：
1,11 zz znuZT n
可见,序列的指数加权等于 Z平面尺度展缩
2、求 的单边 z变换nunanx n
解：
zz znuZTzX,
az
a
z
z
az
azazXnuaZTzX n,
a
z
az
az
a
z
a
z
a
z
a
z
zX
dz
d
znunaZTzX n,
5、初值定理若 为因果序列，nx 则：
n
nznxzxzxx
z lim
例：求 的初值
z
zz
zzzx,
.
,
l i ml i m zz zzzxx
zz
6,终值定理若 为因果序列，nx
n
nznxzx
zxznx zn limlim则：
运用条件,x(n)收敛,或 X(Z)的极点在单位圆内,在单位圆上只能在一阶极点。
证明,
7、时域卷积定理：
若两序列的 z变换分别为：nhnx,
nhZTzHnxZTzX,
zHzXnhnxZT?*有：
§ 8.7 用单边 Z变换解差分方程解差分方程的方法：
（ 1）时域经典法
（ 2）卷积和解法
（ 3） Z变换解法
复习 Z变换的位移特性
m
k
km zkxzXznumnxZT
1
mk
km zkxzXznumnxZT
双边序列的单边 Z变换对于因果序列
)()]()([ zXznumnxZT m
1
0
)()()]()([
m
k
km zkxzXznumnxZT
用单边 Z变换解差分方程的步骤和思路
x(n-r),y(n-k)均为右移序列
两边取单边 Z变换
)()(
00
rnxbknya
M
r
r
N
k
k
M
r rm
mr
r
N
k kl
lk
k zmxzXzbzlyzYza
0
1
0
1
])()([])()([
初始状态 若因果信号 此项为零例：
)(2)1()()(
)()1()(
nyynuanx
nxnbyny
n
bz
bz
bz
bz
az
az
ba
bz
byzX
zY
byzXzYbz
zXzyzYbzzY
21
1
)1()(
)(
)1()()(]1[
)()]1()([)(
1
1
1
)(2)(1)]([)( 1111 nubbabazYZTny nnn?
完全解里面已含有初始条件例：
)(6)2(4)1(
)(10)2(02.0)1(1.0)(
nyyy
nunynyny
1
10)]1()2()([02.0)]1()([1.0)( 221
z
zzyyzzYzzyzYzzY
28.008.0110)()02.01.01( 121 zz zzYzz
111 1.01
2.0
2.01
66.0
1
26.9)(
zzzzY
)(])1.0(2.0)2.0(66.026.9[)( nuny nn
完全解
§ 8.8 离散系统的系统函数一、定义：
（ 1）系统零状态响应的 Z变换与输入的 Z
变换之比
（ 2）系统单位样值响应 h(n)的 Z变换
)(
)()(
zX
zYzH?
0
)()(
n
nznhzH
（ 1）定义一：系统零状态响应的 Z变换与输入的 Z变换之比
若 x(n)是因果序列,则在系统零状态下：
)()(
00
rnxbknya
M
r
r
N
k
k
N
k
k
k
M
r
r
r
M
r
r
r
N
k
k
k
za
zb
zX
zY
zH
zbzXzazY
0
0
00
)(
)(
)(
)()(
因果！
零状态
（ 2）定义二：系统单位样值响应 h(n)的 Z
变换
激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应
由卷积定理
)(*)()( nhnxny?
)()()( zHzXzY?
)(
)()(
zX
zYzH?
0
)()(
n
nznhzH
二、系统零、极点对系统 时域特性 的影响
由极点分布决定 h(n)的波形特征决定系统稳定性
而零点分布只影响 h(n)的幅度和相位
（ 1）由极点分布决定 h(n)系统单位样值响应波形一般 为复数它在 平面的分布位置决定了系统 特性
kp
Z
)(nh
)()()(
)1(
)1(
)]([)(
1
0
1
0
1
0
1
0
1
11
nupAnA
pz
zA
AZT
zp
zz
GZTzHZTnh
n
N
k
kk
N
k k
k
N
k
k
M
r
r
极点分布对 h(n)的影响
]Re[z
]Im [zj
85
8 1 2
p?
图－
（ 2）由极点分布决定系统稳定性
系统 稳定 的 充要条件 是单位样值响应绝对可和。即：
因果 系统的 充要条件 为,
从Ｚ域看，对于因果系统，
全部极点位于单位圆内，是稳定系统．
极点位于圆外，系统不稳定．
极点位于单位圆上，是临界稳定系统．
n
nh )(
0)(0 nhn
例：已知因果系统的系统函数如下：
试说明该系统是否稳定？
解：
21
1
1
1)(
zz
zzH
))((
)1()(
2
3
2
1
2
3
2
1 jzjz
zzzH
12,12 32122 3211 pjpjp
临界稳定例：已知系统函数如下，试说明分别在（ 1）（ 2）两种情况下系统的稳定性：
（ 1）
（ 2）
解：（ 1） 因果系统，右边序列
z10
105.0 z
z10
)10)(5.0(
5.9)(
zz
zzH
() 0,5 1 0zzHz zz
( ) [ ( 0,5 ) ( 1 0 ) ] ( )nnh n u n
1105.0 221 zzz
因果系统但极点在单位圆外不稳定发散
（ 2） 非因果系统，
右序 左序有界所以，该 非 因果系统是 稳定 的
( ) ( 0,5 ) ( ) ( 1 0 ) ( 1 )nnh n u n u n
105.0 z
10
例,某一因果离散系统如下图所示，
求 (1)此离散系统的输入输出的差分方程
(2)系统函数 H(z),系统的冲激响应 h(n)；
(3)判断系统的稳定性；
2
-2
3
)(nx )(ny
E1)(nq
(1)由系统图以加法器为中心列写方程，设中间变量为化简得
(2)得
（ 3） 由于极点位于单位圆的外部，故是不稳定系统
)(nq
)2()()1(2)(2
)1()()1(3)(
nynqnq
nqnqnx
)1(2)(2)1(3)( nxnxnyny
3
22
31
22)(
1
1
z
z
z
zzH
)313(2)( zz zzH ))1(3)(3(2)( 1 nununh nn
)2()()1)((2
)1()()31()(
1
1
zyzzq
zqzzX
)(31 22)( 11 zyzzzX
§ 8.9 － § 8.10 离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？
定义一：单位样值响应的 傅立叶变换定义二：离散系统在正弦序列作用下的稳态响应二、系统的频率响应的几何确定一,序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：
，
)()(|)()( j
n
nj
ez
n
n eXenxznxzX
j
n
njj enxeX )()(
序列的傅立叶正变换
,
,0:
jTjsT eeez
jszs
则时当的演示来看由于是相当于自变量沿着 z=1单位圆周变化，则：
P87
插定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换
当 h(n)已知时，下列表达式表示系统频率响应函数，
物理意义,是以 h(n) 为加权系数，
对各次谐波进行加权或改变的情况。
n
njj enheH )()(
)(?jeH
)(n? )(nh )()()(*)( nhnrnhn
jwez
jw zHeH
)()(
定义式有：对比 )H ( eH ( z ),jw
二 系统频率响应定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比
)](s i n [)( 1 nAnx
)(nh
)](s i n [)( 2 nBny ss
)](s i n [)( 1 nAnx
)](s i n [)( 2 nBny ss
12?
)()()()(
)()(
12
)]()([)( 12
A
B
eH
e
A
B
eeHeH
j
jjjj
)(
)()(
j
j
j
eX
eYeH?
je因为 是周期的，所以 也 是周期函数,
其周期为重复频率 （这是区别于连续系统的突出的特点） P96。
)(?jeH
Ts
2?
0
s?
2
s?
LP
BP
HP
BS
AP
按照滤波器的幅度特性可分为三、系统的频率响应的几何确定
)(
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
jj
N
k
k
j
M
r
r
j
N
k
k
M
r
r
eeH
pe
ze
pz
zz
zH?
kr jkkjjrrj eBpeeAze
N
k
k
M
r
r
j
B
A
eH
1
1)(?
N
k
k
M
r
r
11
)(
系统的频率响应的几何确定法
]Re[z
]Im [zj
1p
2p
je
1z
2z
1?1?
2? 2?
N
k
k
M
r
r
j
B
A
eH
1
1)(?
N
k
k
M
r
r
11
)(
)()()( jjj eeHeH
由几何法可以看出：
（ 1） z=0处的零极点对幅频特性 没有影响，只对相位有影响
（ 2）当 旋转某个极点 附近时，
例如在同一半径上时,较短，则在该点应当出现一个峰值,越短，
附近越尖锐。若 落在单位圆上，则
，则 处的峰值趋于无穷大。
（ 3）对于零点则其作用与极点的作用正好相反 。
jwe ip
iB
iB
)(?jeH
)(?jeH
ip
ip
0?iB ip
1a
+)(nx
E1
)(ny
例,求如下图所示的一阶系统的频率响应
)()1()( 1 nxnyany
解,
)()( 1
1
azaz zzH,其系统函数则
)()( 1 nuanh n?单位样值响应
s inc o s1
1
1
1
)(
11
11
jaa
eaae
e
eH
jj
j
j
c o s21
1|)(|
1
2
1 aa
eH,j
幅度响应
c o s1
s ina r c t a n
1
1
a
a）（：
相位响应频率响应
呈全通无与呈高通随呈低通随
)(0
)(01
)(10
1
1
1
j
j
j
eHa
eHa
eHa
]Im[zj
小结,
1.离散信号的 Z变换定义 (单边,双边 )及收敛域
2.常用信号的正反变换对
3.Z变换的基本性质,
线性,平移,尺度变换,初值 /终值定理
4.z变换分析法,
求解响应、
差分方程,H(z),h(n)、模拟图的转换
5.系统函数 H(z)分布对应的时域特性因果性、稳定性
6.了解频域特性,是周期函数)(?jeH
习题
1、求 Z变换并指明收敛域,),()()()( banubnuanf nn
)()]([)( azaz znuaZTzF n解：
n
nnn znubnubZTzF )()]([)(
如下：求 )(F 2 z
)()]([)()( bwbw bbw wkfZTwF
)()()()( bzbz zwFzF zw
不存在。无公共收敛域,F ( z ))(),(,
)()()()(,
zFzFab
bza
bz
z
az
zzFzFzFab
)()()1()()()1( 0 nkubkubnfkf kknk
2,( n ),),(
..)( fzzz
zzzF 求其反变换
).)((
...
).)(()(
zz
zz
zz
zzzF解：
.
.
).)((
...)(
zzzzzz
z
zz
zF
.
.)(
z
z
z
zzzF
,.,21 对应右边序列。对应左边序列，由其收敛域 z zz zz
)().(.)()()()( nununnnf n
)( 对应左边序列的求法：附, z zzF l
ww
wzFwFa
wzll )()(.
)()]([)(, kuwfZTkfb ll
)()()(, nukfnfc knl
3、系统的差分方程为,)()()()()( nfnfnynyny
系统初始条件为,y(-1)=2,y(-2)=-0.5,f(n)=u(n),用 Z变换法求系统的全响应。
解,1)求零输入响应, )(ny)(ny( n )y
zizizi差分方程：
上式两边同时 Z变换：
])()()([])()([)( )()( zyzzyzzYzzyzzYzzY zizizizizizi
z
z
z
z
zz
zzzY
yy
zi
zizi
)(
,.)(,)( 代入上式有：
)(])([)( nuny nnzi
2)求零状态响应。 原方程零状态下的 Z变换为：
z
zz
z
zzYzzYzzY
zszszs )()()(
)(
.
))()((
)()(
z
z
z
z
z
z
zzz
zzzY
zs
)(].)(.[)( nuny nnzs
)(
.
))()((
)()(
z
z
z
z
z
z
zzz
zzzY
zs
4、
).(,.)(
,)(),()()()(
nyy
ynunynyny
求系统的全响应系统的差分方程为：
解：原方程两边同时 Z变换有：
z
zyzyzYzyzYzzY )]()()([)]()([)(
z
z
z
z
z
z
zzz
zzY
))()(()(
)(])()([)( nuny nn
5、
).(),(][)(
),(,)(,)(
),()()()()(
nfnuny
nfyy
nfnfnynyny
n 求得到全响应为：输入某信号初始条件为：
系统的差分方程为：
解,1）求给定条件下系统的零输入响应：
系统的特征根为 1,2则,)(][)( nuccny n
zi
c
c
ccy
ccy
zi
zi
)(
)( )(][)( nuny n
zi
)()()()]([)()()() nununynyny nnnzizs
3）求 f(n)
zz
z
z
z
z
zzY
zz
zzH
zs )(,)(
z
z
zH
zYzF zs
)(
)()(
)()( nunf n
6,某二阶离散系统的初始条件为 y(0)=1,y(1)=5。当输入信号为
f(n)=u(n)时，输出全响应为 y(n),确定该系统的差分方程及单位函数响应。其中 )(]..[)( nuny nn
解：
z
z
z
z
z
znyZTzY )]([)(
是强迫响应。系统为二阶的，显然，输入 "", z- zz- zZ T [ f ( n) ]F ( z )
故系统的零输入响应的模式为,)(][)( nuccny nn
zi
c
c
ccy
ccy
zi
zi
)(
)(
)(][)( nuny nnzi
输入信号为 f(n)=u(n)时,系统的零状态响应为：
)(]..[)()()( nunynyny nnzizs ))()(( )()( zzz zzzY zs
z
z
z
z
zz
z
nfZT
zYzH zs
))(()]([
)()( )(][)( nunh nn?
)()()()()(
)(
nfnfnynyny
zz
zzH
系统方程为：
系统函数 H（ Z）以及零极点的分析为避免解差分方程的困难,对离散系统常用变换域分析 。
§ 8.1 引言
① z变换,时域 → z域,差分方程 → 代数方程 。 类似于连续时间系统的拉氏变换 。
② 离散付立叶变换 (DFT)：针对有限长序列,便于计算机处理 。
③ 快速付立叶变换 (FFT),DFT的快速算法 (实用 )。
④ 沃尔什变换及其快速算法 。
第九章
§ 8.2 z变换的定义、典型序列的 z变换一,z变换的定义为便于理解 z变换与拉氏变换的关系,由 抽样信号 拉氏变换导出：
n
Ts nTtnTfttftf )()()()()(
n
s n T
n
st
st
on
st
ss
enTfdtenTtnTf
dtenTtnTfdtetfsF
)()()(
)()()()(
抽样信号：
其中 T为抽样间隔，对上式进行拉氏变换，有：
sTe令z? 有：)ln( zs
T
n
nznTfzF )()(
有：令T
n
nznfzF )()(
单边 Z变换二,拉氏变换与 Z变换的区别
TjTjTTj
sT
ezeeez
js
ez
)(
.
,
坐标复平面为纵轴建立起来的直角为横轴，平面以是复变量 jwsS?
为极角的极坐标复平面为模平面以是复变量 j w TT eezz,,?
即,序列 f(n)的 Z变换是复变量 1/Z的幂级数,其系数为 f(n)序列值
§ 8.6 Z变换与拉氏变换的关系
（一）从 S 平面到 Z 平面的映射
jreZ?
Ter T
Z
T
sez sT ln1
js
TjTjTTj ezeeez )(
了解 S平面与 Z平面的关系,便于分析系统函数 H(Z)Z平面决定的系统时域、频域特性。
Tez
js)(
10)2( z?
z)(
c o n s t e n t)(
c o n s t e n t)(
11?
Rz
rz
R
r ]Re[z
]Im [zj
到 Z 平面
jreZ?
js
S 平面
s0)6(
0)7( c o n s te n t
21)8(
0?
1?
2?
]Re[z
]Im [zj
)()( k
TjreZ?
j
S
]Re[z
]Im [zj
1
2
3
12 1? 2?
1?j
2?j
3?j
4?j?
5?j?
2
TT
32
2
TT 2354
1
3
1?
2?
3?
4?
5?
2e
1?e
2?e
1e
Z
（二） Z变换与拉氏变换表达式之对应
抽样信号的拉氏变换与 Z 变换的关系
)()( sXzX sez sT
连续信号的拉氏变换与 Z 变换的关系
Tp
i
i
i
i
i
iez
A
zX
ps
A
sX
1
1
)(
)(
nTttxnTx )()(
二,典型序列的 Z变换
单位样值序列
单位阶跃序列
斜变序列
指数序列
正弦余弦序列
n
nznnZT )()]([)(
zz
znznnZT
n
n
n
n
)()()]([)(
m
n
n zzmnmnZT?
0
)()]([)2(
)1(
11
1)()]([
1
0
z
z
z
z
znunuZT
n
n
)(
1
1)]([
1
0
az
az
z
az
zanuaZT n
n
nn?
2
0 )1(
)()]([
z
zznnunnuZT
n
n
由此可以看出变换的基本形式：
mzz
z
1c o s2
)c o s(
2/)(
]2/)[(][ c o s
][
][
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
zz
zz
ez
z
ez
z
eeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnj
j
nj
j
nj
余弦序列的 Z 变换,
正弦序列的 Z 变换,
1c o s2
s i n
2/)(
]2/)[(][ s i n
][
][
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
zz
z
j
ez
z
ez
z
jeeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnj
j
nj
j
nj
)(
c o s2
)c o s(
2/)(
]2/)([]c o s[
][
][
2
0
2
0
0
00
00
0
0
0
0
z
zz
zz
ez
z
ez
z
eeZTnZT
ez
z
eZT
ez
z
eZT
jj
njnjnn
j
njn
j
njn
例
§ 8.3 Z变换的收敛域
2
0
)2()1()0()()(
z
x
z
xxznxzX
n
n
收敛域：当 为有界时，令上述 变换定义式级数收敛的所有可取的值的集合称为收敛域
)(nx z
1xR
]Re[z
]Im[zj
单边 变换的收敛域是在平面内以原点为中心的一圆的圆外
z
0
)(
n
nznx即,
1）比值判别法
2) 根值判别法
n
n
n a
a 1
l i m
，方法失效
，发散
，收敛
n
nn al im
判定方法例：
)()( nuanx n?
0
1
0
)()(
n
n
n
nn azzazX
11lim az
a
a
n
n
n
za
za
za
11l i m azazn n
n
收敛几类序列的收敛域
（ 1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列
nnnznxzX
n
nn
n)()(
收敛域为除了 0和 的整个 平面? z
]Re[z
]Im[zj
)(nx
（ 2）右边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列
1nn?
)(nx
nnznxzX
nn
n)()(
x
x
n
n
n
n
n
Rz
zRnx
znx
)(lim
)(lim
收敛半径圆外为收敛域
1xR
]Re[z
]Im[zj
（ 3）左边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列
2nn? )(nx
nnznxzX
n
n
n)()(
nn
n
mn
nm
m
nm
znxzmxzX )()()(
x
n
n
n
n
n
n
n
R
nx
z
znx
znx
)(l i m
)(l i m
)(l i m
收敛半径圆内为收敛域，
若则不包括 z=0点
02?n
2xR
]Im[zj
]Re[z
（ 4）双边序列：只在 区间内，
有非零的有限值的序列
n
)(nx
nznxzX
n
n)()(
n
n
n
n znxznxzX )()()(
圆内收敛圆 外 收敛
12 xx RR?
12 xx RR?
有环状收敛域没有收敛域
12 xx RR?
]Im[zj
]Re[z
例：
)(
3
1)()1( nunx n
右边序列
3
1
3
1
1
1
3
1
)(
10
1
z
z
z
zzX
n
n
3
1
1
xR
3
1 z 311?xR
31
]Im[zj
]Re[z
例：
)1(
3
1)()2(
nunx
n左边序列
3
131
1
1)3(1
3
1
3
1
)(
0
1
1
1
1
z
z
z
z
zzzX
m
m
m
m
n
mn
n
x
n
n
n
Rz
z )(lim
收敛半径
2xR
31
]Im[zj
]Re[z
例：
)]8()([
3
1)()3(
nununx
n 有限长序列收敛域为除了 0 和的整个 平面
z
]Re[z
]Im[zj
2
8
8 8 21
3
1
3
1
3
()
0
k
jk
j
ze
ze
z
z
8个零点
7阶极点一阶极点
)(
)(
1
)(1
3
1)(
3
17
8
3
18
1
3
1
81
3
17
0
1
zz
z
z
zzzX
n
n
例：
n
nx?
3
1)()4(
双边序列
1
1
0
8
3
1
3
11
()
33
13 ( 3 ) ( )
3
nn
n
nn
X z z z
zzz
z z z
z
]Im[zj
z
]Re[z
非因果信号的 Z变换非因果信号无始，终于 n=-1点。
1、对 x(n)求反，令 -k=n,构成因果序列 x(-k)
2、对 x(-k)求单边 Z变换并标注收敛域。有：代、令,)()()(3 zwwFZFwxzw
0)(vZ?变换。的例：求双边指数序列 nv
)()()()( nfnfnuvnuvv bannn解：
vZaZ ZnfZTZF aa,)]([)(
如下：求 )(F b Z
)()()()()( kkuvkuvnfkx kkknb：
vwvw vvw wkxZTwX,)]([)(:
vzvzFzFzF ba,..,)()()(
1
11,)()(:3 1
vzvz
z
vz
vwXzF
zwb
§ 8.4 Z变换的逆变换
（ 1）留数法
（ 2）幂级数展开法
（ 3）部分分式法
（ 1）留数法
假设有一固定的围线 C，
它包围原点，沿围线逆时针转一圈，两边乘以,然后沿着围线积分，得到：
0
)()(
n
nznxzX
C C n n C
mnnmm dzznxdzznxzdzzXz )()()(
mz
c
]Re[z
]Im [zjZ逆变换的导出,
由复变函数中的柯西定理
右边的 即
于是
逆变换
00
021
k
kj
dzz
C
k?
nm?
C
n
C
n
dzzzX
j
nx
njxdzzzX
1
1
)(
2
1
)(
)(2)(
0 mn
n
zz
n
C
n
m
zzXs
dzzzX
j
nx
]c,)([Re
)()(
内各极点用留数求围线积分
mm zz
n
mzz
n zzXzzzzXs
])()[(])([Re 11
一阶极点：
S 阶极点：
mzz
s
m
n
s
s
zzzzX
dz
d
s?
])()([
)!1(
1 1
1
1
当 X(Z)为 有理分式,用留数定理，有：
n>=0,围线 C内包含一阶极点 z=0,-1,5，右边序列；
已知,求 f(n)。 5||
54
132)(
2
2
zzz zzzF
22
11 2 3 1 2 3 1( ) R e s [ ( ) ] R e s R e s
( 1 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 5 )
n n nz z z zf n F z z z z
z z z z z
1
z0
11 R e s [ ( ) ] ( )
5
nr F z z n
2
1
1z - 1
2 3 12 R e s [ ( ) ] ( 1 ) ( )
( 5 )
n n n
z
zzr F z z z u n
zz
2
1
5z5
2 3 1 63 R e s [ ( ) ] ( 5 ) ( )
( 1 ) 5
n n n
z
zzr F z z z u n
zz
16( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 5 ) ( )
55
nnf n n u n u n
解例例
)()().)(()(
nxzzzz zzzX
)(1 nxz
解 必然是因果序列，右边序列
m
m
zz
n
n
zz
n
z
zzz
zz
s
zzXsnx
).)((
Re
])([Re)(
zzzn
zzzn
zzn
,.,,
,.,,
.,,
,
围线 C所包围的 极点
n
z
n
z
n
z
zz
z
z
zz
znxn
)5.0(138
1
12
5.0
12
)(2)1( 5.0
23
2
1
23
2
11386
)5.0(138)'
)5.0)(1(
12
()(0)2( 00
23
z
zz
zz
nxn
5.3)5.0(1382
)5.0(138
)5.0)(1(
12
)(1)3(
1
0
23
z
zz
zz
nxn
)2())5.0(138()1(5.3)()( nunnnx n
（ 2）部分分式法
k
k
k
k
r
r
r
r
zazazaa
zbzbzbbzX
)(
k
m m
m
vz
zBBzX )(
)(
)(
k
k
k
k
r
r
r
r
zazazaaz
zbzbzbb
z
zX
k
k
vz
B
vz
B
z
B
,..
若 x(z)的极点是单阶的
)( Rz?
)( Rz? )()()( nBnuvBnx nm
k
m
m
若 x(z)含高阶极点，最好用留数法。
)()()( 0
1
nBnuvBnx nm
k
m
m
例：
双边序列
)()231(23 5)( 2 nxzzz zzX
z
z
z
z
zX )(
左边序列右边序列
)1(2)()()( 31 nununx nn
（ 3）幂级数展开法右边序列,若把 F(z)展开成 的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列 f (n) 的值。
左边序列,把 F(z)展开成 的幂级数之和
12
0
( ) ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )n
n
F z f n z f f z f z
1z?
z
一般情况下 X(Z)为有理分式
k
k
k
k
r
r
r
r
zazazaa
zbzbzbb
zD
zNzX
1
110
1
110
)(
)()(
1.当 x(n)为右边序列,X(Z)分子分母按 Z的降幂排列
2.当 x(n)为左边序列,X(Z)分子分母按 Z的升幂排列例 已知,求 f(n)。
33
10)(
2 zz
zzF
4321
32
321
21
21
1
1
2
150703010
140150
14021070
6070
609030
2030
203010
1023
zzzz
zz
zzz
zz
zz
z
zz
zzz
4321 150703010)( zzzzzF
( ) [ 0,1 0,3 0,7 0,1 5 0,]fn
用长除法可得
z-1的幂级数。
但得不到解析式
§ 8.5 Z变换的基本性质
线性和位移性
序列线性加权（ Z 域微分）
序列指数加权（ Z 域尺度变换）
初值定理和终值定理
时域卷积和 Z 域卷积定理
1、线性
zXnxZT若 RzR
zXnxZT RzR
zXCzXCnxcnxcZT则：
RRzRR,m i n,m a x
2、位移特性：
)3(?nx
)(nx
)(nx
)2(?nx
双边序列单边（因果）序列
① 双边 z变换若 的双边 z变换为：nxzXnxZT?
zXzmnxZT m则：
② 单边 z变换
a.若 为双边序列，其单边变换为：nxzXnunxZT?
则移序后的单边变换为：
m
k
km zkxzXznumnxZT
1
mk
km zkxzXznumnxZT
b.若 为因果序列：
zxznumnxZT m
m
k
km zkxzXznumnxZT
nx
双边 Z变换
zXzmnxZT m同样左移：
单边 Z变换 若 为双边序列nx
同样右移序列的单边 Z变换若为因果序列：
zxznumnxZT m
m
k
km zkxzXznumnxZT
例：求因果离散线性时不变系统nunyny的零状态响应,
解：对方程两边同取 z变换，有：
z zzYzzY
zzz zzz zzY
z
A
z
A
z
A
z
zY
zz
zA
A?
A
nuny nn?
221)(
2
1
2
z
zz
z
zzX
)2(21)( 1
2
zzzzX )(nx例,求象函数 时间信号由平移性可得：
)2(2)( 2 nunx n
解：由题意
3、序列线性加权特性
则：若 zXnxzXdzdznnx
例：已知 求 的 z变换
z
znuZTnunnnu?,
解：
zz zz zdzdznuZTdzdznnuZT,
zz zzz zdzdznuZTdzdznunZT,
0
)()(
n
nznxzX证明,
4、尺度变换特性 (序列的指数加权 )
则：若 zXnx
azXnxa nazXnxa
n;
例,1、求 的单边 z变换nuanx n?
zzXz znuZT,
a
z
a
zXnuaZT n,
az
az
z
a
z
a
z
nuaZT n?
,
解：由于由 z域尺度变换性可知：
特别地：当 a=-1时，有：
1,11 zz znuZT n
可见,序列的指数加权等于 Z平面尺度展缩
2、求 的单边 z变换nunanx n
解：
zz znuZTzX,
az
a
z
z
az
azazXnuaZTzX n,
a
z
az
az
a
z
a
z
a
z
a
z
zX
dz
d
znunaZTzX n,
5、初值定理若 为因果序列，nx 则：
n
nznxzxzxx
z lim
例：求 的初值
z
zz
zzzx,
.
,
l i ml i m zz zzzxx
zz
6,终值定理若 为因果序列，nx
n
nznxzx
zxznx zn limlim则：
运用条件,x(n)收敛,或 X(Z)的极点在单位圆内,在单位圆上只能在一阶极点。
证明,
7、时域卷积定理：
若两序列的 z变换分别为：nhnx,
nhZTzHnxZTzX,
zHzXnhnxZT?*有：
§ 8.7 用单边 Z变换解差分方程解差分方程的方法：
（ 1）时域经典法
（ 2）卷积和解法
（ 3） Z变换解法
复习 Z变换的位移特性
m
k
km zkxzXznumnxZT
1
mk
km zkxzXznumnxZT
双边序列的单边 Z变换对于因果序列
)()]()([ zXznumnxZT m
1
0
)()()]()([
m
k
km zkxzXznumnxZT
用单边 Z变换解差分方程的步骤和思路
x(n-r),y(n-k)均为右移序列
两边取单边 Z变换
)()(
00
rnxbknya
M
r
r
N
k
k
M
r rm
mr
r
N
k kl
lk
k zmxzXzbzlyzYza
0
1
0
1
])()([])()([
初始状态 若因果信号 此项为零例：
)(2)1()()(
)()1()(
nyynuanx
nxnbyny
n
bz
bz
bz
bz
az
az
ba
bz
byzX
zY
byzXzYbz
zXzyzYbzzY
21
1
)1()(
)(
)1()()(]1[
)()]1()([)(
1
1
1
)(2)(1)]([)( 1111 nubbabazYZTny nnn?
完全解里面已含有初始条件例：
)(6)2(4)1(
)(10)2(02.0)1(1.0)(
nyyy
nunynyny
1
10)]1()2()([02.0)]1()([1.0)( 221
z
zzyyzzYzzyzYzzY
28.008.0110)()02.01.01( 121 zz zzYzz
111 1.01
2.0
2.01
66.0
1
26.9)(
zzzzY
)(])1.0(2.0)2.0(66.026.9[)( nuny nn
完全解
§ 8.8 离散系统的系统函数一、定义：
（ 1）系统零状态响应的 Z变换与输入的 Z
变换之比
（ 2）系统单位样值响应 h(n)的 Z变换
)(
)()(
zX
zYzH?
0
)()(
n
nznhzH
（ 1）定义一：系统零状态响应的 Z变换与输入的 Z变换之比
若 x(n)是因果序列,则在系统零状态下：
)()(
00
rnxbknya
M
r
r
N
k
k
N
k
k
k
M
r
r
r
M
r
r
r
N
k
k
k
za
zb
zX
zY
zH
zbzXzazY
0
0
00
)(
)(
)(
)()(
因果！
零状态
（ 2）定义二：系统单位样值响应 h(n)的 Z
变换
激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应
由卷积定理
)(*)()( nhnxny?
)()()( zHzXzY?
)(
)()(
zX
zYzH?
0
)()(
n
nznhzH
二、系统零、极点对系统 时域特性 的影响
由极点分布决定 h(n)的波形特征决定系统稳定性
而零点分布只影响 h(n)的幅度和相位
（ 1）由极点分布决定 h(n)系统单位样值响应波形一般 为复数它在 平面的分布位置决定了系统 特性
kp
Z
)(nh
)()()(
)1(
)1(
)]([)(
1
0
1
0
1
0
1
0
1
11
nupAnA
pz
zA
AZT
zp
zz
GZTzHZTnh
n
N
k
kk
N
k k
k
N
k
k
M
r
r
极点分布对 h(n)的影响
]Re[z
]Im [zj
85
8 1 2
p?
图－
（ 2）由极点分布决定系统稳定性
系统 稳定 的 充要条件 是单位样值响应绝对可和。即：
因果 系统的 充要条件 为,
从Ｚ域看，对于因果系统，
全部极点位于单位圆内，是稳定系统．
极点位于圆外，系统不稳定．
极点位于单位圆上，是临界稳定系统．
n
nh )(
0)(0 nhn
例：已知因果系统的系统函数如下：
试说明该系统是否稳定？
解：
21
1
1
1)(
zz
zzH
))((
)1()(
2
3
2
1
2
3
2
1 jzjz
zzzH
12,12 32122 3211 pjpjp
临界稳定例：已知系统函数如下，试说明分别在（ 1）（ 2）两种情况下系统的稳定性：
（ 1）
（ 2）
解：（ 1） 因果系统，右边序列
z10
105.0 z
z10
)10)(5.0(
5.9)(
zz
zzH
() 0,5 1 0zzHz zz
( ) [ ( 0,5 ) ( 1 0 ) ] ( )nnh n u n
1105.0 221 zzz
因果系统但极点在单位圆外不稳定发散
（ 2） 非因果系统，
右序 左序有界所以，该 非 因果系统是 稳定 的
( ) ( 0,5 ) ( ) ( 1 0 ) ( 1 )nnh n u n u n
105.0 z
10
例,某一因果离散系统如下图所示，
求 (1)此离散系统的输入输出的差分方程
(2)系统函数 H(z),系统的冲激响应 h(n)；
(3)判断系统的稳定性；
2
-2
3
)(nx )(ny
E1)(nq
(1)由系统图以加法器为中心列写方程，设中间变量为化简得
(2)得
（ 3） 由于极点位于单位圆的外部，故是不稳定系统
)(nq
)2()()1(2)(2
)1()()1(3)(
nynqnq
nqnqnx
)1(2)(2)1(3)( nxnxnyny
3
22
31
22)(
1
1
z
z
z
zzH
)313(2)( zz zzH ))1(3)(3(2)( 1 nununh nn
)2()()1)((2
)1()()31()(
1
1
zyzzq
zqzzX
)(31 22)( 11 zyzzzX
§ 8.9 － § 8.10 离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？
定义一：单位样值响应的 傅立叶变换定义二：离散系统在正弦序列作用下的稳态响应二、系统的频率响应的几何确定一,序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：
，
)()(|)()( j
n
nj
ez
n
n eXenxznxzX
j
n
njj enxeX )()(
序列的傅立叶正变换
,
,0:
jTjsT eeez
jszs
则时当的演示来看由于是相当于自变量沿着 z=1单位圆周变化，则：
P87
插定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换
当 h(n)已知时，下列表达式表示系统频率响应函数，
物理意义,是以 h(n) 为加权系数，
对各次谐波进行加权或改变的情况。
n
njj enheH )()(
)(?jeH
)(n? )(nh )()()(*)( nhnrnhn
jwez
jw zHeH
)()(
定义式有：对比 )H ( eH ( z ),jw
二 系统频率响应定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比
)](s i n [)( 1 nAnx
)(nh
)](s i n [)( 2 nBny ss
)](s i n [)( 1 nAnx
)](s i n [)( 2 nBny ss
12?
)()()()(
)()(
12
)]()([)( 12
A
B
eH
e
A
B
eeHeH
j
jjjj
)(
)()(
j
j
j
eX
eYeH?
je因为 是周期的，所以 也 是周期函数,
其周期为重复频率 （这是区别于连续系统的突出的特点） P96。
)(?jeH
Ts
2?
0
s?
2
s?
LP
BP
HP
BS
AP
按照滤波器的幅度特性可分为三、系统的频率响应的几何确定
)(
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
jj
N
k
k
j
M
r
r
j
N
k
k
M
r
r
eeH
pe
ze
pz
zz
zH?
kr jkkjjrrj eBpeeAze
N
k
k
M
r
r
j
B
A
eH
1
1)(?
N
k
k
M
r
r
11
)(
系统的频率响应的几何确定法
]Re[z
]Im [zj
1p
2p
je
1z
2z
1?1?
2? 2?
N
k
k
M
r
r
j
B
A
eH
1
1)(?
N
k
k
M
r
r
11
)(
)()()( jjj eeHeH
由几何法可以看出：
（ 1） z=0处的零极点对幅频特性 没有影响，只对相位有影响
（ 2）当 旋转某个极点 附近时，
例如在同一半径上时,较短，则在该点应当出现一个峰值,越短，
附近越尖锐。若 落在单位圆上，则
，则 处的峰值趋于无穷大。
（ 3）对于零点则其作用与极点的作用正好相反 。
jwe ip
iB
iB
)(?jeH
)(?jeH
ip
ip
0?iB ip
1a
+)(nx
E1
)(ny
例,求如下图所示的一阶系统的频率响应
)()1()( 1 nxnyany
解,
)()( 1
1
azaz zzH,其系统函数则
)()( 1 nuanh n?单位样值响应
s inc o s1
1
1
1
)(
11
11
jaa
eaae
e
eH
jj
j
j
c o s21
1|)(|
1
2
1 aa
eH,j
幅度响应
c o s1
s ina r c t a n
1
1
a
a）（：
相位响应频率响应
呈全通无与呈高通随呈低通随
)(0
)(01
)(10
1
1
1
j
j
j
eHa
eHa
eHa
]Im[zj
小结,
1.离散信号的 Z变换定义 (单边,双边 )及收敛域
2.常用信号的正反变换对
3.Z变换的基本性质,
线性,平移,尺度变换,初值 /终值定理
4.z变换分析法,
求解响应、
差分方程,H(z),h(n)、模拟图的转换
5.系统函数 H(z)分布对应的时域特性因果性、稳定性
6.了解频域特性,是周期函数)(?jeH
习题
1、求 Z变换并指明收敛域,),()()()( banubnuanf nn
)()]([)( azaz znuaZTzF n解：
n
nnn znubnubZTzF )()]([)(
如下：求 )(F 2 z
)()]([)()( bwbw bbw wkfZTwF
)()()()( bzbz zwFzF zw
不存在。无公共收敛域,F ( z ))(),(,
)()()()(,
zFzFab
bza
bz
z
az
zzFzFzFab
)()()1()()()1( 0 nkubkubnfkf kknk
2,( n ),),(
..)( fzzz
zzzF 求其反变换
).)((
...
).)(()(
zz
zz
zz
zzzF解：
.
.
).)((
...)(
zzzzzz
z
zz
zF
.
.)(
z
z
z
zzzF
,.,21 对应右边序列。对应左边序列，由其收敛域 z zz zz
)().(.)()()()( nununnnf n
)( 对应左边序列的求法：附, z zzF l
ww
wzFwFa
wzll )()(.
)()]([)(, kuwfZTkfb ll
)()()(, nukfnfc knl
3、系统的差分方程为,)()()()()( nfnfnynyny
系统初始条件为,y(-1)=2,y(-2)=-0.5,f(n)=u(n),用 Z变换法求系统的全响应。
解,1)求零输入响应, )(ny)(ny( n )y
zizizi差分方程：
上式两边同时 Z变换：
])()()([])()([)( )()( zyzzyzzYzzyzzYzzY zizizizizizi
z
z
z
z
zz
zzzY
yy
zi
zizi
)(
,.)(,)( 代入上式有：
)(])([)( nuny nnzi
2)求零状态响应。 原方程零状态下的 Z变换为：
z
zz
z
zzYzzYzzY
zszszs )()()(
)(
.
))()((
)()(
z
z
z
z
z
z
zzz
zzzY
zs
)(].)(.[)( nuny nnzs
)(
.
))()((
)()(
z
z
z
z
z
z
zzz
zzzY
zs
4、
).(,.)(
,)(),()()()(
nyy
ynunynyny
求系统的全响应系统的差分方程为：
解：原方程两边同时 Z变换有：
z
zyzyzYzyzYzzY )]()()([)]()([)(
z
z
z
z
z
z
zzz
zzY
))()(()(
)(])()([)( nuny nn
5、
).(),(][)(
),(,)(,)(
),()()()()(
nfnuny
nfyy
nfnfnynyny
n 求得到全响应为：输入某信号初始条件为：
系统的差分方程为：
解,1）求给定条件下系统的零输入响应：
系统的特征根为 1,2则,)(][)( nuccny n
zi
c
c
ccy
ccy
zi
zi
)(
)( )(][)( nuny n
zi
)()()()]([)()()() nununynyny nnnzizs
3）求 f(n)
zz
z
z
z
z
zzY
zz
zzH
zs )(,)(
z
z
zH
zYzF zs
)(
)()(
)()( nunf n
6,某二阶离散系统的初始条件为 y(0)=1,y(1)=5。当输入信号为
f(n)=u(n)时，输出全响应为 y(n),确定该系统的差分方程及单位函数响应。其中 )(]..[)( nuny nn
解：
z
z
z
z
z
znyZTzY )]([)(
是强迫响应。系统为二阶的，显然，输入 "", z- zz- zZ T [ f ( n) ]F ( z )
故系统的零输入响应的模式为,)(][)( nuccny nn
zi
c
c
ccy
ccy
zi
zi
)(
)(
)(][)( nuny nnzi
输入信号为 f(n)=u(n)时,系统的零状态响应为：
)(]..[)()()( nunynyny nnzizs ))()(( )()( zzz zzzY zs
z
z
z
z
zz
z
nfZT
zYzH zs
))(()]([
)()( )(][)( nunh nn?
)()()()()(
)(
nfnfnynyny
zz
zzH
系统方程为：
