14－ 5 简谐运动的能量
以弹簧振子为例 k m
x
0 x
一、能量的时间函数
)s in (
)c o s (
???
??
???
??
tA
tAx
v
kxF ??
由
)(c o s
2
1
2
1 222
p ?? ??? tkAkxE
可得
)(s i n
2
1
2
1 2222
k ??? ??? tAmmE v
)(s i n
2
1 222
pk ??? ???? tAmEEE
)(c o s
2
1 22
?? ?? tkA
mk /2 ??
22
2
1
AkA ??
（振幅的动力学意义）
线性回复力是 保守力,作 简谐 运动的系统 机械能守恒
简 谐 运 动 能 量 图
tx ?
t?v
2
2
1 kAE ?
0??
tAx ?c o s?
tA ?? s in??v
v,x
to
T
4
T
2
T
4
3 T
能量
o T t
tkAE ?22p c o s
2
1?
tAmE ?? 222k s in
2
1
?
简谐运动能量曲线
kE
pE
x
E BC
A?A?
pE
x
O
二、能量的位置函数
2
p 2
1
kxE ? 22k
2
1
2
1
kxkAEEE p ????
简谐运动能量守
恒，振幅不变
思考,1、能量在一个周期内对时间的平均值
2
0
222
4
1
)(s i n
2
11
kAdttAm
T
E
T
k ??? ? ???
2
0
22
4
1
)(c o s
2
11
kAdttkA
T
E
T
p ??? ? ??
2
2
1 kAEEE
pk ???
2、能量在一个周期内对位置的平均值
2
0
2
6
1
2
11
kAdxkx
A
E
A
p ?? ?
2
0
22
3
1
)
2
1
2
1
(
1
kAdxkxkA
A
E
A
k ??? ?
3、能量守恒 简谐运动方程
推导
常量??? 22
2
1
2
1 kxmE v
0)
2
1
2
1
(
d
d 22
?? kxm
t
v
0
d
d
d
d
??
t
x
kx
t
m
v
v
0
d
d
2
2
?? x
m
k
t
x
例 质量为 的物体，以振幅
作简谐运动，其最大加速度为, 求, kg10.0
m100.1 2??
2sm0.4 ??
（ 1） 振动的周期；
（ 2） 通过平衡位置的动能；
（ 3） 总能量；
（ 4） 物体在何处其动能和势能相等？
解 （ 1）
2
m a x ?Aa ?
A
a m a x
??
1s20 ??
s314.0
π2
??
?
T
（ 2） J100.2 3???
222
m a xm a x,k 2
1
2
1
AmmE ??? v
（ 3）
m ax,kEE ?
J100.2 3???
（ 4）
pk EE ?
时,
J100.1 3p ???E
由
222
p 2
1
2
1
xmkxE ???
2
p2 2
?m
E
x ?
24 m105.0 ???
cm707.0??x