第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 1页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
一,速率分布函数要深入研究气体的性质,
一步弄清分子按速率和按能量等的 分布 情况。
等；，如 v 2t?
不能光是研究一些平均值，
还应该进整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。
麦克斯韦
（ Maxwell?s law of distribution of speeds）
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 2页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
实验装置二 测定气体分子速率分布的实验
l
l
v
v
2
l
Hg
金属蒸汽 显示屏狭缝?
接抽气泵第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 3页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
分子速率分布图
N,分子总数
N? 为速率在 区间的分子数,vvv
)/( v NN
o vv vv
S?
表示速率在 区间的分子数占总数的百分比,NNS
vvv
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 4页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
v
)(vf
o
SfNN dd)(d vv
vvvv vv d
d1lim1lim)(
00
N
N
N
NN
Nf?



分布函数表示速率在区间的分子数占总分子数的百分比,
vvv d
1d)(d00 vvfNNN归一 化条件
v vv d?
Sd
表示在温度为 的平衡状态下，速率在 附近 单位速率区间 的分子数占总数的百分比,
v
物理意义
T
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 5页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
v
)(vf
o 1v
S?
2v
SfNN dd)(d vv
vv d)(d NfN?
速率位于 内分子数 vvv d
vvvv d)(2
1
fNN速率位于 区间的分子数21 vv?
vvvv vv d)()( 2
1
21 f
N
NS
速率位于 区间的分子数占总数的百分比21 vv?
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 6页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
vv
v
de)
π2
(π4d 2223
2
kT
m
kT
m
N
N
2223
2
e)
π2
(π4)( vv
v
kT
m
kT
mf麦氏 分布函数三 麦克斯韦气体速率分布定律反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律,
vv Nd
dNf?)(
v
)(vf
o
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 7页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
四 三种统计速率
pv
1） 最概然速率
0
d
)(d
p
vvv
vf
m
kT
m
kT 41.12
pv p 1,4 1
m o l
RT
M
v
AA,m olM m N R N k
v
)(vf
o pv
maxf
根据分布函数求得气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多,
pv
物理意义第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 8页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
1
2/1
π
8
)(

e
kT
m
f pv
当分子质量 m 一定时，


)( p
p
f
T
v
v
速率大的分子数比例越大，
f(v)
0 vp1
m 一定
vvp2
T1
T2 >T1
思考 T 一 定,m2 > m 1,速率分布曲线如何？

m
kT2
pv
气体分子的热运动越激烈。
左图表明,温度越高，
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 9页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
讨论麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念下面哪种表述正确？
（ A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率,
（ B） 是速率最大的速度值,
（ C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值,
（ D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大,
pv
pv
pv
pv
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 10页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
N
NNNN nnii dddd 2211 vvvvv
2） 平均速率 v
N
Nf
N
N
N

00
d)(d vvvv
v
m
kTf
π
8d)(
0

vvvv
1,6 0 1,6 0
m o l
k T R T
mM
v
v
)(vf
o
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 11页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
任意函数?(v)对 全体分子按速率分布的 平均值, 0 d)()( vvvv f
例?设某气体的速率分布函数
)0( 02 vv v，a
)(vf
)(0 0vv?，
求：
（ 3）速率在
20
0v?
之间分子的平均速率 v?
（ 1）常量 a 和 v0 的关系
v（ 2）平均速率
)(vf
vv00
为第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 12页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
解：
1d)(0 vvf
3
00 0
2
3
1dd)( 0 vvvvv v aaf
（ 1）归一化条件
3
0
3
v
a
（ 2）设总分子数为 N,则
N
Nf
0
d)( vvv
v 0 d)( vvv f
4
04 v
a 0
0
2 dv vvv a
0
4
03
0 4
3)3(
4
1 vv
v

第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 13页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
（ 3）
2
0
2
0 0
0
d)(
d)( vv
vvv
vvv
v f
N
Nf 对否？
—— 不对！ 上式分母上的 N应为? 2
0
0 d)(v vvNf


2
0
2
0
0
0
d)(
d)(
v
v
vv
vvv
v
f
f
3
23
4
24
)(
)(
0
0
v
v
a
a
vv 08
3
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 14页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
3） 方均根速率 2v
m
kT32?v 2r m s 33
m o l
k T R T
mM
vv
v
)(vf
o N
Nf
N
N
N

0
2
0
2
2
d)(d vvvv
v
1,6 0 1,6 0
m o l
k T R T
mM
v
p
22
m o l
k T R T
mM
v
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 15页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
—— 讨论分子平均平动动能时用
—— 讨论分子碰撞问题时用
—— 讨论分子的速率分布时用
pv
v
2v
73.1:60.1:41.13:
π
8
:2:,2p v v v
2
p vvv
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 16页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
m
kT2
p?v m
kT
π
8?v
m
kT32?v
同一温度下不同气体的速率分布
2H
2O
0pv pHv v
)(vf
o
N2 分子在不同温度下的速率分布
KT 3001?
1pv 2pv
KT 12002?
v
)(vf
o
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 17页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
vv vvp d)(Nf1）
p d)(21 2v vvv Nfm2）
例 已知分子数,分子质量,分布函数求 1） 速率在 间的分子数； 2）速率在 间所有分子动能之和,
vv ~p)(vf
N m
~pv
vv d)(d NfN?速率在 间的分子数vvv d
第六章§ 6-5 麦克斯韦分子速率分布定律第 18页2009年 7月 31日星期五 http://blog.sina.com.cn/phy
例 如图示两条 曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线,从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率,
vv ~)(f
m
kT2
p?v
)O()H( 22 mm
)O()H( 2p2p vv
m / s2000)H( 2p v
4
2
32
)H(
)O(
)O(
)H(
2
2
2p
2p
m
m
v
v
m / s5 0 0)O( 2p v
)(vf
1sm/v2000o