复频域分析 重点：常见信号的拉氏变换对 难点：收敛域及定义推导过程 第四章的思想：一是将信号分解为虚指数信号的叠加——傅氏级数和傅氏变换。二是响应的合成。即把作为测试信号，系统频率特性响应为叠加。对分析谐波成分、频率响应、波形失真、取样、滤波十分有效。 本章以为基本信号。 把拉氏变换用于系统分析，其功绩首推英国工程师heaviside。1899年其在解决电气工程中出现的微分方程时，首先发明了“算子法”。在实际应用中得到欢迎，但许多数学家认为缺乏严密的论证而极力反对，Heaviside追随者并未止步，最后在拉普拉斯著作中找到依据，取名为拉氏变换。三四十年代在电路分析、网络理论等方面有广泛的应用，直到五十年代奇异函数理论的进一步完善，给时域法带来生机，形成现在变换法与新时域法并驾齐驱的局面。 （Laplace.pierre-simon，1749生于诺曼底的博蒙昴诺日，1827年死于巴黎。法国数学家天文学家。1785当于法国科学院院士。研究天体力学和物理学，天体力学的奠基人，分析概率论的创始人是应用数学的先驱。认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。） 一、拉普拉斯变换（Laplace Transform） 1、从傅氏变换到拉氏变换 增加收敛因子作傅氏变换             拉氏变换对： 2、收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域 ①因果信号 ②反因果信号 ③双边信号 3、单边拉普拉斯变换（Unilateral Laplace Transform） 一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围0-：包含δ(t)及其各阶导数 ①因果信号f(t)在a＜t＜b内(0≤a＜b＜∞)可积 ②且对σ0有收敛域σ＞σ0 称σ0为收敛横坐标。（abscissa of convergence） 说明：P207 4、常见信号的拉氏变换 ①单边指数信号 ②冲激信号  ③阶跃信号 ④正余弦信号 二、拉氏变换的性质： 1、线性： 2、原函数微分： 3、原函数积分： 4、延时： 5、S域平移： 6、尺度变换： 7、初值： 8、终值；  9、卷积：   10、S域微分： 11、S域积分： 三、拉氏逆变换： （1)部分分式法 (2)利用留数定理——围线积分法 (3)数值计算方法——利用计算机      ——利用变换对求原函数 1.第一种情况：单阶实数极点   2. 第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在四、用拉氏变换分析电路 列S域方程可从两方面入手： ?列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； ?直接按电路的s域模型建立代数方程1、微分方程的S域求解：   2、利用元件S域模型求解：   步骤： ????画0-等效电路，求起始状态； ?画s域等效模型； ?列s域方程（代数方程）； ?解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)； ?拉氏反变换求v(t)或i(t)。电阻： 电感：  电容：  求响应步骤： ?画0-等效电路，求起始状态； ?画s域等效模型； ?列s域方程（代数方程）； ?解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)； ?拉氏反变换求v(t)或i(t)。五、系统函数 1、定义：   2、求系统函数的方法：  微分方程利用定义求解 S域模型直接求解 3、互联系统的系统函数： 并联：  时域： 级联：   反馈：      六、与傅氏变换关系：   关系：