第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 1页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
§ 6.4 能量均分定理一,气体分子自由度 （ degree of freedom）
如,He,Ne… 可看作质点，只有平动。
t — 平动自由度
（ degree of freedom of translation）
i = t =3
自由度,决定物体空间位置的 独立 坐标数，
用 i 表示。
1.单原子分子 （ monatomic molecule）
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 2页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
质心 C平动,（ x,y,z）
2,双原子分子 （ biatomic molecule）
如,O2,H2,CO …
r = 2
v = 1
∴ 总自由度,i = t + r + v = 6
C (x,y,z)
0
z
x
y
l
轴轴取向：
r — 转动 (rotation)自由度，
距离 l 变化：
v — 振动 （ vibration） 自由度，
（?,?）
t =3 — 平 动自由度，
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 3页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
3,多原子分子 （ multi-atomic molecule）
如,H2O,NH3,…
N：分子中的原子数
i = t + r + v = 3N
r = 3 （?,?,?）
t =3 （ 质心坐标 x,y,z）?
0
z
x
y
轴
C (x,y,z)
v = 3N - 6
二,能量均分定理 （ equipartition theorem）
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 4页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
一个平动自由度对应的 平均 动能为
kT21
kTmmm zyx 21212121 222 vvv
即：
——能量均分定理由于分子碰撞频繁，平均地说，能量分配没有任何自由度占优势。 即：
在温度为 T 的平衡态下,分子热运动的每一个自由度所对应的平均动能都等于 kT
2
1
23 t kT 3?t
由 及 有：
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 5页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
能量均分定理 的更普遍的说法是：
的平均能量。
能量中每具有一个平方项,就对应一个 kT
2
1
能量均分定理不仅适用于气体,也适用于液体和固体,甚至适用于任何具有统计规律的系统。
对有振动（非刚性）的分子,i = t + r + v
振动势能也是平方项,
v kT
2
1
kP
kTv kPv
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 6页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
kTrt 21)2(vrt v
根据量子理论,能量是分立的,
的能级间距不同。
振动能级间隔大转动能级间隔小平动能级连续
e V )1010(~ 53 eV )1010(~ 12
一般情况下（ T <10 3 K），
对能量交换不起作用分子可视为 刚性。
且 t,r,v
— 振动自由度 v,冻结”，
振动能级极少跃迁，
分子平均能量第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 7页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
对 刚性分子 (rigid molecule),rti,v 0
kTi
2
（多）
（双）
（单）
kT
kT
kT
2
6
2
5
2
3
当温度极低时,转动自由度 r 也被,冻结,,
任何分子都可视为只有平动自由度。
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 8页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
三,理想气体内能 (internal energy of ideal gases)
内能：
分子自身：
kTrt 21)2(pk v
分子之间：
j
ij
i
NE ppk ）（内能：
( i > j )
由 T 决定 由 V 决定对理想气体：
,0p?ij? ； )( TEE
（不包括系统整体质心运动的能量）
),( VTE?
相互作用势能?pij
系统内部各种形式能量的总和。
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 9页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
刚性分子理想气体内能：
2
iENk T
2 AA A
i TR
N
N
N
N
2m o l
i TM
M
R?
,气体系统的 摩尔 （ mol） 数
mol
M
M
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 10页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
理想气体的内能
m ol
m ol
M
M 2
mo l
MiE R T
M
2mo l
MiE R T
M
理想气体内能变化理想气体的内能,
RTiNE 2A1 mol 理想气体的内能第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 11页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
例 1：某种理想气体，在,时，
内能,问它是单原子、双原子、多原子分子的哪一种？
1 a t mP? 4 4,8 LV?
6 8 0 7JE?
解：
22m o l
M i iE R T P V
M
3108.44101013.1 680722 35PV Ei
∴ 是单原子分子强调,E 可用 PV表示,
22m o l
M i iE RT PV
M
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 12页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
例 2：某刚性双原子理想气体,处于 0℃ 。 试求：
⑴ 分子平均平动动能； ⑵ 分子平均转动动能； ⑶ 分子平均动能； ⑷ 分子平均能量； ⑸ 0.5摩尔的该气体内能 。
解
2 3 2 133 1,3 8 1 0 2 7 3 5,6 5 1 0 J
22t kT?
(1)
2 3 2 122 1,3 8 1 0 2 7 3 3,7 6 1 0 J
22r kT?
(2)
2 3 2 155 1,3 8 1 0 2 7 3 9,4 1 1 0 J
22kT
平 均 能 量 平 均 动 能
(3,4)
350.5 8.31 273 2.84 10 J
22m ol
MiE RT
M
(5)
§ 6.4 能量均分定理一,气体分子自由度 （ degree of freedom）
如,He,Ne… 可看作质点，只有平动。
t — 平动自由度
（ degree of freedom of translation）
i = t =3
自由度,决定物体空间位置的 独立 坐标数，
用 i 表示。
1.单原子分子 （ monatomic molecule）
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 2页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
质心 C平动,（ x,y,z）
2,双原子分子 （ biatomic molecule）
如,O2,H2,CO …
r = 2
v = 1
∴ 总自由度,i = t + r + v = 6
C (x,y,z)
0
z
x
y
l
轴轴取向：
r — 转动 (rotation)自由度，
距离 l 变化：
v — 振动 （ vibration） 自由度，
（?,?）
t =3 — 平 动自由度，
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 3页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
3,多原子分子 （ multi-atomic molecule）
如,H2O,NH3,…
N：分子中的原子数
i = t + r + v = 3N
r = 3 （?,?,?）
t =3 （ 质心坐标 x,y,z）?
0
z
x
y
轴
C (x,y,z)
v = 3N - 6
二,能量均分定理 （ equipartition theorem）
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 4页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
一个平动自由度对应的 平均 动能为
kT21
kTmmm zyx 21212121 222 vvv
即：
——能量均分定理由于分子碰撞频繁，平均地说，能量分配没有任何自由度占优势。 即：
在温度为 T 的平衡态下,分子热运动的每一个自由度所对应的平均动能都等于 kT
2
1
23 t kT 3?t
由 及 有：
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 5页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
能量均分定理 的更普遍的说法是：
的平均能量。
能量中每具有一个平方项,就对应一个 kT
2
1
能量均分定理不仅适用于气体,也适用于液体和固体,甚至适用于任何具有统计规律的系统。
对有振动（非刚性）的分子,i = t + r + v
振动势能也是平方项,
v kT
2
1
kP
kTv kPv
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 6页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
kTrt 21)2(vrt v
根据量子理论,能量是分立的,
的能级间距不同。
振动能级间隔大转动能级间隔小平动能级连续
e V )1010(~ 53 eV )1010(~ 12
一般情况下（ T <10 3 K），
对能量交换不起作用分子可视为 刚性。
且 t,r,v
— 振动自由度 v,冻结”，
振动能级极少跃迁，
分子平均能量第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 7页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
对 刚性分子 (rigid molecule),rti,v 0
kTi
2
（多）
（双）
（单）
kT
kT
kT
2
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2
5
2
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当温度极低时,转动自由度 r 也被,冻结,,
任何分子都可视为只有平动自由度。
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 8页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
三,理想气体内能 (internal energy of ideal gases)
内能：
分子自身：
kTrt 21)2(pk v
分子之间：
j
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i
NE ppk ）（内能：
( i > j )
由 T 决定 由 V 决定对理想气体：
,0p?ij? ； )( TEE
（不包括系统整体质心运动的能量）
),( VTE?
相互作用势能?pij
系统内部各种形式能量的总和。
第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 9页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
刚性分子理想气体内能：
2
iENk T
2 AA A
i TR
N
N
N
N
2m o l
i TM
M
R?
,气体系统的 摩尔 （ mol） 数
mol
M
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第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 10页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
理想气体的内能
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M
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MiE R T
M
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MiE R T
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理想气体内能变化理想气体的内能,
RTiNE 2A1 mol 理想气体的内能第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 11页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
例 1：某种理想气体，在,时，
内能,问它是单原子、双原子、多原子分子的哪一种？
1 a t mP? 4 4,8 LV?
6 8 0 7JE?
解：
22m o l
M i iE R T P V
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3108.44101013.1 680722 35PV Ei
∴ 是单原子分子强调,E 可用 PV表示,
22m o l
M i iE RT PV
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第六章§ 6-4 能量均分定理 理想气体的内能第 12页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
例 2：某刚性双原子理想气体,处于 0℃ 。 试求：
⑴ 分子平均平动动能； ⑵ 分子平均转动动能； ⑶ 分子平均动能； ⑷ 分子平均能量； ⑸ 0.5摩尔的该气体内能 。
解
2 3 2 133 1,3 8 1 0 2 7 3 5,6 5 1 0 J
22t kT?
(1)
2 3 2 122 1,3 8 1 0 2 7 3 3,7 6 1 0 J
22r kT?
(2)
2 3 2 155 1,3 8 1 0 2 7 3 9,4 1 1 0 J
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平 均 能 量 平 均 动 能
(3,4)
350.5 8.31 273 2.84 10 J
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(5)
