第十二章 系统的状态变量分析法
.由系统框图或电路图画出对应的信号流图
.状态方程和微分方程 (差分方程 )之间的互化
.连续时间系统和离散时间系统状态方程的列写和 (求解 )
*本章的要点一,系统数学摸型的描述方法
12.1 引言输入－输出描述法,主要表达输入信号与输出信号之间的关系，只关心系统的输入和输出的有关变量，而不涉及系统内部，称外部端口表达法。 (经典法 )
状态变量描述法,是以系统内部某些变量作为状态变量，
这种描述法表达出系统的全部状态和性能，构成了对系统的内部描述，称为内部表达法。 (现代法 )
二,状态变量法中的几个基本概念 (p307)
① 状态变量法描述系统的要素如图示,
对于一个动态系统，状态是表示系统的一组最少变量（被称为状态变量），它满足两条：
只要知道 t=t0时这组变量和 t?t0的输入函数；
决定 t?t0的系统的全部的其它变量。
系统的状态变量不是惟一的。
a.状态：动态系统在 时刻的状态,是一组代表所要最小信息量的数值,利用这组数值,输入及系统模型,可唯一确定系统的工作情况 。 其实质是指系统的储能状况 。
b.状态变量：能够表示系统状态的那些变量称为状态变量
c.状态矢量：能完全描述一个系统行为的若干个状态变量,
看作矢量的各个分量坐标通常状态变量记为矩阵形式,
每一矩阵元素即为一状态变量
tx
tx
tx
tx
n
.,,,,,
d.状态空间：由状态矢量 x1,x2 … xn 所组成的 n维空间
e.状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化而描述出的路径称为状态轨迹
tt
)(),,,(),( txtxtx n
三,系统动态方程的一般形式
系统动态方程由两部分组成：
状态方程：一阶微分方程组或一阶差分方程组。
输出方程：由状态变量和激励表示的输出响应。
一般形式为：
连续系统
'x ( t ) A x ( t ) B f ( t )
)()()( tDftxCty
状态方程输出方程
离散系统
)()()1( kBfkAxkx
)()()( kDfkxCky
状态方程输出方程
qy
n
x
x
x
X
.
2
1
1f
2f
pf
1y
2y
pnpnnnnnnnn
n
pnnn
fbfbfbxaxaxa
dt
dx
fbfbfbxaxaxa
dt
dx
22112211
121211111212111
1
.
.
状态方程状态变量 输入信号
mrmrrnnnnnr
mmnn
mmnn
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
.......
.............................................................................
.......
.......
22112211
222212122221212
121211112121111输出方程即,状态方程 和 输出方程 是 状态变量 和 输入信号 的线性组合 。
状态变量 输入信号状态方程和输出方程 的 矢量矩阵 表示
pqpqq
p
p
nqqq
n
n
q
f
f
f
ddd
ddd
ddd
x
x
x
ccc
ccc
ccc
y
y
y
.
.
....
.
.
.
.
....
.
.
.
2
1
21
22221
11211
2
1
321
22221
11211
2
1
y xnq?C pq?D f
ppnn
p
n
nnnnn
n
n
n
f
f
f
bbb
bbb
bbb
x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x
x
.
.
....
.
.
.
.
....
.
.
'
.
'
'
2
1
221
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
nn?A pn?Bx f'x
四、状态变量分析法的优点：
① 便于研究系统内部变化规律,从而便于研究系统的规律和检查物理系统的模型是否正确
② 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度没有大的关系,复杂系统和简单系统的数学模型相似,都是一阶统线性微分 （ 差分 ） 方程组 。 因此该分析法对多输入输出系统有很强的处理能力
③ 可有效地用于非线性时变系统
④ 便于分析系统的可控性和可观测性及稳定性。
⑤ 便于用计算机处理（数值解法）
§ 12.2连续时间系统状态方程的建立状态方程的建立方法直接编写法间接编写法自动编写）系统编写（借助计算机网络拓扑分析编写直观编写由系统转移函数编写图编写由系统方框图或信号流由输入输出方程编写建立电路的状态方程建立系统模型的状态方程由电路用直观法与网络拓扑分析法写状态方程的 步骤 为：
① 取独立的电感电流与电容电压为状态变量
② 对每一独立变量列写一阶微分方程
③ 消去冗余变量（非状态变量），整理。
第一类,直接编写法
1、状态变量的选取
① 电系统中一般选电感电流和电容电压作为状态变量
② 状态变量的个数等于系统的阶数
③ 状态变量是独立变量
a.“独立,从数学形式上看,只可由其他变量积分,微分得到 。
b.从电路形式上看
Li
只有一个独立电流
Li
cu
一个独立电压
cu
cu Li
二个独立变量 cu Li,
即：一般而言取全部独立的电感电流电容电压为状态变量,
2.状态方程的直观编写例 2：列下图状态方程：
Li?Li
cu?i?i
)(te?
)(te?
解,① 选状态变量如图
② 列独立变量的一阶微分方程：
)('
)('
)('
LLc
cL
cL
iiu
uiei
uiei
③ 消去冗余变量：
LL iiii,
LLc
cLL
cLL
iiu
euii
euii
'
'
'
e
e
u
i
i
u
i
i
c
L
L
c
L
L
'
'
'
例,如图所示电路，以 x3(t)为输出。列写状态方程，并写成矩阵形式，指出 A,B,C,D矩阵。
)(
1tf
H1
1
)(1tx
F1
)(2 txH1
)(3 tx
1
)(
2 tf
解,①选状态变量如图选电感的电流,电容的电压为状态变量
3111 )( xtfxx
)(2232 tfxxx
213 xxx
状态方程为：
)(
)(
00
10
01
011
110
101
2
1
3
2
1
3
2
1
tf
tf
x
x
x
x
x
x
输出方程为：
)(
)(
00100)(
2
1
3
2
1
tf
tf
x
x
x
ty
A矩阵为 B矩阵为
C矩阵为 D矩阵为
② 列独立变量的一阶微分方程：
第二类,间接编写法
2、选取状态变量选积分器（延时器）的输出作为状态变量
1、作其模拟图（直接、并联,级联）
3.编写状态方程步骤为：
A.简单的连续时间系统的状态方程设某三阶连续时间系统的微分方程为：
)(10)('4)(12)('19)(''8)(''' tetetrtrtrtr
则其转移函数为：
teptrppp 10412198 23
由系统的 输入输出方程,系统函数 H(S)建立状态方程
'?x
x?x
x
e r
s
1
s
1
s
1?
'''q ''q 'q q
8?
19?
12?
4
10?
① 作其 直接模拟 图如下：
② 选取状态变量
x?x?x
ssssss ssE sYsH
（ 1）直接模拟
231 2 34 1 01 8 1 9 1 2Ys ssHs E s s s s
写成矩阵形式，得到：
e
x
x
x
BeAx
x
x
x
3
2
1
0410
x
x
x
DeCxy
状态方程输出方程
exxxx
xx
xx
21 410 xxy
则上模拟图可表示为：
③ 列写状态方程、输出方程
（ 2）并联模拟
423111 ssssH
作其模拟图如右图：
e
x
x
x
x
x
x
exx
exx
exx
xxxy
x
x
x
y
e y
x
x
x
状态方程输出方程
（ 3）级（串）联模拟
)4)(3)(1(
)(4
12198
104)( 25
23
sss
s
sss
ssH
1
4
s 3
2
5
s
s
4
1
s
)(tf )(ty1x2
x3x
1
4
)(34
1 325
3
2
2
1
stf
x
s
s
x
x
sx
x
)(433 tfxx
211 4 xxx
)(433 3232325322 tfxxxxxx
1)( xty?
11
3
22 2
33
1
2
3
' 4 1 0 0
' 0 3 4
' 0 0 1 4
( ) 1 0 0
xx
x x e
xx
x
y t x
x
状态方程输出方程如果系统函数 H(s) 是假分式
H(s)? 信号流图? 状态方程
直接模拟
01
2
2
3
01
2
2
3
3)(
asasas
bsbsbsbsH
)(tf )(ty1 1?s 1?s 1?s
3b
2b
1b
1a?
0b
0a?
2a?
1x2x3x
信号流图如图所示设积分器输出作为状态变量，
21 xx 32 xx
)(1021323 tfxaxaxax
)()()()(
])([
)(
3332223111300
1021323322110
33322110
tfbxbabxbabxbab
xaxaxatfbxbxbxb
xbxbxbxbty
)(
1
0
0
100
010
3
2
1
2103
2
1
te
x
x
x
aaax
x
x
)()()()()( 3
3
2
1
322311300 teb
x
x
x
babbabbabty?
xbxbxbyayayay mmmmnnn 0)1(1)(01)1(1)(,..'..,
1 na
1a?
0a?
x
)(nq )1(?nq ''q 'q q
1?nb
0b?
1b
y
B．一般连续时间系统的状态方程：
① 直接模拟：
n阶系统：
a,时,其模拟图为,1 nm
x
xnx'nx
由上图有：
exaxaxax
xx
xx
xx
nnnnn
nn
.....
...........
mm xbxbxby,,,,把上式写成矩阵形式：
e
x
x
x
x
aaaaax
x
x
x
n
n
nnn
n
......
...
...
....................
....
....
....
n
m
x
x
x
bbby
....
......
状态方程输出方程规律,① A矩阵最后一行为,,.,,,,,
naaa
② A矩阵对角线右边元素均为 1
③ A矩阵其它元素为 0
④ B矩阵最后一行为 1,其余为 0
⑤ C矩阵元素依次为
⑥ D矩阵为 0 0,.,,,,,0,,.,,,,,10 mbbb
若 m=n，则,显然,对于状态方程，与 m<=n-1时形式完全相同,对输出 y,有：
ebxabbxabbxabby nnnnnnn,..
eb
x
x
x
abbabbabby n
n
nnnnn?
...
.,,,,
*.H(s)或系统 与 A,B,C,D矩 阵的关系：
② 对角线变量：
n
n
s
k
s
k
s
ksH
,...
s?k
s?k
ns
nk
)(sx?
)(sx?
)(sxn
exx
exx
exx
exx
nnn
nnn
111
222
111
..,,,,,,,,,
nn xkxkxky,,,,写成矩阵形式：
e
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
n
......
...
...
....................
....
....
....
n
nn
x
x
x
kkkky
.,,,
...
规律：
① A矩阵对角线元素为 各极点,其余元素为 0
② B矩阵为 1
③ C矩阵为部分分式系数
④ D矩阵为 0
sH
例 1,已知某系统的转移函数如下，列写直接模拟，并联模拟下的状态方程：
ss
ssH )(
解,A、直接模拟 —— 相变量
exx
x
x
'
'
x
xy
B、并联模拟 —— 对角线变量
sssH )(
exx
x
x
'
'
x
xy
例 2
用流图的 串联结构 形式建立状态方程 。
6116 423 sss ssH
把 作因式分解
6116
4
23
sss
ssH
3
1
2
4
1
1
ss
s
ssH
画成流图形式选积分器输出为状态变量
tetr
s1 s1 s13?
2
1
1 1 1 1
1
1? 2? 3?
4
te33
322
32123211
2
23243
1tr
te
1
0
0
1 0 0
1 2 0
1 2 3
3
2
1
3
2
1
0,0,1
3
2
1
tr或
§ 12.4离散时间系统状态方程的建立
E
1
)1(?n? )(n?
E
1
)1(?n?)(n?
对于离散系统状态方程的建立,仍然是,
直接法,
间接法,用延时器代替积分器（ P333-P336）
1、作出模拟图，选状态变量
2、列写状态方程步骤为：
)()1(2)(2)1(3)2( nfnfnynyny
21
21
2 231
2
23
12
)(
:
zz
zz
zz
z
zH
写出系统的转移函数解例 1：设离散系统的差分方程如下，
求其状态方程和输出方程
E1 E
1?
2?
2
3?
)(nf )(ny
的输出作为状态变量令图中每一个延时单元
)(1 nx
)(2 nx
)(2)()(
)()(3)(2)1(
)()1(
21
212
21
nxnxny
nfnxnxnx
nxnx
写成矩阵形式：
)(
)(
21)(
)(
1
0
)(
)(
32
10
)1(
)1(
2
1
2
1
2
1
nx
nx
ny
nf
nx
nx
nx
nx
的状态方程。
写出离散时间系统例
)()2(
8
1
)1(
4
3
)(
.2
nxnynyny
)1()()2()(
:
21 nynqnynq
选状态变量解
)()1( 21 nqnq由此得出：
)()(
4
3
)(
8
1
)(
)()(
4
3
)(
8
1
)1(
21
212
nxnqnqny
nxnqnqnq
)()(
4
3
8
1
)(
)(
1
0
)(
4
3
8
1
10
)1(
nxnqny
nxnqnq
例 3:已知离散系统模拟图如下,求其状态方程解,令延时器的输出为状态变量
)(2 nx
)(1 nx
)()()1(
)()()1(
2222
1111
nenxanx
nenxanx
)()()(
)()()(
122
211
nenxny
nxnxny
例 4
描述系统的差分方程为
33221342312 nxnxnxnynynyny
写出其状态方程和输出方程。
由差分方程写出该系统的系统函数
321 321 4321 32 zzz zzzzH
画出其信号流图
nxny
1
1?
z
1?
z
1?
z 3?
)(
1
n?)(
2
n?)(
3
n?
1
2
2?
3
4?
以延时器的输出作为状态变量，分别为nnn
321,,
这样即可写出状态方程与输出方程为：
nxnnnn
nn
nn
)(2)(3)(41
1
1
3213
32
21
nnnny 321 23
nx
n
n
n
n
n
n
1
0
0
234
100
010
1
1
1
3
2
1
3
2
1
n
n
n
ny
3
2
1
123
表示成矩阵形式为
.由系统框图或电路图画出对应的信号流图
.状态方程和微分方程 (差分方程 )之间的互化
.连续时间系统和离散时间系统状态方程的列写和 (求解 )
*本章的要点一,系统数学摸型的描述方法
12.1 引言输入－输出描述法,主要表达输入信号与输出信号之间的关系，只关心系统的输入和输出的有关变量，而不涉及系统内部，称外部端口表达法。 (经典法 )
状态变量描述法,是以系统内部某些变量作为状态变量，
这种描述法表达出系统的全部状态和性能，构成了对系统的内部描述，称为内部表达法。 (现代法 )
二,状态变量法中的几个基本概念 (p307)
① 状态变量法描述系统的要素如图示,
对于一个动态系统，状态是表示系统的一组最少变量（被称为状态变量），它满足两条：
只要知道 t=t0时这组变量和 t?t0的输入函数；
决定 t?t0的系统的全部的其它变量。
系统的状态变量不是惟一的。
a.状态：动态系统在 时刻的状态,是一组代表所要最小信息量的数值,利用这组数值,输入及系统模型,可唯一确定系统的工作情况 。 其实质是指系统的储能状况 。
b.状态变量：能够表示系统状态的那些变量称为状态变量
c.状态矢量：能完全描述一个系统行为的若干个状态变量,
看作矢量的各个分量坐标通常状态变量记为矩阵形式,
每一矩阵元素即为一状态变量
tx
tx
tx
tx
n
.,,,,,
d.状态空间：由状态矢量 x1,x2 … xn 所组成的 n维空间
e.状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化而描述出的路径称为状态轨迹
tt
)(),,,(),( txtxtx n
三,系统动态方程的一般形式
系统动态方程由两部分组成：
状态方程：一阶微分方程组或一阶差分方程组。
输出方程：由状态变量和激励表示的输出响应。
一般形式为：
连续系统
'x ( t ) A x ( t ) B f ( t )
)()()( tDftxCty
状态方程输出方程
离散系统
)()()1( kBfkAxkx
)()()( kDfkxCky
状态方程输出方程
qy
n
x
x
x
X
.
2
1
1f
2f
pf
1y
2y
pnpnnnnnnnn
n
pnnn
fbfbfbxaxaxa
dt
dx
fbfbfbxaxaxa
dt
dx
22112211
121211111212111
1
.
.
状态方程状态变量 输入信号
mrmrrnnnnnr
mmnn
mmnn
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
fdfdfdxcxcxcy
.......
.............................................................................
.......
.......
22112211
222212122221212
121211112121111输出方程即,状态方程 和 输出方程 是 状态变量 和 输入信号 的线性组合 。
状态变量 输入信号状态方程和输出方程 的 矢量矩阵 表示
pqpqq
p
p
nqqq
n
n
q
f
f
f
ddd
ddd
ddd
x
x
x
ccc
ccc
ccc
y
y
y
.
.
....
.
.
.
.
....
.
.
.
2
1
21
22221
11211
2
1
321
22221
11211
2
1
y xnq?C pq?D f
ppnn
p
n
nnnnn
n
n
n
f
f
f
bbb
bbb
bbb
x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x
x
.
.
....
.
.
.
.
....
.
.
'
.
'
'
2
1
221
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
nn?A pn?Bx f'x
四、状态变量分析法的优点：
① 便于研究系统内部变化规律,从而便于研究系统的规律和检查物理系统的模型是否正确
② 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度没有大的关系,复杂系统和简单系统的数学模型相似,都是一阶统线性微分 （ 差分 ） 方程组 。 因此该分析法对多输入输出系统有很强的处理能力
③ 可有效地用于非线性时变系统
④ 便于分析系统的可控性和可观测性及稳定性。
⑤ 便于用计算机处理（数值解法）
§ 12.2连续时间系统状态方程的建立状态方程的建立方法直接编写法间接编写法自动编写）系统编写（借助计算机网络拓扑分析编写直观编写由系统转移函数编写图编写由系统方框图或信号流由输入输出方程编写建立电路的状态方程建立系统模型的状态方程由电路用直观法与网络拓扑分析法写状态方程的 步骤 为：
① 取独立的电感电流与电容电压为状态变量
② 对每一独立变量列写一阶微分方程
③ 消去冗余变量（非状态变量），整理。
第一类,直接编写法
1、状态变量的选取
① 电系统中一般选电感电流和电容电压作为状态变量
② 状态变量的个数等于系统的阶数
③ 状态变量是独立变量
a.“独立,从数学形式上看,只可由其他变量积分,微分得到 。
b.从电路形式上看
Li
只有一个独立电流
Li
cu
一个独立电压
cu
cu Li
二个独立变量 cu Li,
即：一般而言取全部独立的电感电流电容电压为状态变量,
2.状态方程的直观编写例 2：列下图状态方程：
Li?Li
cu?i?i
)(te?
)(te?
解,① 选状态变量如图
② 列独立变量的一阶微分方程：
)('
)('
)('
LLc
cL
cL
iiu
uiei
uiei
③ 消去冗余变量：
LL iiii,
LLc
cLL
cLL
iiu
euii
euii
'
'
'
e
e
u
i
i
u
i
i
c
L
L
c
L
L
'
'
'
例,如图所示电路，以 x3(t)为输出。列写状态方程，并写成矩阵形式，指出 A,B,C,D矩阵。
)(
1tf
H1
1
)(1tx
F1
)(2 txH1
)(3 tx
1
)(
2 tf
解,①选状态变量如图选电感的电流,电容的电压为状态变量
3111 )( xtfxx
)(2232 tfxxx
213 xxx
状态方程为：
)(
)(
00
10
01
011
110
101
2
1
3
2
1
3
2
1
tf
tf
x
x
x
x
x
x
输出方程为：
)(
)(
00100)(
2
1
3
2
1
tf
tf
x
x
x
ty
A矩阵为 B矩阵为
C矩阵为 D矩阵为
② 列独立变量的一阶微分方程：
第二类,间接编写法
2、选取状态变量选积分器（延时器）的输出作为状态变量
1、作其模拟图（直接、并联,级联）
3.编写状态方程步骤为：
A.简单的连续时间系统的状态方程设某三阶连续时间系统的微分方程为：
)(10)('4)(12)('19)(''8)(''' tetetrtrtrtr
则其转移函数为：
teptrppp 10412198 23
由系统的 输入输出方程,系统函数 H(S)建立状态方程
'?x
x?x
x
e r
s
1
s
1
s
1?
'''q ''q 'q q
8?
19?
12?
4
10?
① 作其 直接模拟 图如下：
② 选取状态变量
x?x?x
ssssss ssE sYsH
（ 1）直接模拟
231 2 34 1 01 8 1 9 1 2Ys ssHs E s s s s
写成矩阵形式，得到：
e
x
x
x
BeAx
x
x
x
3
2
1
0410
x
x
x
DeCxy
状态方程输出方程
exxxx
xx
xx
21 410 xxy
则上模拟图可表示为：
③ 列写状态方程、输出方程
（ 2）并联模拟
423111 ssssH
作其模拟图如右图：
e
x
x
x
x
x
x
exx
exx
exx
xxxy
x
x
x
y
e y
x
x
x
状态方程输出方程
（ 3）级（串）联模拟
)4)(3)(1(
)(4
12198
104)( 25
23
sss
s
sss
ssH
1
4
s 3
2
5
s
s
4
1
s
)(tf )(ty1x2
x3x
1
4
)(34
1 325
3
2
2
1
stf
x
s
s
x
x
sx
x
)(433 tfxx
211 4 xxx
)(433 3232325322 tfxxxxxx
1)( xty?
11
3
22 2
33
1
2
3
' 4 1 0 0
' 0 3 4
' 0 0 1 4
( ) 1 0 0
xx
x x e
xx
x
y t x
x
状态方程输出方程如果系统函数 H(s) 是假分式
H(s)? 信号流图? 状态方程
直接模拟
01
2
2
3
01
2
2
3
3)(
asasas
bsbsbsbsH
)(tf )(ty1 1?s 1?s 1?s
3b
2b
1b
1a?
0b
0a?
2a?
1x2x3x
信号流图如图所示设积分器输出作为状态变量，
21 xx 32 xx
)(1021323 tfxaxaxax
)()()()(
])([
)(
3332223111300
1021323322110
33322110
tfbxbabxbabxbab
xaxaxatfbxbxbxb
xbxbxbxbty
)(
1
0
0
100
010
3
2
1
2103
2
1
te
x
x
x
aaax
x
x
)()()()()( 3
3
2
1
322311300 teb
x
x
x
babbabbabty?
xbxbxbyayayay mmmmnnn 0)1(1)(01)1(1)(,..'..,
1 na
1a?
0a?
x
)(nq )1(?nq ''q 'q q
1?nb
0b?
1b
y
B．一般连续时间系统的状态方程：
① 直接模拟：
n阶系统：
a,时,其模拟图为,1 nm
x
xnx'nx
由上图有：
exaxaxax
xx
xx
xx
nnnnn
nn
.....
...........
mm xbxbxby,,,,把上式写成矩阵形式：
e
x
x
x
x
aaaaax
x
x
x
n
n
nnn
n
......
...
...
....................
....
....
....
n
m
x
x
x
bbby
....
......
状态方程输出方程规律,① A矩阵最后一行为,,.,,,,,
naaa
② A矩阵对角线右边元素均为 1
③ A矩阵其它元素为 0
④ B矩阵最后一行为 1,其余为 0
⑤ C矩阵元素依次为
⑥ D矩阵为 0 0,.,,,,,0,,.,,,,,10 mbbb
若 m=n，则,显然,对于状态方程，与 m<=n-1时形式完全相同,对输出 y,有：
ebxabbxabbxabby nnnnnnn,..
eb
x
x
x
abbabbabby n
n
nnnnn?
...
.,,,,
*.H(s)或系统 与 A,B,C,D矩 阵的关系：
② 对角线变量：
n
n
s
k
s
k
s
ksH
,...
s?k
s?k
ns
nk
)(sx?
)(sx?
)(sxn
exx
exx
exx
exx
nnn
nnn
111
222
111
..,,,,,,,,,
nn xkxkxky,,,,写成矩阵形式：
e
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
n
......
...
...
....................
....
....
....
n
nn
x
x
x
kkkky
.,,,
...
规律：
① A矩阵对角线元素为 各极点,其余元素为 0
② B矩阵为 1
③ C矩阵为部分分式系数
④ D矩阵为 0
sH
例 1,已知某系统的转移函数如下，列写直接模拟，并联模拟下的状态方程：
ss
ssH )(
解,A、直接模拟 —— 相变量
exx
x
x
'
'
x
xy
B、并联模拟 —— 对角线变量
sssH )(
exx
x
x
'
'
x
xy
例 2
用流图的 串联结构 形式建立状态方程 。
6116 423 sss ssH
把 作因式分解
6116
4
23
sss
ssH
3
1
2
4
1
1
ss
s
ssH
画成流图形式选积分器输出为状态变量
tetr
s1 s1 s13?
2
1
1 1 1 1
1
1? 2? 3?
4
te33
322
32123211
2
23243
1tr
te
1
0
0
1 0 0
1 2 0
1 2 3
3
2
1
3
2
1
0,0,1
3
2
1
tr或
§ 12.4离散时间系统状态方程的建立
E
1
)1(?n? )(n?
E
1
)1(?n?)(n?
对于离散系统状态方程的建立,仍然是,
直接法,
间接法,用延时器代替积分器（ P333-P336）
1、作出模拟图，选状态变量
2、列写状态方程步骤为：
)()1(2)(2)1(3)2( nfnfnynyny
21
21
2 231
2
23
12
)(
:
zz
zz
zz
z
zH
写出系统的转移函数解例 1：设离散系统的差分方程如下，
求其状态方程和输出方程
E1 E
1?
2?
2
3?
)(nf )(ny
的输出作为状态变量令图中每一个延时单元
)(1 nx
)(2 nx
)(2)()(
)()(3)(2)1(
)()1(
21
212
21
nxnxny
nfnxnxnx
nxnx
写成矩阵形式：
)(
)(
21)(
)(
1
0
)(
)(
32
10
)1(
)1(
2
1
2
1
2
1
nx
nx
ny
nf
nx
nx
nx
nx
的状态方程。
写出离散时间系统例
)()2(
8
1
)1(
4
3
)(
.2
nxnynyny
)1()()2()(
:
21 nynqnynq
选状态变量解
)()1( 21 nqnq由此得出：
)()(
4
3
)(
8
1
)(
)()(
4
3
)(
8
1
)1(
21
212
nxnqnqny
nxnqnqnq
)()(
4
3
8
1
)(
)(
1
0
)(
4
3
8
1
10
)1(
nxnqny
nxnqnq
例 3:已知离散系统模拟图如下,求其状态方程解,令延时器的输出为状态变量
)(2 nx
)(1 nx
)()()1(
)()()1(
2222
1111
nenxanx
nenxanx
)()()(
)()()(
122
211
nenxny
nxnxny
例 4
描述系统的差分方程为
33221342312 nxnxnxnynynyny
写出其状态方程和输出方程。
由差分方程写出该系统的系统函数
321 321 4321 32 zzz zzzzH
画出其信号流图
nxny
1
1?
z
1?
z
1?
z 3?
)(
1
n?)(
2
n?)(
3
n?
1
2
2?
3
4?
以延时器的输出作为状态变量，分别为nnn
321,,
这样即可写出状态方程与输出方程为：
nxnnnn
nn
nn
)(2)(3)(41
1
1
3213
32
21
nnnny 321 23
nx
n
n
n
n
n
n
1
0
0
234
100
010
1
1
1
3
2
1
3
2
1
n
n
n
ny
3
2
1
123
表示成矩阵形式为
