第四章 拉氏变换
§ 4.5 线性系统的 拉氏变换分析法 及 系统函数拉氏变换分析法,
一,将时域信号、系统变换到 S域，进行分析求解二,建立 S域元件模型,进行分析求解三、从信号分解的观点,全响应分为零状态响应与 零输入响应系统函数一,拉氏变换分析法步骤
y(t)的微分方程及 初始条件 y(s)的代数方程
y(s)的函数微分方程的解取拉氏变换取拉氏反变换解方程经典法求解信号 x(s)
)(te
0Li
L
C
)(tuc
R
例 1：如图所示，求回路的电流 I。
)()(1)()(:)1( tedictRidt tdiL t列写微分方程系统取取拉氏变换?0:)2(
)0()(])([,LLisL s Idt tdiLLT由微分性质
s
u
cs
sIdi
cLT
ct )0()(])(1[,
由积分性质所以原方程的拉氏变换式为：
)()0()(1)()0()( sEsusIcssRILisL s I cL
cs
RLs
s
u
LisE
sI
c
L
1
)0(
)0()(
)(
cs
RLs
s
u
Li
cs
RLs
sE
c
L
1
)0(
)0(
1
)(
.)(),(
)(.)0(),0(,,
为全响应则变换得反对被自动计入初始条件上过程中显然
titi
sIui cL
初始条件电路变化之前求得。
零状态响应 零输入响应例 2
求已知,
0)0()()(
4
1
)0()()(
2
2
1
l
t
c
iAtueti
VuAttuti
)(2 tu
1
1
31
H41
F1)(
1 ti
)(2 ti
3
21
)(3 1 tu
)(2 tu
)(1 tu
解,1.列出节点电位方程
t
tutidu
L
tutu
titu
dt
tdu
ctu
)(3)()(
1
)()
3
1
1
1()(1
)()(1
)(
)()11(
12221
12
1
1
移项，整理并代入参数得：
t
t
tuedututu
ttutu
dt
tdu
tu
)()(4)(4)(4
)()(
)(
)(2
2
221
2
1
1
初始条件
0)0()0(
4
1
)0()0()0( 1
LL
cc
ii
Vuuu
2.求这组方程的拉氏变换
2
1
)(
4
)(4)(4
1
)()0()()(2
221
2211
s
su
s
susu
s
suussusu c
解联立代数方程组得
2
)()1(4)(4
4
11
)()()2(
21
221
s
s
susssu
s
susus
2
4
11
)(
)(
)1(44
1)2( 2
2
1
s
s
s
su
su
ss
s
写成矩阵形式求出方程的解
1)1(
12
1
)(
22
Ss
su
3.求拉氏逆变换
)()]s in (
2
1[)]([)(
2
1
2 tutesuLtu
t
二,s域元件模型
A、回路分析下的 s域元件模型,阻抗值
)()()()( sRIsVtRitv RRRR 拉氏变换
)0()()()()( LLLLL Liss L IsVdt tdiLtv 拉氏变换
s
u
cs
sIsVdi
ctv
cc
c
t
c
)0()()()(1)(
拉氏变换
)(sIR
)(sVR
sL
)0(LLi
)(sIL
)(sVL
电阻电感
cs1 svc )0(
)(sIc
)(sVc
电容
B、节点分析下的 s域元件模型 导纳值
)(1)(,sVRsI RR?电阻
)(sIR
)(sVR
)0(1)(1)(,LLL issVsLsI电感
sL
)0(1 Lis
)(sIL
)(sV
L
)0()()(,ccc cvss cVsI电容
)(sIc sc1
)0(ccv
)(sVc
例：用 s域元件模型法求下图的
)(tvc
解：作出 s域网络模型如图，有：
E
R
c
)(tvc
s
E
R
sc1
s
E?
)(sVc)(sI
)()()( sEsEsIscR
)1(
2
)(
sc
Rs
E
sI
s
E
s c Rs
E
s
E
sc
sIsV
c )1(
2)()(
)
1
21
(
Rc
ss
E
)(]2[)( tuEeEtv Rc
t
c
Ev c_)0(
１,用拉氏变换求取系统的 零状态响应
dsesEsH
j
tr
sHsEsR
dtetesE
thtetr
j
j
st
st
)()(
2
1
)(
)()()(
)()(
)(*)()(
0三、从信号分解的角度看拉氏变换
L H(s) 1?L)(te )(sE
)()( sEsH )(tr
系统函数的定义
系统零状态下,响应的拉氏变换与激励拉氏变换之比叫作系统函数，记作 H(s).
可以是电压传输比、电流传输比、转移阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
)(
)()(
sE
sRsH?
))0()()(()( LLLL Liss L IsvLssZ?电感的运算阻抗
))0(1)(1)((1)( cccc vssIscsvcssZ?电容的运算阻抗各元件方程式都写作,V(S)=Z(S)I(S) I(S)=Y(S)V(S) 0
0
)( )()(:1
1
2
sV
sIsH求右电路图中例解：列回路方程：
0)()1
2
()(
1
)(
1
0)(
1
)()11
1
()(
)()(
1
)()()1
1
(
321
321
1321
sI
s
sI
s
sI
s
sI
s
sI
s
sI
sVsI
s
sIsI
s
)(1 tv
)(1 ti )(
2 ti
)(3 ti
1
1
1
1
1
)1(
)2(
)3(
由 (2),(3)式有：
)(
12
122
)(
)(
12
13
)(
22
2
1
223
sI
ss
ss
sI
sI
ss
s
sI
左式代入 (1),解得,
15
12
)(
)()(
2
2
1
2
ss
ss
sV
sIsH
2,零输入响应 )(tr
zi
系统的初始储能，可视为冲激源。或系统的零输入响应与冲激响应有相同的模式。其响应模式由 H(s)极点确定,
n
n
s
K
s
K
s
K
sD
sNsH
,,,
)(
)()(
2
2
1
1
t
n
tt nekekekth,..)( 211
21
相应地，系统的零输入响应为：
t
n
tt
zi nececectr
,..)( 211
21
由系统的初始状态确定待定其中,...,21 nccc
例：
,65 5)(,1)0(',2)0(),()( 2 ss ssHrrtuete t 初始条件输入
)(.,tra zi求系统的零输入响应解
:,3,2)3)(2( 5)( 21 有极点为 ssss ssH
)(][)( 3221 tuecectr ttzi
5
7
132)0('
2)0(
2
1
21
21
c
c
ccr
ccr
zi
zi
求全响应。
)(]57[)( 32 tueetr ttzi
)(,trb zs求系统的零状态响应 11][)( seLTsE t?
3
1
2
3
2
2
)3)(2)(1(
5)()()(
ssssss
ssEsHsR
)(]32[)( 32 tueeetr tttzs,..)()()(, trtrtrc zszi
§ 4.7由系统函数的零极点决定时域特性决定系统的时域响应决定系统稳定性一,系统函数 H(s)的零极点和零极图
1.由 H(s)确定的零点和极点
01
1
1
00
1
1
...
...
)(
)()(
bsbsbsb
asasasa
sD
sNsH
n
n
n
n
m
m
m
m
a.零点,使 H(s)=0的 s值,令 N(s)=0求得。
b.极点,使 H(s)=无 穷大的 s 值,令 D(s)=0求得。
c.极点的阶,
11 )]()[(
,)(lim
1
sssFss
sF
ss
但若
,
)]()[( 11
nk
sssFss k
只到一阶极点 n阶极点
)(5
),(3,0
,4,2
)5)(9(
)4)(2(
)(
22
二阶极点一阶极点极点零点
s
j：s
s：s
sss
ssk
sF
零图极?
例：
3j
3j?
05?
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
j
0z
1z
2z
0p
1p
2p
2、由零、极点确定 H(s)
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
反变换
n
i
i
n
i
tp
i
n
i i
i
thek
ps
k
Lth
i
11
1
1
)(
)(
第 i个极点决定总特性
Ki与零点分布有关二、系统函数 H(S)决定的时域特性 —— h(t)
零极点与时域波形的对应关系
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(a)一阶极点在 原点
j
0 1p
SsH
1)(?
t
)(th
)()( tuth?
A.极点的影响
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(b)一阶极点在 负实轴
j
0
SsH
1)(
t
)(th
teth)(
te
1p
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(c)一阶极点在 正实轴
j
0?
S
sH 1)(
)(th
t
0
teth)(
te?
1p
（ 2） 几种典型的极点分布 ——
(d)一阶共轭极点在 虚轴上
j
0
1?j
1?j?
2
1
2
1)(
S
sH
)(.s i n)( 1 tutth
t
)(th
0
1p
2p
j
0
1?j
1?j?
2
1
2)( S
S
sH
)(.c o s)( 1 tutth
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(e)共轭极点 在虚轴上,原点 有一零点
t
)(th
0
1p
2p
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(f)共轭极点在 左半平面
j
0
1?j
1?j?
2
1
2
1
)(
)(
S
sH )(.s i n)( 1 tuteth t
t
)(th
0
2p
1p
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(g)共轭极点在 右半平面
j
0
1?j
1?j?
2
1
2
1
)(
)(
S
sH )(.s i n)( 1 tutth
t
)(th
0
1p
2p
一阶极点
j
（ 2） 有二重极点分布 ——
(a)在原点 有二 重极点
j
2
1)(
S
sH?
)(th
t0
tth?)(
j
2)(
1)(
S
sH
)(th
t0
tteth)(
（ 2） 有二重极点分布 ——
(b)在负实轴 上有 二重极点
（ 2） 有二重极点分布 ——
(c)在 虚轴 上有二 重极点
j
22
1
2 )(
2)(
S
SsH
)(th
t0
ttth 1s i n)(
（ 2） 有二重极点分布 ——
(d)在左半平面有二重共轭极点
j
22
1
2 ])[(
)(2)(
S
SsH
)(th
t0
tteth t 1s i n)(
1?j
1?j?
二重极点
j
极点影响小结：
极点落在左半平面 — h(t) 逞衰减趋势
极点落在右半平面 — h(t)逞增长趣势
极点落在虚轴上只有一阶极点 — h(t) 等幅振荡，不能有重极点
极点落在原点 — h(t)等于 u(t)
极点分布决定时域特性
B 零点的影响
221 )()(
as
assH
222 )()( as
ssH
0z
teth at?co s)(
)(
)c o s (1)(
1
2
a
tg
t
a
eth
at
0z
零点移动到原点零点的影响
零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率
teth at?co s)(
)(
)c o s (1)(
1
2
a
tg
t
a
eth
at
幅度多了一个因子多了相移三 H(S) E(S)极点分布自由响应与强迫响应对应关系
n
i
i
m
j
j
v
k
k
u
l
l
ps
zs
ps
zs
sHsEsR
1
1
1
1
)(
)(
.
)(
)(
)().()(
v
k k
k
n
i i
i
ps
k
ps
ksR
11
)(
tp
v
k
k
n
i
tp
i
ki ekektr
11
)(
来自 H(s)
的极点来自 E(s)
的极点自由响应 强迫响应结论
H(s)的极点决定了 自由响应 的 振荡频率,与激励无关
自由响应的 幅度和相位 与 H(s)和 E(s)的零点有关，即零点影响 K i,K k 系数
E(s)的极点决定了 强迫响应 的振荡频率，与
H(s) 无关瞬态响应分量与稳态响应分量
系统 H(s)的极点一般是复数，讨论它们实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
不稳定系统 增幅
临界稳定系统 等幅
稳定系统 衰减
0Re?ip
0Re?ip
0Re?ip
0)(?
t
tr 0)(t tr
激励 E(s)的极点影响
激励 E(s)的极点也可能是复数
增幅，在稳定系统的作用下稳下来，或与系统某零点相抵消
等幅，稳态
衰减趋势，瞬态
0]R e[?kp
0]R e[?kp
0]R e[?kp
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳态响应 。
T
)(te
t
R
C)(te )(0 tv
（ 1）求 e(t)的拉氏变换
)1(
)1(1
)1(
1
)(
0
sT
s
n
s n Ts
e
e
s
ee
s
sE
（ 2）求系统函数 H(s)
s
Cs
R
Cs
sH
RC
1
1
1
)(
j
（ 3）求系统完全响应的拉氏变换 )(0 sV
)1)((
)1(
)().()(0 sT
s
ess
e
sHsEsV?
瞬态 稳态
)()()( 000 sVsVsV st
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换 V01(s)
)(
)1(
)().()( 101
ss
e
sEsHsV
s
（ 4）求瞬态响应，它在整个过程中是一样的。
s
KsV
t
1
0 )(
t
Tt
e
e
e
tv?
,
1
1
)(0
固定常数衰减因子
Ts e
essVK
1
1))((
01
（ 6）求第一周期的稳态响应
se
e
ss
e
sVsVsV
T
s
ts
1
.
1
1
)(
)1(
)()()( 00110
)().1(
)(]..
1
1
1[)(
)(
)(
10
tue
tue
e
e
tv
t
t
T
T
s
1
)(1 tVos
t
0
（ 7）整个周期矩形信号的稳态响应
0
100 )])1(()()[()(
n
ss TntunTtunTtvtv
瞬态响应稳态响应 完全响应
B
B?
A
Te
eB
1
1
Te
eA
1
1
§ 4.8 由系统函数零极点分布决定系统频率特性一、什么是系统频率响应？
系统在不同频率的正弦激励下系统的稳态响应随频率的变化情况,
频响 H(W)一般为复数，包括幅度响应和相位响应两个方面。可表示为下列两种形式：
)()()(
)()()(
jjejHjH
jjIjRjH
tEte m 0s i n)(
2
0
2
0)(
s
EsE m
n
i i
ijj
ps
k
js
k
js
k
sHsEsR
100
00
)()()(
由正弦激励的极点决定的稳态响应如系统是稳定的，
该项最后衰减为零设系统 H(S),正弦激励源 e(t),分析系统的稳态响应 r(t)
解 1,拉氏分析法
000 )( jeHjH? 0
00 )(
jeHjH
)s i n ()( 000 tHEtr m
稳态响应有关的
tEte m 0s i n)(
幅度改变 相位偏移
j
eHEsRjsk jm
jsj 2)()(
0
00
0
0
j
eHEsRjsk jm
jsj 2)()(
0
00
0
0
引入符号
)()(0 0000
2
)( tjtjmw ee
j
HEtr
傅里叶分析法更直接
000 )( jeHjH?
)()()( jjejHjH?
若 换成变量 0
系统频率特性 幅频特性 相位特性
)()()()( jejHjssHjH
解 2,傅里叶分析法二、按滤波网络 幅频特性 不同，可以划分为低通、高通、带通、带阻、全通几种类型
)(jwH
w
cw
低通 w
cw
)(jwH
高通 w1c
w
2cw
)(jwH
带通
1cw 2cw
w
)(jwH
带阻
w
)(jwH
全通三、用几何法求系统频率特性
n
l
l
m
i
i
j
n
m
n
i
i
m
j
j
e
MMM
NNN
k
pj
zjk
jH 11
)(
21
21
1
1
)(
)(
)(
j
1p
1z
111 jeNzj
111 jeMpj
2p
例：已知 试求当时的幅频和相位
122
1)(
23 ssssH
1
1M
1?
1j
01 454 1 4.1M
1
()
1 3 1 3
( 1 ) ( ) ( )
22
Hs
jj
s s s
2M
1j
2?
0
2
2
15
517.0
M
3M
3?
1j
033 759 3 2.1M
1 2 3
0 0 0 0
11
( 1 )
2
1 ( 45 15 75 ) 135
Hj
M M M
j?
一阶系统和二阶非谐振系统的
S平面分析
已知该系统的 H(s)的极零点在 S平面的分布，确定该系统的幅频特性和相频特性的渐近线
（ 1）一阶系统
一零点，一在实轴的极点
一在原点的零点，一在实轴的极点
只有无穷远处的零点一在实轴的极点
1
1)(
ps
zsKsH
1
)(
ps
sKsH
1
)(
ps
ksH
例：求一阶高通滤波器的频率特性
+
U1
—
+
U2
—
C
R
RC
s
s
sc
R
R
sU
sU
sH
11)(
)(
)(
1
2
M N
-1/RC
)()( je
M
NjH
0,1,0,0
M
N
Rc
MN?
2
1
,
2
,45,
1
,
1 0
M
N
Rc
M
Rc
N
Rc
0,1,
M
N
1
2UU
幅频特性
090
045?
相位特性
M N
-1/RC
例,求一阶低通滤波器的频率特性
R
C
+
U1
_
+
U2
_
RC
s
RC
RU
U
sH
Cs
Cs
1
1
.
1
)(
1
1
1
2
没有零点
M
RC
1?
j
)( 11)( je
M
kjH
1,1,0
1
2 UURCM?
0
1
2
45
2
1
,
2
,
1
U
U
RC
M
RC
0
1
2
90
0,,
U
U
M
1
2UU
RC1
幅频特性
045?
090?
RC1
相位特性
M
RC
1?
j
（ 2） 二阶非谐振系统的 S平面分析
只考虑单极点使系统逞低通特性只考虑一极点和一零点使系统逞高通特性中间状态是个常数低通高通
)(?jH
总体是个带通例：
1V 2V1
R
1C
3KV
2C
2R
2211
111
2
11)(
)(
)(
CR
s
CR
s
s
CR
k
sV
sV
sH
1
12
1 1 2
1
1 1 1 2
() ()12
1 1 1 2 1
()
j
jj
j j
Nek
Hj
R C M e M e
NVk
ee
R C M M V
))(( 2111 psps
s
CR
k
3V
11
1
1
CRp
22
2
1
CR
p
2211
11
CRCR
)(
21
1
11
211)( je
MM
N
CR
kjH
22
2
1
CRp 111
1
CRp
高通 低通
2M 1M
2M
1M 1N
较小时 起作用－－呈高通?
几乎不随频率变化
0,
1
1
11
11CRMP
)(
1121
1 211)( je
CRMM
kNjH
2p
22
1CR0?
k 高通)(?jH
呈现高通特性
)(
2
1 11)( je
M
kN
jH
090
045
0
22
1
CR
)( j
2M
1N
j
22
1CR?
2?
1M
较大时 起主要作用－呈低通?
)(
1121
1 11)( je
CRMM
kNjH
1M
j
11
1
CR
0?
低通特性
k
1p
呈低通性
1
1
)( je
M
k
jH
几乎不随频率变化
0
12122 90,,NMPZ
1?
11
1
1
CRp
22
2
1
CRp
1122
11
CRCR
k
)(?jH
带通
090
090?
)( j?
2211
1122
,11 CRCRCRCR
0
1212
1
11
1
90,
0,
1
jNM
CR
M
：同时满足
)(
21
1
11
211)( je
MM
N
CR
kjH
0)(
)(
00
j
kkejH j
例：若已知 H(s)零极点分布如图 (a)--(c)试粗略给出它们的
.)(?jH
)(a
22p
j
1M
2M
11p
)(
21
21
21
1
)(
))((
1`
)(
je
MM
jH
psps
sH )(?jH
)(b
22p
j
1M
2M
)(
21
1
21
211)(
))((
)(
j
e
MM
N
jH
psps
s
sH )(?jH
1N
)(c
22p
j
1M
2M
)(
21
21
21
2
2121)(
))((
)(
j
e
MM
NN
jH
psps
s
sH
)(?jH
1N
2N
§ 4.5 线性系统的 拉氏变换分析法 及 系统函数拉氏变换分析法,
一,将时域信号、系统变换到 S域，进行分析求解二,建立 S域元件模型,进行分析求解三、从信号分解的观点,全响应分为零状态响应与 零输入响应系统函数一,拉氏变换分析法步骤
y(t)的微分方程及 初始条件 y(s)的代数方程
y(s)的函数微分方程的解取拉氏变换取拉氏反变换解方程经典法求解信号 x(s)
)(te
0Li
L
C
)(tuc
R
例 1：如图所示，求回路的电流 I。
)()(1)()(:)1( tedictRidt tdiL t列写微分方程系统取取拉氏变换?0:)2(
)0()(])([,LLisL s Idt tdiLLT由微分性质
s
u
cs
sIdi
cLT
ct )0()(])(1[,
由积分性质所以原方程的拉氏变换式为：
)()0()(1)()0()( sEsusIcssRILisL s I cL
cs
RLs
s
u
LisE
sI
c
L
1
)0(
)0()(
)(
cs
RLs
s
u
Li
cs
RLs
sE
c
L
1
)0(
)0(
1
)(
.)(),(
)(.)0(),0(,,
为全响应则变换得反对被自动计入初始条件上过程中显然
titi
sIui cL
初始条件电路变化之前求得。
零状态响应 零输入响应例 2
求已知,
0)0()()(
4
1
)0()()(
2
2
1
l
t
c
iAtueti
VuAttuti
)(2 tu
1
1
31
H41
F1)(
1 ti
)(2 ti
3
21
)(3 1 tu
)(2 tu
)(1 tu
解,1.列出节点电位方程
t
tutidu
L
tutu
titu
dt
tdu
ctu
)(3)()(
1
)()
3
1
1
1()(1
)()(1
)(
)()11(
12221
12
1
1
移项，整理并代入参数得：
t
t
tuedututu
ttutu
dt
tdu
tu
)()(4)(4)(4
)()(
)(
)(2
2
221
2
1
1
初始条件
0)0()0(
4
1
)0()0()0( 1
LL
cc
ii
Vuuu
2.求这组方程的拉氏变换
2
1
)(
4
)(4)(4
1
)()0()()(2
221
2211
s
su
s
susu
s
suussusu c
解联立代数方程组得
2
)()1(4)(4
4
11
)()()2(
21
221
s
s
susssu
s
susus
2
4
11
)(
)(
)1(44
1)2( 2
2
1
s
s
s
su
su
ss
s
写成矩阵形式求出方程的解
1)1(
12
1
)(
22
Ss
su
3.求拉氏逆变换
)()]s in (
2
1[)]([)(
2
1
2 tutesuLtu
t
二,s域元件模型
A、回路分析下的 s域元件模型,阻抗值
)()()()( sRIsVtRitv RRRR 拉氏变换
)0()()()()( LLLLL Liss L IsVdt tdiLtv 拉氏变换
s
u
cs
sIsVdi
ctv
cc
c
t
c
)0()()()(1)(
拉氏变换
)(sIR
)(sVR
sL
)0(LLi
)(sIL
)(sVL
电阻电感
cs1 svc )0(
)(sIc
)(sVc
电容
B、节点分析下的 s域元件模型 导纳值
)(1)(,sVRsI RR?电阻
)(sIR
)(sVR
)0(1)(1)(,LLL issVsLsI电感
sL
)0(1 Lis
)(sIL
)(sV
L
)0()()(,ccc cvss cVsI电容
)(sIc sc1
)0(ccv
)(sVc
例：用 s域元件模型法求下图的
)(tvc
解：作出 s域网络模型如图，有：
E
R
c
)(tvc
s
E
R
sc1
s
E?
)(sVc)(sI
)()()( sEsEsIscR
)1(
2
)(
sc
Rs
E
sI
s
E
s c Rs
E
s
E
sc
sIsV
c )1(
2)()(
)
1
21
(
Rc
ss
E
)(]2[)( tuEeEtv Rc
t
c
Ev c_)0(
１,用拉氏变换求取系统的 零状态响应
dsesEsH
j
tr
sHsEsR
dtetesE
thtetr
j
j
st
st
)()(
2
1
)(
)()()(
)()(
)(*)()(
0三、从信号分解的角度看拉氏变换
L H(s) 1?L)(te )(sE
)()( sEsH )(tr
系统函数的定义
系统零状态下,响应的拉氏变换与激励拉氏变换之比叫作系统函数，记作 H(s).
可以是电压传输比、电流传输比、转移阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
)(
)()(
sE
sRsH?
))0()()(()( LLLL Liss L IsvLssZ?电感的运算阻抗
))0(1)(1)((1)( cccc vssIscsvcssZ?电容的运算阻抗各元件方程式都写作,V(S)=Z(S)I(S) I(S)=Y(S)V(S) 0
0
)( )()(:1
1
2
sV
sIsH求右电路图中例解：列回路方程：
0)()1
2
()(
1
)(
1
0)(
1
)()11
1
()(
)()(
1
)()()1
1
(
321
321
1321
sI
s
sI
s
sI
s
sI
s
sI
s
sI
sVsI
s
sIsI
s
)(1 tv
)(1 ti )(
2 ti
)(3 ti
1
1
1
1
1
)1(
)2(
)3(
由 (2),(3)式有：
)(
12
122
)(
)(
12
13
)(
22
2
1
223
sI
ss
ss
sI
sI
ss
s
sI
左式代入 (1),解得,
15
12
)(
)()(
2
2
1
2
ss
ss
sV
sIsH
2,零输入响应 )(tr
zi
系统的初始储能，可视为冲激源。或系统的零输入响应与冲激响应有相同的模式。其响应模式由 H(s)极点确定,
n
n
s
K
s
K
s
K
sD
sNsH
,,,
)(
)()(
2
2
1
1
t
n
tt nekekekth,..)( 211
21
相应地，系统的零输入响应为：
t
n
tt
zi nececectr
,..)( 211
21
由系统的初始状态确定待定其中,...,21 nccc
例：
,65 5)(,1)0(',2)0(),()( 2 ss ssHrrtuete t 初始条件输入
)(.,tra zi求系统的零输入响应解
:,3,2)3)(2( 5)( 21 有极点为 ssss ssH
)(][)( 3221 tuecectr ttzi
5
7
132)0('
2)0(
2
1
21
21
c
c
ccr
ccr
zi
zi
求全响应。
)(]57[)( 32 tueetr ttzi
)(,trb zs求系统的零状态响应 11][)( seLTsE t?
3
1
2
3
2
2
)3)(2)(1(
5)()()(
ssssss
ssEsHsR
)(]32[)( 32 tueeetr tttzs,..)()()(, trtrtrc zszi
§ 4.7由系统函数的零极点决定时域特性决定系统的时域响应决定系统稳定性一,系统函数 H(s)的零极点和零极图
1.由 H(s)确定的零点和极点
01
1
1
00
1
1
...
...
)(
)()(
bsbsbsb
asasasa
sD
sNsH
n
n
n
n
m
m
m
m
a.零点,使 H(s)=0的 s值,令 N(s)=0求得。
b.极点,使 H(s)=无 穷大的 s 值,令 D(s)=0求得。
c.极点的阶,
11 )]()[(
,)(lim
1
sssFss
sF
ss
但若
,
)]()[( 11
nk
sssFss k
只到一阶极点 n阶极点
)(5
),(3,0
,4,2
)5)(9(
)4)(2(
)(
22
二阶极点一阶极点极点零点
s
j：s
s：s
sss
ssk
sF
零图极?
例：
3j
3j?
05?
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
j
0z
1z
2z
0p
1p
2p
2、由零、极点确定 H(s)
n
i
i
m
j
j
ps
zsk
sH
1
1
)(
)(
)(
反变换
n
i
i
n
i
tp
i
n
i i
i
thek
ps
k
Lth
i
11
1
1
)(
)(
第 i个极点决定总特性
Ki与零点分布有关二、系统函数 H(S)决定的时域特性 —— h(t)
零极点与时域波形的对应关系
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(a)一阶极点在 原点
j
0 1p
SsH
1)(?
t
)(th
)()( tuth?
A.极点的影响
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(b)一阶极点在 负实轴
j
0
SsH
1)(
t
)(th
teth)(
te
1p
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(c)一阶极点在 正实轴
j
0?
S
sH 1)(
)(th
t
0
teth)(
te?
1p
（ 2） 几种典型的极点分布 ——
(d)一阶共轭极点在 虚轴上
j
0
1?j
1?j?
2
1
2
1)(
S
sH
)(.s i n)( 1 tutth
t
)(th
0
1p
2p
j
0
1?j
1?j?
2
1
2)( S
S
sH
)(.c o s)( 1 tutth
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(e)共轭极点 在虚轴上,原点 有一零点
t
)(th
0
1p
2p
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(f)共轭极点在 左半平面
j
0
1?j
1?j?
2
1
2
1
)(
)(
S
sH )(.s i n)( 1 tuteth t
t
)(th
0
2p
1p
（ 1） 几种典型的极点分布 ——
(g)共轭极点在 右半平面
j
0
1?j
1?j?
2
1
2
1
)(
)(
S
sH )(.s i n)( 1 tutth
t
)(th
0
1p
2p
一阶极点
j
（ 2） 有二重极点分布 ——
(a)在原点 有二 重极点
j
2
1)(
S
sH?
)(th
t0
tth?)(
j
2)(
1)(
S
sH
)(th
t0
tteth)(
（ 2） 有二重极点分布 ——
(b)在负实轴 上有 二重极点
（ 2） 有二重极点分布 ——
(c)在 虚轴 上有二 重极点
j
22
1
2 )(
2)(
S
SsH
)(th
t0
ttth 1s i n)(
（ 2） 有二重极点分布 ——
(d)在左半平面有二重共轭极点
j
22
1
2 ])[(
)(2)(
S
SsH
)(th
t0
tteth t 1s i n)(
1?j
1?j?
二重极点
j
极点影响小结：
极点落在左半平面 — h(t) 逞衰减趋势
极点落在右半平面 — h(t)逞增长趣势
极点落在虚轴上只有一阶极点 — h(t) 等幅振荡，不能有重极点
极点落在原点 — h(t)等于 u(t)
极点分布决定时域特性
B 零点的影响
221 )()(
as
assH
222 )()( as
ssH
0z
teth at?co s)(
)(
)c o s (1)(
1
2
a
tg
t
a
eth
at
0z
零点移动到原点零点的影响
零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率
teth at?co s)(
)(
)c o s (1)(
1
2
a
tg
t
a
eth
at
幅度多了一个因子多了相移三 H(S) E(S)极点分布自由响应与强迫响应对应关系
n
i
i
m
j
j
v
k
k
u
l
l
ps
zs
ps
zs
sHsEsR
1
1
1
1
)(
)(
.
)(
)(
)().()(
v
k k
k
n
i i
i
ps
k
ps
ksR
11
)(
tp
v
k
k
n
i
tp
i
ki ekektr
11
)(
来自 H(s)
的极点来自 E(s)
的极点自由响应 强迫响应结论
H(s)的极点决定了 自由响应 的 振荡频率,与激励无关
自由响应的 幅度和相位 与 H(s)和 E(s)的零点有关，即零点影响 K i,K k 系数
E(s)的极点决定了 强迫响应 的振荡频率，与
H(s) 无关瞬态响应分量与稳态响应分量
系统 H(s)的极点一般是复数，讨论它们实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
不稳定系统 增幅
临界稳定系统 等幅
稳定系统 衰减
0Re?ip
0Re?ip
0Re?ip
0)(?
t
tr 0)(t tr
激励 E(s)的极点影响
激励 E(s)的极点也可能是复数
增幅，在稳定系统的作用下稳下来，或与系统某零点相抵消
等幅，稳态
衰减趋势，瞬态
0]R e[?kp
0]R e[?kp
0]R e[?kp
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳态响应 。
T
)(te
t
R
C)(te )(0 tv
（ 1）求 e(t)的拉氏变换
)1(
)1(1
)1(
1
)(
0
sT
s
n
s n Ts
e
e
s
ee
s
sE
（ 2）求系统函数 H(s)
s
Cs
R
Cs
sH
RC
1
1
1
)(
j
（ 3）求系统完全响应的拉氏变换 )(0 sV
)1)((
)1(
)().()(0 sT
s
ess
e
sHsEsV?
瞬态 稳态
)()()( 000 sVsVsV st
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换 V01(s)
)(
)1(
)().()( 101
ss
e
sEsHsV
s
（ 4）求瞬态响应，它在整个过程中是一样的。
s
KsV
t
1
0 )(
t
Tt
e
e
e
tv?
,
1
1
)(0
固定常数衰减因子
Ts e
essVK
1
1))((
01
（ 6）求第一周期的稳态响应
se
e
ss
e
sVsVsV
T
s
ts
1
.
1
1
)(
)1(
)()()( 00110
)().1(
)(]..
1
1
1[)(
)(
)(
10
tue
tue
e
e
tv
t
t
T
T
s
1
)(1 tVos
t
0
（ 7）整个周期矩形信号的稳态响应
0
100 )])1(()()[()(
n
ss TntunTtunTtvtv
瞬态响应稳态响应 完全响应
B
B?
A
Te
eB
1
1
Te
eA
1
1
§ 4.8 由系统函数零极点分布决定系统频率特性一、什么是系统频率响应？
系统在不同频率的正弦激励下系统的稳态响应随频率的变化情况,
频响 H(W)一般为复数，包括幅度响应和相位响应两个方面。可表示为下列两种形式：
)()()(
)()()(
jjejHjH
jjIjRjH
tEte m 0s i n)(
2
0
2
0)(
s
EsE m
n
i i
ijj
ps
k
js
k
js
k
sHsEsR
100
00
)()()(
由正弦激励的极点决定的稳态响应如系统是稳定的，
该项最后衰减为零设系统 H(S),正弦激励源 e(t),分析系统的稳态响应 r(t)
解 1,拉氏分析法
000 )( jeHjH? 0
00 )(
jeHjH
)s i n ()( 000 tHEtr m
稳态响应有关的
tEte m 0s i n)(
幅度改变 相位偏移
j
eHEsRjsk jm
jsj 2)()(
0
00
0
0
j
eHEsRjsk jm
jsj 2)()(
0
00
0
0
引入符号
)()(0 0000
2
)( tjtjmw ee
j
HEtr
傅里叶分析法更直接
000 )( jeHjH?
)()()( jjejHjH?
若 换成变量 0
系统频率特性 幅频特性 相位特性
)()()()( jejHjssHjH
解 2,傅里叶分析法二、按滤波网络 幅频特性 不同，可以划分为低通、高通、带通、带阻、全通几种类型
)(jwH
w
cw
低通 w
cw
)(jwH
高通 w1c
w
2cw
)(jwH
带通
1cw 2cw
w
)(jwH
带阻
w
)(jwH
全通三、用几何法求系统频率特性
n
l
l
m
i
i
j
n
m
n
i
i
m
j
j
e
MMM
NNN
k
pj
zjk
jH 11
)(
21
21
1
1
)(
)(
)(
j
1p
1z
111 jeNzj
111 jeMpj
2p
例：已知 试求当时的幅频和相位
122
1)(
23 ssssH
1
1M
1?
1j
01 454 1 4.1M
1
()
1 3 1 3
( 1 ) ( ) ( )
22
Hs
jj
s s s
2M
1j
2?
0
2
2
15
517.0
M
3M
3?
1j
033 759 3 2.1M
1 2 3
0 0 0 0
11
( 1 )
2
1 ( 45 15 75 ) 135
Hj
M M M
j?
一阶系统和二阶非谐振系统的
S平面分析
已知该系统的 H(s)的极零点在 S平面的分布，确定该系统的幅频特性和相频特性的渐近线
（ 1）一阶系统
一零点，一在实轴的极点
一在原点的零点，一在实轴的极点
只有无穷远处的零点一在实轴的极点
1
1)(
ps
zsKsH
1
)(
ps
sKsH
1
)(
ps
ksH
例：求一阶高通滤波器的频率特性
+
U1
—
+
U2
—
C
R
RC
s
s
sc
R
R
sU
sU
sH
11)(
)(
)(
1
2
M N
-1/RC
)()( je
M
NjH
0,1,0,0
M
N
Rc
MN?
2
1
,
2
,45,
1
,
1 0
M
N
Rc
M
Rc
N
Rc
0,1,
M
N
1
2UU
幅频特性
090
045?
相位特性
M N
-1/RC
例,求一阶低通滤波器的频率特性
R
C
+
U1
_
+
U2
_
RC
s
RC
RU
U
sH
Cs
Cs
1
1
.
1
)(
1
1
1
2
没有零点
M
RC
1?
j
)( 11)( je
M
kjH
1,1,0
1
2 UURCM?
0
1
2
45
2
1
,
2
,
1
U
U
RC
M
RC
0
1
2
90
0,,
U
U
M
1
2UU
RC1
幅频特性
045?
090?
RC1
相位特性
M
RC
1?
j
（ 2） 二阶非谐振系统的 S平面分析
只考虑单极点使系统逞低通特性只考虑一极点和一零点使系统逞高通特性中间状态是个常数低通高通
)(?jH
总体是个带通例：
1V 2V1
R
1C
3KV
2C
2R
2211
111
2
11)(
)(
)(
CR
s
CR
s
s
CR
k
sV
sV
sH
1
12
1 1 2
1
1 1 1 2
() ()12
1 1 1 2 1
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j
jj
j j
Nek
Hj
R C M e M e
NVk
ee
R C M M V
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s
CR
k
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11
1
1
CRp
22
2
1
CR
p
2211
11
CRCR
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21
1
11
211)( je
MM
N
CR
kjH
22
2
1
CRp 111
1
CRp
高通 低通
2M 1M
2M
1M 1N
较小时 起作用－－呈高通?
几乎不随频率变化
0,
1
1
11
11CRMP
)(
1121
1 211)( je
CRMM
kNjH
2p
22
1CR0?
k 高通)(?jH
呈现高通特性
)(
2
1 11)( je
M
kN
jH
090
045
0
22
1
CR
)( j
2M
1N
j
22
1CR?
2?
1M
较大时 起主要作用－呈低通?
)(
1121
1 11)( je
CRMM
kNjH
1M
j
11
1
CR
0?
低通特性
k
1p
呈低通性
1
1
)( je
M
k
jH
几乎不随频率变化
0
12122 90,,NMPZ
1?
11
1
1
CRp
22
2
1
CRp
1122
11
CRCR
k
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带通
090
090?
)( j?
2211
1122
,11 CRCRCRCR
0
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1
11
1
90,
0,
1
jNM
CR
M
：同时满足
)(
21
1
11
211)( je
MM
N
CR
kjH
0)(
)(
00
j
kkejH j
例：若已知 H(s)零极点分布如图 (a)--(c)试粗略给出它们的
.)(?jH
)(a
22p
j
1M
2M
11p
)(
21
21
21
1
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je
MM
jH
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)(b
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j
1M
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)(
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1
21
211)(
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j
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MM
N
jH
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s
sH )(?jH
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)(c
22p
j
1M
2M
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21
21
2
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))((
)(
j
e
MM
NN
jH
psps
s
sH
)(?jH
1N
2N
