1
金融衍生产品概论主讲人：沈思玮上海交通大学管理学院
2
第九讲股票的价格行为
3
标的资产价格
ê ￡o?à?a /?·?a
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
01/01/2002 01/15/2002 01/29/2002 02/12/2002 02/26/2002 03/12/2002 03/26/2002 04/09/2002 04/23/2002 05/07/2002 05/21/2002 06/04/2002 06/18/2002 07/02/2002 07/16/2002 07/30/2002 08/13/2002 08/27/2002 09/10/2002
4
标的资产价格的正规表示
X(t,?)一个随机过程
– t固定,X(t,?)是一个随机变量，例明天某股票的收盘价是一个随机变量
–?固定,X(t,?)是一个样本轨道，例如，过去一段时间美元对欧元的比价如前图
你是一个随机过程
– 回首过去，本不该踩出足印的
– 展望未来，风雨的归程还正长
5
随机过程的概念
以 T1时刻看 T2时刻（ T1<T2 ），未来是不可知的，是随机变量
以 T2时刻看 T1时刻（ T1<T2 ），过去是确定的
过去是无数个可能实现中的一种实现（样本轨道）
存在合理吗？
– 只是一种巧合，不代表什么。
– 无数个巧合一定蕴含了某种规律。
6
现实而不真实
股价行为
– 无数个可能中的现实的一个
人生也是如此
– 无数个可能路径中的一个
投资者的素质
– 找到真实
– 找到遁去的一
7
巧合的意义
1
1
),(
1
EXiX
N
N
i
物理学上的各向同性
– 三维重建
数学上的遍历性
– 大数定律
经济学的路径依赖性
文字的解释
– 横看成岭侧成峰
8
最简单的随机过程是 WEINER
过程
数学上的维纳过程，物理学上的布郎运动
三性质
– 连续性：维纳过程几乎所有的样本轨道都是连续的
– 独立增量性：对于 X1<X2<=X3<X4,W(X2)-
W(X1)与 W(X4)-W(X3)独立
– 正态性：
维纳过程不可微,1/1lnln2/)(s u plim
0
tttW
t
),0()( TNTW 服从
9
维纳过程具有分形的性质
分形与混沌
– 自相似性
– 无限可分性
所以有一个分支是应用分形来研究股票的价格行为
据 Steven Fan说，美国以分形为分析工具的基金只有一家了，人人畏之如虎。
10
概念的内涵与外延
内涵越丰富外延越窄
– 内涵是其条件严格
– 外延是适用性
减低其内涵
– 高斯过程：不满足独立增量条件
– 马尔可夫过程：不满足正态性，独立增量性
– 鞅过程：不满足正态性，独立增量性
– 二阶矩过程,ITO过程
11
马尔可夫过程
马尔可夫条件
– 在现在的条件下，过去与未来独立
– 与鞅性质类似
马尔可夫链
– 指标集非连续
12
概率空间
–?样本空间
可能集合
– F事件集类满足以下条件，则称为?-域
存在加、积两种运算
满足分配率、结合率、交换率
有限可加性
– P概率测度
非负性
上连续性
规范性，全概率为 1
),,( PF?
13
一般维纳过程
连续性
独立增量性
正态性
),()( TbaTNTX 服从
14
另一种表示
ITO微分的表示
– dX=adt+bdW
– 其中 W(t)为标准维纳过程
– a为飘移率,b的平方为方差率
漂移率：收益率的时间度量
方差率：波动率与标准维纳过程波动率的比例关系
,其中N(0,1)
dtdWdtdW 2,?
15
一般 ITO过程
dX=a(X,t)dt+b(X,t)dW
其中 a,b与 X,t有关
漂移率、方差率的解释
16
一个简单的 ITO过程
股票价格行为的动态表示
表示为
近似为
SdWSdtdS
dtdtSdS/
ttSS/
17
对数正态分布
收益率服从正态分布
– 股价非负
股价服从对数正态分布
),(/ ttNSS服从
))),(ln)
2
1
((
)(ln
2
ttStN
ttS
服从
18
ITO定理
dW
X
f
bdt
X
f
b
t
f
X
f
adf
f
b d Wa d tdX
X
)
2
1
(
2
2
2
满足：则衍生资产价格满足：若标的资产价格
19
ITO定理的证明
)()
2
1
(
)(
2
1
),(),(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tot
X
f
bt
X
f
b
t
f
X
f
a
tX
tX
f
t
t
f
X
X
f
t
t
f
X
X
f
tXfttXXff
根据 Taylor展开式
因为
dtdWdtdW 2,?
20
对数正态分布的形式证明
dWdtdf
t
f
SS
f
SS
f
Sf
)
2
1
(
0,
1
,
1
ln
2
22
2
根据 ITO定理
21
股价行为的模拟
正态分布模拟
对数正态分布
– 某股票初始价格为 10元，期望收益每年?＝
20%，标准差?＝ 25%
–?S/S?N(0.00164,0.0226),?t=3天近似标准正态分布均匀分布，是两个独立的
)l n (2)2c o s (
]10[,
21
21
UUY
UU
22
5
7
9
11
13
15
17
19
1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122
股价行为的模拟（ 1年）
23
股价行为的模拟（ 20年）
0
100
200
300
400
1 169 337 505 673 841 1009 1177 1345 1513 1681 1849 2017 2185 2353
24
平方可积过程
一阶不可微，不可积
积分包含了两个部分
– 一阶可积项
– 二阶可积项
25
标的资产的显式表示
))
2
1
e x p ( (
)
2
1
(lnln
)
2
1
(ln
2
0
2
0
2
tt
tt
WtSS
WtSS
dWdtSd
26
B－ S过程
当 W(t)t>=0,是标准维纳过程时，存在唯一的 ITO过程满足：
该过程是
))
2
1
e x p ( (
)(
2
0
0
0
tt
t
sst
WtSS
dWdSSSS
27
ITO微分与 Taylor级数微分
相差一个误差项
)(
2
1
2
1
222
2
2
22
2
2
dtdWS
S
f
de
dtS
S
f
dt
t
f
dS
S
f
df
dedfdf
t
I T O
tI T O
28
误差项的处理
平均意义上可相互抵消
比 dt高阶
尚无定论
金融衍生产品概论主讲人：沈思玮上海交通大学管理学院
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第九讲股票的价格行为
3
标的资产价格
ê ￡o?à?a /?·?a
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
01/01/2002 01/15/2002 01/29/2002 02/12/2002 02/26/2002 03/12/2002 03/26/2002 04/09/2002 04/23/2002 05/07/2002 05/21/2002 06/04/2002 06/18/2002 07/02/2002 07/16/2002 07/30/2002 08/13/2002 08/27/2002 09/10/2002
4
标的资产价格的正规表示
X(t,?)一个随机过程
– t固定,X(t,?)是一个随机变量，例明天某股票的收盘价是一个随机变量
–?固定,X(t,?)是一个样本轨道，例如，过去一段时间美元对欧元的比价如前图
你是一个随机过程
– 回首过去，本不该踩出足印的
– 展望未来，风雨的归程还正长
5
随机过程的概念
以 T1时刻看 T2时刻（ T1<T2 ），未来是不可知的，是随机变量
以 T2时刻看 T1时刻（ T1<T2 ），过去是确定的
过去是无数个可能实现中的一种实现（样本轨道）
存在合理吗？
– 只是一种巧合，不代表什么。
– 无数个巧合一定蕴含了某种规律。
6
现实而不真实
股价行为
– 无数个可能中的现实的一个
人生也是如此
– 无数个可能路径中的一个
投资者的素质
– 找到真实
– 找到遁去的一
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巧合的意义
1
1
),(
1
EXiX
N
N
i
物理学上的各向同性
– 三维重建
数学上的遍历性
– 大数定律
经济学的路径依赖性
文字的解释
– 横看成岭侧成峰
8
最简单的随机过程是 WEINER
过程
数学上的维纳过程，物理学上的布郎运动
三性质
– 连续性：维纳过程几乎所有的样本轨道都是连续的
– 独立增量性：对于 X1<X2<=X3<X4,W(X2)-
W(X1)与 W(X4)-W(X3)独立
– 正态性：
维纳过程不可微,1/1lnln2/)(s u plim
0
tttW
t
),0()( TNTW 服从
9
维纳过程具有分形的性质
分形与混沌
– 自相似性
– 无限可分性
所以有一个分支是应用分形来研究股票的价格行为
据 Steven Fan说，美国以分形为分析工具的基金只有一家了，人人畏之如虎。
10
概念的内涵与外延
内涵越丰富外延越窄
– 内涵是其条件严格
– 外延是适用性
减低其内涵
– 高斯过程：不满足独立增量条件
– 马尔可夫过程：不满足正态性，独立增量性
– 鞅过程：不满足正态性，独立增量性
– 二阶矩过程,ITO过程
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马尔可夫过程
马尔可夫条件
– 在现在的条件下，过去与未来独立
– 与鞅性质类似
马尔可夫链
– 指标集非连续
12
概率空间
–?样本空间
可能集合
– F事件集类满足以下条件，则称为?-域
存在加、积两种运算
满足分配率、结合率、交换率
有限可加性
– P概率测度
非负性
上连续性
规范性，全概率为 1
),,( PF?
13
一般维纳过程
连续性
独立增量性
正态性
),()( TbaTNTX 服从
14
另一种表示
ITO微分的表示
– dX=adt+bdW
– 其中 W(t)为标准维纳过程
– a为飘移率,b的平方为方差率
漂移率：收益率的时间度量
方差率：波动率与标准维纳过程波动率的比例关系
,其中N(0,1)
dtdWdtdW 2,?
15
一般 ITO过程
dX=a(X,t)dt+b(X,t)dW
其中 a,b与 X,t有关
漂移率、方差率的解释
16
一个简单的 ITO过程
股票价格行为的动态表示
表示为
近似为
SdWSdtdS
dtdtSdS/
ttSS/
17
对数正态分布
收益率服从正态分布
– 股价非负
股价服从对数正态分布
),(/ ttNSS服从
))),(ln)
2
1
((
)(ln
2
ttStN
ttS
服从
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ITO定理
dW
X
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bdt
X
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X
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b d Wa d tdX
X
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2
1
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2
2
满足：则衍生资产价格满足：若标的资产价格
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ITO定理的证明
)()
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2
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根据 Taylor展开式
因为
dtdWdtdW 2,?
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对数正态分布的形式证明
dWdtdf
t
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)
2
1
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1
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1
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2
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2
根据 ITO定理
21
股价行为的模拟
正态分布模拟
对数正态分布
– 某股票初始价格为 10元，期望收益每年?＝
20%，标准差?＝ 25%
–?S/S?N(0.00164,0.0226),?t=3天近似标准正态分布均匀分布，是两个独立的
)l n (2)2c o s (
]10[,
21
21
UUY
UU
22
5
7
9
11
13
15
17
19
1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122
股价行为的模拟（ 1年）
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股价行为的模拟（ 20年）
0
100
200
300
400
1 169 337 505 673 841 1009 1177 1345 1513 1681 1849 2017 2185 2353
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平方可积过程
一阶不可微，不可积
积分包含了两个部分
– 一阶可积项
– 二阶可积项
25
标的资产的显式表示
))
2
1
e x p ( (
)
2
1
(lnln
)
2
1
(ln
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0
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tt
tt
WtSS
WtSS
dWdtSd
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B－ S过程
当 W(t)t>=0,是标准维纳过程时，存在唯一的 ITO过程满足：
该过程是
))
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1
e x p ( (
)(
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0
0
0
tt
t
sst
WtSS
dWdSSSS
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ITO微分与 Taylor级数微分
相差一个误差项
)(
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1
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dtdWS
S
f
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dtS
S
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t
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dS
S
f
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t
I T O
tI T O
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误差项的处理
平均意义上可相互抵消
比 dt高阶
尚无定论
