第八章 状态方程
引 言
§ 8.6 系统的可控制性与可观测性
§ 8.1 连续时间系统状态方程的建立
§ 8.2 连续时间系统状态方程的求解
§ 8.3 离散时间系统状态方程的建立
§ 8.4 离散时间系统状态方程的求解
§ 8.5 状态矢量的线性变换
系统分析，简言之就是建立表征物理系统的数学
模型并求出它的解答。描述系统的方法可分为输入－
输出法和状态变量法。输入 — 输出法也称为 端口法,
它主要关心的是激励（输入）与响应（输出）之间的
关系。前面几章所讨论的时域分析和变换域分析都属
于输入－输出法。由于输入－输出法只将系统的输入
变量和输出变量联系起来，它不便于研究与系统内部
情况有关的各种问题（譬如，系统的可观测性、可控
制性等）。随着现代控制理论的发展，人们不仅关心
系统输出量的变化情况，而且对系统内部的一些变量
也要进行研究，以便设计和控制这些变量达到最优控
制目的。这就需要以内部变量为基础的状态变量分析
法。
引 言
一．输入－输出法（端口法）
?研究 单输入－单输出 系统；
?着眼于系统的 外部 特性；
?基本模型为系统函数，着重运用频率响
应特性的概念。
?产生于 20世纪 50至 60年代；
?卡尔曼 (R.E.Kalman)引入；
?利用状态变量描述系统的 内部 特性；
?运用于 多 输入－ 多 输出系统；
?用 n个状态变量的一阶微分（或差分）方
程组来描述系统 。
二．状态变量分析法
三,状态变量分析法 优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究；
(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统；
(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
四．名词定义
状态,表示动态系统的一组最少变量 （ 被称为状态
变量 ）, 只要知道 时这组变量和 时的输
入, 那么就能完全确定系统在任何时间 的行为
0tt ? 0tt ?
0tt ?
状态变量,能够表示系统状态的那些变量成为状态
变量 。 例如上例中的 。 )(),( tvti CL
状态矢量,能够完全描述一个系统行为的 k个状态变
量, 可以看作矢量 的各个分量的坐标 。 称为
状态矢量 。
)(t?)(t?
)(t?状态空间,状态矢量 所在的空间 。
状态轨迹,在状态空间中状态矢量端点随时间变化
而描出的路径称为状态轨迹 。
§ 8.1 连续时间系统状态方程的
建立
状态变量
用来 描述网络中一状态随时间变化
的变量，称之为状态变量。
状态方程
描述了系统状态变量的一阶导数与
状态变量和激励关系的一阶微分方程，
称为状态方程。
一．状态方程的一般形式和建立方法概述
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号
的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程
表现为状态变量的联立一阶微分方程组, 即? ?te 1
? ?te 2
? ?te m
.
.
.
? ?tr 1
? ?tr 2
? ?tr r
? ?? ?0ti?
? ? ? ? ? ?ttt k???,,,21 ?为系统的 k个状态变量。
m个输入信号 r个输出信号
状态方程
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
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ttetetettthtr
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mk
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2211
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12121111
d
d
d
d
d
d
????
????
????
如果系统是线性时不变的, 则状态方程和输
出方程是状态变量和输入信号的线性组合,
即：
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12122221212
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???
???
???
表示为矢量矩阵形式
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k
11
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d
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? ?? ? ? ? ? ?tttr mmrkkrr 111 ????? ?? eDλC
状态方程
输入方程
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t
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aaa
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rkrr
k
k
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ddd
ddd
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te
te
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2
1
e
状态方程和输出方程分析的示意结构图
? ?
? ?tD
? ?tA
? ?tB ? ?tC
p
1? ?te ? ?tr? ?tλ
是积分环节，它的输入为,输出为 。
p
1 ? ?
ttλdd ??tλ
若 矩阵是 的函数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统,的各元素都为常
数，不随 改变。t DC,B,A,
DC,B,A,t
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输
入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对
时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
通常选择动态元件的输出作为状态变量，
在连续系统中是选积分器的输出。
建立给定系统的状态方程的方法分为
直接法和间接法两类：
直接法 —— 主要应用于电路分析, 电网络
（ 如滤波器 ） 的计算机辅助设计；
间接法 —— 常见于控制系统研究。
二．由电路图直接建立状态方程
(1)选取 独立 的电容上电压和电感中电流为状态变量，
有时也选电容电荷与电感磁链。
中必然包含,注意只能将此项放在方程左边。
(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然
包 括 ? ?
t
tiL L
d
d
? ?
t
tvC C
d
d
，对连接有电容的结点列结点电流方程，其
(3)把方程中非状态变量用状态变量表示 。
(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。
状态变量的个数 等于系统的 阶数。k
对于较简单的电路，用直观的方法容易列写
状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要
借助计算机辅助设计（ CAD）技术。
三．由系统的输入 -输出方程或流图建立状态方程
假定某一物理系统可用如下微分方程表示 ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
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1
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t
bte
t
bte
t
b
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t
atr
t
atr
t
kkk
k
k
k
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k
k
k
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此系统为 k 阶系统, 输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
? ? k
k
k
k
k
k
k
k
sasasa
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为便于选择状态变量, 系统函数表示成
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kk
kk
kk
kk
asasas
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????
?????
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1
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1
10
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当用积分器来实现该系统时, 其流图如下
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0
b
1
b
2
b
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b
k
bs1s1
1 s1 s1
1
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1?
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a
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k
a
k
a?
2?k
b
3
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取积分器的输出作为状态变量, 如图中所标的
? ? ? ? ? ?,,,,21 ttt k??? ?
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112211
teaaaab
bbbbtr
kkkk
kkkk
???????
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????
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? ? ? ?tebbab
babbabbab
k
kkkkk
0011
1022201110
???
??????? ???
?
??? ?
状态方程
输出方程
表示成矢量矩阵的形式
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1
0
0
0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1
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1
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1
2
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aaaa
k
k
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k
k
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?tebbabbabbabbabtr
k
k
kkkk 0
1
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0110220110
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状态方程
输出方程
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? ? ? ? ? ???
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??
tett
tett
DCr
BAλ
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对应 A,B,C,D的矩阵分别为
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1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
aaaa
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A
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0
?B
? ? ? ? ? ? ? ?? ?0110220110,,,,babbabbabbab kkkk ????? ?? ?C
0b?D
（二）用流图的串联结构形式列状态方程
四．将系统函数分解
建立状态方程
将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并
联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式
的状态方程。
（一）用流图的并联结构形式列状态方程
时域方法 …… 借助计算机
变换域方法 …… 简单
由状态方程求系统函数
§ 8.2 连续时间系统状态方
程的求解
一．用拉普拉斯变换法求解状态方程
方程 ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
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ttt
ttt
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0
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0
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k
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λ
，起始条件
方程两边取拉氏变换
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?sss
ssss
DEC ΛR
BEA ΛλΛ
??
??? ?0
? ? ? ? ? ? ? ?sss BEλΛAI ??? ?0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ssss BEAIλAIΛ 11 0 ??? ????
整理得
? ? ? ? 矩阵，则，称为特征矩阵或预解记为将 ss ΦAI 1??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 0
0
?
?
?
???
??
?
?
ssss
ssss
EDBC ΦλC ΦR
BEΦλΦΛ
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
?
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????
???
??
?
?
??
?
?
????? ?????? ???? ??? ??
零状态解零输入解
sLtsLsLt
sLsLsLt
EDBΦCλΦCr
EBΦλΦλ
111
111
0
0
?
因而时域表示式为
可见, 在计算过程中最关键的一步是求 。? ?sΦ
? ? ? ?? ? ? ?sss EDBC ΦR ??
? ? ? ? DBC ΦH ?? ss
若系统为零状态的，则
则系统的转移函数矩阵为
是第 i个输出分量对第 j个输入分量的转移函数。
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
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?
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sHsHsH
sHsHsH
sHsHsH
nmnn
m
m
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????
?
?
21
12221
11211
H
? ?sHij
? ? ? ? ? ? ? ?
则
，的拉氏反变换为，的拉氏反变换为设 tsts hHφΦ
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
?
?
?
???
???
?
?
??? ??? ?? ??
零状态解零输入解
tttt
tttt
ehλC φr
eBφλφλ
0
0
1．矩阵指数 的定义
二．用时域法求解状态方程
(一 )矩阵指数
!1 !121e
0
22 ?
?
?
???????
k
kkkkt t
ktkttI AAAA
A ??
！
tAe
A kk?式中 为 方阵,也是一个 方阵tAekk?
? ?
AA
I
AAA
AAAA
ttt
tttt
t
eee
d
d
ee ee
1
??
??
???
2.主要性质
(二 )用时域方法求解状态方程
1,求状态方程和输出方程
? ? ? ? ? ?tttt BeA λλ ??dd若已知
? ?
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0
0
0
0
2
1
k
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?
?
?
λ
并给定起始状态矢量
对式 (1)两边左乘,移项有tA?e
? ? ? ? ? ?tttt ttt BeA λλ AAA ??? ?? eedde
(1)
化简，得
? ?? ? ? ? eedd ttt tt Beλ AA ?? ?
两边取积分，并考虑起始条件，有
? ? ? ? ?
?
?
?
? ?? tt t
0 d)(e0e ??
? Beλλ AA
对上式两边左乘,并考虑到,可得tAe ee IAA ?? tt
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e0ede0e 0 tt ttt tt eBλBeλλ AAAA ????? ??? ?
?
???? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ]e[0e
de0e
0
??? ???? ??? ?? ??
零状态解零输入解
tt
t
ttt
tt
t
tt
eD δBCλC
DeBeλC
DeC λr
AA
AA
????
???
??
?
?
? ?
??
?
为方程的一般解
求输出方程 r(t)
依此原理，将 无穷项之和的表示式中高于 次的各
项全部化为 幂次的各项之和，经整理后即可将
化为有限项之和
对于 方阵 A有如下特性：kk?
？如何求 tAe.2
凯莱 -哈密顿定理（ Cayley-Hamiton theorem）：
? ?kjbbbb kkj ?????? ??,112210 AAAIA ?
也即, 对于, 可利用 以下幂次的各项之和表
示, 式中 为各项系数 。
kj ?
jA b
1?kA
tAe k
1?kA tAe
112210e ??????? kkt cccc AAAIA ?
(2)
(3)
式中各系数 c 都是时间 t 的函数，为书写简便省略了
变量 t。
按照凯莱 -哈密顿定理, 将矩阵 A的特征值代入式 (2)后,
方程仍满足平衡, 利用这一关系可求得式 (3)中的系数
c, 最后解出 。 tAe
具体计算步骤：
求矩阵 A的特征值；
将各特征值分别代入式（ 3），求系数 c。
第一种情况
A的特征值各不相同，分别为,代入式
(3)有
k???,,,21 ?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?
?
?
?
?
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e
e
e
1
1
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1
21
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2
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k
kkkk
t
k
k
t
k
k
t
cccc
cccc
cccc
k ???
???
???
?
?
?
?
?
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(4)
第二种情况
若 A的特征根 具有 m阶重根，则重根部分方程为1?
? ?
? ?
? ?
?
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tmt
m
m
k
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tt
k
k
t
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mk
k
c
m
cmcmt
ckcct
cccc
11
2
11
11
1
1
1
2
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1
11
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)!(
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!2
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d
d
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d
d
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1
1
1
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???
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??
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?
?
?
其他非重根部分与式 (4)相同处理, 两者联立解
得要求的系数 。
(5)
§ 8.3 离散时间系统状态方程的
建立
? 状态方程的一般形式和建立方法概述
? 由系统的输入 — 输出差分方程建立状态方程
? 给定系统的方框图或流图建立状态方程
? 由研究对象的运动规律直接建立状态方程
一．状态方程的一般形式和建立方法概述
离散系统的状态方程：一阶差分方程组
为系统的 r个输出信号。
为系统的 m个输入信号；
? ? ? ? ? ?nnn k??? ?,,21
? ? ? ? ? ?nxnxnx m,,,21 ?
? ? ? ? ? ?nynyny r?,,21
为系统的状态变量；
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
],,,,;,,[
],,,,;,,[
],,,,;,,[
2121
212122
212111
?
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?
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nnxnxnxnnnhny
nnxnxnxnnnhny
nnxnxnxnnnhny
mkrr
mk
mk
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???
???
???
输出方程：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
],,,,;,,[1
],,,,;,,[1
],,,,;,,[1
2121
212122
212111
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??
??
nnxnxnxnnnfn
nnxnxnxnnnfn
nnxnxnxnnnfn
mkkk
mk
mk
??
?
??
??
????
????
????
状态方程：
如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状
态变量和输入信号的线形组合，即
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??????
???
??????
???
??????
nxbnxb
nxbnananan
nxbnxb
nxbnananan
nxbnxb
nxbnananan
mkmk
kkkkkkk
mm
kk
mm
kk
?
?
?
?
?
?
?
22
112211
2222
12122221212
1212
11112121111
1
1
1
????
????
????
状态方程：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
???
?????
???
?????
nxdnxd
nxdncncncny
nxdnxd
nxdncncncny
nxdnxd
nxdncncncny
mrmr
rkrkrrr
mm
kk
mm
kk
?
?
?
?
?
?
?
22
112211
2222
12122221212
1212
11112121111
???
???
???
输出方程：
可见：
?n+1时刻的状态变量是 n时刻状态变量和输入信号的
函数。
?在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变
量常常选延时单元的输出。
表示成矢量方程形式
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
111
111
?
?
?
??
???
?????
?????
nnn
nnn
mmrkkrr
mmkkkkk
xDλCy
xBλAλ
输出方程
状态方程
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
n
n
k
2
1
?
?
?
?
λ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
kkkk
k
k
aaa
aaa
aaa
?
???
?
?
21
22221
11211
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
kmkk
m
m
bbb
bbb
bbb
?
???
?
?
21
22221
11211
B
各矩阵说明
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ny
ny
ny
n
r
?
2
1
y? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx
nx
nx
n
m
?
2
1
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rkrr
k
k
ccc
ccc
ccc
?
???
?
?
21
22221
11211
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rmrr
m
m
ddd
ddd
ddd
?
???
?
?
21
22221
11211
D
若系统是线性时不变的，则 A,B,C,D 各元素都为常数，
不随 n 改变。
若 A,B,C,D 矩阵是 n 的函数，表明系统是线性时变的，
图中,是延时单元，它的输入为,输出 。1?z ? ?1λ ?n ? ?nλ
示意结构图
? ?
? ?nD
? ?nA
? ?nB ? ?nC1?z
? ?ne ? ?nr? ?tλ
二．由系统的输入 — 输出差分方程建立状态方程
对于离散系统通常用下列 阶差分方程描述 （ 输
入 — 输出方程 ）
k
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?knxbknxbnxbnxbnxb
knyaknyanyanyany
kk
kk
??????????
??????????
?
?
121
121
1210
121 ?
? ?
kk
kk
kk
kk
azazaz
bzbzbzbzH
????
?????
?
?
?
?
1
1
1
1
1
10
?
?
其系统函数为
? ?
k
k
k
kk
k
k
k
k
z
a
z
a
z
a
z
a
z
z
b
z
b
z
b
z
b
b
zH
????
????
?
?
?
?
?
1
1
2
21
1
1
2
21
0
?
?
考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为
其流图形式
? ?nx ? ?ny
0
b
1
b
2
b
1?k
b
k
b
1
1?
z
1
?
2
?
1?k
?
k
?
1
a?
2
a?
1?
?
k
a
2?
?
k
a
k
a?
2?k
b
3
?
1?
z
1?
z
1?
z
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
??
??
??
??
?
nxnanananan
nn
nn
nn
kkkkk
kk
?????
??
??
??
112211
1
32
21
1
1
1
1
?
?
选 延时单元输出 作为状态变量，则有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nxbnbabnbab
nbabnbab
nxnanananab
nbnbnbnbny
kk
kkkk
kkkk
kkkk
00111022
201110
1122110
112211
?????
?????
???????
?????
?
??
??
??
??
??
????
????
?
?
?
表示成矢量方程形式为
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
?
??
???
nnn
nnn
DxC λy
BxA λλ 1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?? 121
1000
0100
0010
aaaa
kkk
?
?
?????
?
?
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
?B
? ? ? ? ? ? ? ?? ?0110220110,,,babbabbabbab kkkk ????? ?? ?，C
0b?D
其中
三．给定系统的方框图或流图建立状态方程
给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状
态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。
四．由研究对象的运动规律直接建立状态方程
§ 8.4 离散时间系统状态方
程的求解
矢量差分方程的时域求解
An的计算
离散系统状态方程的 z变换解
离散系统状态方程的求解和连续系统的
求解方法类似，包括时域和变换域两种
方法。
一．矢量差分方程的时域求解
? ? ? ? ? ?nnn BxA λλ ??? 1
离散系统的状态方程表示为
? ? ? ? ? ?000 1 nnn BxA λλ ???
此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。
设给定系统的起始状态为：在, 则按式 (1)有0nn? ? ?
0nλ
以下用迭代法，求 时刻的值：? ? ? ? nnn,,3,2
00 ???
? ? ? ? ? ?000 1 nnn BxA λλ ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?1
112
000
000
????
?????
nnn
nnn
BxABxλA
BxA λλ
2
（ 1）
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?21
223
0000
000
??????
?????
nnnn
nnn
BxABxBxAλA
BxA λλ
23
对于任意 n值，当 可归结为0nn ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ??
?
?
???
?????
??
???
????
????
1
1
0
0
2
0
1
0
0
0
000
1
1
11
n
ni
innn
nnnnnn
in
n
nnn
nnn
BxAλA
Bx
BxABxAλA
BxA λλ
?
上式中, 当 时第二项不存在, 此时的结果只由
第一项决定, 即 本身, 只有当 时, 式 (2)才
可给出完整的 之结果 。
0nn?
? ?0nλ 0nn?
? ?nλ
(2)
如果起始时刻选,并将上述对 值的限制以阶跃信
号的形式写入表达式，于是有
00 ?n n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
??
???? ????? ??
? ?? ??
零状态解
零输入解
10
1
0
1
nuinun
n
i
in
BxAλAλ
n
? ? ? ? ? ?nnn DxC λy ??
还可解得输出为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??????? ???????? ??
?? ??? ??
零状态解
零输入解
nunnuinu
n
i
DxBxCAλCA i1nn ???
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?? 10
1
0
由两部分组成：
n?一是起始状态经转移后在 时刻得到的响应分量；
? ?1?n?另一是对 时刻以前的输入量的响应。它们分别
称为零输入解和零状态解。
其中 称为离散系统的状态转移矩阵, 它与连续系统中
的 含义类似, 也用符号 表示, 写作
nA
tAe ? ? ?n?
? ? nn A??
它决定了系统的自由运动情况。
可以看出，零状态解中，若令,则系统的单位
样值响应为
? ? ? ?nn δx ?
? ? ? ? ? ?nnn D δBuCAh 1n ??? ? 1
可见，零状态解正是 与 的卷积和，也可写作? ?nh ? ?nx
? ? ? ?nn xh ?
? ? ? ? ? ?nnn DxC λy ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??????? ???????? ??
?? ??? ??
零状态解
零输入解
nunnuinu
n
i
DxBxCAλCA i1nn ???
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?? 10
1
0
关键,计算状态转移矩阵,即 。
二,的计算nA
? ?n? nA
112210 ??????? nnn cccc AAAIA ?
利用凯莱一哈密顿定理，
(3)
设 为 A的 n个独立的特征单根, 用下列联立方
程组求系数
)2,1(1 ni ???
110,,,?kccc ?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?
?
?
?
?
?
1
1
2
210
1
21
2
222102
1
11
2
121101
n
nnnn
j
n
n
n
j
n
n
j
cccc
cccc
cccc
????
????
????
?
?
?
?
110,,,?kccc ?将 分别代入 （ 3）,即可。
若 的特征根为重根的情况，例如 为 A 的 m 阶重根，
则对重根部分计算为
? ?
? ?
? ?? ?
? ?? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
????
?????
??????
?????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
11
1
3
11
132
2
12
2
2
11121
1
1
1
11
2
12110
! 1
!
d
d
21
2321
d
d
12
d
d
1
1
1
mn
m
m
n
n
nn
n
n
nn
n
n
n
mn
n
cnn
ccnn
cnccn
cccc
?
?
?
???
?
????
?
????
??
??
??
?
?
?
?
A 1?
? ? ? ? ? ?? ? mnkmmm cmnncmcmcm ???? ????????? 1121111 ! ! 1!2 ! 1! ! 1 ??? ?
三．离散系统状态方程的 变换解
和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的 变换
方法也使状态方程的求解显得容易一些。
z
由离散系统的状态方程和输出方程
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
?
??
???
nnn
nnn
DxC λy
BxA λλ 1
z
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
?
??
???
zzz
zzzzz
DXC ΛY
BXA ΛλΛ 0
两边取 变换z
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
?
?
?
?????
????
??
??
zzzzzz
zzzzz
DXBXAICλAICY
BXAIλAIΛ
11
11
0
0
整理,得到
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ???
?
?
?
??????
?????
?????
?????
zZzZzzZn
zZzZzzZn
XDBAICλAICy
XBAIλAIλ
11111
11111
0
0
取其逆变换即得时域表示式为,
状态转移矩阵即为
? ?? ? ? ?? ?11111 ????? ???? AIAIA zZzzZn
? ? ? ?? ?111 1 ??? ??? AIA zZnun
或
§ 8.5 状态矢量的线性变换
从状态变量的选择看出，同一系统可以
选择不同的状态变量，但所选每种状态变量
相互之间存在着变换关系。它可以看作同一
系统在状态空间中取了不同的基底，而状态
矢量用不同基底表示时具有不同的形式，因
此，对同一系统而言，以各种形式表示的状
态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性
变换，对于简化系统分析是很有用的。
一．在线性变换下状态方程的特性
之间有与另一组状态变量
变量变换关系，设一组状态按线性空间不同基底的
γ
λ
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
kkkkkk
kk
kk
ppp
ppp
ppp
????
????
????
?
?
?
?
2211
22221212
12121111
矢量形式
pλγ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
?
?
?
?
2
1
γ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
?
?
?
?
2
1
λ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
kkkk
k
k
ppp
ppp
ppp
?
???
?
?
21
22221
11211
P
为列矢量和其中 λγ
γλ ??? ?? 线性变换
系数间的关系
设原基底下状态方程表示为
? ? ? ? ? ?tettt BA λλ ??dd
经变换后 ? ? ? ? ? ?tett
t BγAPγP ??
?? 11
d
d
或
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
?
?
?
??????
????
?
?
tettettetty
tettett
t
DγCDγCPDC λ
BγAPBγP A Pγ
??
??
d
d
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
DD
CPC
PBB
P A PA
1
1
?
?
?
?
D,C,B,A
DC,B,A,
????
新矩阵系数
原矩阵系数
系数间的关系
二．系统转移函数阵在线性变换下是不变的
从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而
系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量
用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此
对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是
不变的：
? ? ? ? ? ? DBAICDBAICH ?????? ?? 11 ????? sss
上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，
结论同样适用于离散系统。
三,A矩阵的对角化
在线性变换中，使 A阵的对角化是很有用的变换。
A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。
这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可
以独立研究系统参数对状态变量的影响。
在线性代数中已经分析了 A矩阵的对角化。实际上
就是以 A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把 A矩
阵对角化所需要的线性变换就是寻求 A矩阵的特征矢量，
以次构作变换阵 P，即可把状态变量相互之间分离开。
四．由状态方程判断系统的稳定性
用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数
由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状
态方程，则由 A阵的对角化分析可知,A矩阵对角化
后其对角元素是 A矩阵的特征值，特征值决定了系统
的自由运动情况。因此可根据 A矩阵的特征值来判断
系统的稳定情况。
?连续系统稳定性的判断
?离散系统稳定性的判断
连续系统稳定性的判断
? ? 0Re ?i?的特征值稳定系统,A
这需要解方程
0?? AIa
转移函数分母的特征多项式
0?? AIs
此方程的根在 s平面上的位置决定了系统的稳定情况，
当根落在 s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。
离散系统稳定性的判断
1?ia
即系统的特征根位于单位圆 内,和连续系统相似，
A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根
位置相同，所以他们的判定准则也相同。
对于离散系统要求系统稳定，则要求 A矩阵的特征值
§ 8.6 系统的可控制性
与可观测性
?系统的可控性定义、判别法
?系统的可观性定义、判别法
?可控、可观性与系统转移函数之关系
一,系统的可控性定义、判别法
可控性,当系统用状态方程描述时，给定系统的任意
初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），
在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的
原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只
有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可
控制。
判别法
1.根据状态方程的参数矩阵判别
即,当 A 为对角阵形式时,
B 中的 0元素对应不可控因素。
设系统的状态方程 ? ? ? ? ? ?tett
t BA λλ ??d
d
2.可控阵满秩判别法
即, 若有 ? ?BABAABBM 1k2 ?? |||| ?,则连续系统完全
可控的充要条件是,M 矩阵满秩。
M 称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。
3.单输入、单输出系统可控性的 矩阵约当规范型判据A
即：若在 为约当规范型中，与每个约当块最后一行A B
相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。
二．系统的可观性定义、判别法
? ? ? ? ? ?tettr DC ?? ?
可观性
当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时
间间隔内 根据系统输出惟一地确定系统的所
有起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分
起始状态，则系统不完全可观。
? ?10 tt ??
可观性判别法
1.根据状态方程的参数矩阵判别
设系统的状态方程 ? ? ? ? ? ?tett
t BA λλ ??d
d
即,当 A 为对角阵形式时,
C 中的 0元素对应不可观现象。
2.可观阵满秩判别法
即, 若有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
k
CA
CA
C
N
?,则连续系统完全
可观的充要条件是, N 矩阵满秩。
N 称为系统的可判别矩阵，即可观阵。
3.单输入、单输出系统可观性的 矩阵约当规范型判据A
即：若在 为约当规范型中，与每个约当块第一行A C
相应的那些列不含零元素，则系统完全可观。
三．可控、可观性与系统转移函数之关系
由转移函数表达式,? ? ? ? DBAICH ??? ? 1ss
经非奇异变换而对角化：
? ? ? ? ??
???
? ??
?
??
?
? ????? DBAICDBAICH 11 sss
暂且不考虑与输入信号直接相联系的,则有：D
? ?
- 0 0
0 - 0
0 0
,
k
2
1
1-
k
2
1
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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? ?
?
?
?
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??
?
?
?
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??
?
?
?
????
?
??
b
b
b
s
s
s
c,ccss
k
?
?
???
?
?
?
?
?
?
BAICH
上式展开为：
? ? ?
?
????????
?????????
k
i i
ii
k
kk
s
bc
s
bc
s
bc
s
bcs
12
22
1
11
???? ?H
得出结论：
1.若系统不完全可控或不完全可观,则 s域上表现为 ? ?sH
必有零极点相消现象。
2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观
部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动
规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不可观
部分，而留下的是可控或可观部分）
引 言
§ 8.6 系统的可控制性与可观测性
§ 8.1 连续时间系统状态方程的建立
§ 8.2 连续时间系统状态方程的求解
§ 8.3 离散时间系统状态方程的建立
§ 8.4 离散时间系统状态方程的求解
§ 8.5 状态矢量的线性变换
系统分析，简言之就是建立表征物理系统的数学
模型并求出它的解答。描述系统的方法可分为输入－
输出法和状态变量法。输入 — 输出法也称为 端口法,
它主要关心的是激励（输入）与响应（输出）之间的
关系。前面几章所讨论的时域分析和变换域分析都属
于输入－输出法。由于输入－输出法只将系统的输入
变量和输出变量联系起来，它不便于研究与系统内部
情况有关的各种问题（譬如，系统的可观测性、可控
制性等）。随着现代控制理论的发展，人们不仅关心
系统输出量的变化情况，而且对系统内部的一些变量
也要进行研究，以便设计和控制这些变量达到最优控
制目的。这就需要以内部变量为基础的状态变量分析
法。
引 言
一．输入－输出法（端口法）
?研究 单输入－单输出 系统；
?着眼于系统的 外部 特性；
?基本模型为系统函数，着重运用频率响
应特性的概念。
?产生于 20世纪 50至 60年代；
?卡尔曼 (R.E.Kalman)引入；
?利用状态变量描述系统的 内部 特性；
?运用于 多 输入－ 多 输出系统；
?用 n个状态变量的一阶微分（或差分）方
程组来描述系统 。
二．状态变量分析法
三,状态变量分析法 优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究；
(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统；
(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
四．名词定义
状态,表示动态系统的一组最少变量 （ 被称为状态
变量 ）, 只要知道 时这组变量和 时的输
入, 那么就能完全确定系统在任何时间 的行为
0tt ? 0tt ?
0tt ?
状态变量,能够表示系统状态的那些变量成为状态
变量 。 例如上例中的 。 )(),( tvti CL
状态矢量,能够完全描述一个系统行为的 k个状态变
量, 可以看作矢量 的各个分量的坐标 。 称为
状态矢量 。
)(t?)(t?
)(t?状态空间,状态矢量 所在的空间 。
状态轨迹,在状态空间中状态矢量端点随时间变化
而描出的路径称为状态轨迹 。
§ 8.1 连续时间系统状态方程的
建立
状态变量
用来 描述网络中一状态随时间变化
的变量，称之为状态变量。
状态方程
描述了系统状态变量的一阶导数与
状态变量和激励关系的一阶微分方程，
称为状态方程。
一．状态方程的一般形式和建立方法概述
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号
的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程
表现为状态变量的联立一阶微分方程组, 即? ?te 1
? ?te 2
? ?te m
.
.
.
? ?tr 1
? ?tr 2
? ?tr r
? ?? ?0ti?
? ? ? ? ? ?ttt k???,,,21 ?为系统的 k个状态变量。
m个输入信号 r个输出信号
状态方程
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
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t
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mk
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d
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d
d
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d
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212122
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????
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
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ttetetettthtr
ttetetettthtr
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mk
mk
,,,,;,,,
,,,,;,,,
,,,,;,,,
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212122
212111
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t
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2211
2211
2222121
22221212
1212111
12121111
d
d
d
d
d
d
????
????
????
如果系统是线性时不变的, 则状态方程和输
出方程是状态变量和输入信号的线性组合,
即：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
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?????
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tedtctctctr
tedted
tedtctctctr
tedted
tedtctctctr
mrmr
rkrkrrr
mm
kk
mm
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22
112211
2222
12122221212
1212
11112121111
???
???
???
表示为矢量矩阵形式
? ? ? ? ? ?tttt mmkkkk
k
11
1d
d
????
?
???
?
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??
? eBλA?
? ?? ? ? ? ? ?tttr mmrkkrr 111 ????? ?? eDλC
状态方程
输入方程
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t
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t
t
t
t
t
t
t
k
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d
d
d
d
d
d
d
2
1
?
λ
?
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kkkk
k
k
aaa
aaa
aaa
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kkkk
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bbb
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k
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ccc
ccc
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rkrr
k
k
ddd
ddd
ddd
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tr
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t
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2
1
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te
te
te
t
m
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2
1
e
状态方程和输出方程分析的示意结构图
? ?
? ?tD
? ?tA
? ?tB ? ?tC
p
1? ?te ? ?tr? ?tλ
是积分环节，它的输入为,输出为 。
p
1 ? ?
ttλdd ??tλ
若 矩阵是 的函数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统,的各元素都为常
数，不随 改变。t DC,B,A,
DC,B,A,t
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输
入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对
时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
通常选择动态元件的输出作为状态变量，
在连续系统中是选积分器的输出。
建立给定系统的状态方程的方法分为
直接法和间接法两类：
直接法 —— 主要应用于电路分析, 电网络
（ 如滤波器 ） 的计算机辅助设计；
间接法 —— 常见于控制系统研究。
二．由电路图直接建立状态方程
(1)选取 独立 的电容上电压和电感中电流为状态变量，
有时也选电容电荷与电感磁链。
中必然包含,注意只能将此项放在方程左边。
(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然
包 括 ? ?
t
tiL L
d
d
? ?
t
tvC C
d
d
，对连接有电容的结点列结点电流方程，其
(3)把方程中非状态变量用状态变量表示 。
(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。
状态变量的个数 等于系统的 阶数。k
对于较简单的电路，用直观的方法容易列写
状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要
借助计算机辅助设计（ CAD）技术。
三．由系统的输入 -输出方程或流图建立状态方程
假定某一物理系统可用如下微分方程表示 ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
11
1
10
11
1
1
tebte
t
bte
t
bte
t
b
tratr
t
atr
t
atr
t
kkk
k
k
k
kkk
k
k
k
?????
????
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?
??
?
?
?
此系统为 k 阶系统, 输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
? ? k
k
k
k
k
k
k
k
sasasa
sbsbsbbsH
??
?
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??
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?????
1
1
1
1
1
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10
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为便于选择状态变量, 系统函数表示成
? ?
kk
kk
kk
kk
asasas
bsbsbsbsH
????
?????
?
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1
1
1
1
1
10
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?
当用积分器来实现该系统时, 其流图如下
? ?te ? ?tr
0
b
1
b
2
b
1?k
b
k
bs1s1
1 s1 s1
1
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2
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k
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1
a?
2
a?
1?
?
k
a
2?
?
k
a
k
a?
2?k
b
3
?
取积分器的输出作为状态变量, 如图中所标的
? ? ? ? ? ?,,,,21 ttt k??? ?
? ??
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1
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112211
teaaaab
bbbbtr
kkkk
kkkk
???????
?????
??
??
????
????
?
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? ? ? ?tebbab
babbabbab
k
kkkkk
0011
1022201110
???
??????? ???
?
??? ?
状态方程
输出方程
表示成矢量矩阵的形式
? ?
1
0
0
0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1
2
1
121
1
2
1
te
aaaa
k
k
kkk
k
k
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?tebbabbabbabbabtr
k
k
kkkk 0
1
2
1
0110220110
,,,,?
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状态方程
输出方程
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
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??
??
tett
tett
DCr
BAλ
?
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对应 A,B,C,D的矩阵分别为
?
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????
?
?? 121
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
aaaa
kkk
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?????
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A
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1
0
0
0
?B
? ? ? ? ? ? ? ?? ?0110220110,,,,babbabbabbab kkkk ????? ?? ?C
0b?D
（二）用流图的串联结构形式列状态方程
四．将系统函数分解
建立状态方程
将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并
联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式
的状态方程。
（一）用流图的并联结构形式列状态方程
时域方法 …… 借助计算机
变换域方法 …… 简单
由状态方程求系统函数
§ 8.2 连续时间系统状态方
程的求解
一．用拉普拉斯变换法求解状态方程
方程 ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
??
?
?
?
??
??
ttt
ttt
t
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0
0
0
0
2
1
k
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?
?
λ
，起始条件
方程两边取拉氏变换
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?sss
ssss
DEC ΛR
BEA ΛλΛ
??
??? ?0
? ? ? ? ? ? ? ?sss BEλΛAI ??? ?0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ssss BEAIλAIΛ 11 0 ??? ????
整理得
? ? ? ? 矩阵，则，称为特征矩阵或预解记为将 ss ΦAI 1??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 0
0
?
?
?
???
??
?
?
ssss
ssss
EDBC ΦλC ΦR
BEΦλΦΛ
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
?
?
?
?
?
????
???
??
?
?
??
?
?
????? ?????? ???? ??? ??
零状态解零输入解
sLtsLsLt
sLsLsLt
EDBΦCλΦCr
EBΦλΦλ
111
111
0
0
?
因而时域表示式为
可见, 在计算过程中最关键的一步是求 。? ?sΦ
? ? ? ?? ? ? ?sss EDBC ΦR ??
? ? ? ? DBC ΦH ?? ss
若系统为零状态的，则
则系统的转移函数矩阵为
是第 i个输出分量对第 j个输入分量的转移函数。
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
sHsHsH
sHsHsH
sHsHsH
nmnn
m
m
?
????
?
?
21
12221
11211
H
? ?sHij
? ? ? ? ? ? ? ?
则
，的拉氏反变换为，的拉氏反变换为设 tsts hHφΦ
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
?
?
?
???
???
?
?
??? ??? ?? ??
零状态解零输入解
tttt
tttt
ehλC φr
eBφλφλ
0
0
1．矩阵指数 的定义
二．用时域法求解状态方程
(一 )矩阵指数
!1 !121e
0
22 ?
?
?
???????
k
kkkkt t
ktkttI AAAA
A ??
！
tAe
A kk?式中 为 方阵,也是一个 方阵tAekk?
? ?
AA
I
AAA
AAAA
ttt
tttt
t
eee
d
d
ee ee
1
??
??
???
2.主要性质
(二 )用时域方法求解状态方程
1,求状态方程和输出方程
? ? ? ? ? ?tttt BeA λλ ??dd若已知
? ?
? ?
? ?
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?
?
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?
?
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0
0
0
0
2
1
k
?
?
?
?
λ
并给定起始状态矢量
对式 (1)两边左乘,移项有tA?e
? ? ? ? ? ?tttt ttt BeA λλ AAA ??? ?? eedde
(1)
化简，得
? ?? ? ? ? eedd ttt tt Beλ AA ?? ?
两边取积分，并考虑起始条件，有
? ? ? ? ?
?
?
?
? ?? tt t
0 d)(e0e ??
? Beλλ AA
对上式两边左乘,并考虑到,可得tAe ee IAA ?? tt
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e0ede0e 0 tt ttt tt eBλBeλλ AAAA ????? ??? ?
?
???? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ]e[0e
de0e
0
??? ???? ??? ?? ??
零状态解零输入解
tt
t
ttt
tt
t
tt
eD δBCλC
DeBeλC
DeC λr
AA
AA
????
???
??
?
?
? ?
??
?
为方程的一般解
求输出方程 r(t)
依此原理，将 无穷项之和的表示式中高于 次的各
项全部化为 幂次的各项之和，经整理后即可将
化为有限项之和
对于 方阵 A有如下特性：kk?
？如何求 tAe.2
凯莱 -哈密顿定理（ Cayley-Hamiton theorem）：
? ?kjbbbb kkj ?????? ??,112210 AAAIA ?
也即, 对于, 可利用 以下幂次的各项之和表
示, 式中 为各项系数 。
kj ?
jA b
1?kA
tAe k
1?kA tAe
112210e ??????? kkt cccc AAAIA ?
(2)
(3)
式中各系数 c 都是时间 t 的函数，为书写简便省略了
变量 t。
按照凯莱 -哈密顿定理, 将矩阵 A的特征值代入式 (2)后,
方程仍满足平衡, 利用这一关系可求得式 (3)中的系数
c, 最后解出 。 tAe
具体计算步骤：
求矩阵 A的特征值；
将各特征值分别代入式（ 3），求系数 c。
第一种情况
A的特征值各不相同，分别为,代入式
(3)有
k???,,,21 ?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?
?
?
?
?
?
e
e
e
1
1
2
210
1
21
2
22210
1
11
2
12110
2
1
k
kkkk
t
k
k
t
k
k
t
cccc
cccc
cccc
k ???
???
???
?
?
?
?
?
?
(4)
第二种情况
若 A的特征根 具有 m阶重根，则重根部分方程为1?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
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mk
km
mm
tmt
m
m
k
k
tt
k
k
t
c
mk
k
c
m
cmcmt
ckcct
cccc
11
2
11
11
1
1
1
2
11121
1
11
2
12110
)!(
!1-
!2
)!1(
!!1ee
d
d
12ee
d
d
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1
1
1
1
1
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?
???
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??
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?
??
?
?
?
?
?
?
其他非重根部分与式 (4)相同处理, 两者联立解
得要求的系数 。
(5)
§ 8.3 离散时间系统状态方程的
建立
? 状态方程的一般形式和建立方法概述
? 由系统的输入 — 输出差分方程建立状态方程
? 给定系统的方框图或流图建立状态方程
? 由研究对象的运动规律直接建立状态方程
一．状态方程的一般形式和建立方法概述
离散系统的状态方程：一阶差分方程组
为系统的 r个输出信号。
为系统的 m个输入信号；
? ? ? ? ? ?nnn k??? ?,,21
? ? ? ? ? ?nxnxnx m,,,21 ?
? ? ? ? ? ?nynyny r?,,21
为系统的状态变量；
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
],,,,;,,[
],,,,;,,[
],,,,;,,[
2121
212122
212111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnxnxnxnnnhny
nnxnxnxnnnhny
nnxnxnxnnnhny
mkrr
mk
mk
??
?
??
??
???
???
???
输出方程：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
],,,,;,,[1
],,,,;,,[1
],,,,;,,[1
2121
212122
212111
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
nnxnxnxnnnfn
nnxnxnxnnnfn
nnxnxnxnnnfn
mkkk
mk
mk
??
?
??
??
????
????
????
状态方程：
如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状
态变量和输入信号的线形组合，即
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
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?
?
?
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?
???
??????
???
??????
???
??????
nxbnxb
nxbnananan
nxbnxb
nxbnananan
nxbnxb
nxbnananan
mkmk
kkkkkkk
mm
kk
mm
kk
?
?
?
?
?
?
?
22
112211
2222
12122221212
1212
11112121111
1
1
1
????
????
????
状态方程：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
???
?????
???
?????
nxdnxd
nxdncncncny
nxdnxd
nxdncncncny
nxdnxd
nxdncncncny
mrmr
rkrkrrr
mm
kk
mm
kk
?
?
?
?
?
?
?
22
112211
2222
12122221212
1212
11112121111
???
???
???
输出方程：
可见：
?n+1时刻的状态变量是 n时刻状态变量和输入信号的
函数。
?在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变
量常常选延时单元的输出。
表示成矢量方程形式
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
111
111
?
?
?
??
???
?????
?????
nnn
nnn
mmrkkrr
mmkkkkk
xDλCy
xBλAλ
输出方程
状态方程
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
n
n
k
2
1
?
?
?
?
λ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
kkkk
k
k
aaa
aaa
aaa
?
???
?
?
21
22221
11211
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
kmkk
m
m
bbb
bbb
bbb
?
???
?
?
21
22221
11211
B
各矩阵说明
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ny
ny
ny
n
r
?
2
1
y? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx
nx
nx
n
m
?
2
1
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rkrr
k
k
ccc
ccc
ccc
?
???
?
?
21
22221
11211
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rmrr
m
m
ddd
ddd
ddd
?
???
?
?
21
22221
11211
D
若系统是线性时不变的，则 A,B,C,D 各元素都为常数，
不随 n 改变。
若 A,B,C,D 矩阵是 n 的函数，表明系统是线性时变的，
图中,是延时单元，它的输入为,输出 。1?z ? ?1λ ?n ? ?nλ
示意结构图
? ?
? ?nD
? ?nA
? ?nB ? ?nC1?z
? ?ne ? ?nr? ?tλ
二．由系统的输入 — 输出差分方程建立状态方程
对于离散系统通常用下列 阶差分方程描述 （ 输
入 — 输出方程 ）
k
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?knxbknxbnxbnxbnxb
knyaknyanyanyany
kk
kk
??????????
??????????
?
?
121
121
1210
121 ?
? ?
kk
kk
kk
kk
azazaz
bzbzbzbzH
????
?????
?
?
?
?
1
1
1
1
1
10
?
?
其系统函数为
? ?
k
k
k
kk
k
k
k
k
z
a
z
a
z
a
z
a
z
z
b
z
b
z
b
z
b
b
zH
????
????
?
?
?
?
?
1
1
2
21
1
1
2
21
0
?
?
考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为
其流图形式
? ?nx ? ?ny
0
b
1
b
2
b
1?k
b
k
b
1
1?
z
1
?
2
?
1?k
?
k
?
1
a?
2
a?
1?
?
k
a
2?
?
k
a
k
a?
2?k
b
3
?
1?
z
1?
z
1?
z
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
??
??
??
??
?
nxnanananan
nn
nn
nn
kkkkk
kk
?????
??
??
??
112211
1
32
21
1
1
1
1
?
?
选 延时单元输出 作为状态变量，则有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nxbnbabnbab
nbabnbab
nxnanananab
nbnbnbnbny
kk
kkkk
kkkk
kkkk
00111022
201110
1122110
112211
?????
?????
???????
?????
?
??
??
??
??
??
????
????
?
?
?
表示成矢量方程形式为
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
?
??
???
nnn
nnn
DxC λy
BxA λλ 1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?? 121
1000
0100
0010
aaaa
kkk
?
?
?????
?
?
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
0
?B
? ? ? ? ? ? ? ?? ?0110220110,,,babbabbabbab kkkk ????? ?? ?，C
0b?D
其中
三．给定系统的方框图或流图建立状态方程
给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状
态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。
四．由研究对象的运动规律直接建立状态方程
§ 8.4 离散时间系统状态方
程的求解
矢量差分方程的时域求解
An的计算
离散系统状态方程的 z变换解
离散系统状态方程的求解和连续系统的
求解方法类似，包括时域和变换域两种
方法。
一．矢量差分方程的时域求解
? ? ? ? ? ?nnn BxA λλ ??? 1
离散系统的状态方程表示为
? ? ? ? ? ?000 1 nnn BxA λλ ???
此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。
设给定系统的起始状态为：在, 则按式 (1)有0nn? ? ?
0nλ
以下用迭代法，求 时刻的值：? ? ? ? nnn,,3,2
00 ???
? ? ? ? ? ?000 1 nnn BxA λλ ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?1
112
000
000
????
?????
nnn
nnn
BxABxλA
BxA λλ
2
（ 1）
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?21
223
0000
000
??????
?????
nnnn
nnn
BxABxBxAλA
BxA λλ
23
对于任意 n值，当 可归结为0nn ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ??
?
?
???
?????
??
???
????
????
1
1
0
0
2
0
1
0
0
0
000
1
1
11
n
ni
innn
nnnnnn
in
n
nnn
nnn
BxAλA
Bx
BxABxAλA
BxA λλ
?
上式中, 当 时第二项不存在, 此时的结果只由
第一项决定, 即 本身, 只有当 时, 式 (2)才
可给出完整的 之结果 。
0nn?
? ?0nλ 0nn?
? ?nλ
(2)
如果起始时刻选,并将上述对 值的限制以阶跃信
号的形式写入表达式，于是有
00 ?n n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
??
???? ????? ??
? ?? ??
零状态解
零输入解
10
1
0
1
nuinun
n
i
in
BxAλAλ
n
? ? ? ? ? ?nnn DxC λy ??
还可解得输出为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??????? ???????? ??
?? ??? ??
零状态解
零输入解
nunnuinu
n
i
DxBxCAλCA i1nn ???
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?? 10
1
0
由两部分组成：
n?一是起始状态经转移后在 时刻得到的响应分量；
? ?1?n?另一是对 时刻以前的输入量的响应。它们分别
称为零输入解和零状态解。
其中 称为离散系统的状态转移矩阵, 它与连续系统中
的 含义类似, 也用符号 表示, 写作
nA
tAe ? ? ?n?
? ? nn A??
它决定了系统的自由运动情况。
可以看出，零状态解中，若令,则系统的单位
样值响应为
? ? ? ?nn δx ?
? ? ? ? ? ?nnn D δBuCAh 1n ??? ? 1
可见，零状态解正是 与 的卷积和，也可写作? ?nh ? ?nx
? ? ? ?nn xh ?
? ? ? ? ? ?nnn DxC λy ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??????? ???????? ??
?? ??? ??
零状态解
零输入解
nunnuinu
n
i
DxBxCAλCA i1nn ???
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?? 10
1
0
关键,计算状态转移矩阵,即 。
二,的计算nA
? ?n? nA
112210 ??????? nnn cccc AAAIA ?
利用凯莱一哈密顿定理，
(3)
设 为 A的 n个独立的特征单根, 用下列联立方
程组求系数
)2,1(1 ni ???
110,,,?kccc ?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?
?
?
?
?
?
1
1
2
210
1
21
2
222102
1
11
2
121101
n
nnnn
j
n
n
n
j
n
n
j
cccc
cccc
cccc
????
????
????
?
?
?
?
110,,,?kccc ?将 分别代入 （ 3）,即可。
若 的特征根为重根的情况，例如 为 A 的 m 阶重根，
则对重根部分计算为
? ?
? ?
? ?? ?
? ?? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
??
?
????
?????
??????
?????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
11
1
3
11
132
2
12
2
2
11121
1
1
1
11
2
12110
! 1
!
d
d
21
2321
d
d
12
d
d
1
1
1
mn
m
m
n
n
nn
n
n
nn
n
n
n
mn
n
cnn
ccnn
cnccn
cccc
?
?
?
???
?
????
?
????
??
??
??
?
?
?
?
A 1?
? ? ? ? ? ?? ? mnkmmm cmnncmcmcm ???? ????????? 1121111 ! ! 1!2 ! 1! ! 1 ??? ?
三．离散系统状态方程的 变换解
和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的 变换
方法也使状态方程的求解显得容易一些。
z
由离散系统的状态方程和输出方程
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
?
??
???
nnn
nnn
DxC λy
BxA λλ 1
z
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
?
??
???
zzz
zzzzz
DXC ΛY
BXA ΛλΛ 0
两边取 变换z
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
?
?
?
?????
????
??
??
zzzzzz
zzzzz
DXBXAICλAICY
BXAIλAIΛ
11
11
0
0
整理,得到
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ???
?
?
?
??????
?????
?????
?????
zZzZzzZn
zZzZzzZn
XDBAICλAICy
XBAIλAIλ
11111
11111
0
0
取其逆变换即得时域表示式为,
状态转移矩阵即为
? ?? ? ? ?? ?11111 ????? ???? AIAIA zZzzZn
? ? ? ?? ?111 1 ??? ??? AIA zZnun
或
§ 8.5 状态矢量的线性变换
从状态变量的选择看出，同一系统可以
选择不同的状态变量，但所选每种状态变量
相互之间存在着变换关系。它可以看作同一
系统在状态空间中取了不同的基底，而状态
矢量用不同基底表示时具有不同的形式，因
此，对同一系统而言，以各种形式表示的状
态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性
变换，对于简化系统分析是很有用的。
一．在线性变换下状态方程的特性
之间有与另一组状态变量
变量变换关系，设一组状态按线性空间不同基底的
γ
λ
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
kkkkkk
kk
kk
ppp
ppp
ppp
????
????
????
?
?
?
?
2211
22221212
12121111
矢量形式
pλγ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
?
?
?
?
2
1
γ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
?
?
?
?
2
1
λ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
kkkk
k
k
ppp
ppp
ppp
?
???
?
?
21
22221
11211
P
为列矢量和其中 λγ
γλ ??? ?? 线性变换
系数间的关系
设原基底下状态方程表示为
? ? ? ? ? ?tettt BA λλ ??dd
经变换后 ? ? ? ? ? ?tett
t BγAPγP ??
?? 11
d
d
或
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
?
?
?
??????
????
?
?
tettettetty
tettett
t
DγCDγCPDC λ
BγAPBγP A Pγ
??
??
d
d
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
DD
CPC
PBB
P A PA
1
1
?
?
?
?
D,C,B,A
DC,B,A,
????
新矩阵系数
原矩阵系数
系数间的关系
二．系统转移函数阵在线性变换下是不变的
从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而
系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量
用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此
对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是
不变的：
? ? ? ? ? ? DBAICDBAICH ?????? ?? 11 ????? sss
上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，
结论同样适用于离散系统。
三,A矩阵的对角化
在线性变换中，使 A阵的对角化是很有用的变换。
A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。
这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可
以独立研究系统参数对状态变量的影响。
在线性代数中已经分析了 A矩阵的对角化。实际上
就是以 A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把 A矩
阵对角化所需要的线性变换就是寻求 A矩阵的特征矢量，
以次构作变换阵 P，即可把状态变量相互之间分离开。
四．由状态方程判断系统的稳定性
用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数
由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状
态方程，则由 A阵的对角化分析可知,A矩阵对角化
后其对角元素是 A矩阵的特征值，特征值决定了系统
的自由运动情况。因此可根据 A矩阵的特征值来判断
系统的稳定情况。
?连续系统稳定性的判断
?离散系统稳定性的判断
连续系统稳定性的判断
? ? 0Re ?i?的特征值稳定系统,A
这需要解方程
0?? AIa
转移函数分母的特征多项式
0?? AIs
此方程的根在 s平面上的位置决定了系统的稳定情况，
当根落在 s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。
离散系统稳定性的判断
1?ia
即系统的特征根位于单位圆 内,和连续系统相似，
A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根
位置相同，所以他们的判定准则也相同。
对于离散系统要求系统稳定，则要求 A矩阵的特征值
§ 8.6 系统的可控制性
与可观测性
?系统的可控性定义、判别法
?系统的可观性定义、判别法
?可控、可观性与系统转移函数之关系
一,系统的可控性定义、判别法
可控性,当系统用状态方程描述时，给定系统的任意
初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），
在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的
原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只
有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可
控制。
判别法
1.根据状态方程的参数矩阵判别
即,当 A 为对角阵形式时,
B 中的 0元素对应不可控因素。
设系统的状态方程 ? ? ? ? ? ?tett
t BA λλ ??d
d
2.可控阵满秩判别法
即, 若有 ? ?BABAABBM 1k2 ?? |||| ?,则连续系统完全
可控的充要条件是,M 矩阵满秩。
M 称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。
3.单输入、单输出系统可控性的 矩阵约当规范型判据A
即：若在 为约当规范型中，与每个约当块最后一行A B
相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。
二．系统的可观性定义、判别法
? ? ? ? ? ?tettr DC ?? ?
可观性
当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时
间间隔内 根据系统输出惟一地确定系统的所
有起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分
起始状态，则系统不完全可观。
? ?10 tt ??
可观性判别法
1.根据状态方程的参数矩阵判别
设系统的状态方程 ? ? ? ? ? ?tett
t BA λλ ??d
d
即,当 A 为对角阵形式时,
C 中的 0元素对应不可观现象。
2.可观阵满秩判别法
即, 若有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
k
CA
CA
C
N
?,则连续系统完全
可观的充要条件是, N 矩阵满秩。
N 称为系统的可判别矩阵，即可观阵。
3.单输入、单输出系统可观性的 矩阵约当规范型判据A
即：若在 为约当规范型中，与每个约当块第一行A C
相应的那些列不含零元素，则系统完全可观。
三．可控、可观性与系统转移函数之关系
由转移函数表达式,? ? ? ? DBAICH ??? ? 1ss
经非奇异变换而对角化：
? ? ? ? ??
???
? ??
?
??
?
? ????? DBAICDBAICH 11 sss
暂且不考虑与输入信号直接相联系的,则有：D
? ?
- 0 0
0 - 0
0 0
,
k
2
1
1-
k
2
1
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
? ?
?
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?
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?
?
?
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?
??
?
?
?
????
?
??
b
b
b
s
s
s
c,ccss
k
?
?
???
?
?
?
?
?
?
BAICH
上式展开为：
? ? ?
?
????????
?????????
k
i i
ii
k
kk
s
bc
s
bc
s
bc
s
bcs
12
22
1
11
???? ?H
得出结论：
1.若系统不完全可控或不完全可观,则 s域上表现为 ? ?sH
必有零极点相消现象。
2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观
部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动
规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不可观
部分，而留下的是可控或可观部分）
