1? 1A
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1x x
0
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
21 xxx ??
2211
2211
c osc os
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t a n
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AA
AA
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)c os (2 12212221 ?? ???? AAAAA
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)c o s ( 222 ?? ?? tAx
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2A
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2?
两个 同 方向 同 频
率简谐运动 合成
后仍为 简谐 运动
x x
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)co s ()( 21 ?? ??? tAAx
A
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21 AAA ??
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1A
2A
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1） 相位差 π2
12 k???? ??? ),2 1 0( ????,，k
)c os (2 12212221 ?? ???? AAAAA 讨论
x x
t
o o
21 AAA ??
2?? ?
π)co s ()( 12 ??? tAAx ?
?
)c os (2 12212221 ?? ???? AAAAA
T
2A
2?
1A
A
2） 相位差 π)12(
12 ????? k??? ),1 0( ???,k
tAx ?c o s11 ?
)πc o s (22 ?? tAx ?
3） 一般情况
2121 AAAAA ????
21 AAA ??
2） 相位差
1） 相位差
21 AAA ??
π212 k?? ?? )10( ?,,??k
相互加强
相互削弱
π)12(12 ??? k?? )10( ?,,??k
1? 1A
? x
o
二 多个同方向同频率简谐运动 的 合成
2A
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2?
3A
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3?
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)c o s ( ?? ?? tAx
nxxxx ???? ?21
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)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c o s ( 222 ?? ?? tAx
)co s ( nnn tAx ?? ??
A?
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多 个 同 方向 同 频率简谐运动 合成 仍为 简谐 运动
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2A
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3A
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3A
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x
O
5A
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6A
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),2,1','( ????? kkNk
2） π'2 kN ?? ?
1） π2 k?? ?
),2,1,0( ????k
个矢量依次相接构
成一个 闭合 的多边形,
N
讨
论
三 两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率 较大 而频率之 差很小 的两个 同方向 简谐运动的
合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫 拍,
合振动频率 振幅部分
tAtAxxx 221121 π2co sπ2co s ?? ????
21 AA ? 2112 ???? ????
讨论,的情况
ttAx
2
π2c o s)
2
π2c o s2( 12121
???? ??
?
tAtAx 11111 π2co sco s ?? ??
tAtAx 22222 π2co sco s ?? ??
21 xxx ??
方法一
π
2
π2 12 ?
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T
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12
1
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tAA
2
π2c o s2 121
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12 ??? ??
2)( 21 ??? ??
1m a x 2 AA ?
0m in ?A
合振动频率 振幅部分
ttAx
2
π2c o s)
2
π2c o s2( 12121
???? ??
?
振幅
振动频率
拍频 （振幅变化的频率）
x
o
????? c os2 212221 AAAAA
)()( 1212 ????? ????? t
2A
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2x
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x
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A?
1A
?
1x
1?
11 ?? ?t
)()( 1212 ???? ??? t
22 ?? ?t
方法二：旋转矢量合成法
12 ?? ?
021 ?? ??
t)(π 2 12 ??? ???
2A
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2x
2?
x
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x
o
1A
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1x
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12 ?? ?t1?
t)( 12 ?? ?
t2?
????? c os2 212221 AAAAA
t)( 12 ??? ???
)
2
c o s (2 121 tA
?? ?
?
（拍在声学和无线电技术中的应用）
A
xx
t 21c o s
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??
2
21 ??? ??
12 ??? ??
拍频
)c o s1(21 ???? AA
振幅
振动圆频率
四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
)(s i n)c o s (
2
12
2
12
21
2
2
2
2
1
2
???? ?????
AA
xy
A
y
A
x
质点运动轨迹
1） 或 π20
12 ?? ??
x
A
A
y
1
2?
)c o s ( 11 ?? ?? tAx
)c o s ( 22 ?? ?? tAy
y
x
1A
2A
o
（椭圆方程）
讨论
y
x
1A
2A
o
2） π
12 ?? ?? x
A
A
y
1
2??
3） 2π
12 ??? ??
1
2
2
2
2
1
2
??
A
y
A
x
tAx ?c o s1?
)
2
π
c o s (2 ?? tAy ?
)(s i n)c o s (
2
12
2
12
21
2
2
2
2
1
2
???? ?????
AA
xy
A
y
A
x
x
y
1A
2A
o
用
旋
转
矢
量
描
绘
振
动
合
成
图
简
谐
运
动
的
合
成
图
两
相
互
垂
直
同
频
率
不
同
相
位
差
五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成
)c o s ( 111 ?? ?? tAx
)c o s ( 222 ?? ?? tAy
n
m
?
2
1
?
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2
π
,
8
π3
,
4
π
,
8
π
,02 ??
01 ??
测量振动频率
和相位的方法
李 萨 如 图