第七章 系统函数
§ 7.1系统函数与系统特性
§ 7.3 信号流图
§ 7.2 系统的稳定性
LTI,连续系统 离散系统
时域分析, 冲激响应 h(t) 单位响应 h(k)
复频域分析, H(S) H(Z)…,系统函数
频域分析, H(j?) H( )… 频率响应
=H(S) ︱ s=j? =H(Z) ︱ z=
Tje ?
Tje ?
1.系统函数 ------时域响应，频率响应,
2.系统的因果性和稳定性，判据,
3.信号流图,
4.系统的模拟,
§ 7.1系统函数与系统特性
一,系统函数的极点和零点,
1.连续系统,
H(S)=B(S)/A(S)=
极点,A(S)=0的根,p1,p2,…,p n,H(pi) →∞
零点,B(S)=0的根,?1,?2,…,?m,H(?i)=0
01
1
1
01
1
1
.,,
.,,
asasas
bsbsbsb
n
n
n
m
m
m
m
????
????
?
?
?
?
H(S)=B(S)/A(S)
= =
极点类型, 一阶,实数,虚数,复数,
多阶,实数,虚数,复数,
? ?
? ??
?
?
?
?
?
n
i
i
m
j
jm
ps
sb
1
1
?
? ?? ? ? ?
? ?? ? ? ?n
mm
pspsps
sssb
???
???
...
...
21
121 ???
2.离散系统,
H(Z)=B(Z)/A(Z)
=
? ?
? ??
?
?
?
?
?
n
i
i
m
j
jm
pz
zb
1
1
?
二、极点零点与时域响应的关系,
?
?j
O
α? α
0jω
0jω?
几种典型情况
①极点在左半开平面, ?＞ 0
在实轴上,
一阶极点,p=- ?,H(S)=b/(s+?),h(t)=b
?(t)
二阶极点,p=- ?(二阶 ),H(S)=
h(t)=t,limh(t)=0
t→∞
多阶极点, p=- ?(高阶 ),H(S)=
h(t)= limh(t)=0
t→∞
不在实轴上,
一阶共轭复数,p1,2=-?± j?,h(t)= cos(?t+?)
limh(t)=0
t→∞
二阶共轭复数,p1,2=-?± j?(二阶 ),
h(t)=t cos(?t+?)
limh(t)=0
t→∞
tr et ???1
te ??
te ??
②在虚轴上,
一阶极点,p=0,H(S)=k/s,h(t)=?(t),
limh(t)=有限值
t→∞
一阶共轭,p=± j?,h(t)=cos(?t+?),
limh(t)=有限值
t→∞
二阶,
p=0(二阶 ),H(S)=,h(t)=t?(t),
limh(t) →∞
t→∞
p=± j?(二阶 ),h(t)=tcos(?t+?),
limh(t) →∞
t→∞ t?(t)
t
2s
k
③右半开平面,
实数, p=?,h(t)= limh(t) →∞
t→∞
复数, p=?± j?,h(t)= cos(?t+?)
limh(t) →∞
t→∞
te?
te?
Z平面,
单位圆内,p=-1/3,h(k)= ?(k) →0
单位圆上,p=1,h(k)= ?(k),有限值,
单位圆外,p=2,h(k)= ?(k) →∞
z平面
-1/3 0 1 2
k
?
?
?
?
?
??
3
1
? ?k2
? ?k1
2.离散系统,
O zRe
zj Im
1?1?
极点位置与 h(n)形状的关系
s平面 z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点
虚轴上 等幅 单位圆上 等幅
原点时
左半平面 衰减 单位圆内 减幅
右半平面 增幅 单位圆外 增幅
? ? stu 1? 0?θ ? ? 1?? z znu
利用 z～ s平面的映射关系
1?z
三、极点零点与频域响应的关系,
定义
所谓, 频响特性, 是指系统在正弦信号激励下稳态
响
应随频率的变化情况。
前提：稳定的因果系统。
有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
? ? 0lim ??? tht时域：
频域,H(s)的全部极点落在 s左半平面。
其收敛域包括虚轴：
拉氏变换 存在
傅里叶变换 存在
????
????
? ? ? ? ? ?tωEtesH 0m s i n?，激励源设系统函数为
? ? ? ?000mmm s i n ??? tωHEtr
? ? ? ? 0j00
0
ej
j
?HωH
ωs
sH ??
?
其中
? ? ? ? ? ? ? ?ωωHωHωssH ?jejjj ???
? ?ωH j
? ?ω?
1.H(s)和频响特性的关系
频响特性
系统的稳态响应
—— 幅频特性
—— 相 频特性（相移特性）
2．几种常见的滤波器
O
? ??jH
?
c
? O
? ??jH
?
c
?
O
? ??jH
?
1c
?
2c
? O
? ??jH
?
1c
?
低通滤波器 高通滤波器
带通滤波器 带阻滤波器
通带 阻带
截止频率
2c
?
3.极点零点与频率响应,
1.连续系统,
H(S)=
H(j?)=H(S)︱ s=j? =
矢量分析法, Ai j?
?I ?
pi
︱ pi︱ ?i
0 ?
令 j?-pi= Ai j?-?j=Bj
ije ? j
je ?
H(j?)=
幅频, ︱ H(j?) ︱ =
相位,?(?)=(?1+…+ ?m)-(?1+…+ ?n)
分析, ?从 0~∞
? ?
? ?n
m
j
n
j
mm
eAAA
eBBBb
???
???
???
???
...
21
...
21
21
21
...
...
n
mm
AAA
BBBb
.,,
.,,
21
21
例, R
u1(s) +
- 1/sc u2(s)
H(S)=u2(s)/ u1(s) =
=
scR
sc
1
1
?
RcsRc 1
11
?
极点,p=-1/Rc,左半开平面,
H(j?)=
定量, ︱ H(j?) ︱ =
?(?)=0-arctg
RcjRc 1
11
??
? ? 22 1
11
RcRc ??
Rc1
?
定性, ?从 0~∞变化,︱ H(j?) ︱ =
?(?)=0-?
j?
A j?
?
-1/Rc 0 ?
ARc
11
︱ H(j?) ︱
1
0 ?
?(?)
0 ?
-?/2
例, 全通函数, ︱ H(j?) ︱ =常数
设二阶系统 H(S).左半开平面,有一对极点,
p1,2=-?± j?,
右半开平面,有一对零点,
?1,2=-?± j?
H(S)=
? ?? ?
? ?? ?21
121
psps
ss
??
?? ??
H(j?)=
=
A1=B1,A2 =B2,︱ H(j?) ︱ =B1 B2/ A1 A2=1
结论,凡极点位于左半开平面,零点位于右半
开平面,且所有的零点与极点对于 j?轴
? ?? ?
? ?? ?21
121
pjpj
jj
??
??
??
????
? ?2121
21
21 ???? ???je
AA
BB
为一一镜像对称的系统函数即为全通函数,
例
O σ
RC
1
?
ωj
1
M
1
θ
C
R ??
? ?
? ?tv
1
? ?tv
2
研究下图所示 RC低通滤波
网络的频响特性 。
? ? ? ?? ?ωV ωVωH jjj
1
2?
写出网络转移函数表达式
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
RC
s
RCsV
sV
sH
1
11
1
2
解,
? ?ω
θ V
V
MRC
?j
1
2
j
1
ee11
1
??
频响特性
? ? ? ?ωθ VVMRCωH ?j
1
2
j
1
ee11j
1
??
O σ
RC
1
?
ωj
1
M
1
θ
O
RC
1 ω
1
2
V
V
1
2
1
O
RC
1 ω
? ?ω?
?
45?
?
90?
1
1
2,11 θ
MRCV
V ＝－＝式中,?
处于低通网络，截止频率位 RCω 1?
例
? ?
? ?
? ?
。源，且
是受控电压注意，图中
的频响特性
系统研究右图所示二阶
2211
3
1
2
,
j
j
j
CRCR
kv
ωV
ωV
ωH
RC
??
?
其转移函数为
? ? ? ?? ?
2211
111
2
11
11
CR
s
s
k
CR
sCRsV
sV
sH
?
?
?
???
相当于低通与高通级联构成的带通系统。
解：
低通滤波器 高通滤波器
?
?
1
R
1
C
2
C
2
R
3
kv
?
?
? ?tv
2? ?tv 1
?
?
? ?tv
3
频响特性
O σ
ωj
1M
1?
11
1
CR
?
2M
22
1
CR
?
2? 1
N
1?
0
1
1
1
22
2
11
1
?
??
??
z
CR
p
CR
p
零点：
，极点：
2211 CRCR ??
k
2
k
1
2
V
V
ω
22
1
CR
?
11
1
CR
?
O
?
O
? ?ω?
?
90
?
90?
?
45
?
45?
2.离散系统,
H( )=
=
幅频响应, ︱ H( ) ︱ =
相频响应,?(?)=
Tje ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
n
i
i
Tj
m
j
j
Tj
m
pe
eb
1
1
?
?
?
? ?
? ?n
m
j
n
j
mm
eAAA
eBBBb
???
???
???
???
...
21
...
21
21
21
...
...
?je
n
mm
AAA
BBBb
.,,
.,,
21
21
??
??
?
n
i
i
m
j
j
11
??
Z平面
Bj 1
Ai
?j ? ?I
0 1
Tje ?
? ?nx ? ?ny zs
? ?zH
离散系统
稳定的因果
? ?nx
n
O
ω
? ?
1
s i n θn ωA ?
ω
θ
1
A
? ?ny
zs
n
O
ω
? ?
2
s i n θn ωB ?
ω
θ
2
B
正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系
统的 频率响应 特性。
由系统函数得到频响特性
输出对输入序列的相移
? ? ? ? ? ? ? ?ωωω H
zzHH
?? jj
j
j ee
ee ???
? ? ωH ω ~e j
? ? ωω ~?
离散时间系统在单位圆上的 z变换即为傅氏变换，即系
统的频率响应特性,
输出与输入序列的幅度之比
：幅频特性
：相频特性
? ? DT F T)(e j 的即 nhH ω?
? ? 。为周期函数，其周期为为周期函数，所以 π2 e e jj ωω H?
通过本征函数透视系统的频响特性
? ?nh? ?nx ? ?ny
? ?为稳定的因果系统nh
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??
???
?
m
mnωmhnxnhny je
? ??ny
? ?
为本征函数
设输入 ?nx n?je
n?je ? ?ωH je?
? ???
???
?
m
mωmh jen?je
为输入序列的加权，
体现了系统对信号的处理功能。
是 在单位圆上的动态，
取决于系统的特性。
? ?ωH je
? ?zH? ?ωH je
? ? ??
??
??? mzmhzH )( ? ? ? ?
ωzω zHH jeje ??
单位圆上
离散系统（数字滤波器）的分类
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带通
O ω
s
ω
c
ω
? ?
ω
H
j
e
低通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
高通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带阻
O ω2
s
ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
全通
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
二．频响特性的几何确定法
? ?
? ?
? ?k
N
k
r
M
r
pz
zz
zH
??
??
?
?
?
1
1
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?ωω
k
ω
N
k
r
ω
M
r H
p
z
eH ?? jj
j
1
j
1j ee
e
e
?
??
??
?
?
?
k
r
kk
ω
rr
ω
Bp
Az
?
?
jj
jj
ee
ee
??
??令
? ?
k
N
k
r
M
rω
B
A
H
1
1je
?
?
?
?
?幅频响应
? ? ??
??
??
N
k
k
M
r
r
11
????相位响应
? ?zRe
? ?zImj
1?
1
p
2
p
1
z
2
z
O
1
A
2
A
1
B
2
B
ω
1
?
2
?
1
?
2
?
ω
D
j
e
CE
几点说明
? ?
。零点的作用与极点相反
趋于无穷大。
，则频率响应的峰值＝落在单位圆上，若极点
值附近愈尖锐；
愈短，则频率响应在峰越靠近单位圆，若极点
点可能出现峰值。最短，则频率响应在该
度附近时，如果矢量的长点旋转到某个极点当
应。变化，但会响应相位响
不会使幅度响应发生处加入或去除零极点，因而在
响应不产生作用，处的零点或极点对幅度位于
?
?
?
?
?
??
0
e
0
0
j
ii
ii
i
i
ω
Bp
Bp
B
p
z
z
§ 7.2 系统的稳定性
一,系统的因果性 (物理可实现性 )
1.连续系统,
定义,若 f(t)=0,t＜ 0,则 yf(t)=0,t＜ 0 → 因果
系统
①时域条件,(充要 )
当 h(t)=0,t＜ 0←→ 因果系统
因果系统,?(t)=0,t＜ 0 yf(t)= h(t)=0,t＜ 0
f(t) ←→ 因果
系统
当 h(t)=0,t＜ 0 ;f(t)=0,t＜ 0
yf(t)=h(t)*f(t)=
t＞ 0,yf(t) 存在
= = t＜ 0,yf(t)=0
理想 ︱ H(j?) ︱ h(t)
- ?c 0 - ?c ? 0
? ? ? ? ??? dtfh ?? ?
??
? ? ? ? ??? dtfht ??
0
② s域充要条件,
H(S)的收敛域 Re[s] ＞ ?0 ←→ 因果性
j?
?0 ?
其收敛域为收敛坐标 ?0以右的半平面,即 H(S)
的极点都在收敛轴 Re[s] =?0 的左边,
2.离散系统,
定义,若 f(k)=0,k＜ 0,则 yf(k)=0,k＜ 0
①时域充要条件,h(k)=0,k＜ 0 ←→ 因果系统
② z域充要条件,H(Z)的收敛域︱ Z︱ ＞ ?0
Z平面 ←→ 因果系统
?0
其收敛域为半径等于 ?0的圆外区域,即 H(Z)的
极点都在收敛圆︱ Z︱ =?0的内部,
二,系统的稳定性 (可用性 )
f(t)有界 系统 yf(t)有界
1.连续系统,
定义,若︱ f(t)︱＜ Mf,则︱ yf(t) ︱＜ Mf
←→ 稳定系统
①时域充要条件,
绝对可积 ＜ M←→ 稳定系统
只能保证衰减函数可积 t?
?
??
dtth )(
h(t)
t
因果稳定系统, ＜ M←→ 稳定系统
② s域充要条件,
H(S)的极点在左半开平面 ←→ 稳定系统
H(S)的极点在虚轴上 (一阶 ) ←→ 临界系统
H(S)的极点在虚轴上 (二阶以上 )
H(S)的极点在右半开平面 ←→ 不稳定系统
??0 )( dtth
2.离散系统,
①时域充要条件,
绝对可和, ＜ M←→ 稳定系统
② z域充要条件,
H(Z)的极点在单位圆内 ←→ 稳定系统
H(Z)的极点在单位圆上 (一阶 ) ←→ 临界系统
H(Z)的极点在单位圆上 (二阶 )
H(Z)的极点在单位圆外 ←→ 不稳定系统
?
?
???k
kh )(
三,连续系统的稳定性准则 ——
罗斯 — 霍 尔维兹准则,
H(S)=B(S)/A(S),
A(S)=
H(S)的极点就是 A(S)=0的根，因此为判断系
统是否稳定,即 H(S)的极点是否都在左半开平
面,只需判断 A(S)=0的根,即特征根是否都在
左半开平面,并不须知道各特征根的确切位置,
所有的根均在左半开平面的得多项式称为罗
斯 — 霍 尔维兹多项式,
01
2
2
1
1 asasasasa
n
n
n
n
n
n ????
?
?
?
?
罗斯准则,多项式 A(S)是 霍 尔维兹多项式的充
分和必要条件是罗斯阵列中的第一
列元素均大于零，即如果罗斯阵列
中的第一列元素均为不等于零的正
值,那么 A(S)=0的根都在 s平面的左
半开平面,如果第一列元素的符号不
完全相同,那么变好的的次数就是在
右半开平面根的数目,
罗斯阵列, an an-2 an-4 ….,第 1,3,5项的系数
an-1 an-3 an-5….,第 2,4,6项的系
数
cn-1 cn-3 cn-5…….
dn-1 dn-3 dn-5…….
… … …
cn-1=,cn-3=,……
dn-1=,dn-3 =,……
充要条件,第一列元素大于零
←→ 稳定系统
31
2
1
1
??
?
?
?
nn
nn
n aa
aa
a 51
4
1
1
??
?
?
?
nn
nn
n aa
aa
a
31
31
1
1
??
??
?
?
nn
nn
n cc
aa
c 51
51
1
1
??
??
?
?
nn
nn
n cc
aa
c
例,H(S)= 为使系统稳定,
常数 k满足什么条件？
解, -1 1 3
c2= =(8-k)/3
3 3 1+k
-1 3 1+k
d2= =1+k
(8-k)/3 (8-k)/3 0
ksss ???? 133
1
23
将 H(S)的特征多项式 A(S)的系数排成罗斯阵
列为, 1 3 0 0
3 1+k 0
(8-k)/3 0 0
1+k 0 0
根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为
正值,即, (8-k)/3＞ 0 k＜ 8;
1+k ＞ 0 k ＞ -1;
∴ -1 ＜ k ＜ 8时系统是稳定的,
四,离散系统的稳定性准则 ——
朱里准则,
H(Z)=B(Z)/A(Z),
A(Z)=
要判别离散系统的稳定性,需要判别 H(Z)的
特征方程 A(Z)=0所有根的绝对值是否都小
于 1.朱里提出一种列表的检验方法,称之为
朱里准则,
将 A(Z)的系数排列如下表,
01
2
2
1
1 azazazaza
n
n
n
n
n
n ????
?
?
?
?
an an-1 an-2 …,a 2 a1 a0
a0 a1 a2 …,a n-2 an-1 an
cn-1 cn-2 cn-3 …,c 1 c0
c0 c1 c2 …,c n-2 cn-1
dn-2 dn-3 dn-4 …,d 0
d0 d1 d2 …,d n-2
… … … …,…
r2 r1 r0 ……,第 2n-3行
cn-1= cn-2= cn-3= …
dn-2= dn-3= …
依此类推,一直排到 (2n-3)行,
n
n
aa
aa
0
0
10
1
?n
n
aa
aa
20
2
?n
n
aa
aa
10
01
?
?
n
n
cc
cc
20
11
?
?
n
n
cc
cc
A(Z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是,
A(1) ＞ 0
A(-1) ＞ 0
第一行,an ＞︱ a0︱
第三行,cn-1 ＞︱ c0︱ 稳定
第五行,dn-2＞︱ d0︱
……….
r2 ＞ ︱ r0︱
? ?n1?
对于二阶系统,A(Z)=
其根均在单位圆内的条件是,
A(1) ＞ 0 A(1)=1+1+K ＞ 0,K ＞ -2
A(-1) ＞ 0 A(-1)=1-1+K ＞ 0,K ＞ 0
a2＞︱ a0︱ 1 ＞ ︱ K︱,-1＜ K＜ 1
∴ 0 ＜ K＜ 1时系统是稳定的,
01
2
2 azaza ??
? ?21?
例,系统的特征多项式 A(Z)=
该系统是否稳定,
解,A(1)=4-4+2-1=1 ＞ 0
A(-1)=4+4-2-1=5＞ 0
列表, 4 -4 0 2 -1
-1 2 0 -4 4
第三行 15 -14 0 4
4 0 -14 15
第五行 209 -210 56 ∵ 2n-3=5
1244 34 ??? zzz
? ?41?
由上表可见,
4 ＞ ︱ -1︱
15 ＞ ︱ 4︱
209＞ ︱ 56︱
满足离散系统的稳定性准则,所以该系统
是稳定的,
系统框图 信号流图
§ 7.3 信号流图
利用方框图可以描述系统 （ 连续的或离散的 ）,
比用微分方程或差分方程更为直观 。
线性系统的仿真（模拟）
连续系统 —— 相加、倍乘、积分
离散系统 —— 相加、倍乘、延时
简化
由美国麻省理工学院的梅森 （ Mason） 于 20世纪 50年
代首先提出 。
应用于,反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统
模拟及数字滤波器设计等方面。
一、信号流图方法的主要优点
系统模型的表示简明清楚；
简化系统函数的计算方程。
二．系统的信号流图表示法
? ?sH? ?sX ? ?sY
? ?sH? ?sX ? ?sY
实际上是用一些点和支路来描述系统：
方框图
流图
? ? ? ?sYsX, 称为 结点
线段表示信号传输的路径，称为 支路。
信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，
相当于乘法器。
三．术语定义
结点,表示系统中变量或信号的点。
转移函数,两个结点之间的增益称为转移函数。
支路,连接两个结点之间的定向线段，支路的增
益即为转移函数。
输入结点或源点,只有输出支路的结点，它对应
的是自变量（即输入信号）。
输出信号或阱点,只有输入支路的结点，它对应
的是因变量（即输出信号）。
混合结点,既有输入支路又有输出支路的结点。
通路,沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许
有相反方向支路存在）。
开通路,通路与任一结点相交不多于一次。
环路增益,环路中各支路转移函数的乘积。
闭通路,如果通路的终点就是起点，并且与任何
其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。
不接触环路,两环路之间没有任何公共结点。
前向通路,从输入结点（源点）到输出结点（阱点）
方向的通路上，通过任何结点不多于一次的
全部路径。
前向通路增益,前向通路中，各支路转移函数的乘积。
四．信号流图的性质
? ?sH? ?sX ? ?sY
? ?sH? ?sX ? ?sY
支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，
信号只能沿着支路上的箭头方向通过。
（ 1）
? ? ? ? ? ?sXsHsY ?
（ 2） 结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信
号传送到所有输出支路。 1X
2X
3X
4X
5X
6X
14H
34H?
24H
46H
45H
4X例如结点
（ 3） 具有输入和输出支路的混合结点, 通过增加一个具
有单传输的支路, 可以把它变成输出结点来处理 。 4X
2
Xa b
1
X
3
X ??
d
c 3X ?
1
。是只有输入的输出结点
合结点；既有输入又有输出的混分成两个结点以后，是
实际上是一个结点。和
3
33
X
XX
??
???
（ 4）
流图转置以后, 其转移函数保持不变 。 所谓转置就
是把流图中各支路的信号传输方向调转, 同时把输
入输出结点对换 。
给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于
同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画
出不同的流图。
（ 5）
五．信号流图的代数运算
（ 1）
（ 2）
有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支
路增益 。
1x a 2x 12 axx ?
1x
a
2x
?
3x
b
1x 3x
ab
串联支路的合并
总增益等于各支路增益的乘积。
（ 3） 并联支路的合并：并联相加
（ 4） 混合结点的消除
2x1x
a
b
? 1x 3xba ?
1x
2x
3x
?
4x
1x
2x
4x
ac
bc
a
b
c
（ 5） 环路的消除
?
?
?
?
??
23
312
bxx
cxaxx
因为 ? 313 b c xa b xx ??? 13
1 xbc
abx
??
总结,可以通过如下步骤简化信号流图, 从而求得系
统函数 。
① 串联支路合并, 减少结点；
② 并联支路合并, 减少支路；
③ 消除环路。
2xa ?b
1x
3x
ab
c
1x
3x
bc
bc
ab
?1
1x 3x?
（ 6） 信号流图的梅森增益公式
? ???
k
kkgH
1
?
?
?????
?
?
?
???
???
fed
fed
cb
cb
a
a
LLLLLL
,,,
1
(1
增益乘积之和）（每三个互不接触环路
增益乘积之和）（每两个互不接触环路
）所有不同环路增益之和
式中：
△ —— 称为流图的特征行列式。
—— 表示由源点到阱点之间第 k条前向通
路的标号。
—— 表示由源点到阱点之间的第 条前
向通路的增益。
—— 称为对于第 条前向通路特征行
列式的余因子 。 它是除去与 k条前向通路
相接触的环路外, 余下的特征行列式 。
k?
k
k
kg
k
§ 7.1系统函数与系统特性
§ 7.3 信号流图
§ 7.2 系统的稳定性
LTI,连续系统 离散系统
时域分析, 冲激响应 h(t) 单位响应 h(k)
复频域分析, H(S) H(Z)…,系统函数
频域分析, H(j?) H( )… 频率响应
=H(S) ︱ s=j? =H(Z) ︱ z=
Tje ?
Tje ?
1.系统函数 ------时域响应，频率响应,
2.系统的因果性和稳定性，判据,
3.信号流图,
4.系统的模拟,
§ 7.1系统函数与系统特性
一,系统函数的极点和零点,
1.连续系统,
H(S)=B(S)/A(S)=
极点,A(S)=0的根,p1,p2,…,p n,H(pi) →∞
零点,B(S)=0的根,?1,?2,…,?m,H(?i)=0
01
1
1
01
1
1
.,,
.,,
asasas
bsbsbsb
n
n
n
m
m
m
m
????
????
?
?
?
?
H(S)=B(S)/A(S)
= =
极点类型, 一阶,实数,虚数,复数,
多阶,实数,虚数,复数,
? ?
? ??
?
?
?
?
?
n
i
i
m
j
jm
ps
sb
1
1
?
? ?? ? ? ?
? ?? ? ? ?n
mm
pspsps
sssb
???
???
...
...
21
121 ???
2.离散系统,
H(Z)=B(Z)/A(Z)
=
? ?
? ??
?
?
?
?
?
n
i
i
m
j
jm
pz
zb
1
1
?
二、极点零点与时域响应的关系,
?
?j
O
α? α
0jω
0jω?
几种典型情况
①极点在左半开平面, ?＞ 0
在实轴上,
一阶极点,p=- ?,H(S)=b/(s+?),h(t)=b
?(t)
二阶极点,p=- ?(二阶 ),H(S)=
h(t)=t,limh(t)=0
t→∞
多阶极点, p=- ?(高阶 ),H(S)=
h(t)= limh(t)=0
t→∞
不在实轴上,
一阶共轭复数,p1,2=-?± j?,h(t)= cos(?t+?)
limh(t)=0
t→∞
二阶共轭复数,p1,2=-?± j?(二阶 ),
h(t)=t cos(?t+?)
limh(t)=0
t→∞
tr et ???1
te ??
te ??
②在虚轴上,
一阶极点,p=0,H(S)=k/s,h(t)=?(t),
limh(t)=有限值
t→∞
一阶共轭,p=± j?,h(t)=cos(?t+?),
limh(t)=有限值
t→∞
二阶,
p=0(二阶 ),H(S)=,h(t)=t?(t),
limh(t) →∞
t→∞
p=± j?(二阶 ),h(t)=tcos(?t+?),
limh(t) →∞
t→∞ t?(t)
t
2s
k
③右半开平面,
实数, p=?,h(t)= limh(t) →∞
t→∞
复数, p=?± j?,h(t)= cos(?t+?)
limh(t) →∞
t→∞
te?
te?
Z平面,
单位圆内,p=-1/3,h(k)= ?(k) →0
单位圆上,p=1,h(k)= ?(k),有限值,
单位圆外,p=2,h(k)= ?(k) →∞
z平面
-1/3 0 1 2
k
?
?
?
?
?
??
3
1
? ?k2
? ?k1
2.离散系统,
O zRe
zj Im
1?1?
极点位置与 h(n)形状的关系
s平面 z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点
虚轴上 等幅 单位圆上 等幅
原点时
左半平面 衰减 单位圆内 减幅
右半平面 增幅 单位圆外 增幅
? ? stu 1? 0?θ ? ? 1?? z znu
利用 z～ s平面的映射关系
1?z
三、极点零点与频域响应的关系,
定义
所谓, 频响特性, 是指系统在正弦信号激励下稳态
响
应随频率的变化情况。
前提：稳定的因果系统。
有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
? ? 0lim ??? tht时域：
频域,H(s)的全部极点落在 s左半平面。
其收敛域包括虚轴：
拉氏变换 存在
傅里叶变换 存在
????
????
? ? ? ? ? ?tωEtesH 0m s i n?，激励源设系统函数为
? ? ? ?000mmm s i n ??? tωHEtr
? ? ? ? 0j00
0
ej
j
?HωH
ωs
sH ??
?
其中
? ? ? ? ? ? ? ?ωωHωHωssH ?jejjj ???
? ?ωH j
? ?ω?
1.H(s)和频响特性的关系
频响特性
系统的稳态响应
—— 幅频特性
—— 相 频特性（相移特性）
2．几种常见的滤波器
O
? ??jH
?
c
? O
? ??jH
?
c
?
O
? ??jH
?
1c
?
2c
? O
? ??jH
?
1c
?
低通滤波器 高通滤波器
带通滤波器 带阻滤波器
通带 阻带
截止频率
2c
?
3.极点零点与频率响应,
1.连续系统,
H(S)=
H(j?)=H(S)︱ s=j? =
矢量分析法, Ai j?
?I ?
pi
︱ pi︱ ?i
0 ?
令 j?-pi= Ai j?-?j=Bj
ije ? j
je ?
H(j?)=
幅频, ︱ H(j?) ︱ =
相位,?(?)=(?1+…+ ?m)-(?1+…+ ?n)
分析, ?从 0~∞
? ?
? ?n
m
j
n
j
mm
eAAA
eBBBb
???
???
???
???
...
21
...
21
21
21
...
...
n
mm
AAA
BBBb
.,,
.,,
21
21
例, R
u1(s) +
- 1/sc u2(s)
H(S)=u2(s)/ u1(s) =
=
scR
sc
1
1
?
RcsRc 1
11
?
极点,p=-1/Rc,左半开平面,
H(j?)=
定量, ︱ H(j?) ︱ =
?(?)=0-arctg
RcjRc 1
11
??
? ? 22 1
11
RcRc ??
Rc1
?
定性, ?从 0~∞变化,︱ H(j?) ︱ =
?(?)=0-?
j?
A j?
?
-1/Rc 0 ?
ARc
11
︱ H(j?) ︱
1
0 ?
?(?)
0 ?
-?/2
例, 全通函数, ︱ H(j?) ︱ =常数
设二阶系统 H(S).左半开平面,有一对极点,
p1,2=-?± j?,
右半开平面,有一对零点,
?1,2=-?± j?
H(S)=
? ?? ?
? ?? ?21
121
psps
ss
??
?? ??
H(j?)=
=
A1=B1,A2 =B2,︱ H(j?) ︱ =B1 B2/ A1 A2=1
结论,凡极点位于左半开平面,零点位于右半
开平面,且所有的零点与极点对于 j?轴
? ?? ?
? ?? ?21
121
pjpj
jj
??
??
??
????
? ?2121
21
21 ???? ???je
AA
BB
为一一镜像对称的系统函数即为全通函数,
例
O σ
RC
1
?
ωj
1
M
1
θ
C
R ??
? ?
? ?tv
1
? ?tv
2
研究下图所示 RC低通滤波
网络的频响特性 。
? ? ? ?? ?ωV ωVωH jjj
1
2?
写出网络转移函数表达式
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
RC
s
RCsV
sV
sH
1
11
1
2
解,
? ?ω
θ V
V
MRC
?j
1
2
j
1
ee11
1
??
频响特性
? ? ? ?ωθ VVMRCωH ?j
1
2
j
1
ee11j
1
??
O σ
RC
1
?
ωj
1
M
1
θ
O
RC
1 ω
1
2
V
V
1
2
1
O
RC
1 ω
? ?ω?
?
45?
?
90?
1
1
2,11 θ
MRCV
V ＝－＝式中,?
处于低通网络，截止频率位 RCω 1?
例
? ?
? ?
? ?
。源，且
是受控电压注意，图中
的频响特性
系统研究右图所示二阶
2211
3
1
2
,
j
j
j
CRCR
kv
ωV
ωV
ωH
RC
??
?
其转移函数为
? ? ? ?? ?
2211
111
2
11
11
CR
s
s
k
CR
sCRsV
sV
sH
?
?
?
???
相当于低通与高通级联构成的带通系统。
解：
低通滤波器 高通滤波器
?
?
1
R
1
C
2
C
2
R
3
kv
?
?
? ?tv
2? ?tv 1
?
?
? ?tv
3
频响特性
O σ
ωj
1M
1?
11
1
CR
?
2M
22
1
CR
?
2? 1
N
1?
0
1
1
1
22
2
11
1
?
??
??
z
CR
p
CR
p
零点：
，极点：
2211 CRCR ??
k
2
k
1
2
V
V
ω
22
1
CR
?
11
1
CR
?
O
?
O
? ?ω?
?
90
?
90?
?
45
?
45?
2.离散系统,
H( )=
=
幅频响应, ︱ H( ) ︱ =
相频响应,?(?)=
Tje ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
n
i
i
Tj
m
j
j
Tj
m
pe
eb
1
1
?
?
?
? ?
? ?n
m
j
n
j
mm
eAAA
eBBBb
???
???
???
???
...
21
...
21
21
21
...
...
?je
n
mm
AAA
BBBb
.,,
.,,
21
21
??
??
?
n
i
i
m
j
j
11
??
Z平面
Bj 1
Ai
?j ? ?I
0 1
Tje ?
? ?nx ? ?ny zs
? ?zH
离散系统
稳定的因果
? ?nx
n
O
ω
? ?
1
s i n θn ωA ?
ω
θ
1
A
? ?ny
zs
n
O
ω
? ?
2
s i n θn ωB ?
ω
θ
2
B
正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系
统的 频率响应 特性。
由系统函数得到频响特性
输出对输入序列的相移
? ? ? ? ? ? ? ?ωωω H
zzHH
?? jj
j
j ee
ee ???
? ? ωH ω ~e j
? ? ωω ~?
离散时间系统在单位圆上的 z变换即为傅氏变换，即系
统的频率响应特性,
输出与输入序列的幅度之比
：幅频特性
：相频特性
? ? DT F T)(e j 的即 nhH ω?
? ? 。为周期函数，其周期为为周期函数，所以 π2 e e jj ωω H?
通过本征函数透视系统的频响特性
? ?nh? ?nx ? ?ny
? ?为稳定的因果系统nh
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??
???
?
m
mnωmhnxnhny je
? ??ny
? ?
为本征函数
设输入 ?nx n?je
n?je ? ?ωH je?
? ???
???
?
m
mωmh jen?je
为输入序列的加权，
体现了系统对信号的处理功能。
是 在单位圆上的动态，
取决于系统的特性。
? ?ωH je
? ?zH? ?ωH je
? ? ??
??
??? mzmhzH )( ? ? ? ?
ωzω zHH jeje ??
单位圆上
离散系统（数字滤波器）的分类
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带通
O ω
s
ω
c
ω
? ?
ω
H
j
e
低通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
高通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带阻
O ω2
s
ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
全通
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
二．频响特性的几何确定法
? ?
? ?
? ?k
N
k
r
M
r
pz
zz
zH
??
??
?
?
?
1
1
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?ωω
k
ω
N
k
r
ω
M
r H
p
z
eH ?? jj
j
1
j
1j ee
e
e
?
??
??
?
?
?
k
r
kk
ω
rr
ω
Bp
Az
?
?
jj
jj
ee
ee
??
??令
? ?
k
N
k
r
M
rω
B
A
H
1
1je
?
?
?
?
?幅频响应
? ? ??
??
??
N
k
k
M
r
r
11
????相位响应
? ?zRe
? ?zImj
1?
1
p
2
p
1
z
2
z
O
1
A
2
A
1
B
2
B
ω
1
?
2
?
1
?
2
?
ω
D
j
e
CE
几点说明
? ?
。零点的作用与极点相反
趋于无穷大。
，则频率响应的峰值＝落在单位圆上，若极点
值附近愈尖锐；
愈短，则频率响应在峰越靠近单位圆，若极点
点可能出现峰值。最短，则频率响应在该
度附近时，如果矢量的长点旋转到某个极点当
应。变化，但会响应相位响
不会使幅度响应发生处加入或去除零极点，因而在
响应不产生作用，处的零点或极点对幅度位于
?
?
?
?
?
??
0
e
0
0
j
ii
ii
i
i
ω
Bp
Bp
B
p
z
z
§ 7.2 系统的稳定性
一,系统的因果性 (物理可实现性 )
1.连续系统,
定义,若 f(t)=0,t＜ 0,则 yf(t)=0,t＜ 0 → 因果
系统
①时域条件,(充要 )
当 h(t)=0,t＜ 0←→ 因果系统
因果系统,?(t)=0,t＜ 0 yf(t)= h(t)=0,t＜ 0
f(t) ←→ 因果
系统
当 h(t)=0,t＜ 0 ;f(t)=0,t＜ 0
yf(t)=h(t)*f(t)=
t＞ 0,yf(t) 存在
= = t＜ 0,yf(t)=0
理想 ︱ H(j?) ︱ h(t)
- ?c 0 - ?c ? 0
? ? ? ? ??? dtfh ?? ?
??
? ? ? ? ??? dtfht ??
0
② s域充要条件,
H(S)的收敛域 Re[s] ＞ ?0 ←→ 因果性
j?
?0 ?
其收敛域为收敛坐标 ?0以右的半平面,即 H(S)
的极点都在收敛轴 Re[s] =?0 的左边,
2.离散系统,
定义,若 f(k)=0,k＜ 0,则 yf(k)=0,k＜ 0
①时域充要条件,h(k)=0,k＜ 0 ←→ 因果系统
② z域充要条件,H(Z)的收敛域︱ Z︱ ＞ ?0
Z平面 ←→ 因果系统
?0
其收敛域为半径等于 ?0的圆外区域,即 H(Z)的
极点都在收敛圆︱ Z︱ =?0的内部,
二,系统的稳定性 (可用性 )
f(t)有界 系统 yf(t)有界
1.连续系统,
定义,若︱ f(t)︱＜ Mf,则︱ yf(t) ︱＜ Mf
←→ 稳定系统
①时域充要条件,
绝对可积 ＜ M←→ 稳定系统
只能保证衰减函数可积 t?
?
??
dtth )(
h(t)
t
因果稳定系统, ＜ M←→ 稳定系统
② s域充要条件,
H(S)的极点在左半开平面 ←→ 稳定系统
H(S)的极点在虚轴上 (一阶 ) ←→ 临界系统
H(S)的极点在虚轴上 (二阶以上 )
H(S)的极点在右半开平面 ←→ 不稳定系统
??0 )( dtth
2.离散系统,
①时域充要条件,
绝对可和, ＜ M←→ 稳定系统
② z域充要条件,
H(Z)的极点在单位圆内 ←→ 稳定系统
H(Z)的极点在单位圆上 (一阶 ) ←→ 临界系统
H(Z)的极点在单位圆上 (二阶 )
H(Z)的极点在单位圆外 ←→ 不稳定系统
?
?
???k
kh )(
三,连续系统的稳定性准则 ——
罗斯 — 霍 尔维兹准则,
H(S)=B(S)/A(S),
A(S)=
H(S)的极点就是 A(S)=0的根，因此为判断系
统是否稳定,即 H(S)的极点是否都在左半开平
面,只需判断 A(S)=0的根,即特征根是否都在
左半开平面,并不须知道各特征根的确切位置,
所有的根均在左半开平面的得多项式称为罗
斯 — 霍 尔维兹多项式,
01
2
2
1
1 asasasasa
n
n
n
n
n
n ????
?
?
?
?
罗斯准则,多项式 A(S)是 霍 尔维兹多项式的充
分和必要条件是罗斯阵列中的第一
列元素均大于零，即如果罗斯阵列
中的第一列元素均为不等于零的正
值,那么 A(S)=0的根都在 s平面的左
半开平面,如果第一列元素的符号不
完全相同,那么变好的的次数就是在
右半开平面根的数目,
罗斯阵列, an an-2 an-4 ….,第 1,3,5项的系数
an-1 an-3 an-5….,第 2,4,6项的系
数
cn-1 cn-3 cn-5…….
dn-1 dn-3 dn-5…….
… … …
cn-1=,cn-3=,……
dn-1=,dn-3 =,……
充要条件,第一列元素大于零
←→ 稳定系统
31
2
1
1
??
?
?
?
nn
nn
n aa
aa
a 51
4
1
1
??
?
?
?
nn
nn
n aa
aa
a
31
31
1
1
??
??
?
?
nn
nn
n cc
aa
c 51
51
1
1
??
??
?
?
nn
nn
n cc
aa
c
例,H(S)= 为使系统稳定,
常数 k满足什么条件？
解, -1 1 3
c2= =(8-k)/3
3 3 1+k
-1 3 1+k
d2= =1+k
(8-k)/3 (8-k)/3 0
ksss ???? 133
1
23
将 H(S)的特征多项式 A(S)的系数排成罗斯阵
列为, 1 3 0 0
3 1+k 0
(8-k)/3 0 0
1+k 0 0
根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为
正值,即, (8-k)/3＞ 0 k＜ 8;
1+k ＞ 0 k ＞ -1;
∴ -1 ＜ k ＜ 8时系统是稳定的,
四,离散系统的稳定性准则 ——
朱里准则,
H(Z)=B(Z)/A(Z),
A(Z)=
要判别离散系统的稳定性,需要判别 H(Z)的
特征方程 A(Z)=0所有根的绝对值是否都小
于 1.朱里提出一种列表的检验方法,称之为
朱里准则,
将 A(Z)的系数排列如下表,
01
2
2
1
1 azazazaza
n
n
n
n
n
n ????
?
?
?
?
an an-1 an-2 …,a 2 a1 a0
a0 a1 a2 …,a n-2 an-1 an
cn-1 cn-2 cn-3 …,c 1 c0
c0 c1 c2 …,c n-2 cn-1
dn-2 dn-3 dn-4 …,d 0
d0 d1 d2 …,d n-2
… … … …,…
r2 r1 r0 ……,第 2n-3行
cn-1= cn-2= cn-3= …
dn-2= dn-3= …
依此类推,一直排到 (2n-3)行,
n
n
aa
aa
0
0
10
1
?n
n
aa
aa
20
2
?n
n
aa
aa
10
01
?
?
n
n
cc
cc
20
11
?
?
n
n
cc
cc
A(Z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是,
A(1) ＞ 0
A(-1) ＞ 0
第一行,an ＞︱ a0︱
第三行,cn-1 ＞︱ c0︱ 稳定
第五行,dn-2＞︱ d0︱
……….
r2 ＞ ︱ r0︱
? ?n1?
对于二阶系统,A(Z)=
其根均在单位圆内的条件是,
A(1) ＞ 0 A(1)=1+1+K ＞ 0,K ＞ -2
A(-1) ＞ 0 A(-1)=1-1+K ＞ 0,K ＞ 0
a2＞︱ a0︱ 1 ＞ ︱ K︱,-1＜ K＜ 1
∴ 0 ＜ K＜ 1时系统是稳定的,
01
2
2 azaza ??
? ?21?
例,系统的特征多项式 A(Z)=
该系统是否稳定,
解,A(1)=4-4+2-1=1 ＞ 0
A(-1)=4+4-2-1=5＞ 0
列表, 4 -4 0 2 -1
-1 2 0 -4 4
第三行 15 -14 0 4
4 0 -14 15
第五行 209 -210 56 ∵ 2n-3=5
1244 34 ??? zzz
? ?41?
由上表可见,
4 ＞ ︱ -1︱
15 ＞ ︱ 4︱
209＞ ︱ 56︱
满足离散系统的稳定性准则,所以该系统
是稳定的,
系统框图 信号流图
§ 7.3 信号流图
利用方框图可以描述系统 （ 连续的或离散的 ）,
比用微分方程或差分方程更为直观 。
线性系统的仿真（模拟）
连续系统 —— 相加、倍乘、积分
离散系统 —— 相加、倍乘、延时
简化
由美国麻省理工学院的梅森 （ Mason） 于 20世纪 50年
代首先提出 。
应用于,反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统
模拟及数字滤波器设计等方面。
一、信号流图方法的主要优点
系统模型的表示简明清楚；
简化系统函数的计算方程。
二．系统的信号流图表示法
? ?sH? ?sX ? ?sY
? ?sH? ?sX ? ?sY
实际上是用一些点和支路来描述系统：
方框图
流图
? ? ? ?sYsX, 称为 结点
线段表示信号传输的路径，称为 支路。
信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，
相当于乘法器。
三．术语定义
结点,表示系统中变量或信号的点。
转移函数,两个结点之间的增益称为转移函数。
支路,连接两个结点之间的定向线段，支路的增
益即为转移函数。
输入结点或源点,只有输出支路的结点，它对应
的是自变量（即输入信号）。
输出信号或阱点,只有输入支路的结点，它对应
的是因变量（即输出信号）。
混合结点,既有输入支路又有输出支路的结点。
通路,沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许
有相反方向支路存在）。
开通路,通路与任一结点相交不多于一次。
环路增益,环路中各支路转移函数的乘积。
闭通路,如果通路的终点就是起点，并且与任何
其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。
不接触环路,两环路之间没有任何公共结点。
前向通路,从输入结点（源点）到输出结点（阱点）
方向的通路上，通过任何结点不多于一次的
全部路径。
前向通路增益,前向通路中，各支路转移函数的乘积。
四．信号流图的性质
? ?sH? ?sX ? ?sY
? ?sH? ?sX ? ?sY
支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，
信号只能沿着支路上的箭头方向通过。
（ 1）
? ? ? ? ? ?sXsHsY ?
（ 2） 结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信
号传送到所有输出支路。 1X
2X
3X
4X
5X
6X
14H
34H?
24H
46H
45H
4X例如结点
（ 3） 具有输入和输出支路的混合结点, 通过增加一个具
有单传输的支路, 可以把它变成输出结点来处理 。 4X
2
Xa b
1
X
3
X ??
d
c 3X ?
1
。是只有输入的输出结点
合结点；既有输入又有输出的混分成两个结点以后，是
实际上是一个结点。和
3
33
X
XX
??
???
（ 4）
流图转置以后, 其转移函数保持不变 。 所谓转置就
是把流图中各支路的信号传输方向调转, 同时把输
入输出结点对换 。
给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于
同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画
出不同的流图。
（ 5）
五．信号流图的代数运算
（ 1）
（ 2）
有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支
路增益 。
1x a 2x 12 axx ?
1x
a
2x
?
3x
b
1x 3x
ab
串联支路的合并
总增益等于各支路增益的乘积。
（ 3） 并联支路的合并：并联相加
（ 4） 混合结点的消除
2x1x
a
b
? 1x 3xba ?
1x
2x
3x
?
4x
1x
2x
4x
ac
bc
a
b
c
（ 5） 环路的消除
?
?
?
?
??
23
312
bxx
cxaxx
因为 ? 313 b c xa b xx ??? 13
1 xbc
abx
??
总结,可以通过如下步骤简化信号流图, 从而求得系
统函数 。
① 串联支路合并, 减少结点；
② 并联支路合并, 减少支路；
③ 消除环路。
2xa ?b
1x
3x
ab
c
1x
3x
bc
bc
ab
?1
1x 3x?
（ 6） 信号流图的梅森增益公式
? ???
k
kkgH
1
?
?
?????
?
?
?
???
???
fed
fed
cb
cb
a
a
LLLLLL
,,,
1
(1
增益乘积之和）（每三个互不接触环路
增益乘积之和）（每两个互不接触环路
）所有不同环路增益之和
式中：
△ —— 称为流图的特征行列式。
—— 表示由源点到阱点之间第 k条前向通
路的标号。
—— 表示由源点到阱点之间的第 条前
向通路的增益。
—— 称为对于第 条前向通路特征行
列式的余因子 。 它是除去与 k条前向通路
相接触的环路外, 余下的特征行列式 。
k?
k
k
kg
k
