1
第五章 拉普拉斯变换
§ 5.1 拉普拉斯变换的定义、收敛域
§ 5.2 拉普拉斯变换的基本性质
§ 5.3 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
§ 5.4 拉普拉斯反变换
§ 5.5 拉普拉斯变换分析法
§ 5.6 系统函数
2
? 本章要点
? 拉氏变换的定义 —— 从傅立叶变换到拉
氏变换
? 拉氏变换的性质，收敛域
? 卷积定理 (S域 )
? 周期和抽样信号的拉氏变换
? 系统函数和单位冲激响应
? 拉氏变换与傅氏变换的关系
3
§ 5.1 拉普拉斯变换的定义、
收敛域
一, 拉氏变换的定义
—— 从傅氏变换到拉氏变换
二．拉氏变换的收敛
三．一些常用函数的拉氏变换
4
一、拉氏变换的定义 —— 从傅氏变换
到拉氏变换
有几种情况不满足狄里
赫利条件：
? u(t)
? 增长信号
? 周期信号
)0( ?ae at
? 若乘一衰减因子
为任意实数，则
收敛，
于满足狄里赫利条件
te ??
?
tetf ??).(
tetu ??)(
)(,aee tat ?? ??
te t 1co s ???
t1c o s?
5
tetftf ??? )()(
1
dtetfF tj? ? ???
0
)(
1 )()(
???
因果
?
? ?
?
0
)()( dtetfsF st
?? js ??
象函数
正 LT
dsesF
j
tf
j
j
st? ?
?
?
??
???
)(
2
1
)(
原函数
逆 LT
FT,实频率 是振荡频率
LT,复频率 S 是振荡频率,控制衰减速度
?
? ?
6
拉氏变换已考虑了初始条件
? ?
)()(
)(
)()(
???
??
?
??
?
?
ofsSF
dt
tdf
LT
sFtfLT
)()0()(
))(()()( '
0
0
0
'
sSFfef
dtetfetfdtetf
s
ststst
????
??
??
?
????
?
??
终值 初值，若有跳变则为
)( ?of
7
二．拉氏变换的收敛
收敛域,使 F(s)存在的 s的区域称为收敛域。
记为,ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件；
8
)(0)(l im 0??? ???
??
t
t
etf收敛域
? 有始有终信号和能量
有限信号
? 或
等幅振荡信号和增长信
号
? 不收敛信号
除非
00 ?? a?0?
a?0?
)0(,22 ??? ttee tt
?
?
?j
?j
整个平面
以 为界0?
)0( Tt ??
9
双边拉氏变换收敛域 —
)()()( tuetutf t ???
??? ?? ?? ???? ? ??? 0 )1(0 )()()( dtetudtetudtetf ttt ???
0?? 1??
ss
tf
LT
?
??
1
11)(
0 1
10 ?? ?
?
?j
)( tuet ? )(tu
0
1
10 0
0??1??
10
1)()()(2 ??? ?tuetutf t
ssss
tf
LT
?
??
?
??
1
11
1
11)(
2
0)()()(3 ?????? ?tuetutf t
ssss
tf
LT
?
??
?
??
1
11
1
11)(
3
不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的
象函数。
11
)()()( tuetuetf btat ???
??? ? ??? ?? ?? ? ?? 0 )(0 )()( dtedtedtetf tatbt ???
b?? ??a
baab ??? ?,
ab ?
收敛，存在双边拉
氏变换
没有收敛域。不存在双边拉
氏变换
12
说明
? ? ；的信号成为指数阶信号满足 00e)(lim.1 σσtf tt ????? ?
? ?0 0elim.3 ????? ?? tnt t
? ?αttt ????? ??? 0eelim.4
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
进行拉氏变换。为非指数阶信号，无法
，长快，找不到收敛坐标等信号比指数函数增2e.5 t
氏变换一定存在；有界的非周期信号的拉.2
13
三．一些常用函数的拉氏变换
? ? ??? ? ? ?0 de1)( ttuL st
1.阶跃函数
2.指数函数
? ? ?? ? ? ??? 0 deee tL sttαtα
ss
st 1e1
0 ??
??
? ?
? ? ???
???
0
e
sα
tsα
sα ?
1 ? ?ασ ??
全 s域平面收敛? ?? ? ? ? 1de
0 ??? ?
? ? tttL st??
? ?? ? ? ? 0ede0 00 stst tttttL ?? ? ????? ? ??
3.单位冲激信号
14
4,tnu(t)
? ? ? ? ??? 0 de tttL st
20
1e11
sss
st ??
?
?
??
?
????
?
?
? ? ? ? ??? 0 de tttL stnn
? ? ??? 0 1 de ttsn stn
? ? ??? 0 de1 stts
??
?
??
? ??
?? ?
? ???
0 0
dee1 tts stst
2?n
? ? ? ? 322 2122 ssstLstL ????
3?n
? ? ? ? 4323 6233 ssstLstL ????
? ? ? ?1?? nn tLsntL
??
?? 0e
st
n
s
t ? ?
???
0
1 de tt
s
n stn
? ? 1!?? nn sntL
??
1?n
所以
所以
15
常用信号的拉氏变换
)(tu
S
1
tatu ??)( as ?
1
nt
1
!
?ns
n
)(t? 1
)( 0tt ?? 0ste?
16
§ 5.2 拉普拉斯变换的
基本性质
17
拉氏变换的基本性质 （ 1）
线性
)(
1
tfk i
n
i
i?
?
)]([.
1
tfLTk
n
i
i?
?
dt
tdf )(微分 )0()( ?? fsSF
积分
? ??t df ?? )( sfs sF )0()( ' ??
时移 )()( 00 ttuttf ?? )(0 sFe st?
频移
atetf ?)(
)( asF ?
18
拉氏变换的基本性质 （ 2）
尺度变换
)(atf ?????? asFa1
)(lim)0()(lim
0
sSFftf
st ??
?
?
??
?
终值
定理 )(l i m)()(l i m 0 sSFftf st ??? ???
卷积
定理
)(*)( 21 tftf )().( 21 sFsF
初值定理
)().( 21 tftf )(*)(2 1 21 sFsFj?
19
1.线性
)()(),()( 2211 sFtfsFtf ??设
2.时移性
1 1 2 2 1 1 2 2 1,2( ) ( ) ( ) ( ),a f t a f t a F s a F s a a? ? ?则 为常数
00 0 0( ) ( ),( ) ( ) ( ),0stf t F s f t t t t e F s t? ?? ? ? ? ?设则
一、拉氏变换的性质
20
)()(1 tkttf ??
观察下列图形的时移关系
t0
4()ft
0t
0t
t0
1()ft
t0
3()ft
t0 0t
2()ft
20( ) ( ) ( )f t k t t t???
30( ) ( )f t k t t t???
4 0 0( ) ( ) ( )f t k t t t t?? ? ?
4 1 0( ) ( )f t f t t只有 是 平移 后所得
21
解 （ 1）和（ 2）的单边拉氏变换相同
求下列拉氏变换 0
0 22
0
,( ) s i nf t t s ?? ??? ?例 已知
0 0 01 ) ( ) s i n ( )f t t t t?? ? ?
0 0 02 ) ( ) ( ) s i n ( ) ( )f t t t t t t? ? ?? ? ?
0 0 0 0 0 0 0 0[ s i n ( ) ] [ s i n c o s c o s s i n ]L t t L t t t t? ? ? ? ?? ? ?
0 0 0 0 0
22
0
c o s s i nt s t
s
? ? ?
?
??
?
0 0 03 ) ( ) ( ) s i n ( )f t t t t t t? ? ?? ? ?
0
0 0 0[ s i n ( ) ] s i n
st
t
L t t t t e d t? ? ?? ??? ?
22
00
0
( ) ( )1 []
2
s j t s j t
t
e e d t
j
??? ? ? ? ????
0 0 0 0( ) ( )
0
00
1 []
2
s j t s j tee
j s j s j
??
?
??
? ? ? ?
??
??
0 0 0 0 0 0
22
0
c o s s i n[]st t s te
s
? ? ?
?
? ??
?
0 0 0 0 0 0s i n ( ) s i n ( ) ( )t t t t t t t t? ? ? ?? ? ? ? ?或
0 0 0 0 04 ) ( ) ( ) s i n ( ) ( )f t t t t t t t t? ? ?? ? ? ? ?
00 0
0 0 0 0 22
0
[ s i n ( ) ( ) ] [ s i n ]s t s tL t t t t e L t e
s
?? ? ?
?
??? ? ? ?
?
23
例 求锯齿波的拉氏变换
解,
T T
T
由时移性
s
Eetf sT
b ???
?)(
所以：
2
1( ),
a
Eft
Ts
?
( ) ( ) ( ) ( )a b cf t f t f t f t? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )EEt t E t T t T t TTT? ? ?? ? ? ? ? ?
2
1() sT
c
Ef t e
Ts
?? ? ?
2( ) [ 1 ( 1 ) ]
sTEf t T s e
Ts
?? ? ?
tT
E()ft
t
E
()aft
tE
()bft
t
k=-E/T
()cft
24
利用时移可以求单边周期信号的拉氏变换
设 f1(t)表示第一个周期的函数
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )f t f t f t T t T f t T t T??? ? ? ? ? ? ? ?
2
11
1( ) ( 1 ) ( ) ( )
1
Ts Ts
TsF s e e F s F se
??
?? ? ? ? ? ?
25
例 求半波正弦函数的拉氏变换
)()()(,1 tftftf ba ??解
)]2()2(2s i n [)()2s i n ( TtTtTEttTE ???? ????
0 T/2 T t
f(t)
E
0 T/2 t
f1(t)
E
2
2 2 2 2
22( ) ( )
22( ) ( )
T
sEE TT
e
ss TT
??
??
??
??
??
2
22
2()
( 1 )
2()
T
sE T
e
s T
?
?
??
??
?
0 T/2 T t
E ()aft
0 T/2 T t
E
()bft
26
2
22
2()1
( ) ( ) ( 1 )
21 ()
T
s
sT
E T
f t F s e
e s
T
?
?
??
?? ? ?? ?
22
2
2()
1
2()1 sT
E T
se T
?
??
?
??
27
3.比例性（尺度变换）
1( ) ( ),( ) ( ),0sf t F s f at F a
aa? ? ?设则
例 已知 L[f(t)]=F(s)，试求
)0,0)](()([ 000 ???? tatattatfL ?
解,先时移性后比例性
由时移性
000[ ( ) ( ) ] ( )stL f t t t t e F s? ?? ? ?
再由比例性
)(1)]()([ 000
a
sFe
a
tattatfL
t
a
s?
??? ?
28
再由时移性
)(1)]()([ asFaatatfL ??
)]}([)]([{)]()([ 0000 attaattafLtattatfL ????? ??
)(1 0 asFea ta
s?
?
由比例性
另解,先比例性后时移性
29
4.频移性
)(])([),()( 00 ssFetfLsFtf ts ??? ?则设
解,
st
1)( ???
例,求拉氏变换 ??? )1( te t?
se
st
??? 1)1(?
)1(
1
1)1( ???
????
st e
ste ?
时移性
频移性
?? )(s i n 0 tte t ???
2
0
2
0
0 )(s i n ?
???
?
?
s
tt
?? )(s i n 0 tte t ???
2
0
2
0
)( ??
?
??s
30
5 时域微分
)0()(])([),()( ???? fssFdt tdfLsFtf 则设
)0()0()(])([ )1(1 ???? ??? nnnn
n
ffssFsdt tfdL ?和
主要用于研究具有初始条件的微分方程
证明,由定义 dte
dt
tdf
dt
tdfL st???
?? 0
)(])([
dttfestfe stst )()(0)(
0
??
?
? ?
? ??
??
)0()( ??? fssF
31
??
? ???
0
)()]0()([
tdt
tdffssFs
)0()0()(2 ?? ???? fsfsFs依此类推,可得
)0()0()(])([ )1(1 ???? ???? nnnn
n
ffssFsdt tfdL ?
若 f(t)为有始函数,则
)(])()([),()()( ssFdt ttdfLttftf ?? ??
同理可得 dte
dt
tdf
dt
tdfL st???
?? 0 2
2
2
2 )(
])([
dtedt tdfdtd st??? ??
0
])([
32
?
?
?
?
????
?
?
0
01)(),()(
21 te
ttftetf
t
t
?
? ?例：设
的拉氏变换。和求 )(')(' 21 tftf
1 )(1 tf
0 t
1 )(2 tf
-1
0 t
)()()(1 tetdt tdf t??? ????
)(1])([ 11 ssFs ssdt tdfL ?????? ???
解,
????? ssFsFtfLtfL
1)()()],([)]([
2121
)()(2)(2 tetdt tdf t??? ????
)0()(12])([ 212 ????????? fssFs ssdt tdfL ???
所求信号 的拉氏变换不同
33
? ? ?? t s sFdfsFtfL 0 )()(),()]([ ??则设
s
f
s
sFdft )0()()( 1 ??
??
??? ??
6 时域积分
证明,由定义
? ? ?? ? ? ???t stt dtedfdfL 0 0 0 ])([])([ ????
??
? ?
?
?
?? ?
???
00
])(1
0
)([ dtetf
s
df
s
e sttst ??
s
sF )(?
34
??? ?? ?? ???? tt dfdfdf 00 )()()( ??????
??? ??? ?? t dff 01 )()0(
所以 ?
??
??
??t s sFsfdfL )()0(])([
1
??
????? ? ??? t dtt
s
t
0
)()(1)(,而如已知
若积分下限由 开始??
2
1)1(1)(
sss
tt ???所以
35
例 求拉氏变换
1
0 1 2 t
f(t)
1
0 1 2 t
f’1(t)
(2)
(1)
1
0 1 2 t
f’(t) f
1(t)
(1)
解,
f(t)求导
f1(t)求导
se
s
s 21)( ???? ?
ss ees 221)( ?? ????? ?
s
e
s
ee
sF
s
ss
2
2
121
)(
?
??
?????
?
2
22 )1(1
s
e
s
e ss ?? ????
36
7 初值定理
)(lim)(lim)0(,)(lim),()( 0 ssFtffssFsFtf sts ?????? ??? ?则存在且设
证明,利用时域微分性质
dtedt tdffssFdt tdfL st??? ? ????
0
)()0()(])([
dtedt tdfdtedt tdf stst ??? ?? ?
?
? ?? 0
0
0
)()(
? ?
?
? ?
? ??? 0
0 0
)()( dte
dt
tdfdt
dt
tdf st上式
10 ??? tste由于
37
dtedt tdftffssF st??? ? ?
?
? ??? 0
0
0
)()()0()(
dtedt tdffssF st??? ? ???
0
)()0()(
时，右边积分项消失当 ??s
)(lim)0( ssFf s ??? ?因而
38
??
?
???
????
]
1
11[lim)(lim:
s
sssF
ss
解
1)0(),()()( ???? ?? ftettf t??
初值定理条件 必须存在,时域中意味
着 f (t) 本身不能包含冲激,但由于
的存在,不影响 的值,可把 移去后
再应用初值定理,即只取真分式
)(l i m ssFs ??
)(0)0( t??,??
)0( ?f )(t?
1)]([)( ?
???
s
stfLsF例,求初值
1]11[lim)0( ???
??
?
ssf s
本例中
应用初值定理先求真分式
39
8.终值定理
的终值则存在且设 )(,)(lim),()]([ tftfsFtfL t ???
)(lim)(lim)( 0 ssFtff st ??? ???
)0()(lim)(lim
000
?
?
? ?
?
???
?
fssFdtedt tdf
s
st
s
两边取 s趋于零的极限
证明,由时域微分性质
)0()()(])([
0
?? ? ??? ?
? fssFdtedt
tdf
dt
tdfL st
10 ??? sste由于
40
)0()(lim)]0()([lim 0 ????? ??? fssFftf st于是
)(lim)(lim)( 0 ssFtff st ??? ???即
dtdt tdfdtedt tdf
s
st
s ??
?
?
? ?
? ??
?
0000
)(lim)(lim
)]0()([lim ??? ?? ftft
条件 存在相当于在复频域中 的 极点
都在 S平面的左半平面和原点仅有单极点,虚轴上只
能在原点,如
)(lim tft ?? )(sF
)0(1][)( ???? ??? seLsF t
41
例,给定,试求
的终值
)23(
5)(
2 ??? ssssF
解,因为 F(s)的极点为 s=0,-1和 -2,满足终
值定理的条件
2
5
23
5lim)(lim)(
200 ?????? ?? ssssFf ss
求终值首先判断极点位置
其极点 s=?在 s平面的右半平面,不能 用终值定理,否
则得到 0lim)(
0
????
? ?s
sf
s
是错误的,
()ft
42
9.复频域微分
ds
sdFttf )()( ??
dtetfsF st? ? ??? 0 )()(证明,
dtettfdtettf
ds
sdF stst ?? ? ?? ?
?? ???? 00 )()1()(
)(
拉氏变换还有其他性质,如时域卷积和
复频域卷积,无对称性,
)()()()( 2121 sFsFtftf ???
)()(
2
1)()(
2121 sFsFjtftf ??? ?
43
dtdsetf s st? ?? ? ??? 0 ])[(
dt
st
etf st? ? ?
?
?
?
?
0
][)(
dte
t
tf st? ? ?
?? 0
)(
dssFt tf
s?
?? )()(10.复频域积分
? ?? ? ? ?? ?? s sts dsdtetfdtsF 0 ])([)(证明,
44
1
1s i n:
2 ?? st解
s
a r c t g sds
st
t
s
?
?
?
? ?
?
1
1s i n
2
sa r c t ga r c t gs
1
2 ???
?
sa r c t gsdxx
xt 11s i n
0
??
?? ? dxx xt
0
s i n,求例
45
例 1 求下列函数的拉氏变换
2
1( 1 ) 1( 1 ), ( )( () )tt t
s
t t
s
? ????? ??解：
2
112 ), ( 1 ) ( 1 ) ( )( 1 ) 1 ( ) st t t e
st st? ??
?? ? ? ? ? ? ??
2.( 1
13) ) ( 1 ) stt e
s?
????
( 1 )4),( ]1[ )tL t???
ssttL
11)]()1[(
2 ???? ?
二、应用举例
46
3
2 2][
stL ??
32
2
33
2
)4(
)12(2]
)2(
2
)2(
2[
2
1]2c o s[
?
??
?
?
?
??
s
ss
jsjs
ttL
)]()([
2
1
]s i n)([
)]()([
2
1
]c o s)([
000
000
???
???
jsFjsF
j
ttfL
jsFjsFttfL
????
????有公式
tt 2c o s).5 2
2c o s 2 4
st
s
?
?
另,解
)4(2c o s 22
2
2
?? s
s
ds
dtt 复频域微分性
47
])( 1)( 1[2s i n])( 1)( 1[2c o s 2222 ?????? jsjsjjsjs ????????
222222
22
)(
2s i n
)(c o s ?
??
?
??
???
??
s
s
s
s
?? ? )1(1).7 tet ?
s
sds
sss
?
?
??
?
?? ? ? ln)11(
?????? s i ns i nc o sc o s)c o s ( tttttt ???
dseLs t? ? ?? ]1[ ?
)c o s ().6 ?? ?tt
48
例 2：求函数 的拉氏变换
方法一,按定义式求积分
dtetdtte stst ?? ?? ??? ? 2110 )2(
2
2 )1(
1 se
s
???
方法二,利用线性叠加和时移定理
)]2()1()[2()]1()([)(1 ????????? tttttttf ????
1()ft
t21
1
0
1()ft
11 0( ) ( )
stF s f t e d t
?
? ?? ?
1 2 2
0 1 1
111( ) 2
0
s t s t s t s tt e e d t e d t t e d t
ss ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?? ? ?
( ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )t t t t t t? ? ?? ? ? ? ? ? ?
22
1 2 2 2 2
1 2 1 1( ) ( 1 )s s sF s e e e
s s s s
? ? ?? ? ? ? ?
49
t
dt
tdf )(
-1 2
11
2
2 )(
dt
tdf
(2)0
(1)(1)
t
方法三,利用微分积分性质,
)]2()1(2)([])([ 2
2
????? tttLdt tdfL ???显然
21211 )1()(,0)0(,0)0(' sesFsff ??? ???? 故而
2)1( se ???
2
21 )1(
1)( se
ssF
????
50
例 3,求单边拉氏变换,
dt
ttdt )(c os).1 ?
1
)(c o s).1 2
?
?
s
stt?解：
1
)(c o s
2
2
?
?
s
s
dt
ttd ?
222
2
)1(
2)
1
()(c o s
?
??
?
???
s
s
s
s
ds
d
dt
ttdt ?
)()s i n ()(s i n).2 ????? ????? tttt
1
1)(s in
2 ?? stt?
)(s in).2 ?? ?tt
???? se
s
tt ?
?
?????
1
1)()s i n (
2
51
例 4：周期信号的拉氏变换及其应用
)()( 11 sFtf
LT
?
)()( 11 sFenTtf s n T
LT
???
ST
n
SnT
LT
n
e
sF
esFnTtf
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
1
)(
)()(
1
0
1
0
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷级数求和
52
单边正弦、余弦信号的拉氏变换
2
)()(
tjtj ee
tutf
?? ??
?
22
2
1
)
11
()(
?
??
?
?
?
?
?
?
S
S
jSjS
SF
j
eetutf tjtj
2
)()(
?? ??
?
22
2
1
)
11
()(
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
S
jjSjS
SF
ttu ?c o s)(
ttu ?s i n)(
53
衰减余弦的拉氏变换
]c o s)([)( ttuetf t ????
220
]c o s)([)(
?
?
?
??
S
S
ttuLTSF
22)(
)(
??
?
??
?
?
S
S
SF
频移特性
54
矩形周期信号拉氏变换
)2()()(1 ?tututf ???
)1(
1
1
)()(
2
1
ST
S?
ST
eS
e
e
sFsF
?
?
?
?
??
??
)1(1)( 21 S?eSsF ???
第一周期的信号
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷技术求和
55
)(tf
单对称方波
周期对称方波
乘衰减指数
)21(1 2 ss ee
s
?? ??
s
s
e
e
s 2
2
1
1)1(1
?
? ?
包络函数
te?
1 2
)2()1(2)( ???? tututu
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
??
??
?
?
? S
S
e
e
s
矩形脉冲衰减信号的拉氏变换
56
抽样信号的拉氏变换
??
?
??
0
)()(
n
T nTtt ??
ST
n
SnT
T ees ?
?
?
?
??? ? 1
1)(
0
?
)()()( ttftf Ts ??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
.
0
)(
)()()(
n
SnT
n
ST
Ts
enTf
dtenTtnTfsF ?
抽样序列
抽样序列的拉氏变换
时域抽样信号
抽样信号的拉氏变换
57
§ 5.3 拉普拉斯变换与傅里叶变换
的关系
? ??? ? dtetf tj?)(
因果
? ???0
乘衰减因子
te ??
dtetf tj? ? ??
0
)()( ??
?? js ??
? ? ?0 )( dtetf st
???? ? dtetf st)(
?? js ??
dtetf tj? ?
??
?? )()( ??
0??
0)(
0
?
?
tf
t
58
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号
0)(
0
?
?
tf
t
)(tueat
a
a??
t
)(tf
0)1( 0 ??
as
sF
?
? 1)(
傅氏变换不存在，拉
氏变换存在
?
?j
59
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号 0)( 0 ??tft
0)2( 0 ??
)(tf
t
)(tue at?
a?
a???
?j
?
as
sF
?
? 1)( ajjF ?? ?? 1)(
?js ?
60
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号 0)( 0 ??tft
0)3( 0 ?? 存在傅氏变换，但
收敛于虚轴，不能
简单用,要
包含奇异函数项。
)(tu
ssF
1)( ? )(1)( ???
?? ?? jjF
? ??? ?
n
nnjs ksFjF )()()( ????? ?
?js ?
K1=1
61
从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换
)(.s i n 0 tut?
)(.s i n)( 0 tuttf ??
LT
2
0
2
0)(
?
?
?
?
s
sF
? ??? ?
n
nnjs ksFjF )()()( ????? ?
00
2
0
2
0 22)(
???
?
js
j
js
j
s
sF
?
?
?
?
?
?
? ?)()(
2
)( 0022
0
0 ???????
??
?? ????
?
? jjF
2
0
2
0
)()( ??
??
?? jjF
K2K1
62
1.简单函数
利用典型信号的变换对（查表）及性质
1
132
?
??
s
ss例,
1
12
?
????
s
s
)()(2)( tett t??? ?????
化简的第一步是化成真分式
1
21
?
? ?
s
e s?
)(2)( )( ??? ? ??? ??? tete tt
se
ss
??
?
?
?
?
1
2
1
1
§ 5.4 拉普拉斯反变换
例,
63
例,
的原函数求 22
)3(
)(
?
?
s
ssF
解：
t
s
3s i n
3
3
2 ??
tt
s
s
sds
d
3s i n
)3(
32
)
3
3
( 222 ??
?
??
?
)(3s i n
32
1
3
)( 2 ttt
s
ssF ??
?
??
64
??? d
s
s
s
t
? ??? 022 3s i n32
1
)3(
1
)(]3s i n
36
1
3c o s
6
[ ttt
t
??
?
?
22
1
()
( 3 )
Fs
s
??
?
例,
65
2.部分分式展开
含真分式 ??
)(
)(
)(
sD
sN
sF
1.D(s)=0的根是实根且无重根
D(s)是 s的多项式，可以进行因式分解
)())(()( 21 nn ssssssasD ???? ?
)())((
)(
)(
)(
21 nn ssssssa
sN
sD
sN
???? ?
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
??????? ?2
2
1
1
66
左右两边同乘以因子 再令)(
iss ? ),2,1( niss i ???
),2,1(
)(
)(
)( ni
sD
sN
ssk
iss
ii ????
?
][][][)]([ 1
2
21
1
111
n
n
ss
kL
ss
kL
ss
kLsFL
???????
???? ?
)(][ 21 21 tekekek tsntsts n ????? ?
67
例, 的拉氏反变换求
352
10114)(
2
2
??
???
ss
sssF
解：
)
2
3
)(1(2
4
2)(
??
?
??
ss
s
sF
2
31
2 21
?
?
?
??
s
k
s
k
68
2
31
)
2
3
)(1(2
4 21
?
?
?
?
??
?
s
k
s
k
ss
s
5.2
)1(2
4
,3
)
2
3
(2
4
2
3
2
1
1
??
?
?
??
?
?
?
??
??
s
s
s
s
k
s
s
k
)()
2
5
3()(2)( 2
3
teetsF
tt
??
??
????
2
3
5.2
1
3
2)(
?
?
?
?
??
ss
sF
69
(2).D(s)=0的根有复根且无重根
))(())(()( 2221 cbssssssssasD nn ?????? ??
))(( 21 cbsssD ???
则构成一对共轭复根。二次多项式中，若,42 cb ?
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
21
sD
sN
cbss
ksk
sD
sNsF ?
??
???
211,)( kksN 系数相等的方法求的系数，再利用对应项先求
cbss
ksk
??
?
2
21 的反变换可用 配方法
70
的原函数例：求
463
3)(
23 ???
??
sss
ssF
)42)(1(463 223 ??????? ssssss解：试探得，
421
)( 2
??
??
?
?
ss
CBs
s
AsF故
掩盖法,
3
2|)()1(
1 ??? ??ssFsA
3
1,
43
2
4
3,0 ???? ccs左右两边令
421
3
2
43
3
223 ??
?
?
?
?
??
?
ss
CBs
sss
s
71
3)1(
3
1
3
2
1
3
2
)(
2
??
??
?
?
?
s
s
s
sF
22
)3()1(
3
3
1
)1(
3
2
1
3
2
??
???
?
?
?
s
s
s
3
2,
3
20,,????? BBss ＋令两边乘
)(]3s i n
3
1
3c o s
3
2
3
2
[)( tteteetf ttt ???? ????
72
(3).D(s)=0的根有重根
可写成则重根只有一个若 )(,0)( sDpsD ?
)()()()( 11 nppn ssssssasD ???? ? ?
)(
)(
)()()()()( 1
1
1
11
2
1
12
1
1
)1(1
1
1
sD
sN
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
p
p
p
p ?
????????? ?
? ?
可通过对应项系数相等或公式法得到
111,kk p ?
得公式法：上式两边同乘,)( 1 pss ?
)(
)(
)(
)()()(
)(
)(
)(
1
1
1
1
111
2
1121)1(111
sD
sN
ss
sskssksskk
sD
sN
ss
p
pp
pp
p
??
?????????
??
? ?
1
)(
)()(
11
ss
p
p sD
sNssk
?
??
73
1
]
)(
)()[(
1)1(1
ss
p
p sD
sNss
ds
dk
?
? ??依次类推
1
]}
)(
)()[({
)!(
1
11
ss
p
kp
kp
k sD
sNss
ds
d
kp
k
?
?
?
?
?
?
它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到
tskk
k
k et
k
k
ss
kL 111
1
11
)!1(])([
??
???
可展开为，则有二重根如 )(0)( 2,1 sFjssD ?? ????
如果 D(s)=0有复重根，可以用类似于复单根的
方法导出相应的反变换关系式
)(
)(
)()()()()( 1
122
2
2112
2
11
sD
sN
js
k
js
k
js
k
js
ksF ?
???????????? ????????
74
也可以不展开为复数形式，而用性质
系数求得后，可用求得其反变换。由于
)()c o s (2])()([ 11112112111
1111
ttteKjs eKjs eKL t
jj
??????? ?
??
??????? ?
?
?
tjjtjj
jj
eeKeeKjs eKjs eKL )(22)(2222221 2222
2222
][ ??????
??
????
?????
?
? ??
?????
2211 |||| 22221111 ?? jj ekKekK ??设
?? ??
12221121,KKKK可以证明，
)()c o s (2 1222 tteK t ???? ?? ?
75
23
2
2
132)(
ss
sssF
?
???
2
)( 212211
?
???
s
k
s
k
s
ksF解：
掩盖法
4
3|)()2(,
2
1|)(
220
2
11 ????? ??? ss sFsksFsk
4
5
4
1
2
1
3
6,1
1212 ????? kks,令
)()
4
3
4
5
2
1( 2 tet t ?????
2
4
3
4
5
2
1
)(
2 ?
???
sss
sF
例,求原函数
76
22 ]1)2[(
1)(
??
??
s
ssF
可展开为故的根有二重根解,)(,120)( 2,1 sFjssD ????
)12()12()12()12()(
22
2
2112
2
11
js
k
js
k
js
k
js
ksF
????????????
4
12
2
11 4
2)()12( ?j
js esFjsk
?
??? ????
2
12
2
12 4
1)]()12[( ?j
js esFjsds
dk ????
???
)()]2c o s (21)4c o s (21[)( 22 ttettetf tt ??? ???? ??
?=2 ?=1
?
例,求原函数
77
另解,先不考虑频移 的原函数即先求
220 ]1[
1)(
?
??
s
ssF
已知 t
s
st
s c o s1,s i n1
1
22 ????
tts stts s c o s)1( 1,s i n)1( 2 22
2
22 ??
??
?
ttt c os21s i n21 ??
tttttss ssF s i n21c o s21s i n21]1[ 1]1[ 221)( 22220 ?????????
)()]2c o s (21)4c o s (21[ tttt ??? ????
)()]2c o s (21)4c o s (21[]1)2[( 1 2222 ttettes s tt ??? ?????? ? ??
22 )1(
1
?s
]
)1(
1
1
1[
2
1
)1(2
)1(1
22
2
222
22
?
??
?
?
?
????
s
s
ss
ss
78
例,求下列函数的拉氏反变换
)4(
1
)().1( 2
2
?
?
?
?
ss
e
sF
s
时移性质
解,
)4(
1
).1( 2
2
?
? ?
ss
e s s
e
ssss
2
22 )4(
1
)4(
1 ?
?
?
?
?
4
0
4
1
4
1
2 ?
??
??
s
s
s
se
ss
2
2 )4(
1 ?
?
?
)2()]2(2c o s1[
4
1)()2c o s1(
4
1 ?????? tttt ??
79
1
11)(
2 ????? ssssF
1
)().2( 2
3
??
?
ss
ssF 长除法
22
)
2
3
()
2
1
(
2
3
3
2
1
??
?
???
s
s
)(
2
3s i n
3
2)()()( 21 ttettsF t ??? ??????
22 )1(
1).3(
?s 1
1)
1
1(
2)1(
1
2222
22
?
?
?
??
?
???
ssds
ds
s
ss
)(]s i n
2
1c o s
2
1[)( tttttf ?????
)](s i n[)
1
1(
2 tttdt
d
sds
ds ???
?)(s i n1
1
2 tts ???
80
求拉氏反变换
2
).1(
)2(2
?
??
s
e s
s
ee ss )1)(1().2( 3?? ??
)2(1)(1 2 ??? ? te
s
t
s
s ???解,
t
s
et
s
e 2)2(2
)2(
2
?
??
??
?
? ?
s
eeesF sss 431)( ??? ????
)4()3()1()( ??????? tttt ????
)3()(1),1()(1 3 ???????? ?
?
ttett
s
e ss ????或
)]3()([)]1()([ ????? tttt ????
81
]1)[1(
]1[)()3(
)1(2
2)1(
??
??
??
??
s
s
es
esF
ss
ss
s
s
esFes
ee
es
esF
222
2
2
2
1 1
1)(
1
121
)1(
)1()(
??
??
?
?
?????
???
?
??
)2()1(2)()(2 ?????? ttttf ???
1
-1
0 2 t
)(2 tf
解,先不考虑平移，令
s
eesF ss 2
2
21)( ?? ???
的有始方波是周期为 2)(1 tf
1
-1
0 2
)(1 tf
t
)()( 1 tfetf t??据复频移特性可得
1
-1
0 2 t
)(tf
82
22422444 4444 saasas
s
as
s
???
?
?
2222 )2()2( asas
s
??
?
)22)(22( 2222 aassaass
s
????
?
)(4).4( 44 tfas s ??
]
)()(
[
4
1
22222 aas
a
aas
a
a ??
?
??
??
)(]s i ns i n[
4
1)(
2 tateateatf
atat ?????
83
]
)(
1[1
222
2
224 as
sa
as
s
sa ?
?
?
??
22s i n h as
aat
?
??
22222 )(
2][s i n h
as
as
as
a
ds
datt
?
?
?
??
]
)(
21[1
)(
1).5(
222
23
4222 as
sas
saass ?
???
?
)(]s i n h
2
c o s h1[1)( 4 tattaat
a
tf ?????
84
拉氏变换分析法是分析线性连续系统
的有力工具，它将描述系统的时域微积分
方程变换为 s域的代数方程，便于运算和
求解；变换自动包含初始状态，既可分别
求得零输入响应、零状态响应，也可同时
求得系统的全响应。
§ 5.5 拉普拉斯变换分析法
85
用拉氏变换法分析电路的步骤
列 s域方程（可以从两方面入手）
? 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；
? 直接按电路的 s域模型建立代数方程。
求解 s域方程。
)()( tfsF ?,得到时域解答。
86
)()()(
)()()(
0
)1(
1
)(
0
)1(
1
)(
txbtxbtxb
tyatyatya
m
m
m
m
n
n
n
n
????
???
?
?
?
?
?
?
0)0()0(")0(',0)0( )1( ????? ????? nxxxx ?
输入信号 x(t) 为有始信号
一,用拉普拉氏变换分析系统
87
方程两边取拉氏变换，考虑到时域微分性质
)]0()0()0()([)( )1(21)( ?????? ?????? nnnnnnn yysyssYsatya ?
)]0()0()0()([)( )2(3211)1(1 ?????????? ?????? nnnnnnn yysyssYsatya ?...
)]0()([)( 1'1 ??? yssYatya
)()( 00 sYatya ?
88
)()()( sXsbtxb mmmm ?
)()( 11)1(1 sXsbtxb mmmm ???? ?
...
)()(' 11 ssXbtxb ?
)()( 00 sXbtxb ?
89
)()( 0111 sYasasasa nnnn ??? ?? ?
整理成
)()( 0111 sXbsbsbsb mmmm ???? ?? ?
)0()( 1211 ???? ??? yasasa nnnn ?
)0(')( 2212 ???? ??? yasasa nnnn ?
)0()0()( )1()2(1 ????? ??? nnnnn yayasa
A0(s)
A1(s)
An-2(s)
An-1(s)
...
90
)()( sYsY zizs ??
)(
)(
)(
sX
sY
sH zs? 系统函数
)()(
01
1
1
01
1
1 sX
asasasa
bsbsbsb
sY n
n
n
n
m
m
m
m
???
???
?? ?
?
?
?
?
?
阶导数的初始状态的表示响应 ityy i )()0()( ?
)()( 0111 sYasasasa nnnn ??? ?? ?
)()( 0111 sXbsbsbsb mmmm ???? ?? ?)0()( )(
1
0
?
?
?
?? i
n
i
i ysA
0
1
1
)(
1
0
)0()(
asasa
ysA
n
n
n
n
i
n
i
i
???
?
?
?
?
?
?
?
?
91
)(8)(2)(6)(5)( txtxtytyty ????????
,2)0(,3)0(),()( ???? ??? yytetx t?
)()()]([)]([)]([)( 111 tytysYLsYLsYLty zizszizs ????? ???
复频域分析法
解, )(6)]0()([5)]0()0()([ 2 sYyssYysysYs ?????? ???
)(8)(2 sXssX ??
65
)0(5)0()0()(
65
82)(
22 ??
????
??
??? ???
ss
yysysX
ss
ssY
例,求系统响应 y(t)。已知
92
3
1
2
4
1
3
1
1
)3)(2(
82)(
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
ssssss
ssY
zs
3
8
2
11
)3)(2(
173)(
?
?
?
?
??
??
ssss
ssY
zi
)()43()( 32 teeety tttzs ???? ???
)0(811)( 32 ??? ?? teety ttzi )( t?此处不能加注
)0(773)()()( 32 ??????? ??? teeetytyty tttzizs
1
1)()()(
?
??? ?
s
sXtetx t?
93
拉氏变换分析的优点
1.把微分方程转化成代数方程
3.已知电路也可求解
2,0- 到 ?作单边拉氏变换,0-状态自动包含
其中，可求零输入响应。
94
例, HLRRFC 2,2,2,5.0
21 ???? ??已知
sVuVu /2)0(',1)0( 11 ?? ??
)(,)()( 1 tuAtti s 求??
解,先列微分方程
)(tiL2R
L1Rc)(tis
+
- )(1 tu
)()()()( 11 titi
R
tu
dt
tduC
sL ???
dt
tdiLtiRtu L
L
)()()(
21 ??
代入元件参数，并消去 iL(t) 及其导数可得方程
)(2)(2)(2)(2)( 1121
2
ti
dt
tditu
dt
tdu
dt
tud
s
s ????
95
1)1(
1
1)1(
11
22 ?????
???
ss
s
s
1)1(
3
1)1(
1
22 ?????
??
ss
s
)0s i n41)(,1 ???? ? ttetu t （全响应
sss
ssU 1
22
22)(
21 ???
??
22
4
2 ??
??
ss
s
两边取拉氏变换
)(2)]0()([2)]0(')0()([ 1111112 sUussUususUs ????? ???
)(2)(2 sIssI ss ??
22
4)(
22
22)(
221 ??
??
??
??
ss
ssI
ss
ssU
s
U1zs(s)
U1zi(s)
96
根据复频域电路模型，直接列写求解复频
域响应的代数方程，反变换求得响应
0)(;0,???? sIiKCL
0)(;0,???? sVKV L ?
基尔霍夫定律,时域 复频域
二,用拉普拉氏变换分析电路
97
利用元件的 s域模型分析电路
1.电路元件的 s域模型
2.电路定理的推广
线性稳态电路分析的各种方法都适用 。
),()( sIti ?
)()( sVtv ?
? ? ??? 0)(0)(:K C L sIti
? ? ??? 0)(0)(:K V L sVtv
3.求响应的步骤
? 画 0-等效电路，求起始状态；
? 画 s域等效模型；
? 列 s域方程（代数方程）；
? 解 s域方程，求出响应的拉氏变换 V(s)或 I(s)；
? 拉氏反变换求 v(t)或 i(t)。
98
电阻元件的 s域模型
)()( sRIsV RR ?
R
sVsI R
R
)()( ?或
R
? ?)( sV R
)( sI R
? ? ? ?tRitv RR ? + -
)(tvR
)(tiR
99
电感元件的 s域模型
)0()()( ??? LLL LiLssIsV
利用电源转换可以得到电流源形式的 s域模型：
)0(1)()( ??? LLL isLs sVsI
??
? ?sV L
? ?sI L Ls ? ??0LLi
? ?
? ?sI L Ls
? ?
?
0
1
L
i
s
? ?? ?sV
L
? ? ? ?t tiLtv LL dd?
L
+ -)(tvL
)0( ?Li)(tiL
内电压源极性与电感电流极性不一致：
内电流源极性与电感电流极性一致
100
电容元件的 s域模型
)0(11)()( ??? CCC vssCsIsV
电流源形式：
sC
1 ? ?
?0
1
Cv
s? ?
sI C
? ?? ?sV
C
? ?sI
C
sC
1
? ?
?
0
C
Cv
? ? ?sV
C
?
? ? ? ??
??
? t CC tiCtv d1 ?
)0()()( ??? CCC Cvss C VsI
c)(tic
+ -)(tvc )0( ?cv
内电源极性与电
容两端极性一致
101
复频域电路模型, 将原电路中已知电压源和电
流源都变换为相应的拉氏变换；未知电压、电
流也用其拉氏变换表示；各电路元件都用其复
频域模型代替（初始状态变换为相应的电源）
对该电路模型而言，用以分析计算正弦稳态电
路的各种方法（如无源支路的串、并联、电压
源与电流源的等效变换等等）都适用。
102
例, Vvtetv
Cts 1)0(),()1()( 3 ?? ?? ?＋已知
)( tv c求响应电压
3
11)(
?
??
ss
sV s
解,
sC
R
s
v
sV
sI
C
s
1
)0(
)(
)(
?
?
?
?
由 KVL?
?
)(tvc
+
-)(tvs
R
c?1
F1
?
?
)(sVc
+
-)(sVs
R
?1
sc
1
s
vc )0( ? +
-
)(sI
s
sI
sC
sV CC )0()(1)(
?
?? ?
s
v
R s C
s
v
sV
C
C
s )0(
1
)0(
)( ?
?
?
?
?
?
103
零状态响应：
1
3
11
1
)(
)(
?
?
?
?
?
?
s
ss
R s c
sV
sV sC z s
)3)(1(
32
??
??
sss
s
3
2
1
1
2
1
1
?
?
?
??
sss
1
)0(
1
)(
?
?
?
?
?
R s C
R C v
R s C
sV Cs
)()
2
1
2
11()( 3 teetv tt
C z s ?
?? ????
1
1
1
)0()(
?
?
?
?
?
sR s c
RCsV C
C z i
?
)0()( ??? ? tetv tC z i
)0(
2
1
2
11)()()( 3 ?????? ?? teetvtvtv tt
C z iC z sC
全响应
零输入响应：
104
例,给定系统的微分方程
xxxyyy 2365 ???????????
已知激励信号 )()1()( tetx t ????
对应的响应为 )()
3
1
3
44()( 32 teety tt ???? ??
求系统的初始状态 y(0-),y'(0-) 及系统的零输
入响应，零状态响应
解,对微分方程两边作拉氏变换
)(6)0(5)(5)0()0()(2 sYyssYysysYs ?????? ???
)(2)(3)(2 sXssXsXs ???
105
65
)0(5)0()0(
)1(
12
65
23)(
22
2
??
????
?
??
??
??? ???
ss
yysy
ss
s
ss
sssY
65
)0(5)0()0(
3
3
5
3
1
2 ??
???
?
?
??
???
ss
yysy
ss
对全响应作拉氏变换，有
sss
sY 3
1
3
1
3
4
2
4
)( ?
?
?
?
?
65
)0(5)0()0()(
65
23)(
22
2
??
????
??
??? ???
ss
yysysX
ss
sssY
65
6
3
3
2
4
65
)0(5)0()0(
22 ??
??
?
??
?
?
??
??? ???
ss
s
ssss
yysy
106
1)0(,1)0( ???? ?? yy
3
3
5
3
1
)(
?
??
ss
sY zs
0),34()()()( 32 ?????? ?? teetytyty ttzszi
)()
3
5
3
1()( 3 tety t
zs ?
????
107
解,作复频域电路模型
L
?
? )(tv
s F1
F1 R
?1
H2
?1
?
?
)(2 tv
?
?
)(1 tv
s2
?
?
s
1 F1
s
1 R
?1
?1
?
?
)(2 sV
?
?
)(1 sVs1
?
?
?
?
?
?????
????
0)()1
2
1
()(
2
1
1
)(
2
1
)()
2
1
1(
21
21
sVs
s
sV
s
s
sV
s
sV
s
s
对节点 a,b列写节点方程
a b
例,已知 vs(t) =?(t),电路为零状态。求响应 v2 (t)
108
经整理并联立求解得
)22(2
1)(
2342 sssssV ???? )1)(1(2
1
2 ???? ssss
)11111(21 2 ?????? ssss
]
)
2
3
()
2
1
(
2
3
3
2
1
11
[
2
1
22
??
?
?
?
??
s
ss
)()]
2
3s i n (
3
21[
2
1)( 2
2 tteetv
t
t ??? ???
109
L
?
? )(tv
s c 3R
?3
?
?
)(ty
?
?
)(tvc
1R
2R
S
)(tiL
)0(),0( ?? Lc iv感电流的初始值解：先求电容电压和电
VvRRR RRv sc 6)0(
321
32 ?
??
??? Av
RRRi sL 2
1)0(
321
?????
例,已知 vs(t) =12V,L=1H,C=1F,R1=3?,R2=2?,
R3=1?。原电路已处于稳态，当 t=0时，开关 S闭
合。求 S闭合后 R3两端电压的 yzi (t)和 yzs (t)
110
a
选定参考节点后，列写 a点的节点方程
1131
)(
1
)0(
)0()()11(
RsL
sV
sC
s
v
RsL
LisY
R
sC
RsL
s
c
L
?
??
?
???
?
?
?
sL
?
? )(sV
s sC
1 3R
?
?
)(sY
1R
)0( ?LLi
)(sIL
- +
?
?
?
s
vc )0(
画复频域电路模型
代入数据整理得
44
)(
44
)0()3()0()(
22 ?????
??? ??
ss
sV
ss
vsisY scL
111
Vtetty tzi )()68()( 2 ????
44
)()(
2 ??? ss
sVsY s
zs sLsV s
12]12[)( ??
2
3
)2(
63
)44(
12)(
22 ???????? sssssssY zs
Vtetty tzs )(])36(3[)( 2 ?????
44
206
44
)0()3()0()(
22 ??
??
??
??? ??
ss
s
ss
vsisY cL
zi
2
6
)2(
8
2 ???? ss
112
§ 5.6 系统函数
系统函数 — 零状态条件下系统的零状态响应
的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
)(
)()(
sX
sYsH zs?
113
系统的复频域特征 — 系统函数
? 是 的拉氏变换
? 是系统输出和输入各自拉氏变换的比
)(sH
)(sH )(th
)(
)()(
sE
sRsH ?
)(te )(sE )(tr)(sR
)(th
)(sH
)(sH
LT LT
LT
114
1.定义
? ? ? ? ? ?sHsEsR ???
响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
)( th
? ?sH? ?te ? ?sE ? ?tr ? ?sR
)(
)()(
sE
sRsH ?所以
? ? ? ? ? ?thtetr ??
)]([)()],([)( teLsEtrLsR ??其中
系统的零状态响应时当,)()( tte ??
)()( thtr ?)()( sHsR ? )()]([ sHthL ?则
115
2.H(s)的几种情况
策动点函数,激励与响应在同一端口时
策动点导纳
)(
)()(
1
1
sI
sVsH ?
策动点阻抗
单端口
网络
? ?sI 1
?
?
? ?sV 1
1
1 ?
双端口
网络
? ?sI 1
?
?
? ?sV 1
1
1 ?
? ?sI 2
?
?
? ?sV 2
2
2 ?
)(
)()(
1
2
sV
sIsH ?
转移导纳
)(
)()(
1
2
sI
sVsH ?
转移阻抗
)(
)()(
1
2
sV
sVsH ?
电压比
)(
)()(
1
2
sI
sIsH ?
电流比
转移函数,激励和响应 不 在同一端口
116
?? ? ?? ?? ?? ? ?? ???? ?? dehedehty ststszs 111 )()()( )(
)()( 1
0
111 sHedehe tssts ?? ?
?
? ??
?
条件,s1位于 H(s)的收敛域内,即位于 H(s)的
最右极点的右边
)()(,1 ??????? tetx ts 无时限复指数函数
一、系统函数与零状态响应
117
?
??
??
?
j
j
st sHd s esX
j
tx
?
? ?
)()(
2
1)(
?
??
??
?
j
j
std s esX
j
tx
?
? ?
)(
2
1
)(
（ 1）输入信号分成复指数信号之和
LT物理意义,
)( sHee stst ??由线性，得
dsesHsX
j
j
j
st? ??
??
?
?
??
)()(
2
1
)()]([1 tysYL zszs ?? ?
（ 2）零状态响应是各复指数分量的响应之和
118
系统输入与输出的关系,
时域,x ( t ) * h ( t ) = y ( t )
零状态
S
输入 输出
频域,X(?) ? H(?) = Y(?)
复频域,X(s) ? H(s) = Y(s)
119
)(3) ?????? ta
)(3) ??????? teb t
tjetxc )3(3)() ???
例,求零状态响应。已知 H(s)=,激励为
2
2
?s
t
s
t e
s
etyb ?
??
? ?
?
? 6
2
23)()
1
)3() 1 jsc ???
没有位于 H(s)的收敛域内，响应不存在
3
2
23)()
0
0 ?
?
?
?s
t
s
etya
-2 0 ?解, H(s)的收敛域如图
120
)()( sHth ?
3.已知电路,零状态下的复频域电路模型
2.已知 h(t)
R?R L?sL C?1/sC
4.已知零状态响应及其输入。
)(
)()(
sX
sYsH zs?
1.已知微分方程
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsb
sH n
n
n
n
m
m
m
m
????
????
? ?
?
?
?
?
?
)()(')()( 01)1(1)( tyatyatyatya nnnn ???? ?? ?
)()(')( 01)( txbtxbtxb mm ???? ?
5.已知系统模拟图。
二,系统函数的 求取
121
例,如图所示电路，求 H(s)
1)(
)1)(1(
212211
2
2121
2211
????
???
sCRCRCRsCCRR
sCRsCR
2
21
1
2
2
1
)//
1
(
1
)(
sC
RR
sC
sC
R
sH
??
?
?解,作零状态复频域模型
?
?
)t(yzs2R
1R
1C
2C
+
x(t)
-
1sC
1
2sC
1
?
?
)s(Yzs2R
1R+
X(s)
-
122
例,已知系统的微分方程为
)(3)('2)(2)('3)(" txtxtytyty ????
求该系统的系统函数
解,零状态条件下，对微分方程两边取拉氏变
换，得
)(3)(2)(2)(3)(2 sXssXsYssYsYs zszszs ????
23
32
)(
)()(
2 ??
???
ss
s
sX
sYsH zs
或,先求得冲激响应 )()()( 2 teeth tt ??? ??
)]([)( thLsH ?
23
32
2 ??
??
ss
s
123
L
2C1C)t(i
+
-
RR )t(u
2
解,作复频域模型，选参考节点，对节点 1,2列
方程
Ls
)s(I RR
1sC
1
2sC
1
-
+
)(2 sU
1
0
2
)(
)()( 2
sI
sUsH ?
?
?
?
?
?
?????
????
0)()
11
()(
1
)()(
1
)()
11
(
221
211
sU
sL
sC
R
sU
sL
sIsU
sL
sU
sL
sC
R
例,已知激励 为 i(t)，响应为 u2(t)，求 H(s)
124
已知子系统函数，求整个系统的系统函数
1).基本联接方式
a.级联
)()()( 21 sHsHsH ?
)(1 sH )(2 sH
X(s) Y(s)
b.并联
)()()( 21 sHsHsH ??
?
X(s)
)(2 sH
)(1 sH Y(s)
三,系统 框图化简
125
c.反馈
)()(1
)(
)(
)(
)(
21
1
sHsH
sH
sX
sY
sH
?
??
?
)s(EX(s) Y(s)
)(2 sH
)(1 sH-
)()()(),()()()( 12 sEsHsYsHsYsXsE ???
负反馈 其它化简规则如表 4-3
126
例,求系统函数
)()()(1
)()()(
432
32
sHsHsH
sHsHsH
A ??
?
X(s) Y(s)
)(2 sH-
)(4 sH
)(3 sH)(1 sH
)(5 sH
?
A
解,分点 A后移
?
X(s) Y(s)
)(2 sH-
)(4 sH
)(3 sH)(1 sH
)(5 sH
?
)(
1
3 sH
化除 H2 (s),H3(s)和 H4(s)组成
的负反馈回路
127
)(
1
)()()(1
)()(
)(
3
51
1
sH
sHsHsH
sHsH
sH
A
A
?
?
X(s) Y(s)
)(sHA)(1 sH
)(5 sH
?
)(
1
3 sH
化除 H1 (s),HA(s)和 H5(s),1/ H3(s)组成的正
反馈回路
)()()()()()(1
)()()(
521432
321
sHsHsHsHsHsH
sHsHsH
??
?
128
1).加法器
2）标量乘法器
)(1)()()(
0
sXssYdxty t ???? ? ? ??
?
x1(t) y(t)
x2(t)
y(t)=x1(t)+x2(t) 拉氏变换 Y(s)=X1(s)+X2(s)
?
X1(s) Y(s)
X2(s)
时域 复频域
ax(t) y(t)
y(t)=ax(t) LT Y(s)=aX(s)
aX(s) Y(s)
3）积分器
?x(t) y(t) X(s) Y(s)s1
四、复频域模拟
129
例,求系统函数
解,作复频域模拟图
x(t)
- - 2 ?
? ?
y(t)
X(s)
- - 2 s
1?
Y(s)
s
1设中间变量 Q(s)
s2Q(s) sQ(s) Q(s)
s2Q(s) =X(s)-2 sQ(s)- Q(s)
12
)()(
2 ??? ss
sXsQ
12)(
)(
)(
)()(
2 ????? ss
s
sX
ssQ
sX
sYsH
可进一步求得 h(t)及微分方程
130
+
-)(tvs
R
L C
?? )(2 tv
例,图示电路。 (1)求
)(
)()( 2
sV
sVsH
s
?
（ 2） 若激励 vs (t)=cos2t?(t)V,
欲使 v2(t)中不出现强制响应分
量，求乘积 LC的值；
(3)R=1?,L=1H,按第 (2)问条件求 v2(t)
LCRC
s
s
LC
s
R
sC
Ls
R
sH
1
1
1
//
)()1(
2
2
??
?
?
?
?解：
LCRC
s
s
LC
s
s
s
sXsHsV
1
1
4
)()()()2(
2
2
22
??
?
?
?
??
131
，则必须有中不出现强制响应分量要使 )(2 tv
LCss
14 22 ???
4
1,41 ??? LC
LC
此时则因,41,1)3( FCHL ??
441
)( 2
2
2 ???
??
?
ss
s
LCRC
ss
ssV
2)2( ?? s
s
2)2(
2
2
1
?
?
?
?
ss
)()21()( 22 ttetv t ??? ?
132
例,如图所示系统。 (1)求
)(
)()(
sX
sYsH ?
)()()2( tgth 与阶跃响应求冲激响应
).(),2()1()()3( tytttx 求零状态响应若 ???? ??
)()()(),()( 2 sYsssWsEssYsW ???解：
)()()( sWsXsE ??
)()()(2 ssYsXsYs ??
sssX
sYsH
??? 2
1
)(
)()(
1
11
??? ss
?
)s(EX(s) Y(s)
1?s
-
W(s)
1?s
133
1
111
2 ???? sss
)()1()()()()( tettettttg tt ???? ?? ??????
)()1()()3( tettg t ?????由于阶跃响应
)2()1()( ???? tttx ??现输入为
)2(]3[)1(]2[)( )2()1( ???????? ???? tettetty tt ??
由线性时不变性
)111(1)(1)( ???? ssssHssG
1
111)()2(
2 ????? sssssH )()1()( teth t ?????
134
135
第五章 拉普拉斯变换
§ 5.1 拉普拉斯变换的定义、收敛域
§ 5.2 拉普拉斯变换的基本性质
§ 5.3 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
§ 5.4 拉普拉斯反变换
§ 5.5 拉普拉斯变换分析法
§ 5.6 系统函数
2
? 本章要点
? 拉氏变换的定义 —— 从傅立叶变换到拉
氏变换
? 拉氏变换的性质，收敛域
? 卷积定理 (S域 )
? 周期和抽样信号的拉氏变换
? 系统函数和单位冲激响应
? 拉氏变换与傅氏变换的关系
3
§ 5.1 拉普拉斯变换的定义、
收敛域
一, 拉氏变换的定义
—— 从傅氏变换到拉氏变换
二．拉氏变换的收敛
三．一些常用函数的拉氏变换
4
一、拉氏变换的定义 —— 从傅氏变换
到拉氏变换
有几种情况不满足狄里
赫利条件：
? u(t)
? 增长信号
? 周期信号
)0( ?ae at
? 若乘一衰减因子
为任意实数，则
收敛，
于满足狄里赫利条件
te ??
?
tetf ??).(
tetu ??)(
)(,aee tat ?? ??
te t 1co s ???
t1c o s?
5
tetftf ??? )()(
1
dtetfF tj? ? ???
0
)(
1 )()(
???
因果
?
? ?
?
0
)()( dtetfsF st
?? js ??
象函数
正 LT
dsesF
j
tf
j
j
st? ?
?
?
??
???
)(
2
1
)(
原函数
逆 LT
FT,实频率 是振荡频率
LT,复频率 S 是振荡频率,控制衰减速度
?
? ?
6
拉氏变换已考虑了初始条件
? ?
)()(
)(
)()(
???
??
?
??
?
?
ofsSF
dt
tdf
LT
sFtfLT
)()0()(
))(()()( '
0
0
0
'
sSFfef
dtetfetfdtetf
s
ststst
????
??
??
?
????
?
??
终值 初值，若有跳变则为
)( ?of
7
二．拉氏变换的收敛
收敛域,使 F(s)存在的 s的区域称为收敛域。
记为,ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件；
8
)(0)(l im 0??? ???
??
t
t
etf收敛域
? 有始有终信号和能量
有限信号
? 或
等幅振荡信号和增长信
号
? 不收敛信号
除非
00 ?? a?0?
a?0?
)0(,22 ??? ttee tt
?
?
?j
?j
整个平面
以 为界0?
)0( Tt ??
9
双边拉氏变换收敛域 —
)()()( tuetutf t ???
??? ?? ?? ???? ? ??? 0 )1(0 )()()( dtetudtetudtetf ttt ???
0?? 1??
ss
tf
LT
?
??
1
11)(
0 1
10 ?? ?
?
?j
)( tuet ? )(tu
0
1
10 0
0??1??
10
1)()()(2 ??? ?tuetutf t
ssss
tf
LT
?
??
?
??
1
11
1
11)(
2
0)()()(3 ?????? ?tuetutf t
ssss
tf
LT
?
??
?
??
1
11
1
11)(
3
不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的
象函数。
11
)()()( tuetuetf btat ???
??? ? ??? ?? ?? ? ?? 0 )(0 )()( dtedtedtetf tatbt ???
b?? ??a
baab ??? ?,
ab ?
收敛，存在双边拉
氏变换
没有收敛域。不存在双边拉
氏变换
12
说明
? ? ；的信号成为指数阶信号满足 00e)(lim.1 σσtf tt ????? ?
? ?0 0elim.3 ????? ?? tnt t
? ?αttt ????? ??? 0eelim.4
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
进行拉氏变换。为非指数阶信号，无法
，长快，找不到收敛坐标等信号比指数函数增2e.5 t
氏变换一定存在；有界的非周期信号的拉.2
13
三．一些常用函数的拉氏变换
? ? ??? ? ? ?0 de1)( ttuL st
1.阶跃函数
2.指数函数
? ? ?? ? ? ??? 0 deee tL sttαtα
ss
st 1e1
0 ??
??
? ?
? ? ???
???
0
e
sα
tsα
sα ?
1 ? ?ασ ??
全 s域平面收敛? ?? ? ? ? 1de
0 ??? ?
? ? tttL st??
? ?? ? ? ? 0ede0 00 stst tttttL ?? ? ????? ? ??
3.单位冲激信号
14
4,tnu(t)
? ? ? ? ??? 0 de tttL st
20
1e11
sss
st ??
?
?
??
?
????
?
?
? ? ? ? ??? 0 de tttL stnn
? ? ??? 0 1 de ttsn stn
? ? ??? 0 de1 stts
??
?
??
? ??
?? ?
? ???
0 0
dee1 tts stst
2?n
? ? ? ? 322 2122 ssstLstL ????
3?n
? ? ? ? 4323 6233 ssstLstL ????
? ? ? ?1?? nn tLsntL
??
?? 0e
st
n
s
t ? ?
???
0
1 de tt
s
n stn
? ? 1!?? nn sntL
??
1?n
所以
所以
15
常用信号的拉氏变换
)(tu
S
1
tatu ??)( as ?
1
nt
1
!
?ns
n
)(t? 1
)( 0tt ?? 0ste?
16
§ 5.2 拉普拉斯变换的
基本性质
17
拉氏变换的基本性质 （ 1）
线性
)(
1
tfk i
n
i
i?
?
)]([.
1
tfLTk
n
i
i?
?
dt
tdf )(微分 )0()( ?? fsSF
积分
? ??t df ?? )( sfs sF )0()( ' ??
时移 )()( 00 ttuttf ?? )(0 sFe st?
频移
atetf ?)(
)( asF ?
18
拉氏变换的基本性质 （ 2）
尺度变换
)(atf ?????? asFa1
)(lim)0()(lim
0
sSFftf
st ??
?
?
??
?
终值
定理 )(l i m)()(l i m 0 sSFftf st ??? ???
卷积
定理
)(*)( 21 tftf )().( 21 sFsF
初值定理
)().( 21 tftf )(*)(2 1 21 sFsFj?
19
1.线性
)()(),()( 2211 sFtfsFtf ??设
2.时移性
1 1 2 2 1 1 2 2 1,2( ) ( ) ( ) ( ),a f t a f t a F s a F s a a? ? ?则 为常数
00 0 0( ) ( ),( ) ( ) ( ),0stf t F s f t t t t e F s t? ?? ? ? ? ?设则
一、拉氏变换的性质
20
)()(1 tkttf ??
观察下列图形的时移关系
t0
4()ft
0t
0t
t0
1()ft
t0
3()ft
t0 0t
2()ft
20( ) ( ) ( )f t k t t t???
30( ) ( )f t k t t t???
4 0 0( ) ( ) ( )f t k t t t t?? ? ?
4 1 0( ) ( )f t f t t只有 是 平移 后所得
21
解 （ 1）和（ 2）的单边拉氏变换相同
求下列拉氏变换 0
0 22
0
,( ) s i nf t t s ?? ??? ?例 已知
0 0 01 ) ( ) s i n ( )f t t t t?? ? ?
0 0 02 ) ( ) ( ) s i n ( ) ( )f t t t t t t? ? ?? ? ?
0 0 0 0 0 0 0 0[ s i n ( ) ] [ s i n c o s c o s s i n ]L t t L t t t t? ? ? ? ?? ? ?
0 0 0 0 0
22
0
c o s s i nt s t
s
? ? ?
?
??
?
0 0 03 ) ( ) ( ) s i n ( )f t t t t t t? ? ?? ? ?
0
0 0 0[ s i n ( ) ] s i n
st
t
L t t t t e d t? ? ?? ??? ?
22
00
0
( ) ( )1 []
2
s j t s j t
t
e e d t
j
??? ? ? ? ????
0 0 0 0( ) ( )
0
00
1 []
2
s j t s j tee
j s j s j
??
?
??
? ? ? ?
??
??
0 0 0 0 0 0
22
0
c o s s i n[]st t s te
s
? ? ?
?
? ??
?
0 0 0 0 0 0s i n ( ) s i n ( ) ( )t t t t t t t t? ? ? ?? ? ? ? ?或
0 0 0 0 04 ) ( ) ( ) s i n ( ) ( )f t t t t t t t t? ? ?? ? ? ? ?
00 0
0 0 0 0 22
0
[ s i n ( ) ( ) ] [ s i n ]s t s tL t t t t e L t e
s
?? ? ?
?
??? ? ? ?
?
23
例 求锯齿波的拉氏变换
解,
T T
T
由时移性
s
Eetf sT
b ???
?)(
所以：
2
1( ),
a
Eft
Ts
?
( ) ( ) ( ) ( )a b cf t f t f t f t? ? ?
( ) ( ) ( ) ( )EEt t E t T t T t TTT? ? ?? ? ? ? ? ?
2
1() sT
c
Ef t e
Ts
?? ? ?
2( ) [ 1 ( 1 ) ]
sTEf t T s e
Ts
?? ? ?
tT
E()ft
t
E
()aft
tE
()bft
t
k=-E/T
()cft
24
利用时移可以求单边周期信号的拉氏变换
设 f1(t)表示第一个周期的函数
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )f t f t f t T t T f t T t T??? ? ? ? ? ? ? ?
2
11
1( ) ( 1 ) ( ) ( )
1
Ts Ts
TsF s e e F s F se
??
?? ? ? ? ? ?
25
例 求半波正弦函数的拉氏变换
)()()(,1 tftftf ba ??解
)]2()2(2s i n [)()2s i n ( TtTtTEttTE ???? ????
0 T/2 T t
f(t)
E
0 T/2 t
f1(t)
E
2
2 2 2 2
22( ) ( )
22( ) ( )
T
sEE TT
e
ss TT
??
??
??
??
??
2
22
2()
( 1 )
2()
T
sE T
e
s T
?
?
??
??
?
0 T/2 T t
E ()aft
0 T/2 T t
E
()bft
26
2
22
2()1
( ) ( ) ( 1 )
21 ()
T
s
sT
E T
f t F s e
e s
T
?
?
??
?? ? ?? ?
22
2
2()
1
2()1 sT
E T
se T
?
??
?
??
27
3.比例性（尺度变换）
1( ) ( ),( ) ( ),0sf t F s f at F a
aa? ? ?设则
例 已知 L[f(t)]=F(s)，试求
)0,0)](()([ 000 ???? tatattatfL ?
解,先时移性后比例性
由时移性
000[ ( ) ( ) ] ( )stL f t t t t e F s? ?? ? ?
再由比例性
)(1)]()([ 000
a
sFe
a
tattatfL
t
a
s?
??? ?
28
再由时移性
)(1)]()([ asFaatatfL ??
)]}([)]([{)]()([ 0000 attaattafLtattatfL ????? ??
)(1 0 asFea ta
s?
?
由比例性
另解,先比例性后时移性
29
4.频移性
)(])([),()( 00 ssFetfLsFtf ts ??? ?则设
解,
st
1)( ???
例,求拉氏变换 ??? )1( te t?
se
st
??? 1)1(?
)1(
1
1)1( ???
????
st e
ste ?
时移性
频移性
?? )(s i n 0 tte t ???
2
0
2
0
0 )(s i n ?
???
?
?
s
tt
?? )(s i n 0 tte t ???
2
0
2
0
)( ??
?
??s
30
5 时域微分
)0()(])([),()( ???? fssFdt tdfLsFtf 则设
)0()0()(])([ )1(1 ???? ??? nnnn
n
ffssFsdt tfdL ?和
主要用于研究具有初始条件的微分方程
证明,由定义 dte
dt
tdf
dt
tdfL st???
?? 0
)(])([
dttfestfe stst )()(0)(
0
??
?
? ?
? ??
??
)0()( ??? fssF
31
??
? ???
0
)()]0()([
tdt
tdffssFs
)0()0()(2 ?? ???? fsfsFs依此类推,可得
)0()0()(])([ )1(1 ???? ???? nnnn
n
ffssFsdt tfdL ?
若 f(t)为有始函数,则
)(])()([),()()( ssFdt ttdfLttftf ?? ??
同理可得 dte
dt
tdf
dt
tdfL st???
?? 0 2
2
2
2 )(
])([
dtedt tdfdtd st??? ??
0
])([
32
?
?
?
?
????
?
?
0
01)(),()(
21 te
ttftetf
t
t
?
? ?例：设
的拉氏变换。和求 )(')(' 21 tftf
1 )(1 tf
0 t
1 )(2 tf
-1
0 t
)()()(1 tetdt tdf t??? ????
)(1])([ 11 ssFs ssdt tdfL ?????? ???
解,
????? ssFsFtfLtfL
1)()()],([)]([
2121
)()(2)(2 tetdt tdf t??? ????
)0()(12])([ 212 ????????? fssFs ssdt tdfL ???
所求信号 的拉氏变换不同
33
? ? ?? t s sFdfsFtfL 0 )()(),()]([ ??则设
s
f
s
sFdft )0()()( 1 ??
??
??? ??
6 时域积分
证明,由定义
? ? ?? ? ? ???t stt dtedfdfL 0 0 0 ])([])([ ????
??
? ?
?
?
?? ?
???
00
])(1
0
)([ dtetf
s
df
s
e sttst ??
s
sF )(?
34
??? ?? ?? ???? tt dfdfdf 00 )()()( ??????
??? ??? ?? t dff 01 )()0(
所以 ?
??
??
??t s sFsfdfL )()0(])([
1
??
????? ? ??? t dtt
s
t
0
)()(1)(,而如已知
若积分下限由 开始??
2
1)1(1)(
sss
tt ???所以
35
例 求拉氏变换
1
0 1 2 t
f(t)
1
0 1 2 t
f’1(t)
(2)
(1)
1
0 1 2 t
f’(t) f
1(t)
(1)
解,
f(t)求导
f1(t)求导
se
s
s 21)( ???? ?
ss ees 221)( ?? ????? ?
s
e
s
ee
sF
s
ss
2
2
121
)(
?
??
?????
?
2
22 )1(1
s
e
s
e ss ?? ????
36
7 初值定理
)(lim)(lim)0(,)(lim),()( 0 ssFtffssFsFtf sts ?????? ??? ?则存在且设
证明,利用时域微分性质
dtedt tdffssFdt tdfL st??? ? ????
0
)()0()(])([
dtedt tdfdtedt tdf stst ??? ?? ?
?
? ?? 0
0
0
)()(
? ?
?
? ?
? ??? 0
0 0
)()( dte
dt
tdfdt
dt
tdf st上式
10 ??? tste由于
37
dtedt tdftffssF st??? ? ?
?
? ??? 0
0
0
)()()0()(
dtedt tdffssF st??? ? ???
0
)()0()(
时，右边积分项消失当 ??s
)(lim)0( ssFf s ??? ?因而
38
??
?
???
????
]
1
11[lim)(lim:
s
sssF
ss
解
1)0(),()()( ???? ?? ftettf t??
初值定理条件 必须存在,时域中意味
着 f (t) 本身不能包含冲激,但由于
的存在,不影响 的值,可把 移去后
再应用初值定理,即只取真分式
)(l i m ssFs ??
)(0)0( t??,??
)0( ?f )(t?
1)]([)( ?
???
s
stfLsF例,求初值
1]11[lim)0( ???
??
?
ssf s
本例中
应用初值定理先求真分式
39
8.终值定理
的终值则存在且设 )(,)(lim),()]([ tftfsFtfL t ???
)(lim)(lim)( 0 ssFtff st ??? ???
)0()(lim)(lim
000
?
?
? ?
?
???
?
fssFdtedt tdf
s
st
s
两边取 s趋于零的极限
证明,由时域微分性质
)0()()(])([
0
?? ? ??? ?
? fssFdtedt
tdf
dt
tdfL st
10 ??? sste由于
40
)0()(lim)]0()([lim 0 ????? ??? fssFftf st于是
)(lim)(lim)( 0 ssFtff st ??? ???即
dtdt tdfdtedt tdf
s
st
s ??
?
?
? ?
? ??
?
0000
)(lim)(lim
)]0()([lim ??? ?? ftft
条件 存在相当于在复频域中 的 极点
都在 S平面的左半平面和原点仅有单极点,虚轴上只
能在原点,如
)(lim tft ?? )(sF
)0(1][)( ???? ??? seLsF t
41
例,给定,试求
的终值
)23(
5)(
2 ??? ssssF
解,因为 F(s)的极点为 s=0,-1和 -2,满足终
值定理的条件
2
5
23
5lim)(lim)(
200 ?????? ?? ssssFf ss
求终值首先判断极点位置
其极点 s=?在 s平面的右半平面,不能 用终值定理,否
则得到 0lim)(
0
????
? ?s
sf
s
是错误的,
()ft
42
9.复频域微分
ds
sdFttf )()( ??
dtetfsF st? ? ??? 0 )()(证明,
dtettfdtettf
ds
sdF stst ?? ? ?? ?
?? ???? 00 )()1()(
)(
拉氏变换还有其他性质,如时域卷积和
复频域卷积,无对称性,
)()()()( 2121 sFsFtftf ???
)()(
2
1)()(
2121 sFsFjtftf ??? ?
43
dtdsetf s st? ?? ? ??? 0 ])[(
dt
st
etf st? ? ?
?
?
?
?
0
][)(
dte
t
tf st? ? ?
?? 0
)(
dssFt tf
s?
?? )()(10.复频域积分
? ?? ? ? ?? ?? s sts dsdtetfdtsF 0 ])([)(证明,
44
1
1s i n:
2 ?? st解
s
a r c t g sds
st
t
s
?
?
?
? ?
?
1
1s i n
2
sa r c t ga r c t gs
1
2 ???
?
sa r c t gsdxx
xt 11s i n
0
??
?? ? dxx xt
0
s i n,求例
45
例 1 求下列函数的拉氏变换
2
1( 1 ) 1( 1 ), ( )( () )tt t
s
t t
s
? ????? ??解：
2
112 ), ( 1 ) ( 1 ) ( )( 1 ) 1 ( ) st t t e
st st? ??
?? ? ? ? ? ? ??
2.( 1
13) ) ( 1 ) stt e
s?
????
( 1 )4),( ]1[ )tL t???
ssttL
11)]()1[(
2 ???? ?
二、应用举例
46
3
2 2][
stL ??
32
2
33
2
)4(
)12(2]
)2(
2
)2(
2[
2
1]2c o s[
?
??
?
?
?
??
s
ss
jsjs
ttL
)]()([
2
1
]s i n)([
)]()([
2
1
]c o s)([
000
000
???
???
jsFjsF
j
ttfL
jsFjsFttfL
????
????有公式
tt 2c o s).5 2
2c o s 2 4
st
s
?
?
另,解
)4(2c o s 22
2
2
?? s
s
ds
dtt 复频域微分性
47
])( 1)( 1[2s i n])( 1)( 1[2c o s 2222 ?????? jsjsjjsjs ????????
222222
22
)(
2s i n
)(c o s ?
??
?
??
???
??
s
s
s
s
?? ? )1(1).7 tet ?
s
sds
sss
?
?
??
?
?? ? ? ln)11(
?????? s i ns i nc o sc o s)c o s ( tttttt ???
dseLs t? ? ?? ]1[ ?
)c o s ().6 ?? ?tt
48
例 2：求函数 的拉氏变换
方法一,按定义式求积分
dtetdtte stst ?? ?? ??? ? 2110 )2(
2
2 )1(
1 se
s
???
方法二,利用线性叠加和时移定理
)]2()1()[2()]1()([)(1 ????????? tttttttf ????
1()ft
t21
1
0
1()ft
11 0( ) ( )
stF s f t e d t
?
? ?? ?
1 2 2
0 1 1
111( ) 2
0
s t s t s t s tt e e d t e d t t e d t
ss ?
? ? ? ?
?? ? ? ? ?? ? ?
( ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )t t t t t t? ? ?? ? ? ? ? ? ?
22
1 2 2 2 2
1 2 1 1( ) ( 1 )s s sF s e e e
s s s s
? ? ?? ? ? ? ?
49
t
dt
tdf )(
-1 2
11
2
2 )(
dt
tdf
(2)0
(1)(1)
t
方法三,利用微分积分性质,
)]2()1(2)([])([ 2
2
????? tttLdt tdfL ???显然
21211 )1()(,0)0(,0)0(' sesFsff ??? ???? 故而
2)1( se ???
2
21 )1(
1)( se
ssF
????
50
例 3,求单边拉氏变换,
dt
ttdt )(c os).1 ?
1
)(c o s).1 2
?
?
s
stt?解：
1
)(c o s
2
2
?
?
s
s
dt
ttd ?
222
2
)1(
2)
1
()(c o s
?
??
?
???
s
s
s
s
ds
d
dt
ttdt ?
)()s i n ()(s i n).2 ????? ????? tttt
1
1)(s in
2 ?? stt?
)(s in).2 ?? ?tt
???? se
s
tt ?
?
?????
1
1)()s i n (
2
51
例 4：周期信号的拉氏变换及其应用
)()( 11 sFtf
LT
?
)()( 11 sFenTtf s n T
LT
???
ST
n
SnT
LT
n
e
sF
esFnTtf
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
1
)(
)()(
1
0
1
0
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷级数求和
52
单边正弦、余弦信号的拉氏变换
2
)()(
tjtj ee
tutf
?? ??
?
22
2
1
)
11
()(
?
??
?
?
?
?
?
?
S
S
jSjS
SF
j
eetutf tjtj
2
)()(
?? ??
?
22
2
1
)
11
()(
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
S
jjSjS
SF
ttu ?c o s)(
ttu ?s i n)(
53
衰减余弦的拉氏变换
]c o s)([)( ttuetf t ????
220
]c o s)([)(
?
?
?
??
S
S
ttuLTSF
22)(
)(
??
?
??
?
?
S
S
SF
频移特性
54
矩形周期信号拉氏变换
)2()()(1 ?tututf ???
)1(
1
1
)()(
2
1
ST
S?
ST
eS
e
e
sFsF
?
?
?
?
??
??
)1(1)( 21 S?eSsF ???
第一周期的信号
第一周期的拉氏变换
利用时移特性
利用无穷技术求和
55
)(tf
单对称方波
周期对称方波
乘衰减指数
)21(1 2 ss ee
s
?? ??
s
s
e
e
s 2
2
1
1)1(1
?
? ?
包络函数
te?
1 2
)2()1(2)( ???? tututu
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
??
??
?
?
? S
S
e
e
s
矩形脉冲衰减信号的拉氏变换
56
抽样信号的拉氏变换
??
?
??
0
)()(
n
T nTtt ??
ST
n
SnT
T ees ?
?
?
?
??? ? 1
1)(
0
?
)()()( ttftf Ts ??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
.
0
)(
)()()(
n
SnT
n
ST
Ts
enTf
dtenTtnTfsF ?
抽样序列
抽样序列的拉氏变换
时域抽样信号
抽样信号的拉氏变换
57
§ 5.3 拉普拉斯变换与傅里叶变换
的关系
? ??? ? dtetf tj?)(
因果
? ???0
乘衰减因子
te ??
dtetf tj? ? ??
0
)()( ??
?? js ??
? ? ?0 )( dtetf st
???? ? dtetf st)(
?? js ??
dtetf tj? ?
??
?? )()( ??
0??
0)(
0
?
?
tf
t
58
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号
0)(
0
?
?
tf
t
)(tueat
a
a??
t
)(tf
0)1( 0 ??
as
sF
?
? 1)(
傅氏变换不存在，拉
氏变换存在
?
?j
59
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号 0)( 0 ??tft
0)2( 0 ??
)(tf
t
)(tue at?
a?
a???
?j
?
as
sF
?
? 1)( ajjF ?? ?? 1)(
?js ?
60
从单边拉氏变换到傅氏变换 — 有始信号 0)( 0 ??tft
0)3( 0 ?? 存在傅氏变换，但
收敛于虚轴，不能
简单用,要
包含奇异函数项。
)(tu
ssF
1)( ? )(1)( ???
?? ?? jjF
? ??? ?
n
nnjs ksFjF )()()( ????? ?
?js ?
K1=1
61
从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换
)(.s i n 0 tut?
)(.s i n)( 0 tuttf ??
LT
2
0
2
0)(
?
?
?
?
s
sF
? ??? ?
n
nnjs ksFjF )()()( ????? ?
00
2
0
2
0 22)(
???
?
js
j
js
j
s
sF
?
?
?
?
?
?
? ?)()(
2
)( 0022
0
0 ???????
??
?? ????
?
? jjF
2
0
2
0
)()( ??
??
?? jjF
K2K1
62
1.简单函数
利用典型信号的变换对（查表）及性质
1
132
?
??
s
ss例,
1
12
?
????
s
s
)()(2)( tett t??? ?????
化简的第一步是化成真分式
1
21
?
? ?
s
e s?
)(2)( )( ??? ? ??? ??? tete tt
se
ss
??
?
?
?
?
1
2
1
1
§ 5.4 拉普拉斯反变换
例,
63
例,
的原函数求 22
)3(
)(
?
?
s
ssF
解：
t
s
3s i n
3
3
2 ??
tt
s
s
sds
d
3s i n
)3(
32
)
3
3
( 222 ??
?
??
?
)(3s i n
32
1
3
)( 2 ttt
s
ssF ??
?
??
64
??? d
s
s
s
t
? ??? 022 3s i n32
1
)3(
1
)(]3s i n
36
1
3c o s
6
[ ttt
t
??
?
?
22
1
()
( 3 )
Fs
s
??
?
例,
65
2.部分分式展开
含真分式 ??
)(
)(
)(
sD
sN
sF
1.D(s)=0的根是实根且无重根
D(s)是 s的多项式，可以进行因式分解
)())(()( 21 nn ssssssasD ???? ?
)())((
)(
)(
)(
21 nn ssssssa
sN
sD
sN
???? ?
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
??????? ?2
2
1
1
66
左右两边同乘以因子 再令)(
iss ? ),2,1( niss i ???
),2,1(
)(
)(
)( ni
sD
sN
ssk
iss
ii ????
?
][][][)]([ 1
2
21
1
111
n
n
ss
kL
ss
kL
ss
kLsFL
???????
???? ?
)(][ 21 21 tekekek tsntsts n ????? ?
67
例, 的拉氏反变换求
352
10114)(
2
2
??
???
ss
sssF
解：
)
2
3
)(1(2
4
2)(
??
?
??
ss
s
sF
2
31
2 21
?
?
?
??
s
k
s
k
68
2
31
)
2
3
)(1(2
4 21
?
?
?
?
??
?
s
k
s
k
ss
s
5.2
)1(2
4
,3
)
2
3
(2
4
2
3
2
1
1
??
?
?
??
?
?
?
??
??
s
s
s
s
k
s
s
k
)()
2
5
3()(2)( 2
3
teetsF
tt
??
??
????
2
3
5.2
1
3
2)(
?
?
?
?
??
ss
sF
69
(2).D(s)=0的根有复根且无重根
))(())(()( 2221 cbssssssssasD nn ?????? ??
))(( 21 cbsssD ???
则构成一对共轭复根。二次多项式中，若,42 cb ?
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
21
sD
sN
cbss
ksk
sD
sNsF ?
??
???
211,)( kksN 系数相等的方法求的系数，再利用对应项先求
cbss
ksk
??
?
2
21 的反变换可用 配方法
70
的原函数例：求
463
3)(
23 ???
??
sss
ssF
)42)(1(463 223 ??????? ssssss解：试探得，
421
)( 2
??
??
?
?
ss
CBs
s
AsF故
掩盖法,
3
2|)()1(
1 ??? ??ssFsA
3
1,
43
2
4
3,0 ???? ccs左右两边令
421
3
2
43
3
223 ??
?
?
?
?
??
?
ss
CBs
sss
s
71
3)1(
3
1
3
2
1
3
2
)(
2
??
??
?
?
?
s
s
s
sF
22
)3()1(
3
3
1
)1(
3
2
1
3
2
??
???
?
?
?
s
s
s
3
2,
3
20,,????? BBss ＋令两边乘
)(]3s i n
3
1
3c o s
3
2
3
2
[)( tteteetf ttt ???? ????
72
(3).D(s)=0的根有重根
可写成则重根只有一个若 )(,0)( sDpsD ?
)()()()( 11 nppn ssssssasD ???? ? ?
)(
)(
)()()()()( 1
1
1
11
2
1
12
1
1
)1(1
1
1
sD
sN
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
p
p
p
p ?
????????? ?
? ?
可通过对应项系数相等或公式法得到
111,kk p ?
得公式法：上式两边同乘,)( 1 pss ?
)(
)(
)(
)()()(
)(
)(
)(
1
1
1
1
111
2
1121)1(111
sD
sN
ss
sskssksskk
sD
sN
ss
p
pp
pp
p
??
?????????
??
? ?
1
)(
)()(
11
ss
p
p sD
sNssk
?
??
73
1
]
)(
)()[(
1)1(1
ss
p
p sD
sNss
ds
dk
?
? ??依次类推
1
]}
)(
)()[({
)!(
1
11
ss
p
kp
kp
k sD
sNss
ds
d
kp
k
?
?
?
?
?
?
它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到
tskk
k
k et
k
k
ss
kL 111
1
11
)!1(])([
??
???
可展开为，则有二重根如 )(0)( 2,1 sFjssD ?? ????
如果 D(s)=0有复重根，可以用类似于复单根的
方法导出相应的反变换关系式
)(
)(
)()()()()( 1
122
2
2112
2
11
sD
sN
js
k
js
k
js
k
js
ksF ?
???????????? ????????
74
也可以不展开为复数形式，而用性质
系数求得后，可用求得其反变换。由于
)()c o s (2])()([ 11112112111
1111
ttteKjs eKjs eKL t
jj
??????? ?
??
??????? ?
?
?
tjjtjj
jj
eeKeeKjs eKjs eKL )(22)(2222221 2222
2222
][ ??????
??
????
?????
?
? ??
?????
2211 |||| 22221111 ?? jj ekKekK ??设
?? ??
12221121,KKKK可以证明，
)()c o s (2 1222 tteK t ???? ?? ?
75
23
2
2
132)(
ss
sssF
?
???
2
)( 212211
?
???
s
k
s
k
s
ksF解：
掩盖法
4
3|)()2(,
2
1|)(
220
2
11 ????? ??? ss sFsksFsk
4
5
4
1
2
1
3
6,1
1212 ????? kks,令
)()
4
3
4
5
2
1( 2 tet t ?????
2
4
3
4
5
2
1
)(
2 ?
???
sss
sF
例,求原函数
76
22 ]1)2[(
1)(
??
??
s
ssF
可展开为故的根有二重根解,)(,120)( 2,1 sFjssD ????
)12()12()12()12()(
22
2
2112
2
11
js
k
js
k
js
k
js
ksF
????????????
4
12
2
11 4
2)()12( ?j
js esFjsk
?
??? ????
2
12
2
12 4
1)]()12[( ?j
js esFjsds
dk ????
???
)()]2c o s (21)4c o s (21[)( 22 ttettetf tt ??? ???? ??
?=2 ?=1
?
例,求原函数
77
另解,先不考虑频移 的原函数即先求
220 ]1[
1)(
?
??
s
ssF
已知 t
s
st
s c o s1,s i n1
1
22 ????
tts stts s c o s)1( 1,s i n)1( 2 22
2
22 ??
??
?
ttt c os21s i n21 ??
tttttss ssF s i n21c o s21s i n21]1[ 1]1[ 221)( 22220 ?????????
)()]2c o s (21)4c o s (21[ tttt ??? ????
)()]2c o s (21)4c o s (21[]1)2[( 1 2222 ttettes s tt ??? ?????? ? ??
22 )1(
1
?s
]
)1(
1
1
1[
2
1
)1(2
)1(1
22
2
222
22
?
??
?
?
?
????
s
s
ss
ss
78
例,求下列函数的拉氏反变换
)4(
1
)().1( 2
2
?
?
?
?
ss
e
sF
s
时移性质
解,
)4(
1
).1( 2
2
?
? ?
ss
e s s
e
ssss
2
22 )4(
1
)4(
1 ?
?
?
?
?
4
0
4
1
4
1
2 ?
??
??
s
s
s
se
ss
2
2 )4(
1 ?
?
?
)2()]2(2c o s1[
4
1)()2c o s1(
4
1 ?????? tttt ??
79
1
11)(
2 ????? ssssF
1
)().2( 2
3
??
?
ss
ssF 长除法
22
)
2
3
()
2
1
(
2
3
3
2
1
??
?
???
s
s
)(
2
3s i n
3
2)()()( 21 ttettsF t ??? ??????
22 )1(
1).3(
?s 1
1)
1
1(
2)1(
1
2222
22
?
?
?
??
?
???
ssds
ds
s
ss
)(]s i n
2
1c o s
2
1[)( tttttf ?????
)](s i n[)
1
1(
2 tttdt
d
sds
ds ???
?)(s i n1
1
2 tts ???
80
求拉氏反变换
2
).1(
)2(2
?
??
s
e s
s
ee ss )1)(1().2( 3?? ??
)2(1)(1 2 ??? ? te
s
t
s
s ???解,
t
s
et
s
e 2)2(2
)2(
2
?
??
??
?
? ?
s
eeesF sss 431)( ??? ????
)4()3()1()( ??????? tttt ????
)3()(1),1()(1 3 ???????? ?
?
ttett
s
e ss ????或
)]3()([)]1()([ ????? tttt ????
81
]1)[1(
]1[)()3(
)1(2
2)1(
??
??
??
??
s
s
es
esF
ss
ss
s
s
esFes
ee
es
esF
222
2
2
2
1 1
1)(
1
121
)1(
)1()(
??
??
?
?
?????
???
?
??
)2()1(2)()(2 ?????? ttttf ???
1
-1
0 2 t
)(2 tf
解,先不考虑平移，令
s
eesF ss 2
2
21)( ?? ???
的有始方波是周期为 2)(1 tf
1
-1
0 2
)(1 tf
t
)()( 1 tfetf t??据复频移特性可得
1
-1
0 2 t
)(tf
82
22422444 4444 saasas
s
as
s
???
?
?
2222 )2()2( asas
s
??
?
)22)(22( 2222 aassaass
s
????
?
)(4).4( 44 tfas s ??
]
)()(
[
4
1
22222 aas
a
aas
a
a ??
?
??
??
)(]s i ns i n[
4
1)(
2 tateateatf
atat ?????
83
]
)(
1[1
222
2
224 as
sa
as
s
sa ?
?
?
??
22s i n h as
aat
?
??
22222 )(
2][s i n h
as
as
as
a
ds
datt
?
?
?
??
]
)(
21[1
)(
1).5(
222
23
4222 as
sas
saass ?
???
?
)(]s i n h
2
c o s h1[1)( 4 tattaat
a
tf ?????
84
拉氏变换分析法是分析线性连续系统
的有力工具，它将描述系统的时域微积分
方程变换为 s域的代数方程，便于运算和
求解；变换自动包含初始状态，既可分别
求得零输入响应、零状态响应，也可同时
求得系统的全响应。
§ 5.5 拉普拉斯变换分析法
85
用拉氏变换法分析电路的步骤
列 s域方程（可以从两方面入手）
? 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；
? 直接按电路的 s域模型建立代数方程。
求解 s域方程。
)()( tfsF ?,得到时域解答。
86
)()()(
)()()(
0
)1(
1
)(
0
)1(
1
)(
txbtxbtxb
tyatyatya
m
m
m
m
n
n
n
n
????
???
?
?
?
?
?
?
0)0()0(")0(',0)0( )1( ????? ????? nxxxx ?
输入信号 x(t) 为有始信号
一,用拉普拉氏变换分析系统
87
方程两边取拉氏变换，考虑到时域微分性质
)]0()0()0()([)( )1(21)( ?????? ?????? nnnnnnn yysyssYsatya ?
)]0()0()0()([)( )2(3211)1(1 ?????????? ?????? nnnnnnn yysyssYsatya ?...
)]0()([)( 1'1 ??? yssYatya
)()( 00 sYatya ?
88
)()()( sXsbtxb mmmm ?
)()( 11)1(1 sXsbtxb mmmm ???? ?
...
)()(' 11 ssXbtxb ?
)()( 00 sXbtxb ?
89
)()( 0111 sYasasasa nnnn ??? ?? ?
整理成
)()( 0111 sXbsbsbsb mmmm ???? ?? ?
)0()( 1211 ???? ??? yasasa nnnn ?
)0(')( 2212 ???? ??? yasasa nnnn ?
)0()0()( )1()2(1 ????? ??? nnnnn yayasa
A0(s)
A1(s)
An-2(s)
An-1(s)
...
90
)()( sYsY zizs ??
)(
)(
)(
sX
sY
sH zs? 系统函数
)()(
01
1
1
01
1
1 sX
asasasa
bsbsbsb
sY n
n
n
n
m
m
m
m
???
???
?? ?
?
?
?
?
?
阶导数的初始状态的表示响应 ityy i )()0()( ?
)()( 0111 sYasasasa nnnn ??? ?? ?
)()( 0111 sXbsbsbsb mmmm ???? ?? ?)0()( )(
1
0
?
?
?
?? i
n
i
i ysA
0
1
1
)(
1
0
)0()(
asasa
ysA
n
n
n
n
i
n
i
i
???
?
?
?
?
?
?
?
?
91
)(8)(2)(6)(5)( txtxtytyty ????????
,2)0(,3)0(),()( ???? ??? yytetx t?
)()()]([)]([)]([)( 111 tytysYLsYLsYLty zizszizs ????? ???
复频域分析法
解, )(6)]0()([5)]0()0()([ 2 sYyssYysysYs ?????? ???
)(8)(2 sXssX ??
65
)0(5)0()0()(
65
82)(
22 ??
????
??
??? ???
ss
yysysX
ss
ssY
例,求系统响应 y(t)。已知
92
3
1
2
4
1
3
1
1
)3)(2(
82)(
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
ssssss
ssY
zs
3
8
2
11
)3)(2(
173)(
?
?
?
?
??
??
ssss
ssY
zi
)()43()( 32 teeety tttzs ???? ???
)0(811)( 32 ??? ?? teety ttzi )( t?此处不能加注
)0(773)()()( 32 ??????? ??? teeetytyty tttzizs
1
1)()()(
?
??? ?
s
sXtetx t?
93
拉氏变换分析的优点
1.把微分方程转化成代数方程
3.已知电路也可求解
2,0- 到 ?作单边拉氏变换,0-状态自动包含
其中，可求零输入响应。
94
例, HLRRFC 2,2,2,5.0
21 ???? ??已知
sVuVu /2)0(',1)0( 11 ?? ??
)(,)()( 1 tuAtti s 求??
解,先列微分方程
)(tiL2R
L1Rc)(tis
+
- )(1 tu
)()()()( 11 titi
R
tu
dt
tduC
sL ???
dt
tdiLtiRtu L
L
)()()(
21 ??
代入元件参数，并消去 iL(t) 及其导数可得方程
)(2)(2)(2)(2)( 1121
2
ti
dt
tditu
dt
tdu
dt
tud
s
s ????
95
1)1(
1
1)1(
11
22 ?????
???
ss
s
s
1)1(
3
1)1(
1
22 ?????
??
ss
s
)0s i n41)(,1 ???? ? ttetu t （全响应
sss
ssU 1
22
22)(
21 ???
??
22
4
2 ??
??
ss
s
两边取拉氏变换
)(2)]0()([2)]0(')0()([ 1111112 sUussUususUs ????? ???
)(2)(2 sIssI ss ??
22
4)(
22
22)(
221 ??
??
??
??
ss
ssI
ss
ssU
s
U1zs(s)
U1zi(s)
96
根据复频域电路模型，直接列写求解复频
域响应的代数方程，反变换求得响应
0)(;0,???? sIiKCL
0)(;0,???? sVKV L ?
基尔霍夫定律,时域 复频域
二,用拉普拉氏变换分析电路
97
利用元件的 s域模型分析电路
1.电路元件的 s域模型
2.电路定理的推广
线性稳态电路分析的各种方法都适用 。
),()( sIti ?
)()( sVtv ?
? ? ??? 0)(0)(:K C L sIti
? ? ??? 0)(0)(:K V L sVtv
3.求响应的步骤
? 画 0-等效电路，求起始状态；
? 画 s域等效模型；
? 列 s域方程（代数方程）；
? 解 s域方程，求出响应的拉氏变换 V(s)或 I(s)；
? 拉氏反变换求 v(t)或 i(t)。
98
电阻元件的 s域模型
)()( sRIsV RR ?
R
sVsI R
R
)()( ?或
R
? ?)( sV R
)( sI R
? ? ? ?tRitv RR ? + -
)(tvR
)(tiR
99
电感元件的 s域模型
)0()()( ??? LLL LiLssIsV
利用电源转换可以得到电流源形式的 s域模型：
)0(1)()( ??? LLL isLs sVsI
??
? ?sV L
? ?sI L Ls ? ??0LLi
? ?
? ?sI L Ls
? ?
?
0
1
L
i
s
? ?? ?sV
L
? ? ? ?t tiLtv LL dd?
L
+ -)(tvL
)0( ?Li)(tiL
内电压源极性与电感电流极性不一致：
内电流源极性与电感电流极性一致
100
电容元件的 s域模型
)0(11)()( ??? CCC vssCsIsV
电流源形式：
sC
1 ? ?
?0
1
Cv
s? ?
sI C
? ?? ?sV
C
? ?sI
C
sC
1
? ?
?
0
C
Cv
? ? ?sV
C
?
? ? ? ??
??
? t CC tiCtv d1 ?
)0()()( ??? CCC Cvss C VsI
c)(tic
+ -)(tvc )0( ?cv
内电源极性与电
容两端极性一致
101
复频域电路模型, 将原电路中已知电压源和电
流源都变换为相应的拉氏变换；未知电压、电
流也用其拉氏变换表示；各电路元件都用其复
频域模型代替（初始状态变换为相应的电源）
对该电路模型而言，用以分析计算正弦稳态电
路的各种方法（如无源支路的串、并联、电压
源与电流源的等效变换等等）都适用。
102
例, Vvtetv
Cts 1)0(),()1()( 3 ?? ?? ?＋已知
)( tv c求响应电压
3
11)(
?
??
ss
sV s
解,
sC
R
s
v
sV
sI
C
s
1
)0(
)(
)(
?
?
?
?
由 KVL?
?
)(tvc
+
-)(tvs
R
c?1
F1
?
?
)(sVc
+
-)(sVs
R
?1
sc
1
s
vc )0( ? +
-
)(sI
s
sI
sC
sV CC )0()(1)(
?
?? ?
s
v
R s C
s
v
sV
C
C
s )0(
1
)0(
)( ?
?
?
?
?
?
103
零状态响应：
1
3
11
1
)(
)(
?
?
?
?
?
?
s
ss
R s c
sV
sV sC z s
)3)(1(
32
??
??
sss
s
3
2
1
1
2
1
1
?
?
?
??
sss
1
)0(
1
)(
?
?
?
?
?
R s C
R C v
R s C
sV Cs
)()
2
1
2
11()( 3 teetv tt
C z s ?
?? ????
1
1
1
)0()(
?
?
?
?
?
sR s c
RCsV C
C z i
?
)0()( ??? ? tetv tC z i
)0(
2
1
2
11)()()( 3 ?????? ?? teetvtvtv tt
C z iC z sC
全响应
零输入响应：
104
例,给定系统的微分方程
xxxyyy 2365 ???????????
已知激励信号 )()1()( tetx t ????
对应的响应为 )()
3
1
3
44()( 32 teety tt ???? ??
求系统的初始状态 y(0-),y'(0-) 及系统的零输
入响应，零状态响应
解,对微分方程两边作拉氏变换
)(6)0(5)(5)0()0()(2 sYyssYysysYs ?????? ???
)(2)(3)(2 sXssXsXs ???
105
65
)0(5)0()0(
)1(
12
65
23)(
22
2
??
????
?
??
??
??? ???
ss
yysy
ss
s
ss
sssY
65
)0(5)0()0(
3
3
5
3
1
2 ??
???
?
?
??
???
ss
yysy
ss
对全响应作拉氏变换，有
sss
sY 3
1
3
1
3
4
2
4
)( ?
?
?
?
?
65
)0(5)0()0()(
65
23)(
22
2
??
????
??
??? ???
ss
yysysX
ss
sssY
65
6
3
3
2
4
65
)0(5)0()0(
22 ??
??
?
??
?
?
??
??? ???
ss
s
ssss
yysy
106
1)0(,1)0( ???? ?? yy
3
3
5
3
1
)(
?
??
ss
sY zs
0),34()()()( 32 ?????? ?? teetytyty ttzszi
)()
3
5
3
1()( 3 tety t
zs ?
????
107
解,作复频域电路模型
L
?
? )(tv
s F1
F1 R
?1
H2
?1
?
?
)(2 tv
?
?
)(1 tv
s2
?
?
s
1 F1
s
1 R
?1
?1
?
?
)(2 sV
?
?
)(1 sVs1
?
?
?
?
?
?????
????
0)()1
2
1
()(
2
1
1
)(
2
1
)()
2
1
1(
21
21
sVs
s
sV
s
s
sV
s
sV
s
s
对节点 a,b列写节点方程
a b
例,已知 vs(t) =?(t),电路为零状态。求响应 v2 (t)
108
经整理并联立求解得
)22(2
1)(
2342 sssssV ???? )1)(1(2
1
2 ???? ssss
)11111(21 2 ?????? ssss
]
)
2
3
()
2
1
(
2
3
3
2
1
11
[
2
1
22
??
?
?
?
??
s
ss
)()]
2
3s i n (
3
21[
2
1)( 2
2 tteetv
t
t ??? ???
109
L
?
? )(tv
s c 3R
?3
?
?
)(ty
?
?
)(tvc
1R
2R
S
)(tiL
)0(),0( ?? Lc iv感电流的初始值解：先求电容电压和电
VvRRR RRv sc 6)0(
321
32 ?
??
??? Av
RRRi sL 2
1)0(
321
?????
例,已知 vs(t) =12V,L=1H,C=1F,R1=3?,R2=2?,
R3=1?。原电路已处于稳态，当 t=0时，开关 S闭
合。求 S闭合后 R3两端电压的 yzi (t)和 yzs (t)
110
a
选定参考节点后，列写 a点的节点方程
1131
)(
1
)0(
)0()()11(
RsL
sV
sC
s
v
RsL
LisY
R
sC
RsL
s
c
L
?
??
?
???
?
?
?
sL
?
? )(sV
s sC
1 3R
?
?
)(sY
1R
)0( ?LLi
)(sIL
- +
?
?
?
s
vc )0(
画复频域电路模型
代入数据整理得
44
)(
44
)0()3()0()(
22 ?????
??? ??
ss
sV
ss
vsisY scL
111
Vtetty tzi )()68()( 2 ????
44
)()(
2 ??? ss
sVsY s
zs sLsV s
12]12[)( ??
2
3
)2(
63
)44(
12)(
22 ???????? sssssssY zs
Vtetty tzs )(])36(3[)( 2 ?????
44
206
44
)0()3()0()(
22 ??
??
??
??? ??
ss
s
ss
vsisY cL
zi
2
6
)2(
8
2 ???? ss
112
§ 5.6 系统函数
系统函数 — 零状态条件下系统的零状态响应
的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
)(
)()(
sX
sYsH zs?
113
系统的复频域特征 — 系统函数
? 是 的拉氏变换
? 是系统输出和输入各自拉氏变换的比
)(sH
)(sH )(th
)(
)()(
sE
sRsH ?
)(te )(sE )(tr)(sR
)(th
)(sH
)(sH
LT LT
LT
114
1.定义
? ? ? ? ? ?sHsEsR ???
响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比
)( th
? ?sH? ?te ? ?sE ? ?tr ? ?sR
)(
)()(
sE
sRsH ?所以
? ? ? ? ? ?thtetr ??
)]([)()],([)( teLsEtrLsR ??其中
系统的零状态响应时当,)()( tte ??
)()( thtr ?)()( sHsR ? )()]([ sHthL ?则
115
2.H(s)的几种情况
策动点函数,激励与响应在同一端口时
策动点导纳
)(
)()(
1
1
sI
sVsH ?
策动点阻抗
单端口
网络
? ?sI 1
?
?
? ?sV 1
1
1 ?
双端口
网络
? ?sI 1
?
?
? ?sV 1
1
1 ?
? ?sI 2
?
?
? ?sV 2
2
2 ?
)(
)()(
1
2
sV
sIsH ?
转移导纳
)(
)()(
1
2
sI
sVsH ?
转移阻抗
)(
)()(
1
2
sV
sVsH ?
电压比
)(
)()(
1
2
sI
sIsH ?
电流比
转移函数,激励和响应 不 在同一端口
116
?? ? ?? ?? ?? ? ?? ???? ?? dehedehty ststszs 111 )()()( )(
)()( 1
0
111 sHedehe tssts ?? ?
?
? ??
?
条件,s1位于 H(s)的收敛域内,即位于 H(s)的
最右极点的右边
)()(,1 ??????? tetx ts 无时限复指数函数
一、系统函数与零状态响应
117
?
??
??
?
j
j
st sHd s esX
j
tx
?
? ?
)()(
2
1)(
?
??
??
?
j
j
std s esX
j
tx
?
? ?
)(
2
1
)(
（ 1）输入信号分成复指数信号之和
LT物理意义,
)( sHee stst ??由线性，得
dsesHsX
j
j
j
st? ??
??
?
?
??
)()(
2
1
)()]([1 tysYL zszs ?? ?
（ 2）零状态响应是各复指数分量的响应之和
118
系统输入与输出的关系,
时域,x ( t ) * h ( t ) = y ( t )
零状态
S
输入 输出
频域,X(?) ? H(?) = Y(?)
复频域,X(s) ? H(s) = Y(s)
119
)(3) ?????? ta
)(3) ??????? teb t
tjetxc )3(3)() ???
例,求零状态响应。已知 H(s)=,激励为
2
2
?s
t
s
t e
s
etyb ?
??
? ?
?
? 6
2
23)()
1
)3() 1 jsc ???
没有位于 H(s)的收敛域内，响应不存在
3
2
23)()
0
0 ?
?
?
?s
t
s
etya
-2 0 ?解, H(s)的收敛域如图
120
)()( sHth ?
3.已知电路,零状态下的复频域电路模型
2.已知 h(t)
R?R L?sL C?1/sC
4.已知零状态响应及其输入。
)(
)()(
sX
sYsH zs?
1.已知微分方程
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsb
sH n
n
n
n
m
m
m
m
????
????
? ?
?
?
?
?
?
)()(')()( 01)1(1)( tyatyatyatya nnnn ???? ?? ?
)()(')( 01)( txbtxbtxb mm ???? ?
5.已知系统模拟图。
二,系统函数的 求取
121
例,如图所示电路，求 H(s)
1)(
)1)(1(
212211
2
2121
2211
????
???
sCRCRCRsCCRR
sCRsCR
2
21
1
2
2
1
)//
1
(
1
)(
sC
RR
sC
sC
R
sH
??
?
?解,作零状态复频域模型
?
?
)t(yzs2R
1R
1C
2C
+
x(t)
-
1sC
1
2sC
1
?
?
)s(Yzs2R
1R+
X(s)
-
122
例,已知系统的微分方程为
)(3)('2)(2)('3)(" txtxtytyty ????
求该系统的系统函数
解,零状态条件下，对微分方程两边取拉氏变
换，得
)(3)(2)(2)(3)(2 sXssXsYssYsYs zszszs ????
23
32
)(
)()(
2 ??
???
ss
s
sX
sYsH zs
或,先求得冲激响应 )()()( 2 teeth tt ??? ??
)]([)( thLsH ?
23
32
2 ??
??
ss
s
123
L
2C1C)t(i
+
-
RR )t(u
2
解,作复频域模型，选参考节点，对节点 1,2列
方程
Ls
)s(I RR
1sC
1
2sC
1
-
+
)(2 sU
1
0
2
)(
)()( 2
sI
sUsH ?
?
?
?
?
?
?????
????
0)()
11
()(
1
)()(
1
)()
11
(
221
211
sU
sL
sC
R
sU
sL
sIsU
sL
sU
sL
sC
R
例,已知激励 为 i(t)，响应为 u2(t)，求 H(s)
124
已知子系统函数，求整个系统的系统函数
1).基本联接方式
a.级联
)()()( 21 sHsHsH ?
)(1 sH )(2 sH
X(s) Y(s)
b.并联
)()()( 21 sHsHsH ??
?
X(s)
)(2 sH
)(1 sH Y(s)
三,系统 框图化简
125
c.反馈
)()(1
)(
)(
)(
)(
21
1
sHsH
sH
sX
sY
sH
?
??
?
)s(EX(s) Y(s)
)(2 sH
)(1 sH-
)()()(),()()()( 12 sEsHsYsHsYsXsE ???
负反馈 其它化简规则如表 4-3
126
例,求系统函数
)()()(1
)()()(
432
32
sHsHsH
sHsHsH
A ??
?
X(s) Y(s)
)(2 sH-
)(4 sH
)(3 sH)(1 sH
)(5 sH
?
A
解,分点 A后移
?
X(s) Y(s)
)(2 sH-
)(4 sH
)(3 sH)(1 sH
)(5 sH
?
)(
1
3 sH
化除 H2 (s),H3(s)和 H4(s)组成
的负反馈回路
127
)(
1
)()()(1
)()(
)(
3
51
1
sH
sHsHsH
sHsH
sH
A
A
?
?
X(s) Y(s)
)(sHA)(1 sH
)(5 sH
?
)(
1
3 sH
化除 H1 (s),HA(s)和 H5(s),1/ H3(s)组成的正
反馈回路
)()()()()()(1
)()()(
521432
321
sHsHsHsHsHsH
sHsHsH
??
?
128
1).加法器
2）标量乘法器
)(1)()()(
0
sXssYdxty t ???? ? ? ??
?
x1(t) y(t)
x2(t)
y(t)=x1(t)+x2(t) 拉氏变换 Y(s)=X1(s)+X2(s)
?
X1(s) Y(s)
X2(s)
时域 复频域
ax(t) y(t)
y(t)=ax(t) LT Y(s)=aX(s)
aX(s) Y(s)
3）积分器
?x(t) y(t) X(s) Y(s)s1
四、复频域模拟
129
例,求系统函数
解,作复频域模拟图
x(t)
- - 2 ?
? ?
y(t)
X(s)
- - 2 s
1?
Y(s)
s
1设中间变量 Q(s)
s2Q(s) sQ(s) Q(s)
s2Q(s) =X(s)-2 sQ(s)- Q(s)
12
)()(
2 ??? ss
sXsQ
12)(
)(
)(
)()(
2 ????? ss
s
sX
ssQ
sX
sYsH
可进一步求得 h(t)及微分方程
130
+
-)(tvs
R
L C
?? )(2 tv
例,图示电路。 (1)求
)(
)()( 2
sV
sVsH
s
?
（ 2） 若激励 vs (t)=cos2t?(t)V,
欲使 v2(t)中不出现强制响应分
量，求乘积 LC的值；
(3)R=1?,L=1H,按第 (2)问条件求 v2(t)
LCRC
s
s
LC
s
R
sC
Ls
R
sH
1
1
1
//
)()1(
2
2
??
?
?
?
?解：
LCRC
s
s
LC
s
s
s
sXsHsV
1
1
4
)()()()2(
2
2
22
??
?
?
?
??
131
，则必须有中不出现强制响应分量要使 )(2 tv
LCss
14 22 ???
4
1,41 ??? LC
LC
此时则因,41,1)3( FCHL ??
441
)( 2
2
2 ???
??
?
ss
s
LCRC
ss
ssV
2)2( ?? s
s
2)2(
2
2
1
?
?
?
?
ss
)()21()( 22 ttetv t ??? ?
132
例,如图所示系统。 (1)求
)(
)()(
sX
sYsH ?
)()()2( tgth 与阶跃响应求冲激响应
).(),2()1()()3( tytttx 求零状态响应若 ???? ??
)()()(),()( 2 sYsssWsEssYsW ???解：
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133
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)()1()()3( tettg t ?????由于阶跃响应
)2()1()( ???? tttx ??现输入为
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由线性时不变性
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1
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2 ????? sssssH )()1()( teth t ?????
134
135
