§ 15--3 波的能量
? 当波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动
因振动 ? 有振动动能
因形变 ? 有形变势能 ? 波的能量
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播,
x
x
O
xd
x O
y yy d?
一 波动能量的传播
])(c o s [ ?? ???
u
x
tAy
波函数
)(s in
u
v
x
tA
t
y
???
?
?
? ??
速度
x
x
O
xd
x O
y yy d?
? 振动动能
? ? ? ? 22k d
2
1d
2
1d vv VmW ???
)(s ind
2
1 222
u
xtVA ?? ???
? ? 2P d
2
1
d ykW ?
杨氏模量
l
l
E
S
F ?
?
?
E
u ?
)(s in
u
x
tA
ux
y
???
?
?
?
?
x
SE
k
d
?
)(s i nd
2
1 222
u
x
tVA ?? ???
22 )
d
d
(d
2
1
x
y
Vu??
? ? 22P )
d
d
(d
2
1
d
2
1
d
x
y
xESykW ??
? 弹性势能 x
x
O
xd
x O
y yy d?
l
l
ES
F ??
)(s i nd
2
1
dd 222pk
u
x
tVAWW ??? ???
讨 论
? 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能
均最大,
? 体积元的位移最大时，三者均为零,
? 体积元的总机械能
)(s i ndddd 222pk
u
x
tVAWWW ???? ???
1） 在波动传播的媒质中，任一体积元的动,
势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是
同相位 的,
tx,
2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，
即不断地传播能量, 任一体积元的机械能不守恒,
波动是能量传递的一种方式,
? 能量密度,单位体积介质中的波动能量,
)(s i n
d
d 222
u
x
tA
V
W
w ??? ???
平均 能量密度：能量密度在一个周期内的平均值,
22
0 2
1
d
1
Atw
T
w
T
???? ?
二 波的能流和能流密度
? 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量,
? 平均能流,
SuwP ?
uw
S
P
I ??
? 能流密度 ( 波的强度 ),
通过垂直于波传播方向的单
位面积的平均能流,
I
udt S
u?
uAI 22
2
1
???
例 证明球面波的振幅
与离开其波源的距离成反比，
并求球面简谐波的波函数,
证 介质无吸收，通过
两个球面的平均能流相等,
1s2s
1r
2r
1
2
2
1
r
r
A
A
? )(c o s
00
u
r
t
r
rA
y ?? ?
2211 uSuS ?? ?
2
2
22
2
2
1
22
1 π42
1
π4
2
1
ruAruA ???? ?
即
式中 为离开波源的距离,为 处的振幅, r
0rr ?0A