1
金融衍生产品主讲人：沈思玮上海交通大学管理学院
2
第三讲资产价格的动态过程
3
一般维纳过程
连续性
独立增量性
正态性
),()( TbaTNTX 服从
4
另一种表示
ITO微分的表示
– dX=adt+bdW
– 其中 W(t)为标准维纳过程
– a为飘移率,b的平方为方差率
漂移率：收益率的时间度量
方差率：波动率与标准维纳过程波动率的比例关系
,其中N(0,1)
dtdWdtdW 2,?
5
一般 ITO过程
dX=a(X,t)dt+b(X,t)dW
其中 a,b与 X,t有关
漂移率、方差率的解释
6
一个简单的 ITO过程
股票价格行为的动态表示
表示为
近似为
SdWSdtdS
dtdtSdS/
ttSS/
7
对数正态分布
收益率服从正态分布
– 股价非负
股价服从对数正态分布
),(/ ttNSS服从
))),(ln)
2
1
((
)(ln
2
ttStN
ttS
服从
8
ITO定理
dW
X
f
bdt
X
f
b
t
f
X
f
adf
f
b d Wa d tdX
X
)
2
1
(
2
2
2
满足：则衍生资产价格满足：若标的资产价格
9
ITO定理的证明
)()
2
1
(
)(
2
1
),(),(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tot
X
f
bt
X
f
b
t
f
X
f
a
tX
tX
f
t
t
f
X
X
f
t
t
f
X
X
f
tXfttXXff
根据 Taylor展开式
因为
dtdWdtdW 2,?
10
对数正态分布的形式证明
dWdtdf
t
f
SS
f
SS
f
Sf
)
2
1
(
0,
1
,
1
ln
2
22
2
根据 ITO定理
11
ITO定理的数学表示
t
ss
t
ss
t t t
ssssss
t
ss
t
st
t
ss
t
st
dsHXfdXXf
dWHXfdsKXfdsXf
dXXfdsXfXfXf
dWHdsKXXI T O
0
2''
0
2''
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'''
0
2''
0
'
0
00
0
)()(
)()()(
)(
2
1
)(
2
1
)()(
,
其中，
则过程，对于
12
平方可积过程
一阶不可微，不可积
积分包含了两个部分
– 一阶可积项
– 二阶可积项
13
标的资产的显式表示
))
2
1
e x p ( (
)
2
1
(lnln
)
2
1
(ln
2
0
2
0
2
tt
tt
WtSS
WtSS
dWdtSd
14
B－ S过程
当 W(t)t>=0,是标准维纳过程时，存在唯一的 ITO过程满足：
该过程是
))
2
1
e x p ( (
)(
2
0
0
0
tt
t
sst
WtSS
dWdSSSS
15
ITO微分与 Taylor级数微分
相差一个误差项
)(
2
1
2
1
222
2
2
22
2
2
dtdWS
S
f
de
dtS
S
f
dt
t
f
dS
S
f
df
dedfdf
t
I T O
tI T O
16
误差项的处理
平均意义上可相互抵消
比 dt高阶
尚无定论
17
金融工具的复制
从原理上来讲，任何衍生工具可以通过标的资产与无风险资产复制
从 ITO定理来看，一个衍生证券可以组合为：
个单位标的资产的组合与单位无风险资产
X
f
b
X
f
b
t
f
X
f
a
)
2
1
(
2
2
2
18
向量形式的 ITO过程
当金融市场之间相互影响时，衍生证券的定价更加复杂
但在 ITO定理的框架下仍可以解决
可见 ITO定理具有一般特性
19
新金融－－,非理性繁荣,
– 有一张图是从 1860年到 2002年这一段的股价收益图。这张图引起罗伯特 ·希勒注意的是，
红线表示的是回报收益，黑线是股价的价值，
可以看到黑线的波动不大，而股票的收益的波动大很多。从这张图大家可以看出来，在
20世纪的时候，有两个大的泡沫，一个是 29
年大危机这一块，整个股价跌了 80％，另外是于 90年代，到目前为止已经跌了 50％。这个箭头指着一点，就是我跟阿伦古伦斯贝谈到,非理性繁荣,的时候，股价越来越往上冲，一直到泡沫都灭的这个阶段时间。
20
六大思想
第一个思想，个人生计、职业生涯、资产价值
– 个人生计
也叫个人保险，主要是保护人的职业收入、房屋的价值这些。在今天的话，很多保险已经变得不重要了，比如象寿险，由于医疗保障或者医疗体制的不断完善，所以很少有人在年轻的时候就死掉，所以寿险的话，当然在过去很重要，但是现在变得并不是很重要。人们今天更关心的是职业生涯保险，尤其人们担心新技术的变化和技术的核心带来的失业、带来职业的变迁，这是人们面临最大的风险。
21
– 职业生涯
比如象很多穷人，尤其是经济快速变化的时候，可能穷人变得更穷，所以，这也是整个社会所担心的问题。不光光是收入低的阶层，他们面对这种风险，高技术人员同样也面对这种职业生涯变化的风险，比如生物技术，从事生物技术这方面的人，由于这个领域发展很快，可能人到中年的时候从事的事业已经过时了，可能会调整新的技术。
– 房屋价值
房屋的价格跟股票价格一样，也是有降有涨，也很容易产生泡沫，而且现在人们没有办法对房屋价格来进行相应的保值，
我们所要做的就是设计出一种对房屋价值的保险，避免不必要的损失。
六大思想
22
第二个思想，就是宏观市场
– 所谓宏观市场，就象股票市场一样，但是股票市场针对的是公司的收益和回报，可以把这个概念扩大一些，不光是公司的回报，是整个国家经济的回报，比如象 GDP，可以开发一个宏观市场，一个国家跟一个公司一样，它的回报就是 GDP。人们总是简单的认为，股票市场在很大程度上代表一个国家的经济，
但实际上，股票市场是整个经济当中很小很小的一部分。我们应该开发一种或者创造一种 GDP的宏观市场，这才是真正代表一个国家经济的。我们把这个概念，可以扩大到国家的收入，
而且我们可以把它扩展到针对不同的职业，然后针对他们的收入建立相应的市场。我们不仅仅是针对国内建立一个宏观市场，
还应该建立一个国际的宏观市场，比如对地产产权进行相应的交易，增强地产不动产的流动性。
六大思想
23
第三个思想，收入相联系的贷款
– 在今天贷款主要是固定的利率，所谓收入相联系就是你的利润和收入利润相联系在一起，
收入好的时候多付利息，收入不好的时候少付利息。比如象亚洲金融危机，如果我们有收入连接贷款的话，亚洲金融危机发生很多国家的 GDP在减少，这样的话，他们所付的利息也应该可以减少。
六大思想
24
第四个思想，收入不平等保险
– 因为在经济快速发展的今天，人们更加关心收入分配的问题，所以收入分配的不平等带来很多的问题，尤其在国内，对收入不平等要相应的调整，这是应该考虑的。这种收入不平等保险有助于纠正收入税收系统造成的这些问题，而且是自动的，所以减少相应的收入不平等带来其他的问题。
六大思想
25
第五个思想
– 要考虑的是跨代社会保障。今天在世界上老龄化的问题变得越来越严重，跨代社会保障方面，我们需要做考虑。跨代社会保障不仅仅要考虑保障老年人的问题，而且要考虑到年轻人的问题。
六大思想
26
第六个思想
– 有关风险管理国际协议，我们这里主要谈国家与国家之间的风险互换，风险的共担问题，
主要是指国家与国家之间的，是国际上的。
我们可以把很多国家的风险集中在一起，设计一些风险共同分担一点，因为集中在一个国家会过度的受损失。
六大思想
金融衍生产品主讲人：沈思玮上海交通大学管理学院
2
第三讲资产价格的动态过程
3
一般维纳过程
连续性
独立增量性
正态性
),()( TbaTNTX 服从
4
另一种表示
ITO微分的表示
– dX=adt+bdW
– 其中 W(t)为标准维纳过程
– a为飘移率,b的平方为方差率
漂移率：收益率的时间度量
方差率：波动率与标准维纳过程波动率的比例关系
,其中N(0,1)
dtdWdtdW 2,?
5
一般 ITO过程
dX=a(X,t)dt+b(X,t)dW
其中 a,b与 X,t有关
漂移率、方差率的解释
6
一个简单的 ITO过程
股票价格行为的动态表示
表示为
近似为
SdWSdtdS
dtdtSdS/
ttSS/
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对数正态分布
收益率服从正态分布
– 股价非负
股价服从对数正态分布
),(/ ttNSS服从
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2
1
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2
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ITO定理
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2
满足：则衍生资产价格满足：若标的资产价格
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ITO定理的证明
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根据 Taylor展开式
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10
对数正态分布的形式证明
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根据 ITO定理
11
ITO定理的数学表示
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平方可积过程
一阶不可微，不可积
积分包含了两个部分
– 一阶可积项
– 二阶可积项
13
标的资产的显式表示
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14
B－ S过程
当 W(t)t>=0,是标准维纳过程时，存在唯一的 ITO过程满足：
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15
ITO微分与 Taylor级数微分
相差一个误差项
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I T O
tI T O
16
误差项的处理
平均意义上可相互抵消
比 dt高阶
尚无定论
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金融工具的复制
从原理上来讲，任何衍生工具可以通过标的资产与无风险资产复制
从 ITO定理来看，一个衍生证券可以组合为：
个单位标的资产的组合与单位无风险资产
X
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2
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2
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向量形式的 ITO过程
当金融市场之间相互影响时，衍生证券的定价更加复杂
但在 ITO定理的框架下仍可以解决
可见 ITO定理具有一般特性
19
新金融－－,非理性繁荣,
– 有一张图是从 1860年到 2002年这一段的股价收益图。这张图引起罗伯特 ·希勒注意的是，
红线表示的是回报收益，黑线是股价的价值，
可以看到黑线的波动不大，而股票的收益的波动大很多。从这张图大家可以看出来，在
20世纪的时候，有两个大的泡沫，一个是 29
年大危机这一块，整个股价跌了 80％，另外是于 90年代，到目前为止已经跌了 50％。这个箭头指着一点，就是我跟阿伦古伦斯贝谈到,非理性繁荣,的时候，股价越来越往上冲，一直到泡沫都灭的这个阶段时间。
20
六大思想
第一个思想，个人生计、职业生涯、资产价值
– 个人生计
也叫个人保险，主要是保护人的职业收入、房屋的价值这些。在今天的话，很多保险已经变得不重要了，比如象寿险，由于医疗保障或者医疗体制的不断完善，所以很少有人在年轻的时候就死掉，所以寿险的话，当然在过去很重要，但是现在变得并不是很重要。人们今天更关心的是职业生涯保险，尤其人们担心新技术的变化和技术的核心带来的失业、带来职业的变迁，这是人们面临最大的风险。
21
– 职业生涯
比如象很多穷人，尤其是经济快速变化的时候，可能穷人变得更穷，所以，这也是整个社会所担心的问题。不光光是收入低的阶层，他们面对这种风险，高技术人员同样也面对这种职业生涯变化的风险，比如生物技术，从事生物技术这方面的人，由于这个领域发展很快，可能人到中年的时候从事的事业已经过时了，可能会调整新的技术。
– 房屋价值
房屋的价格跟股票价格一样，也是有降有涨，也很容易产生泡沫，而且现在人们没有办法对房屋价格来进行相应的保值，
我们所要做的就是设计出一种对房屋价值的保险，避免不必要的损失。
六大思想
22
第二个思想，就是宏观市场
– 所谓宏观市场，就象股票市场一样，但是股票市场针对的是公司的收益和回报，可以把这个概念扩大一些，不光是公司的回报，是整个国家经济的回报，比如象 GDP，可以开发一个宏观市场，一个国家跟一个公司一样，它的回报就是 GDP。人们总是简单的认为，股票市场在很大程度上代表一个国家的经济，
但实际上，股票市场是整个经济当中很小很小的一部分。我们应该开发一种或者创造一种 GDP的宏观市场，这才是真正代表一个国家经济的。我们把这个概念，可以扩大到国家的收入，
而且我们可以把它扩展到针对不同的职业，然后针对他们的收入建立相应的市场。我们不仅仅是针对国内建立一个宏观市场，
还应该建立一个国际的宏观市场，比如对地产产权进行相应的交易，增强地产不动产的流动性。
六大思想
23
第三个思想，收入相联系的贷款
– 在今天贷款主要是固定的利率，所谓收入相联系就是你的利润和收入利润相联系在一起，
收入好的时候多付利息，收入不好的时候少付利息。比如象亚洲金融危机，如果我们有收入连接贷款的话，亚洲金融危机发生很多国家的 GDP在减少，这样的话，他们所付的利息也应该可以减少。
六大思想
24
第四个思想，收入不平等保险
– 因为在经济快速发展的今天，人们更加关心收入分配的问题，所以收入分配的不平等带来很多的问题，尤其在国内，对收入不平等要相应的调整，这是应该考虑的。这种收入不平等保险有助于纠正收入税收系统造成的这些问题，而且是自动的，所以减少相应的收入不平等带来其他的问题。
六大思想
25
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26
第六个思想
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主要是指国家与国家之间的，是国际上的。
我们可以把很多国家的风险集中在一起，设计一些风险共同分担一点，因为集中在一个国家会过度的受损失。
六大思想
