第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 1页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
§ 6.5 麦克斯韦速率分布律一,速率分布函数要深入研究气体的性质,
一步弄清分子按速率和按能量等的 分布 情况。
等；，如 v 2t?
不能光是研究一些平均值，
还应该进整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。
麦克斯韦
（ Maxwell?s law of distribution of speeds）
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 2页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
vi
Ni
0
一种是像前面那样用分立数据描写：
v1,v2 … vi …
N1,N2 … Ni …
描写分子的速率分布可以有两种方式：
这种描写既繁琐，又不能很好地体现统计的规律性。
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 3页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
另一种是 用连续的分布函数来描述：
设,dNv为速率 v? v +dv 区间内的分子数,
N 为总分子数,则：,v
v dd NN?
即
vv dd?NN
由于 dNv / N 是速率 v 附近 dv 区间的分子数与写成：
,vvv d)(d fNN?
总分子数之比,所以它应与 v的大小有关,可以即
vv
v
d
d)(
N
Nf?
（ function of distribution of speeds）称 速率分布函数)(vf
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 4页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
占总分子数的比例。”
率 v 附近单位速率区间的 概率。
vv vdd)( N Nf?
由定义式 可看出 f (v)的意义是：
因为
0
1d
v
v
N
N
所以
0
1d)( vvf
这称为速率分布函数的 归一化条件 。
,
v
v?
0
d NN
即对于一个分子来说,f (v) 就是分子处于速
,在速率 v 附近,单位速率区间内的分子数第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 5页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
二,麦克斯韦速率分布函数
1859年 麦克斯韦 （ Maxwell） 导出了理气在无外场的平衡态（ T）下,分子 速率分布函数 为：
22/2/3 2)
π2(4)( vv
v kTme
kT
mf?
f(v)
0 v v +dv
N
Nf vvv dd)(?
T,m 一定
v
m — 气体 分子的质量曲线下面的总面积等于 1。
在左图上的几何意义为：

0
1d vvf归一化条件第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 6页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性 。
碰撞使得个别分子的速率变化是随机的,概率的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到 v 很小和 v 很大的概率都必然很小。
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 7页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
三,三种统计速率
1.最概然（可几）速率 （ most probable speed）
相应于速率分布函数 f(v)的极大值的速率 v p 称为最概然速率。
f(v)
0 vp
T,m 一定
v
p
22v
m o l
k T R T T
mM

处在最概然速率 v p 附近就单位速率区间来比较，
的分子数占总分子数的百分比最大。
如图示，
,0d )(d
P
vvv vf
由 有：
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 8页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
1
2/1
π
8
)(

e
kT
m
f pv
当分子质量 m 一定时，


)( p
p
f
T
v
v
速率大的分子数比例越大，
f(v)
0 vp1
m 一定
vvp2
T1
T2 >T1
思考 T 一 定,m2 > m 1,速率分布曲线如何？

m
kT2
pv
气体分子的热运动越激烈。
左图表明,温度越高，
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 9页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy

i
ii
N
N vv
分立：
连续,vi?v,
对麦氏速率分布经计算得,88
v
π π m o l
k T R T
mM


N
N
N
N
0
0
d
d
v
vvv
N
NN vv d
0

0 d)( vvv f
Ni? dNv=N f (v)dv，
2.平均速率 （ average speed）
平均速率任意函数?(v)对 全体分子按速率分布的 平均值,
0
d)()( vvvv f
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 10页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
例?设某气体的速率分布函数
)0( 02 vv v，a
)(vf
)(0 0vv?，
求：
（ 3）速率在
20
0v?
之间分子的平均速率 v?
解：
（ 1）常量 a 和 v0 的关系
v（ 2）平均速率
1d)(0 vvf
3
00 0
2
3
1dd)( 0 vvvvv v aaf
（ 1）归一化条件
3
0
3
v
a
)(vf
vv00
为第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 11页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
（ 2）设总分子数为 N，
（ 3）
2
0
2
0 0
0
d)(
d)( vv
vvv
vvv
v f
N
Nf
则对否？
——不对！ 上式分母上的 N应为? 2
0
0 d)(v vvNf


2
0
2
0
0
0
d)(
d)(
v
v
vv
vvv
v
f
f
3
23
4
24
)(
)(
0
0
v
v
a
a
vv 08
3
N
Nf
0
d)( vvv
v 0 d)( vvv f
4
04 v
a 0
0
2 dv vvv a
0
4
03
0 4
3)3(
4
1 vv
v

第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 12页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
（与前同）
—— 讨论分子平均平动动能时用
—— 讨论分子碰撞问题时用
—— 讨论分子的速率分布时用
pv
v
2v
3,方均根速率 （ root-mean-square speed）
2 33v
m o l
k T R T
mM

m
kTf 3d)(
0
22
vvvv
（麦）
73.1:60.1:41.13:
π
8:2:,2
p v v v
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 13页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
m
kT2
p?v m
kT
π
8?v
m
kT32?v
同一温度下不同气体的速率分布
2H
2O
0pv pHv v
)(vf
o
N2 分子在不同温度下的速率分布
KT 3001?
1pv 2pv
KT 12002?
v
)(vf
o
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 14页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
vv vvp d)(Nf1）
p d)(21 2v vvv Nfm2）
例 已知分子数,分子质量,分布函数求 1） 速率在 间的分子数； 2）速率在 间所有分子动能之和,
vv ~p)(vf
N m
~pv
vv d)(d NfN?速率在 间的分子数vvv d
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 15页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
例 如图示两条 曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线,从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率,
vv ~)(f
m
kT2
p?v
)O()H( 22 mm
)O()H( 2p2p vv
m / s2000)H( 2p v
4
2
32
)H(
)O(
)O(
)H(
2
2
2p
2p
m
m
v
v
m / s5 0 0)O( 2p v
)(vf
1sm/v2000o