1
金融衍生产品概论主讲人：沈思玮上海交通大学管理学院
2
第十讲
B－ S公式
3
ITO定理
dW
X
f
bdt
X
f
b
t
f
X
f
adf
f
b d Wa d tdX
X
)
2
1
(
2
2
2
满足：则衍生资产价格满足：若标的资产价格
4
无风险资产与风险资产的组合
dW
X
f
b
dt
X
f
b
t
f
X
f
a
风险资产无风险资产
)
2
1
(
2
2
2
5
无风险组合
dW
X
f
bdt
X
f
aX
X
f
d
X
X
f
dW
X
f
bdt
X
f
b
t
f
X
f
adf
f
)(
:.2
)
2
1
(
:.1
2
2
2
风险资产衍生资产组合,?
6
无套利原理为无风险利率为无风险资产
r
dtrd
dt
X
f
b
t
f
d
)
2
1
(
2
2
2
7
B－ S方程有解析解或近似解条件下偏微分方程在给定边界偏微分方程
rf
X
f
rX
X
f
b
t
f
2
2
2
2
1
8
欧式看涨期权
0,m a x
2
1
2
2
22
XSC
rc
S
c
rS
S
c
S
t
c
TT
边界条件偏微分方程
9
三种求解方法
偏微分方程
– 经过变量代换可以变成典型的热传导方程，在特定边界条件下可解（解析解 5-18－－ 5-22)
鞅的解法－－概率解法
– 在后面涉及到
近似解法
– 差分方程逆推得到，见 3.3.1
不需要经过 B－ S公式的直接求解
– Monte-Carlo法，先模拟出标的资产价格的样本轨道，
每个样本轨道得到一个衍生资产的价值，无穷多衍生资产价值得到衍生资产价值的分布
10
B－ S公式的基本假设
无风险利率是常数
标的资产服从 ITO过程，没有配股与分红
没有交易费用，允许卖空
交易是连续的
标的资产是可分割的
11
B－ S与以前定价的主要区别
与标的资产的漂移率无关
理论原因,风险中性
– 鞅性质（ ITO定理的结果）等价于
– 有效市场（有效市场是短期的均衡）等价于
– 无套利原理
交易原因
– 当不存在意外交易市场时风险规避是可观察的，
当存在意外交易市场时,Arrow-Debreu的均衡下，
定价的结果是风险中性的。
12
B－ S的解
C
dxexN
tTdd
tTr
K
S
tT
d
dNKedSNc
x x
tTr
.3
,
2
1
)(
)])(
2
1
()[ l n (
1
)()(
2
12
2
1
2
)(
1
2
数值解见附录正态分布累计函数其中
13
鞅的解法理论推导注：跳过了一些烦琐的
dxeKe
b
ec
baN
tTtTSNS
KSEec
b
ax
K
xtTr
T
r
T
tTr
2
2
2
)(
ln
)(
2
)(
)(
2
1
),(
)),)(
2
1
(( lnln
)0,m a x (
14
欧式看跌期权
1)()(
)()(
)()(
2
)(
1
2
)(
1
)(
xNxN
dNKedSNp
dNKedSNc
KeSpc
tTr
tTr
tTr
ttt
恒等式看涨期权价格公式平价公式
15
股价行为的模拟
正态分布模拟
对数正态分布
– 某股票初始价格为 10元，期望收益每年?＝
20%，标准差?＝ 25%
–?S/S?N(0.00164,0.0226),?t=3天近似标准正态分布均匀分布，是两个独立的
)l n (2)2c o s (
]10[,
21
21
UUY
UU
16
5
7
9
11
13
15
17
19
1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122
股价行为的模拟（ 1年）
17
股价行为的模拟（ 20年）
0
200
400
600
800
1 226 451 676 901 1126 1351 1576 1801 2026 2251
18
短线投资与长线投资
短期风险很大
长期风险很小
真的如此吗？
– 短期均衡下的判断
– 短期均衡不能导致长期均衡
– 未知数
长期定价与泡沫
19
正态性检验 (?S/S)
E
.
0
8
1
.
0
6
9
.
0
5
6
.
0
4
4
.
0
3
1
.
0
1
9
.
0
0
6
-
.
0
0
6
-
.
0
1
9
-
.
0
3
1
-
.
0
4
4
-
.
0
5
6
-
.
0
6
9
400
300
200
100
0
S t d,De v =,0 2
M e a n =,0 0 2
N = 2 4 4 0,0 0
SPSS
下的HI
ST
GR
AM
20
描述统计量检验 (?S/S)
D e s c r i p t i v e s
1,6 4 6 E - 0 34,4 8 4 E - 0 4
7,6 6 3 E - 0 4
2,5 2 5 E - 0 3
1,6 9 1 E - 0 3
1,3 6 9 E - 0 3
4,9 0 6 E - 0 4
2,2 1 5 E - 0 2
-,0 7
,0 8
,1 5
2,9 5 9 E - 0 2
-,0 5 0,0 5 0
-,0 5 9,0 9 9
M e a n
L o w e r B o u n d
U p p e r B o u n d
9 5 % C o n f i d e n c e
I n t e r v a l f o r M e a n
5 % T r i m m e d M e a n
M e d i a n
V a r i a n c e
S t d,D e v i a t i o n
M i n i m u m
M a x i m u m
R a n g e
I n t e r q u a r t i l e R a n g e
S k e w n e s s
K u r t o s i s
E
S t a t i s t i cS t d,E r r o r
SPSS
下SU
MM
AR
IS
E
下的EXP
LOR
E
21
峰度与偏度
kurtosis:峰度
– 多峰现象和偏峰现象，非对称性，正态为 0
skewness:偏度
– 宽尾现象，正态为 0
3/3))(/()( 224224EXXEEXXEk u r t o s i s
2/3232/323 /))(/()( EXXEEXXES k e w n e s s
22
D e s c r i p t i v e s
7 4,9 0 8 11,3 4 5 5
7 2,2 6 9 8
7 7,5 4 6 5
6 7,8 6 1 2
5 3,6 1 3 4
4 4 1 7,0 4 0
6 6,4 6 0 8
9,7 8
3 1 7,3 9
3 0 7,6 1
7 6,2 7 7 2
1,5 0 4,0 5 0
1,8 3 0,0 9 9
M e a n
L o w e r B o u n d
U p p e r B o u n d
9 5 % C o n f i d e n c e
I n t e r v a l f o r M e a n
5 % T r i m m e d M e a n
M e d i a n
V a r i a n c e
S t d,D e v i a t i o n
M i n i m u m
M a x i m u m
R a n g e
I n t e r q u a r t i l e R a n g e
S k e w n e s s
K u r t o s i s
G
S t a t i s t i cS t d,E r r o r
正态性检验 (S)
23
G
5 0,0
4 6,0
4 2,0
3 8,0
3 4,0
3 0,0
2 6,0
2 2,0
1 8,0
1 4,0
1 0,0
300
200
100
0
S t d,De v = 1 1,1 2
M e a n = 2 1,9
N = 9 0 0,0 0
直方图 (S)
24
T e s t s o f N o r m a l i t y
,0 1 02440,2 0 0 *
,2 3 42440,0 0 0
,0 1 42440,2 0 0 *
E
G
H
S t a t i s t i cdfS i g,
K o l m o g o r o v - S m i r n o v
a
T h i s i s a l o w e r b o u n d o f t h e t r u e s i g n i f i c a n c e,*,
L i l l i e f o r s S i g n i f i c a n c e C o r r e c t i o na,
Kolmogorov-Smirnov检验结论
：E
、H
正态
，G
非正态
25
E,G,H
E＝?S/S
G＝ S
H＝ EXP(?S/S)
H服从正态分布的原因可能是由于相对于波动率而言，漂移率太小
26
2002年 3月－ 2003年 2月上证指数
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209
27
正态性检验
O n e - S a m p l e K o l m o g o r o v - S m i r n o v T e s t
214215
- 4,2 3 E - 0 41 5 6 1,5 5 5 1
1,3 0 7 E - 0 21 0 7,0 6 2 3
,1 3 2,1 1 5
,1 3 2,0 6 1
-,0 7 0-,1 1 5
1,9 3 51,6 9 1
,0 0 1,0 0 7
N
M e a n
S t d,D e v i a t i o n
N o r m a l P a r a m e t e r s
a,b
A b s o l u t e
P o s i t i v e
N e g a t i v e
M o s t E x t r e m e
D i f f e r e n c e s
K o l m o g o r o v - S m i r n o v Z
A s y m p,S i g,( 2 - t a i l e d )
IF
T e s t d i s t r i b u t i o n i s N o r m a l,a,
C a l c u l a t e d f r o m d a t a,b,F为每日收盘指数
I为每日收益率
28
I
.
0
9
4
.
0
8
1
.
0
6
9
.
0
5
6
.
0
4
4
.
0
3
1
.
0
1
9
.
0
0
6
-
.
0
0
6
-
.
0
1
9
-
.
0
3
1
70
60
50
40
30
20
10
0
S t d,De v =,0 1
M e a n = -,0 0 0
N = 2 1 4,0 0
指数收益率分布图
29
F
1
7
2
0
.
0
1
6
8
0
.
0
1
6
4
0
.
0
1
6
0
0
.
0
1
5
6
0
.
0
1
5
2
0
.
0
1
4
8
0
.
0
1
4
4
0
.
0
1
4
0
0
.
0
1
3
6
0
.
0
1
3
2
0
.
0
30
20
10
0
S t d,De v = 1 0 7,0 6
M e a n = 1 5 6 1,6
N = 2 1 5,0 0
指数分布图
30
D e s c r i p t i v e s
1 5 6 1,5 5 5 07,3 0 1 6
1 5 4 7,1 6 2 8
1 5 7 5,9 4 7 3
1 5 6 4,0 4 1 2
1 5 6 7,5 0 0 0
1 1 4 6 2,3 2 9
1 0 7,0 6 2 3
1 3 1 9,8 7
1 7 3 2,9 3
4 1 3,0 6
1 6 7,3 9 0 0
-,3 5 3,1 6 6
-,9 8 0,3 3 0
M e a n
L o w e r B o u n d
U p p e r B o u n d
9 5 % C o n f i d e n c e
I n t e r v a l f o r M e a n
5 % T r i m m e d M e a n
M e d i a n
V a r i a n c e
S t d,D e v i a t i o n
M i n i m u m
M a x i m u m
R a n g e
I n t e r q u a r t i l e R a n g e
S k e w n e s s
K u r t o s i s
F
S t a t i s t i cS t d,E r r o r
指数检验
31
D e s c r i p t i v e s
- 4,2 3 E - 0 48,9 3 4 E - 0 4
- 2,1 8 E - 0 3
1,3 3 8 E - 0 3
- 1,0 1 E - 0 3
- 4,8 4 E - 0 4
1,7 0 8 E - 0 4
1,3 0 7 E - 0 2
-,0 3
,0 9
,1 2
1,1 4 2 E - 0 2
2,0 6 9,1 6 6
1 3,0 7 4,3 3 1
M e a n
L o w e r B o u n d
U p p e r B o u n d
9 5 % C o n f i d e n c e
I n t e r v a l f o r M e a n
5 % T r i m m e d M e a n
M e d i a n
V a r i a n c e
S t d,D e v i a t i o n
M i n i m u m
M a x i m u m
R a n g e
I n t e r q u a r t i l e R a n g e
S k e w n e s s
K u r t o s i s
I
S t a t i s t i cS t d,E r r o r
指数收益率检验
32
1970－ 2003标准普尔
33
收益率频数图
D
,5 0
,4 5
,4 0
,3 5
,3 0
,2 5
,2 0
,1 5
,1 0
,0 5
,0 0
-,0 5
-,1 0
-,1 5
-,2 0
-,2 5
-,3 0
-,3 5
-,4 0
-,4 5
H i st o g r a m
F
r
e
q
u
e
n
c
y
160
140
120
100
80
60
40
20
0
S t d,De v =,1 5
M e a n =,0 2
N = 3 9 7,0 0
34
D e s c r i p t i v e s
2,0 0 0 E - 0 27,4 6 4 E - 0 3
5,3 3 0 E - 0 3
3,4 6 8 E - 0 2
1,9 4 7 E - 0 2
1,2 2 6 E - 0 2
2,2 1 2 E - 0 2
,1 4 8 7
-,4 3
,4 8
,9 0
6,7 7 9 E - 0 2
,1 9 6,1 2 2
3,3 6 9,2 4 4
M e a n
L o w e r B o u n d
U p p e r B o u n d
9 5 % C o n f i d e n c e
I n t e r v a l f o r M e a n
5 % T r i m m e d M e a n
M e d i a n
V a r i a n c e
S t d,D e v i a t i o n
M i n i m u m
M a x i m u m
R a n g e
I n t e r q u a r t i l e R a n g e
S k e w n e s s
K u r t o s i s
D
S t a t i s t i cS t d,E r r o r
描述统计量
35
正态性检验
T e s t s o f N o r m a l i t y
,2 0 6397,0 0 0 D
S t a t i s t i cdfS i g,
K o l m o g o r o v - S m i r n o v
a
L i l l i e f o r s S i g n i f i c a n c e C o r r e c t i o na,
结论：不服从对数正态分布
36
路径依赖性
即使正态性检验能够满足，仍然存在一些问题
– 分布中不涉及次序，路径依赖性
术语
– 异方差性
– 波动率的动态特征
解决方法
– ARCH－ GARCH模型等
– 只具有解释性，不具备预测性
稳健性模型
– robust
37
异方差,ARCH
)1,0(
11
11
N
vvv
vXXaY
t
mtmttt
tntntt
38
GARCH(q,p)-M
)1,0(
11
2
11
11
Ne
hwh
eh
vvv
vhXXY
t
q
j
jti
q
i
itit
ttt
mtmttt
ttntntt
39
GARCH-M
GARCH Estimates
SSE 16765480 OBS 398
MSE 42124.32 UVAR,
Log L -2653 Total Rsq 0.9727
SBC 5347.896 AIC 5319.991
Normality Test 3650.771 Prob>Chi-Sq 0.0001
Variable DF B Value Std Error t Ratio Approx Prob
Intercept 1 -522.953698 129.4 -4.041 0.0001
T 1 7.680362 3.8631 1.988 0.0468
A(1) 1 -0.357423 0.0640 -5.582 0.0001
A(2) 1 -0.618234 0.0675 -9.162 0.0001
ARCH0 1 56791 4842.2 11.728 0.0001
ARCH1 1 0.722463 0.1968 3.670 0.0002
GARCH1 1 1.185846E-18 5.7E-16 0.002 0.9983
DELTA 1 -0.849460 0.1781 -4.771 0.0001
40
GARCH--M拟合值
金融衍生产品概论主讲人：沈思玮上海交通大学管理学院
2
第十讲
B－ S公式
3
ITO定理
dW
X
f
bdt
X
f
b
t
f
X
f
adf
f
b d Wa d tdX
X
)
2
1
(
2
2
2
满足：则衍生资产价格满足：若标的资产价格
4
无风险资产与风险资产的组合
dW
X
f
b
dt
X
f
b
t
f
X
f
a
风险资产无风险资产
)
2
1
(
2
2
2
5
无风险组合
dW
X
f
bdt
X
f
aX
X
f
d
X
X
f
dW
X
f
bdt
X
f
b
t
f
X
f
adf
f
)(
:.2
)
2
1
(
:.1
2
2
2
风险资产衍生资产组合,?
6
无套利原理为无风险利率为无风险资产
r
dtrd
dt
X
f
b
t
f
d
)
2
1
(
2
2
2
7
B－ S方程有解析解或近似解条件下偏微分方程在给定边界偏微分方程
rf
X
f
rX
X
f
b
t
f
2
2
2
2
1
8
欧式看涨期权
0,m a x
2
1
2
2
22
XSC
rc
S
c
rS
S
c
S
t
c
TT
边界条件偏微分方程
9
三种求解方法
偏微分方程
– 经过变量代换可以变成典型的热传导方程，在特定边界条件下可解（解析解 5-18－－ 5-22)
鞅的解法－－概率解法
– 在后面涉及到
近似解法
– 差分方程逆推得到，见 3.3.1
不需要经过 B－ S公式的直接求解
– Monte-Carlo法，先模拟出标的资产价格的样本轨道，
每个样本轨道得到一个衍生资产的价值，无穷多衍生资产价值得到衍生资产价值的分布
10
B－ S公式的基本假设
无风险利率是常数
标的资产服从 ITO过程，没有配股与分红
没有交易费用，允许卖空
交易是连续的
标的资产是可分割的
11
B－ S与以前定价的主要区别
与标的资产的漂移率无关
理论原因,风险中性
– 鞅性质（ ITO定理的结果）等价于
– 有效市场（有效市场是短期的均衡）等价于
– 无套利原理
交易原因
– 当不存在意外交易市场时风险规避是可观察的，
当存在意外交易市场时,Arrow-Debreu的均衡下，
定价的结果是风险中性的。
12
B－ S的解
C
dxexN
tTdd
tTr
K
S
tT
d
dNKedSNc
x x
tTr
.3
,
2
1
)(
)])(
2
1
()[ l n (
1
)()(
2
12
2
1
2
)(
1
2
数值解见附录正态分布累计函数其中
13
鞅的解法理论推导注：跳过了一些烦琐的
dxeKe
b
ec
baN
tTtTSNS
KSEec
b
ax
K
xtTr
T
r
T
tTr
2
2
2
)(
ln
)(
2
)(
)(
2
1
),(
)),)(
2
1
(( lnln
)0,m a x (
14
欧式看跌期权
1)()(
)()(
)()(
2
)(
1
2
)(
1
)(
xNxN
dNKedSNp
dNKedSNc
KeSpc
tTr
tTr
tTr
ttt
恒等式看涨期权价格公式平价公式
15
股价行为的模拟
正态分布模拟
对数正态分布
– 某股票初始价格为 10元，期望收益每年?＝
20%，标准差?＝ 25%
–?S/S?N(0.00164,0.0226),?t=3天近似标准正态分布均匀分布，是两个独立的
)l n (2)2c o s (
]10[,
21
21
UUY
UU
16
5
7
9
11
13
15
17
19
1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122
股价行为的模拟（ 1年）
17
股价行为的模拟（ 20年）
0
200
400
600
800
1 226 451 676 901 1126 1351 1576 1801 2026 2251
18
短线投资与长线投资
短期风险很大
长期风险很小
真的如此吗？
– 短期均衡下的判断
– 短期均衡不能导致长期均衡
– 未知数
长期定价与泡沫
19
正态性检验 (?S/S)
E
.
0
8
1
.
0
6
9
.
0
5
6
.
0
4
4
.
0
3
1
.
0
1
9
.
0
0
6
-
.
0
0
6
-
.
0
1
9
-
.
0
3
1
-
.
0
4
4
-
.
0
5
6
-
.
0
6
9
400
300
200
100
0
S t d,De v =,0 2
M e a n =,0 0 2
N = 2 4 4 0,0 0
SPSS
下的HI
ST
GR
AM
20
描述统计量检验 (?S/S)
D e s c r i p t i v e s
1,6 4 6 E - 0 34,4 8 4 E - 0 4
7,6 6 3 E - 0 4
2,5 2 5 E - 0 3
1,6 9 1 E - 0 3
1,3 6 9 E - 0 3
4,9 0 6 E - 0 4
2,2 1 5 E - 0 2
-,0 7
,0 8
,1 5
2,9 5 9 E - 0 2
-,0 5 0,0 5 0
-,0 5 9,0 9 9
M e a n
L o w e r B o u n d
U p p e r B o u n d
9 5 % C o n f i d e n c e
I n t e r v a l f o r M e a n
5 % T r i m m e d M e a n
M e d i a n
V a r i a n c e
S t d,D e v i a t i o n
M i n i m u m
M a x i m u m
R a n g e
I n t e r q u a r t i l e R a n g e
S k e w n e s s
K u r t o s i s
E
S t a t i s t i cS t d,E r r o r
SPSS
下SU
MM
AR
IS
E
下的EXP
LOR
E
21
峰度与偏度
kurtosis:峰度
– 多峰现象和偏峰现象，非对称性，正态为 0
skewness:偏度
– 宽尾现象，正态为 0
3/3))(/()( 224224EXXEEXXEk u r t o s i s
2/3232/323 /))(/()( EXXEEXXES k e w n e s s
22
D e s c r i p t i v e s
7 4,9 0 8 11,3 4 5 5
7 2,2 6 9 8
7 7,5 4 6 5
6 7,8 6 1 2
5 3,6 1 3 4
4 4 1 7,0 4 0
6 6,4 6 0 8
9,7 8
3 1 7,3 9
3 0 7,6 1
7 6,2 7 7 2
1,5 0 4,0 5 0
1,8 3 0,0 9 9
M e a n
L o w e r B o u n d
U p p e r B o u n d
9 5 % C o n f i d e n c e
I n t e r v a l f o r M e a n
5 % T r i m m e d M e a n
M e d i a n
V a r i a n c e
S t d,D e v i a t i o n
M i n i m u m
M a x i m u m
R a n g e
I n t e r q u a r t i l e R a n g e
S k e w n e s s
K u r t o s i s
G
S t a t i s t i cS t d,E r r o r
正态性检验 (S)
23
G
5 0,0
4 6,0
4 2,0
3 8,0
3 4,0
3 0,0
2 6,0
2 2,0
1 8,0
1 4,0
1 0,0
300
200
100
0
S t d,De v = 1 1,1 2
M e a n = 2 1,9
N = 9 0 0,0 0
直方图 (S)
24
T e s t s o f N o r m a l i t y
,0 1 02440,2 0 0 *
,2 3 42440,0 0 0
,0 1 42440,2 0 0 *
E
G
H
S t a t i s t i cdfS i g,
K o l m o g o r o v - S m i r n o v
a
T h i s i s a l o w e r b o u n d o f t h e t r u e s i g n i f i c a n c e,*,
L i l l i e f o r s S i g n i f i c a n c e C o r r e c t i o na,
Kolmogorov-Smirnov检验结论
：E
、H
正态
，G
非正态
25
E,G,H
E＝?S/S
G＝ S
H＝ EXP(?S/S)
H服从正态分布的原因可能是由于相对于波动率而言，漂移率太小
26
2002年 3月－ 2003年 2月上证指数
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1 17 33 49 65 81 97 113 129 145 161 177 193 209
27
正态性检验
O n e - S a m p l e K o l m o g o r o v - S m i r n o v T e s t
214215
- 4,2 3 E - 0 41 5 6 1,5 5 5 1
1,3 0 7 E - 0 21 0 7,0 6 2 3
,1 3 2,1 1 5
,1 3 2,0 6 1
-,0 7 0-,1 1 5
1,9 3 51,6 9 1
,0 0 1,0 0 7
N
M e a n
S t d,D e v i a t i o n
N o r m a l P a r a m e t e r s
a,b
A b s o l u t e
P o s i t i v e
N e g a t i v e
M o s t E x t r e m e
D i f f e r e n c e s
K o l m o g o r o v - S m i r n o v Z
A s y m p,S i g,( 2 - t a i l e d )
IF
T e s t d i s t r i b u t i o n i s N o r m a l,a,
C a l c u l a t e d f r o m d a t a,b,F为每日收盘指数
I为每日收益率
28
I
.
0
9
4
.
0
8
1
.
0
6
9
.
0
5
6
.
0
4
4
.
0
3
1
.
0
1
9
.
0
0
6
-
.
0
0
6
-
.
0
1
9
-
.
0
3
1
70
60
50
40
30
20
10
0
S t d,De v =,0 1
M e a n = -,0 0 0
N = 2 1 4,0 0
指数收益率分布图
29
F
1
7
2
0
.
0
1
6
8
0
.
0
1
6
4
0
.
0
1
6
0
0
.
0
1
5
6
0
.
0
1
5
2
0
.
0
1
4
8
0
.
0
1
4
4
0
.
0
1
4
0
0
.
0
1
3
6
0
.
0
1
3
2
0
.
0
30
20
10
0
S t d,De v = 1 0 7,0 6
M e a n = 1 5 6 1,6
N = 2 1 5,0 0
指数分布图
30
D e s c r i p t i v e s
1 5 6 1,5 5 5 07,3 0 1 6
1 5 4 7,1 6 2 8
1 5 7 5,9 4 7 3
1 5 6 4,0 4 1 2
1 5 6 7,5 0 0 0
1 1 4 6 2,3 2 9
1 0 7,0 6 2 3
1 3 1 9,8 7
1 7 3 2,9 3
4 1 3,0 6
1 6 7,3 9 0 0
-,3 5 3,1 6 6
-,9 8 0,3 3 0
M e a n
L o w e r B o u n d
U p p e r B o u n d
9 5 % C o n f i d e n c e
I n t e r v a l f o r M e a n
5 % T r i m m e d M e a n
M e d i a n
V a r i a n c e
S t d,D e v i a t i o n
M i n i m u m
M a x i m u m
R a n g e
I n t e r q u a r t i l e R a n g e
S k e w n e s s
K u r t o s i s
F
S t a t i s t i cS t d,E r r o r
指数检验
31
D e s c r i p t i v e s
- 4,2 3 E - 0 48,9 3 4 E - 0 4
- 2,1 8 E - 0 3
1,3 3 8 E - 0 3
- 1,0 1 E - 0 3
- 4,8 4 E - 0 4
1,7 0 8 E - 0 4
1,3 0 7 E - 0 2
-,0 3
,0 9
,1 2
1,1 4 2 E - 0 2
2,0 6 9,1 6 6
1 3,0 7 4,3 3 1
M e a n
L o w e r B o u n d
U p p e r B o u n d
9 5 % C o n f i d e n c e
I n t e r v a l f o r M e a n
5 % T r i m m e d M e a n
M e d i a n
V a r i a n c e
S t d,D e v i a t i o n
M i n i m u m
M a x i m u m
R a n g e
I n t e r q u a r t i l e R a n g e
S k e w n e s s
K u r t o s i s
I
S t a t i s t i cS t d,E r r o r
指数收益率检验
32
1970－ 2003标准普尔
33
收益率频数图
D
,5 0
,4 5
,4 0
,3 5
,3 0
,2 5
,2 0
,1 5
,1 0
,0 5
,0 0
-,0 5
-,1 0
-,1 5
-,2 0
-,2 5
-,3 0
-,3 5
-,4 0
-,4 5
H i st o g r a m
F
r
e
q
u
e
n
c
y
160
140
120
100
80
60
40
20
0
S t d,De v =,1 5
M e a n =,0 2
N = 3 9 7,0 0
34
D e s c r i p t i v e s
2,0 0 0 E - 0 27,4 6 4 E - 0 3
5,3 3 0 E - 0 3
3,4 6 8 E - 0 2
1,9 4 7 E - 0 2
1,2 2 6 E - 0 2
2,2 1 2 E - 0 2
,1 4 8 7
-,4 3
,4 8
,9 0
6,7 7 9 E - 0 2
,1 9 6,1 2 2
3,3 6 9,2 4 4
M e a n
L o w e r B o u n d
U p p e r B o u n d
9 5 % C o n f i d e n c e
I n t e r v a l f o r M e a n
5 % T r i m m e d M e a n
M e d i a n
V a r i a n c e
S t d,D e v i a t i o n
M i n i m u m
M a x i m u m
R a n g e
I n t e r q u a r t i l e R a n g e
S k e w n e s s
K u r t o s i s
D
S t a t i s t i cS t d,E r r o r
描述统计量
35
正态性检验
T e s t s o f N o r m a l i t y
,2 0 6397,0 0 0 D
S t a t i s t i cdfS i g,
K o l m o g o r o v - S m i r n o v
a
L i l l i e f o r s S i g n i f i c a n c e C o r r e c t i o na,
结论：不服从对数正态分布
36
路径依赖性
即使正态性检验能够满足，仍然存在一些问题
– 分布中不涉及次序，路径依赖性
术语
– 异方差性
– 波动率的动态特征
解决方法
– ARCH－ GARCH模型等
– 只具有解释性，不具备预测性
稳健性模型
– robust
37
异方差,ARCH
)1,0(
11
11
N
vvv
vXXaY
t
mtmttt
tntntt
38
GARCH(q,p)-M
)1,0(
11
2
11
11
Ne
hwh
eh
vvv
vhXXY
t
q
j
jti
q
i
itit
ttt
mtmttt
ttntntt
39
GARCH-M
GARCH Estimates
SSE 16765480 OBS 398
MSE 42124.32 UVAR,
Log L -2653 Total Rsq 0.9727
SBC 5347.896 AIC 5319.991
Normality Test 3650.771 Prob>Chi-Sq 0.0001
Variable DF B Value Std Error t Ratio Approx Prob
Intercept 1 -522.953698 129.4 -4.041 0.0001
T 1 7.680362 3.8631 1.988 0.0468
A(1) 1 -0.357423 0.0640 -5.582 0.0001
A(2) 1 -0.618234 0.0675 -9.162 0.0001
ARCH0 1 56791 4842.2 11.728 0.0001
ARCH1 1 0.722463 0.1968 3.670 0.0002
GARCH1 1 1.185846E-18 5.7E-16 0.002 0.9983
DELTA 1 -0.849460 0.1781 -4.771 0.0001
40
GARCH--M拟合值
