1
金融衍生产品主讲人：沈思玮上海交通大学管理学院
2
第六讲二叉树模型
3
数值算法的原因
美式期权由于可以提前执行使得期权定价没有解析解
有分红股票期权使得解析算法更为困难
利率动态变动使得期权定价难以求出解析解
B-S公式依赖与对数正态分布，二叉树不依赖与特定分布
对于更为复杂的衍生证券价格的定价
4
二叉树
在 St条件下的 ST的分布可以用二叉树对其股价进行模拟
假定收益率为?、波动率的标准差为?
将 [t,T]时间区间 N等分,N?t=T-t
将 [t+i?t,t+(i+1)?t]时间间隔的股票价格变化设定为后图的二叉树
5
二叉树,贝努利分布
Su
Sd
S
p
1-p
p
d
p
u
1
6
参数
du
da
p
ea
ud
eu
tr
t
/1
参数设定为了满足：
tD
trE
2
7
分布示例
63.482
0.066231
56.55916
0.130555
50.39127 50.38856
0.257353 0.257298
44.896 44.89358
0.5073 0.380394
40 39.99785 39.99569
0.499893 0.37484
35.636 35.63408
0.4927 0.369446
31.74811 31.7464
0.242753 0.242702
28.28439
0.119605
25.19857
0.058929
一份欧式股票看跌期权：
S=40,T-t=4m,r=0.1
=0.4,k＝ 40
取?t=1month
计算得到
u=1.1224
d=0.8909
p=0.5073
8
欧式期权价值计算
63.482
0
56.55916
0
50.39127 50.38856
0.001028 0
44.896 44.89358
0.964346 0.002104
40 39.99785 39.99569
2.78 1.972589 0.004307
35.636 35.63408
4.702181 4.034967
31.74811 31.7464
7.592522 8.253597
28.28439
11.38445
25.19857
14.80143
值价权期为
))1((
}0,m a x {
00
,11,1
c
Ni
cppcec
SXc
jiji
tr
ij
TjNj
9
美式看跌期权
63.482
0
56.55916
0
50.39127 0 50.38856
0 0
44.896 0.001028 44.89358
0 0
40 1.043358 39.99785 0.002104 39.99569
0 0.002154 0.004307
2.94 35.636 2.134296 35.63408
4.364 4.365919
4.943948 31.74811 4.034967 31.7464
8.251888 8.253597
7.920827 28.28439
11.71561
11.38445 25.19857
14.80143执行美式看跌期权可能提前值价权期为
)})1((
,m a x {
}0,m a x {
00
,11,1
c
Ni
cppce
SKc
SKc
jiji
tr
ijij
TjNj
10
美式看涨期权
63.482
23.482
56.55916
16.55916
50.39127 16.88953 50.38856
10.39127 10.38856
44.896 11.05062 44.89358
4.896 4.893583
40 6.844183 39.99785 5.22638 39.99569
0 0 0
4.09 35.636 2.62934 35.63408
0 0
1.322795 31.74811 0 31.7464
0 0
0 28.28439
0
0 25.19857
0
美式看涨期权不可能提前执行的数据演示
11
另一种计算方法
63.482
0.066231
56.55916 0
0.130555
50.39127 0 50.38856
0.257353 0.257298
44.896 44.89358 0
0.5073 0.380394
40 39.99785 0 39.99569
0.499893 0.37484
35.636 0.002154 35.63408 0.004 307
0.4927 0.369446
4.364 31.74811 4.365919 31.7464
0.242753 0.242702
8.251888 28.28439 8.253 597
0.119605
11.71561 25.19857
0.058929
14.80 143
2.132299 1.971122 2.939791 2.782692
欧式看跌期权
p=2.782692
美式期权
p=2.939791
12
美式期权的提前执行
结论
– 不分红美式看涨期权不会提前执行
– 不分红美式看跌期权会提前执行
– 分红美式看涨期权会提前执行
13
看涨期权的证明
组合 E,一个美式看涨期权加上现金
组合 F：一股股票
提前执行，执行时间?<T
–?时刻,E＝ S-X+ <S
不提前执行
– T时刻,E=max{ST,X}>=F
– T之前的任一时刻,E好于 F
提前执行是不利的
因此，不会提前执行
)( tTrXe
)( TrXe
14
看跌期权的证明
组合 E,一个美式看跌期权加上一股股票
组合 F：现金
提前执行，执行时间?<T
–?时刻,E＝ X,F= <E
不提前执行
– T时刻,E＝ max{X,ST},F=X
因此，提前执行可能是有利的
)( tTrXe
)( TrXe
15
分红时看涨期权的提前执行条件（略）
16
期货期权
rbr
SBFeS
SeF
tTr
tTr
替代以公式得到一般形式：代入
)(
)(
其中
– 期货期权,b=r
– 分红股票期权,b=q
– 外汇期权,b=r*
17
分红期权（固定分红额）
61.08392
0
54.86807
0
49.33007 47.99048
0.480084 0
44.396 43.20249
1.895912 0.982548
40 38.93665 37.9891
4.03 3.385896 2.0109
35.136 34.18866
6.288617 5.917968
30.80266 29.95868
9.384162 10.04132
26.94209
13.11245
23.50271
16.49729
每个月分红 0.50元
18
分红期权（固定分红率）
60.98056
0
54.8793
0
49.38848 48.40305
0.377282 0
44.44704 43.5602
1.678138 0.772151
40 39.20189 38.4197
3.7 3.046044 1.580297
35.27964 34.57571
5.853445 5.439053
31.11632 30.49547
8.843454 9.504532
27.44432
12.49894
24.20564
15.79436
每个月分红 1%
金融衍生产品主讲人：沈思玮上海交通大学管理学院
2
第六讲二叉树模型
3
数值算法的原因
美式期权由于可以提前执行使得期权定价没有解析解
有分红股票期权使得解析算法更为困难
利率动态变动使得期权定价难以求出解析解
B-S公式依赖与对数正态分布，二叉树不依赖与特定分布
对于更为复杂的衍生证券价格的定价
4
二叉树
在 St条件下的 ST的分布可以用二叉树对其股价进行模拟
假定收益率为?、波动率的标准差为?
将 [t,T]时间区间 N等分,N?t=T-t
将 [t+i?t,t+(i+1)?t]时间间隔的股票价格变化设定为后图的二叉树
5
二叉树,贝努利分布
Su
Sd
S
p
1-p
p
d
p
u
1
6
参数
du
da
p
ea
ud
eu
tr
t
/1
参数设定为了满足：
tD
trE
2
7
分布示例
63.482
0.066231
56.55916
0.130555
50.39127 50.38856
0.257353 0.257298
44.896 44.89358
0.5073 0.380394
40 39.99785 39.99569
0.499893 0.37484
35.636 35.63408
0.4927 0.369446
31.74811 31.7464
0.242753 0.242702
28.28439
0.119605
25.19857
0.058929
一份欧式股票看跌期权：
S=40,T-t=4m,r=0.1
=0.4,k＝ 40
取?t=1month
计算得到
u=1.1224
d=0.8909
p=0.5073
8
欧式期权价值计算
63.482
0
56.55916
0
50.39127 50.38856
0.001028 0
44.896 44.89358
0.964346 0.002104
40 39.99785 39.99569
2.78 1.972589 0.004307
35.636 35.63408
4.702181 4.034967
31.74811 31.7464
7.592522 8.253597
28.28439
11.38445
25.19857
14.80143
值价权期为
))1((
}0,m a x {
00
,11,1
c
Ni
cppcec
SXc
jiji
tr
ij
TjNj
9
美式看跌期权
63.482
0
56.55916
0
50.39127 0 50.38856
0 0
44.896 0.001028 44.89358
0 0
40 1.043358 39.99785 0.002104 39.99569
0 0.002154 0.004307
2.94 35.636 2.134296 35.63408
4.364 4.365919
4.943948 31.74811 4.034967 31.7464
8.251888 8.253597
7.920827 28.28439
11.71561
11.38445 25.19857
14.80143执行美式看跌期权可能提前值价权期为
)})1((
,m a x {
}0,m a x {
00
,11,1
c
Ni
cppce
SKc
SKc
jiji
tr
ijij
TjNj
10
美式看涨期权
63.482
23.482
56.55916
16.55916
50.39127 16.88953 50.38856
10.39127 10.38856
44.896 11.05062 44.89358
4.896 4.893583
40 6.844183 39.99785 5.22638 39.99569
0 0 0
4.09 35.636 2.62934 35.63408
0 0
1.322795 31.74811 0 31.7464
0 0
0 28.28439
0
0 25.19857
0
美式看涨期权不可能提前执行的数据演示
11
另一种计算方法
63.482
0.066231
56.55916 0
0.130555
50.39127 0 50.38856
0.257353 0.257298
44.896 44.89358 0
0.5073 0.380394
40 39.99785 0 39.99569
0.499893 0.37484
35.636 0.002154 35.63408 0.004 307
0.4927 0.369446
4.364 31.74811 4.365919 31.7464
0.242753 0.242702
8.251888 28.28439 8.253 597
0.119605
11.71561 25.19857
0.058929
14.80 143
2.132299 1.971122 2.939791 2.782692
欧式看跌期权
p=2.782692
美式期权
p=2.939791
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美式期权的提前执行
结论
– 不分红美式看涨期权不会提前执行
– 不分红美式看跌期权会提前执行
– 分红美式看涨期权会提前执行
13
看涨期权的证明
组合 E,一个美式看涨期权加上现金
组合 F：一股股票
提前执行，执行时间?<T
–?时刻,E＝ S-X+ <S
不提前执行
– T时刻,E=max{ST,X}>=F
– T之前的任一时刻,E好于 F
提前执行是不利的
因此，不会提前执行
)( tTrXe
)( TrXe
14
看跌期权的证明
组合 E,一个美式看跌期权加上一股股票
组合 F：现金
提前执行，执行时间?<T
–?时刻,E＝ X,F= <E
不提前执行
– T时刻,E＝ max{X,ST},F=X
因此，提前执行可能是有利的
)( tTrXe
)( TrXe
15
分红时看涨期权的提前执行条件（略）
16
期货期权
rbr
SBFeS
SeF
tTr
tTr
替代以公式得到一般形式：代入
)(
)(
其中
– 期货期权,b=r
– 分红股票期权,b=q
– 外汇期权,b=r*
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分红期权（固定分红额）
61.08392
0
54.86807
0
49.33007 47.99048
0.480084 0
44.396 43.20249
1.895912 0.982548
40 38.93665 37.9891
4.03 3.385896 2.0109
35.136 34.18866
6.288617 5.917968
30.80266 29.95868
9.384162 10.04132
26.94209
13.11245
23.50271
16.49729
每个月分红 0.50元
18
分红期权（固定分红率）
60.98056
0
54.8793
0
49.38848 48.40305
0.377282 0
44.44704 43.5602
1.678138 0.772151
40 39.20189 38.4197
3.7 3.046044 1.580297
35.27964 34.57571
5.853445 5.439053
31.11632 30.49547
8.843454 9.504532
27.44432
12.49894
24.20564
15.79436
每个月分红 1%
