§ 15--2 平面简谐波的波函数
一 平面简谐波的波函数
? 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作
简谐运动时，在介质中所形成的波。
? 平面简谐波：波面为平面的简谐波。
?波函数：介质中任一质点（坐标为 x）相对其平
衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即
称为波函数。
),( txyy ?
各质点相对平
衡位置的 位移
波线上各质点
平衡 位置
以速度 u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波,
令原点 O 的初相为零，其振动方程
tAy O ?c o s?
1、时间推迟方法
点 O 的振动状态
tAy O ?c o s?
点 P u
x
t ??
t 时刻点 P 的运动
?
t-x/u时刻点 O 的运动
)(c o s
u
x
tAy P ?? ?
点 P 振动方程
? 波函数 )(c o s
u
x
tAy ?? ?
2、相位落后法
P
x
*
y
x
?
u?A
A?
O
tAy o ?c o s?
点 O 振动方程
0,0 ?? ?x
点 P 比点 O 落后 的相位
Op ??? ???
u
x
Tu
xx
p ??? ?????? π2π2
)(c o s
u
x
tAy p ?? ?点 P 振动方程
0,0 ?? ?x
])(c o s[ ?? ???
u
x
tAy 沿 轴 负 向 u x
)c o s ( ?? ?? tAy O点 O 振动方程
波
函
数
沿 轴 正 向 u x])(c o s [ ?? ??? uxtAy
y
x
?
u
A
A?
O
如果原点的
初相位 不 为零
? 波动方程的其它形式
])(π2c o s [)( ????
λ
x
T
t
Ax,ty
)c o s (),( ?? ??? kxtAtxy
?
π2?k角波数 ? 质点的振动速度，加速度
])(s in [ ??? ????
?
?
?
u
x
tA
t
y
v
])(c o s [22
2
??? ????
?
?
?
u
x
tA
t
y
a
二 波函数的物理意义
])(π2c o s [])(c o s [ ?
?
?? ??????
x
T
t
A
u
x
tAy
1 当 x 固定时,波函数表示该点的简谐运动
方程，并给出该点与点 O 振动的相位差,
λ
x
u
x
π2????? ??
（波具有时间的周期性） ),(),( Ttxytxy ??
波线上各点的简谐运动图
（波具有空间的周期性） ),(),( txytxy ???
2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点
相对其平衡位置的位移，即此刻的波形,
t
])(π2c o s [])(c o s [ ?
?
?? ??????
x
T
t
A
u
x
tAy
?
?
??? ?????? )(π2)( 111 x
T
t
u
xt
?
?
??? ?????? )(π2)( 222 x
T
t
u
xt
??
??? 21122112 π2π2
xxx ?
?
?
????
波程差
1221 xxx ???
?
? x??? π2
y
x
u
O
y
),(),( xxttxt ????? ??
)(π2c o s
?
x
T
t
Ay ??
)(π2)(π2
??
xx
T
ttx
T
t ???????
?
x
T
t ?
?
? tux ???
3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）, tx,
t 时刻 tt ?? 时刻
x?
例 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2, 5 0 s[(πc o s)cm5( -1-1 xty ??
解,方法一（比较系数法）,
)(π2c o s
?
x
T
t
Ay ??
])cm
2
01.0
()s
2
2, 5 0
[(π2c o s)cm5( 1-1- xty ??
把题中波动方程改写成
s8.0s
5.2
2 ??T cm200
01.0
cm2 ???
1scm2 5 0 ????
T
u
?
比较得
例 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速,
].)cm01.0()2, 5 0 s[(πc o s)cm5( -1-1 xty ??
解,方法二（由各物理量的定义解之）,
??? txt )2, 5 0 s[(π])cm01.0()2, 5 0 s[(π -11-1-1
π2])cm01.0( 2-1 ?x cm2 0 012 ??? xx?
])cm01.0()2, 5 0 s[(π])cm01.0()2, 5 0 s[(π 2-12-11-11-1 xtxt ???
s8.012 ??? ttT
1
12
12 scm250 ???
?
?
?
tt
xx
u
周期 为相位传播一个波长所需的时间
波长 是指同一时刻,波线上相位差为 的两
点间的距离,
π2t
cm20012 ??? ?xx
])(π2c o s [ ?
?
???
x
T
t
Ay
1） 波动方程
2
π
???
例 2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播,已知振
幅,,, 在 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动, 求
0?tm0.2??m0.1?A s0.2?T
0,0 ?
?
???
t
yy v
00 ?? xt
解 写出波动方程的标准式
y
?
A?
O
]
2
π
)
m0.2s0.2
(π2c o s [m)0.1( ???
xt
y
2） 求 波形图,
x)ms i n ( πm)0.1( 1??
s0.1?t
])m( π
2
π
c o s[m)0.1( 1 xy ???
波形方程
s0.1?t
]
2
π)
m0.2s0.2
(π2c o s[m)0.1( ??? xty
o
m/y
m/x2.0
1.0
-1.0
时刻波形图 s0.1?t
3） 处质点的振动规律并做图, m5.0?x
]π)sc o s [ ( πm)0.1( 1 ?? ? ty
]
2
π
)
m0.2s0.2
(π2c o s[m)0.1( ???
xt
y
处质点的振动方程 m5.0?x
0
m/y
1.0
-1.0
s/t2.0
O
y
?1
2
3
4
*
*
* *
*
*
1
2
3
4
处质点的振动曲线 m5.0?x
1.0
例 3 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波
线上点 A 的简谐运动方程,
s/m20?u
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
1） 以 A 为坐标原点，写出波动方程
m10?? uT?m103 2???A s5.0?T 0??
)
m10s5.0
(π2c o s)m103( 2
xt
y ??? ?
])(π2c o s [ ?
?
???
x
T
t
Ay
u
A B C D
5m 9m
xo
8m
?
?? ABAB
xx ?
??? π2
10
5
π2
?
??
π?
π?B? ]π)sπ4c o s [ ()m103( 12 ??? ?? ty B
]π)
m10s5.0
(π2c o s [)m103( 2 ???? ?
xt
y
2） 以 B 为坐标原点，写出波动方程
u
A B C D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
3） 写出传播方向上点 C,点 D 的简谐运动方程
u
A B C D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
点 C 的相位比点 A 超前
]π2)sπ4c o s[ ()m103( 12
?
ACty
C ???
??
]π
5
13)sπ4c o s [ ()m103( 12 ??? ?? t
点 D 的相位落后于点 A ]π2)sπ4c o s [ ()m103(
12
?
ADty
D ???
??
]π
5
9)sπ4c o s[ ()m103( 12 ??? ?? t
m10??
4） 分别求出 BC, CD 两点间的相位差
π4.4
10
22
π2π2 ?
?
??
?
???
?
?? DCDC
xx
u
A B C D
5m 9m
xo
8m
ty A )sπ4c o s ()m103( 12 ????
π6.1
10
8π2π2 ????????
?
?? CBCB xx
m10??
1） 给出下列波函数所表示的波的 传播方向
和 点的初相位, 0?x
)(π2c o s
?
x
T
t
Ay ???
)(c o s
u
xtAy ???? ?
2） 平面简谐波的波函数为
式中 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 的两点间的相位差,
)c o s ( CxBtAy ??
CBA,,
d
)c o s ( CxBtAy ?? )(π2c o s
?
x
T
t
Ay ??
C
π2
??
B
T
π2
? C
B
T
u ??
?
dCd ???
?
? π2
讨 论
)π,( ??向 x 轴 正 向传播
)π,( ??向 x 轴 负 向传播
3 ） 如图简谐波
以余弦函数表示，
求 O,a,b,c 各
点振动 初相位,
)π~π( ??
O
y
x
u
a b c
A
A?
t=T/4
?
t =0
π?o?
2
π
?a?
0?b?
2
π
??c?O y
? A?
O y
?A?
O y
?
A?
O y
?
A?