以 为
原点旋转矢
量 的端点
在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动,
x
A?
o
x
o
?
?
A?
?c o s0 Ax ?
当 时 0?t
0x
§ 14--3 旋转矢量
以 为
原点旋转矢
量 的端点
在 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动,
x
A?
o
?
x
o
A?
tt ?
?? ?t
)c o s ( ?? ?? tAx
时
)c o s ( ?? ?? tAx
旋转
矢量 的
端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动,
x
A?
?A?mv
)
2
π
c o s ( ??? ??? tAv
)c o s (2 ??? ??? tAa
2
n ?Aa ?
2
π
?? ?? t
mv
?
v?
?
x
y
0
A?
?? ?t
)c o s ( ?? ?? tAx
na
?
a?
（旋转矢量旋转一周所需的时间）
?π2?T
用旋转矢量图画简谐运动的 图 tx ?
A
A?
x
2A t
o
a
b
x
AA? 0
讨论 ? 相位差：表示两个相位之差,
1） 对 同一 简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间, )()(
12 ????? ????? tt
)c o s ( 1 ?? ?? tAx
)c o s ( 2 ?? ?? tAx ?
??
???? 12 ttt
at
?
3
π
?? ? TTt
6
1
π2
3π ???
??
v? 2
A
bt
0?? ?
x
t
o
同步
2） 对于两个 同 频率 的简谐运动，相位差表示它
们间 步调 上的 差异,（解决振动合成问题）
)c o s ( 111 ?? ?? tAx )c o s ( 222 ?? ?? tAx
)()( 12 ????? ????? tt 12 ??? ???
x
t
o
?? 为其它
超前
落后
t
x
o
π??? ?
反相
模 振幅 A
角速度 角频率 ?
旋转周期 振动周期 T=2?/ ?
上的投影 在 ox A r
上的投影 端点速度在 ox A r
上的投影 端点加速度在 ox A r
位移
速度
加速度
x =Acos(?t+? 0)
v =- ? Asin(?t+? 0)
a =- ? 2Acos(?t+? 0)
旋转矢量 简谐振动 符号或表达式 Ar
初相 ? 0 t=0时,与 ox夹角 Ar
相位 ?t+? 0 t时刻,与 ox夹角 Ar
旋转矢量 与谐振动的对应关系 Ar
旋转矢量法优点,
直观地表达谐振动的各特征量
便于解题,特别是确定初相位
便于振动合成
由 x,v 的符号确定 所在 的象限,Ar
例 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹
簧的劲度系数,物体的质量,
（ 1） 把物体从平衡位置向右拉到 处停
下后再释放，求简谐运动方程；
1mN72.0 ???k g20?m
m05.0?x
m05.0?x
1
0 sm30.0
???v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
2
A
（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的
速度；
m/x
o
0.05
o x
解 （ 1）
1
1
s0.6
kg02.0
mN72.0 ??
?
?
??
m
k
?
m05.00
2
2
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0 ???? xxA
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v
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0
0 ???
x?
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v
π 0 或??
A
由旋转矢量图可知
0??
)c o s ( ?? ?? tAx ])s0.6c o s [ ()m05.0( 1 t??
o xA
2
A
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解 )c o s ( ?? ?? tAx
)c o s ( tA ??
2
1
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A
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3
π 5
3
π
或?t?
A
3
π
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由旋转矢量图可知
tA ?? s i n??v
1sm26.0 ???? （负号表示速度沿 轴负方向） Ox
2
A
（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的
速度；
解
m0 7 0 7.0
2
2
02
0 ???
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v
xA ＇
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0
0 ????
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π
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1
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（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
因为,由旋转矢量图可知 4π??＇?0
0 ?v
例 2 一质量为 的物体作简谐运动，其振
幅为,周期为,起始时刻物体在 kg01.0m08.0 s4 ?x m04.0
处，向 轴负方向运动（如图）,试求 Ox
（ 1） 时，物体所处的位置和所受的力； s0.1?t
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
解 m08.0?A
1s
2
ππ2 ?
??
T
?
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
3
π
0 ??? ?0v?
m04.0,0 ?? xt
代入 )c o s ( ?? ?? tAx
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s0.1?t
代入上式得 m0 6 9.0??x
xmkxF 2?????
)m069.0()s
2
π
)(kg01.0( 21 ??? ?N1070.1 3???
kg01.0?m
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m/x
v
（ 2） 由起始位置运动到 处所需要
的最短时间,
m04.0??x
解法一 设由起始位置运动到 处
所需要的最短时间为
m04.0??x
t
]
3
π
)s
2
π
c o s [ ()m08.0(m04.0 1 ??? ? t
s
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3
π
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2
1
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?t
s6 6 7.0s
3
2
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解法二
?
3π3π
起始时刻 时刻 t
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§ 14--3 旋转矢量
以 为
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讨论 ? 相位差：表示两个相位之差,
1） 对 同一 简谐运动，相位差可以给出两运动状
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同步
2） 对于两个 同 频率 的简谐运动，相位差表示它
们间 步调 上的 差异,（解决振动合成问题）
)c o s ( 111 ?? ?? tAx )c o s ( 222 ?? ?? tAx
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反相
模 振幅 A
角速度 角频率 ?
旋转周期 振动周期 T=2?/ ?
上的投影 在 ox A r
上的投影 端点速度在 ox A r
上的投影 端点加速度在 ox A r
位移
速度
加速度
x =Acos(?t+? 0)
v =- ? Asin(?t+? 0)
a =- ? 2Acos(?t+? 0)
旋转矢量 简谐振动 符号或表达式 Ar
初相 ? 0 t=0时,与 ox夹角 Ar
相位 ?t+? 0 t时刻,与 ox夹角 Ar
旋转矢量 与谐振动的对应关系 Ar
旋转矢量法优点,
直观地表达谐振动的各特征量
便于解题,特别是确定初相位
便于振动合成
由 x,v 的符号确定 所在 的象限,Ar
例 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹
簧的劲度系数,物体的质量,
（ 1） 把物体从平衡位置向右拉到 处停
下后再释放，求简谐运动方程；
1mN72.0 ???k g20?m
m05.0?x
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1
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（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
2
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（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的
速度；
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解 （ 1）
1
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由旋转矢量图可知
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1sm26.0 ???? （负号表示速度沿 轴负方向） Ox
2
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（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的
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例 2 一质量为 的物体作简谐运动，其振
幅为,周期为,起始时刻物体在 kg01.0m08.0 s4 ?x m04.0
处，向 轴负方向运动（如图）,试求 Ox
（ 1） 时，物体所处的位置和所受的力； s0.1?t
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（ 2） 由起始位置运动到 处所需要
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所需要的最短时间为
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起始时刻 时刻 t
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