1
第二章 连续时间系统时域分析法
§ 2.1 引言
§ 2.2 微分方程的式的建立与求解
§ 2.3 系统的冲激响应
§ 2.4卷积的图解和卷积积分限的确定
§ 2.5卷积积分的性质
2010-5-14 2
§ 2.1 引言
2010-5-14 3
系统数学模型的时域表示
时域分析方法,不涉及任何变换，直接求解
系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，
物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基
础。
?
?
?
元一阶微分方程状态变量描述
阶微分方程一元输入输出描述
,
,
N
N
本课程中我们主要讨论 输入、输出描述法 。
2010-5-14 4
系统分析过程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变换域法
利用卷积积分法求解零状态
可利用经典法求零输入
双零法
经典法
解方程
网络拓扑约束根据元件约束列写方程
:
:
,:
经典法,前面电路分析课里已经讨论过, 但与
?(t)有关的问题有待进一步解决 —— h(t)；
卷积积分法, 任意激励下的零状态响应可通过
冲激响应来求 。 (新方法 )
2010-5-14 5
本章主要内容
?线性系统完全响应的求解；
?冲激响应 h(t)的求解；
?卷积的图解说明；
?卷积的性质；
?零状态响应,。
? ? ? ? ? ?thtfty ??zs
2010-5-14 6
§ 2.2 微分方程的式的建立与求解
2010-5-14 7
主要内容
物理系统的模型
微分方程的列写
n 阶线性时不变系统的描述
求解系统微分方程的经典法
复习求解系统微分方程的经典法
2010-5-14 8
?许多实际系统可以用线性系统来模拟。
?若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用
线性常系数微分方程 来描述。
一．微分方程的列写
2010-5-14 9
?根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
?对于电路系统，主要是根据 元件特性约束 和 网
络拓扑约束 列写系统的微分方程。
元件特性约束,表征元件特性的关系式。例如
二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流
的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电
流的关系等等。
网络拓扑约束,由网络结构决定的电压电流约
束关系,KCL,KVL。
2010-5-14 10
二．求解系统微分方程的经典法
分析系统的方法,列写方程，求解方程。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变换域法
利用卷积积分法求解零状态
可利用经典法求解零输入
应零输入响应和零状态响
经典法
解方程
网络拓扑约束根据元件约束列写方程
:
:
,:
求解方程时域 经典法 就是,齐次解 +特解。
2010-5-14 11
齐次解,
由特征方程 →求出特征根 →写出齐次解形式
?
?
n
k
t
k
kA
1
e ? 注意重根情况处理方法。
特 解,
根据微分方程右端函数式形式, 设含待定系
数 的 特 解 函 数式 →代入原方程, 比 较 系数
定出特解 。
经典法
kA
全 解,
齐次解 +特解，由 初始条件 定出齐次解 。
2010-5-14 12
我们一般将激励信号加入的时刻定义为 t=0,
响应为 时的方程的解，初始条件
?? 0t
1
1
2
2
d
)0(d,,
d
)0(d,
d
)0(d,)0(
?
????
?
n
n
t
r
t
r
t
rr ?
初始条件的 确定 是此课程要解决的问题。
2010-5-14 13
三 零输入响应和零状态响应
?起始状态与激励源的等效转换
?系统响应划分
?对系统线性的进一步认识
2010-5-14 14
1．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效
转换。即可以将原始储能看作是激励源。
电容的等效电路 电感的等效电路
外加激励源
系统的完全响应 共同作用的结果
可以看作 起始状态等效激励源
系统的完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
( 线性系统具有叠加性 )
2010-5-14 15
2．系统响应划分
自由响应＋强迫响应
(Natural+forced)
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
暂态响应 +稳态响应
(Transient+Steady-state)
2010-5-14 16
也称固有响应，由系统本身特性决定，与外
加激励形式无关。对应于齐次解。
形式取决于外加激励 。 对应于特解 。
(1)自由响应：
强迫响应：
3、各种系统响应定义
2010-5-14 17
是指激励信号接入一段时间内，完全响应
中暂时出现的有关成分，随着时间 t 增加，它将
消失。
由完全响应中减去暂态响应分量即得稳
态响应分量。
(2)暂态响应：
稳态响应：
2010-5-14 18
没有外加激励信号的作用，只由起始状态
（起始时刻系统储能）所产生的响应。
不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态
等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
(3)零输入响应：
零状态响应：
2010-5-14 19
系统 零输入响应,实际上是求系统方程的齐次解，
由非零的系统状态值 决定的初始值求出
待定系数。
? ? ? ??? 00 LC iv 和
系统 零状态响应,是在激励作用下求系统方程的非齐
次解，由状态值 为零决定的初始值求出待
定系数。
? ? ? ??? 00 LC iv 和
求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出 卷
积积分法 。
? ?t ? 线性时不变系统 ? ?th ? ?te ? ?th ? ?tr
4、求解
系统的零状态响应 =激励与系统冲激响应的卷积，即
? ? ? ? ? ?thtetr ??
2010-5-14 20
系统的初始状态为零，激励为单位冲激信号
作用下的响应，用 表示。)(th
§ 2.3 系统的冲激响应
2010-5-14 21
由于冲激函数及其各阶导数仅在 t=0处作
用，而在 t>0的区间恒为零。也就是说，
激励信号 的作用是在 t=0的瞬间给
系统输入了若干能量，贮存在系统的各
贮能元件中，而在 t>0系统的激励为零，
只有冲激引入的那些贮能在起作用，
)(t?
因而，
系统的冲激响应由上述贮能唯一地确定。
一个特殊的零输入响应时，系统的冲激响应是当 ?? 0t
2010-5-14 22
+
-)(tvs
R
L
)(tiL
列微分方程：
)()()( tvdt tdiLtRi sLL ??
)()()()(,0)0( thtittvi LsL ????,则设 ?
)()()( tdt tdiLtRi LL ???
一、简单电路可直接计算
2010-5-14 23
上式从 到 取积分，得??0t ??0t
? ?? ??? ??00 1)0()0()( LLL LiLidttiR
Liidttiti LLLL
1)0(0)0(0)()( 0
0
???? ???
?
? 且是有限的，由于
电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到 L1
由三要素公式得 )()(1)( thte
Lti
tLR
L ??
? ?
当 时，t ? ?0 ? ( ),t ? 0
此时电路是一个 特殊的零输入响应 。
2010-5-14 24
与 RL电路相对偶，可得 RC电路的冲激响应
)(t? R c
+
_ )(tvc
)(
1
)(
)(
)()(
1
te
c
tv
t
dt
tdv
c
R
tv
t
Rc
c
cc
?
?
?
?
??
2010-5-14 25
二先计算系统的阶跃响应,然后利用冲激
响应 与阶跃响应 的关系求冲激响应)(th )(ts
)(ts
与 的关系（线性时不变系统）)(th )(ts
)()( tst ?? )()( ttstt ??????
2010-5-14 26
)(
)()()(
lim
)(
)()()(
lim
0
0
th
dt
tds
t
ttsts
t
dt
td
t
ttt
t
t
??
?
???
??
?
???
??
??
响应为
激励为 ?
???
dt
tdsth )()( ?
2010-5-14 27
Riii LLL
1)(,0)0()0( ???? ??
R
Lte
Rts
t
??? ? ??? ),()1(1)(
)(1)()1(1)()( teLteRdt tdsth
tt
?? ?? ?? ????
+
-)(tvs
R
L
)(tiL如
0)()1(1),()0()()( ??? ? teRtfttf
t
??? ?故由于
)(1)( teLth L
Rt
???
2010-5-14 28
例：如图所示电路,R1=R2=1?,c=1F,求阶跃
响应和冲激响应
解：先用三要素法求阶跃响应
0)0()0( ?? ?? cc vv?
?
)(tv
+
-)(tvs
1R
2R
c
sRcVvVv 2,1)(,21)0( ?????? ?
2010-5-14 29
冲激响应会少一项
不能不写，否则，注意：求阶跃响应时,)( t?
)(41)(21)(),()211()( 22 tetthtetS
tt
v ???
?? ????
从波形图上也能得到同样的结论：
(0.5)
0.25
h t( )1
0.5
s tv( )
2010-5-14 30
三,从微分方程求解得冲激响应
当已知微分方程时，求解冲激响应有两种方法。
(1)间接法：人为假设描述 n阶连续系统的微分
方程右侧只有一项，为
)()()(')()( 01)1(1)( txtyatyatyatya nnnn ????? ?? ?
)()(),()( 0 thtyttx ?? ?
)()()(')()( 0001)1(01)(0 tthathathatha nnnn ?????? ?? ?
则有
2010-5-14 31
?? 0t当 时，由因果性 0)0()0(')0( )1(000 ???? ???? nhhh ?
为保证等式两边平衡，只能是第 n阶导数项包
含冲激函数 。而且只有一项。这时)(t?
则 n-1阶导数项包含,而 n-2阶导数项包
含 …,
)(t? )(tt?
)(,0)( 0 tht ??
?? 0t
当 时，由于 将是一个 特殊的零
输入响应,它取决于 时的 n个初始条件。
?? 0t
2010-5-14 32
在 t=0处，只有 是不连续的，而其余的如
等都是连续的，因而 的低于 n-1阶导数在 t=0
处是连续的。即
)(t? )(tt?
)(0 th
0)0()0(,0)0(')0(',0)0()0( )2(0)2(0 ?????? ???????? hhhhhh nn ?
注意,…,,, … 是 一族 很有用
的函数。
)(t? )(t? )(tt?
只有 h hn n
0 1 0 10 0( ) ( )( ) ( )? ? ? ??
2010-5-14 33
对上述微分方程两边取积分
?? ? ? ???? ?? ?? ???? ?? 0000 00 00 00)1(01)(0 )()()()( dttdtthadtthadttha nnnn ??
上式左边只第一项不为零，其他项为零
1)]0()0([ )1(0)1(0 ?? ???? nnn hha
n
n
a
h 1)0()1(0 ???
单位冲激信号引起的 t=0+时的 n个初始条件为
2010-5-14 34
一,卷积的图解
能够直观地理解卷积积分的计算过程，
有助于确定更为一般的卷积积分的上下
限。
进一步加深对其物理意义的理解。
§ 2.4卷积的图解和卷积积分限的确定
2010-5-14 35
)()(.2 ?? ?? hh折叠
)(.3 ??th位移
4.相乘
5.积分 求函数 的面积。
x h t( ) ( )? ?? ?
x h t( ) ( )? ?? ?
?
?
??
??????
??
dthx
thtxty
)()(
)()()(
)()(),()( ?? hthxtx ??
求响应，必须：
1.换元（ t??)
ththt
ththt
在时间轴上左移是时，
在时间轴上右移是时，
)()(0
)()(0
??
??
???
???
2010-5-14 36
1
1
t0
)(tx
1 3
0.5
t
)(th
0
1
1
0
)(?x
1 3
0.5
)(?h
0
解,
? ?
)()()()(),( thtxtythtx ??波形如图，求例：已知
2010-5-14 37
-1-3
0.5
)( ??h
0 ? -1+t-3+t
0.5
)( ??th
0 ?
(1)当 -1+t<0即 t<1时，
-1+t-3+t
)( ??th
0 ?
1
1
)(?x
y(t)=0
移动距离 t
前沿坐标 -1+t
两函数 无 公共的非零区域
2010-5-14 38
)( ??th
0 ?
1
1
)(?x
-3+t -1+t
时，即当 21110)2( ?????? tt
)1(5.05.01
)()()(
1
0
1
0
????
??
?
?
??
??
td
dthxty
t
t
?
???
-3+t -1+t
时，即且当 320311)3( ???????? ttt
5.05.01
)()()(
1
0
1
0
???
??
?
?
?
???
d
dthxty
)( ??th
0 ?
1
)(?x
2010-5-14 39
-3+t -1+t
时，即当 43130)4( ?????? tt
)4(5.05.01
)()()(
1
3
1
3
td
dthxty
t
t
????
??
?
?
??
??
?
???
-3+t -1+t
时，即当 413)5( ???? tt
0)( ?ty
)( ??th
0 ?
1
1
)(?x
)( ??th
0 ?
1
1
)(?x
2010-5-14 40
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
?
?
40
43)4(5.0
325.0
21)1(5.0
10
)(
t
tt
t
tt
t
ty
将上述结果整理得：
0.5
1 2 3 4
2010-5-14 41
1
2?0 t
)(tx
解, (1)当 t<0时
1
t0
)(th
1
0
)( ??th )(?x
?2?ty(t)=0
)()()(
),()()],()([s i n)(
thtxty
tethttttx t
??
??
?
????? ?
求
例：设
2
2010-5-14 42
0
1
)( ??th )(?x
?2?
时当 20)2( ??? t
)c o s( s in
2
1
s in
s in)()()(
0
0
)(
0
ttt
t tt
ettdee
dedthxty
??
??
????
???
?
??
??
?????
?
?
0
1
)( ??th )(?x
?2?
时当 2)3( ??t
)1(
2
1
s in)()()(
2
2
0
)(2
0
?
?
?
?
?????
ee
dedthxty
t
t
??
???
?
????
t
t
2010-5-14 43
二,卷积的另一种计算方法
当被卷积函数中有分段连续函数时，
直接用公式
)()()(
)()()()()()(
)()()(),()()(
2121
2211
2211
2
1
tttdtff
dtttftfthtx
tttfthtttftx
tt
t
?????
??????
????
?
?
?
?
??
????
???????
??
2010-5-14 44
用图解来说明。
x t( )
t1 t
h t( )
t2 t
t-t2 ?-t2 t1
2010-5-14 45
)()()(
),()()],
2
()([s in)(
thtxty
tethttttx t
??
???? ?
求
例：设 ?
?
??
)()]2()([s in tettt t ???? ????解：
)()2(s i n)()(s i n tetttett tt ????? ?? ?????
)
2
(s i n)(s i n
2
)(
0
)( ?? ??? ???? t tt t tdetde
?
?? ???????
2010-5-14 46
)]2(s in)(s in[
2
0
???????
?
?? ??? ??? tdetdee ttt
????? ???? deededte tttt c o ss in)(s ins in 0000 ??? ???
???? ttt deee 000 s inc o ss in ???? ???
)c o ss in(21s in
000
ttt eede ??? ???? ???
2010-5-14 47
)
2
(]c o s[ s i n
2
)(]c o ss i n[
2
22
00
?
???
???
?
?
?
?
??
???
??
?
?
tee
e
tee
e
tt
t
tt
t
原卷积式
)2(]c o s[ s i n21)(]c o s[ s i n21 2 ???
?
??????? ?? tteettett tt
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
2
)1(
2
1
2
0)c ot( s in
2
1
00
2
?
?
?
tee
tet
t
t
t
2010-5-14 48
一,卷积代数
(1)交换律 )()()()( txththtx ???
x t( ) h t( ) y t( )
x t( )h t( ) y t( )
如，输入和冲激响
应的函数表达式互
换位置，则零状态
响应不变。
§ 2.5卷积积分的性质
2010-5-14 49
)()(
)()(
))(()(
)()()()(
,
txth
dtxh
dhtx
dthxthtx
t
??
??
???
???
??
?
?
?
?
??
??
?
?
??
???
???
???
?? 有令
证：
2010-5-14 50
(2)分配律
)()()()()]()([)( 2121 thtxthtxththtx ??????
利用卷积的定义比较容易得到
)()()()(
)()()()(
)]()()[()]()([)(
21
21
2121
thtxthtx
dthxdthx
dththxththtx
????
????
??????
? ?
?
?
??
?
??
?
??
??????
????
两个子系统并联
2010-5-14 51
)()( 21 thth ? )(ty
)(tx
)(1 th
)(2 th
)(tx ?
)]()([)()( 21 ththtxty ???
)()( 1 thtx ?
)()( 2 thtx ?
2010-5-14 52
两次卷积运算是二重积分，变换积分次序可得。
)]()([)()()]()([ 2121 ththtxththtx ?????
(3)结合律
两个子系统级联
)(2 th )(ty
)(tx
)(1 th
)()( 21 thth ?
)(tx )(ty
2010-5-14 53
二,卷积的微分与积分
，有设 )()()( thtxty ??
(1)卷积的微分性质
)(')(
)(')()()()('
thtx
dthxdthx
dt
d
ty
??
???? ??
?
??
?
??
??????
)()(')(' thtxty ??同理可证
2010-5-14 54
(2)卷积的积分性质
)()()()()( )1()1()1( thtxthtxty ???? ???
(3)卷积的微积分性质
)(')()()(')( )1()1( thtxthtxty ???? ??
为整数推广为 ithtxty ii )()()( )()( ???
当为正整数时，表示求导数的阶数，当为
负整数时，表示求重积分的次数。
2010-5-14 55
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),i j i jy t x t h t i j? ??
进一步推广为
为整数
注意：应用微积分性质时，被积分的函数应
为可积函数，被求导的函数在 处应
为零值。
???t
时，就不满足。如 1)( ?tx
2010-5-14 56
三,含有冲激函数的卷积
? ??? ???? )()()()()( ttxdtxtx ?????
)()(
)()()()()()(
0 txtx
dtxdtxttx
???
?????
?
?
??
?
??? ?
??
?????????
由第二章第二节，任意信号的分解，记为
2010-5-14 57
)()()()()( 111 ttxdttxtttx ??????? ? ??? ?????进一步有
即：任意函数 与单位冲激函数 的卷
积仍为该函数本身。
x t( ) ?( )t
即,x t t t x t t( ) ( ) ( )? ? ? ??
1 1
即：任意函数 与延迟冲激函数 的
卷积只是把该函数 延迟了时间,而其
波形不变。此性质称为冲激函数的 重现性 。
x t( ) ? ( )t t? 1
x t( ) t1
2010-5-14 58
冲激函数三个常用性质小结：
1.筛选性,(抽样性 )
2.加权性：
3.重现性,(“照相
” )
x t t t x t t( ) ( ) ( )? ? ? ?? 1 1
x t t t x t t t( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?? ?1 1 1
x t t t dt x t( ) ( ) ( )? ? ?
??
?
? 1 1
x t t d x t t( ) ( ) ( )? ? ? ?? ? ? ?
??
?
? 1 1写详细，为
2010-5-14 59
利用微积分性质还可以得到
? ????
??
t
dxttx
txttx
???
?
)()()(
)(')(')(
推广后，有
)()()(
)()()(
1
)(
1
)(
)()(
ttxtttx
txttx
ii
ii
????
??
?
?
利用卷积的性质能大大简化卷积计算。
2010-5-14 60
)(
)(]c os1[)(c os)(s i n
)(]s i n[)]([ s in
)()(s in)(')(s in
)]()('[)(s in)()(
0
t
tttttt
tdtt
dt
d
tttttt
ttttthtx
t
?
???
????
????
???
?
????
??
????
????
?
解：
)()(),()(')(),(s in)( thtxttthtttx ???? 求例：已知 ???
2010-5-14 61
)()()(),( thtxthtx ?如图，求例：已知输入
-2 21
A )(tx
0
)(th
(1) (1)
t t0
0
)()( thtx ?
2 3-1-2
A
t
解：这类题只需
要画图即可。
2010-5-14 62
)()()(),( thtxthtx ?如图，求例：已知输入
)()( Tttx ?? ?
-2T 0
A
t
2T t0
A
)()( Tttx ?? ?
A
2A
0 2T t-2T
)()( thtx ?
a
)(txA
-T
(1) (1))(th
0 T t
0 T t
2010-5-14 63
。各时间段的积分上下限和
图解法确定的波形如图所示，试用和例：已知
)()()()(
)()(
txththtx
thtx
??
2
1
0 t
)(tx
1-1 0
1
t
)(th
解,
0)()(
1,01
??
????
thtx
tt 时，即当
2t-1 t t+1
1
)( ??th )(?x
?
2010-5-14 64
? ??????? 1011,210 ttt 时，即当
t-1 t t+12
1
)( ??th )(?x
?t-1 t t+1
t-1 t t+1
? ?????? 2 131,210 ttt 时，即当
2
1)( ??th )(?x
?t-1 t +1
t-1 t t+1
0)()(3,21 ????? thtxtt 时，即当
0 2
1)( ??th )(?x
?
2010-5-14 65
1 )(?h
)( ??tx
?t-2 t -1 0 1
0)()(
1
??
??
thtx
t 时，当
1 )(?h
)( ??tx
?-1 0 1 t-2 t t-2 t
????? tt 111 时，当
2010-5-14 66
)( ??tx
1 )(?h
?
-1 0 1 t-2 t t-2 t
0)()(3,12 ????? thtxtt 时，即当
1 )(?h
)( ??tx
?-1 0 1 t-2 t t-2 t
? ??????? 1 231,121 ttt 时，即当
2010-5-14 67
)()()()(),()( thtxttthtetx t ??? ?,求例,??
)()(")()("),()()( tethtxtythtxty t ??????? 则设
)()1()()1()( 0 tettdety tt t ??? ?????? ???
)()("),()(' tthtth ?? ??解：
)()(")( tethtx t????
，)()1()()(' 0 tetdety tt ???? ?? ???? ?
2010-5-14 68
例,已知波形如图，求 )()( thtx ?
10
2
1
-1 0t t
)1()1( ??? te t ?
)(tx )(th
)()(),()( )( 111 1 ??????? ?? tethttx t解：
)()()( thtxty ??
)()()( )()( 1111 11 ?????????? ???? tette tt
2010-5-14 69
)()()( )()( 1111 11 ?????????? ???? ttete tt
)()( )()( tdede t ????????? ?? ?? ?????? ??? 11 11 1
)()()( tdede t ?????? ?? ?
?
????
?
??? 1
1
1
1
1
11111111 1 ????????? ??????????? ???? tttt eeeeeede )()()(
11111 1 ?????? ???????? ???? eeeede )()(
)()()( tety t ???? ?11
2010-5-14 70
例,已知波形如图，求 )()( thtx ?
0 1 2 3 t
2
)(tx
0 1 2 3 t
1
-1
)(th
解,直接求卷积比较复杂，利用卷积的性质
及函数与冲激函数的卷积较为简便
如图所示
求积分，得对求导，得对 ),()(),(')( )1( ththtxtx ?
2010-5-14 71
)()()()(' )1( thtxthtx ??? ?卷积 结果如图所示
0 1 2 3 t
(2)
)(' tx
(2)
0 1 2 3 t
1
)()1( th ?
-2
0 1 2 3 t
2 )()( thtx ?
4 5
2010-5-14 72
)()(),()(,)( thtxtethetx tt ???? ? 求例：已知 2
? ??? ?????? dthxthtx )()()()(解：
? ??? ???? ????? dtee t )()(2
ttt edee 23
3
1??? ?
??
??
2010-5-14 73
)()()()( tettttx t ?????? ? 11例：已知：
)( tx 1求
)()()]()([ tet
dt
dtttx
dt
d t ?????? ? 1
2
2
12
2
解：
)()()( tettx t ???? ?1即
)()( tetx t ?? ?1
2010-5-14 74
?
?
)(tvc
+
-)(tvs
R
c
)(
)(),()()(
,,
tv
Vvtetv
FcRRC
c
c
t
s
求电容上响应电压
电容上初始电压
激励电压为电路如图，例：
201
11
3
????
???
??
解,列电路微分方程
)()()( tvtvdt tdvRC scc ??
2010-5-14 75
代入数值
)()()( tvtvdt tdv scc ??
，零输入响应为特征方程的特征根为 1???
0)( ?? ? tketv tc
代入初始条件 2,2)0()0( ??? ?? kvv
cc 故
02)( ?? ? tetv tc z i故
2010-5-14 76
要求零状态响应，须先求得电路的冲激响应
直接法，设 )()( tceth t???
)()()(' tcetceth tt ?? ?? ??
代入微分方程 )()()(' tthth ??? 1?c解得
)()( teth t???
2010-5-14 77
电路的零状态响应电压
)()()1()( 3 tetetv ttc z s ?? ?? ???
)()1(0 )(3 tdeet t ???? ??? ? ???
)()( 20 tdeee tt ???? ??? ?? ?
)(]21[
0
2
0
teee ttt ??? ??? ??
)(]21211[ 3 tee tt ??? ???
全响应
0)(]21211[2 3 ????? ??? tteee ttt ?
)()()( tvtvtv c z sc z ic ??
2010-5-14 78
时，系统的零状态响应求当例：如图所示系统，试 )()( ttx ??
"q 'q q
? ? ?
3?
2?
)(tx )(ty?
2
解,设辅助函数 qqtxq 2'3)(" ???有
qqty ?? '2)(
2010-5-14 79
程为模拟图所对应的微分方
)()('2)(2)('3)(" txtxtytyty ????
要求零状态响应，须先求冲激响应
直接法有
)()()( 221 tececth tt ??? ??
21 21 ???? ??,根是特征方程所对应的特征
)()2()()()(' 22121 tecectccth tt ?? ?? ?????
)()4()()2()(')()(" 2212121 tecectcctccth tt ??? ?? ???????
2010-5-14 80
代入原微分方程整理得
)()('2)()2()(')( 2121 tttcctcc ???? ?????
?
?
?
??
??
12
2
21
21
cc
cc
?
?
?
?
??
3
1
2
1
c
c
)()3()( 2 teeth tt ??? ???
零状态响应为 )()()()()( tththtty ?? ????
)()(3)()( 2 ttette tt ???? ????? ??
?? ????? ?? tt tdetde 0 20 )(3)( ???? ??
2010-5-14 81
)(23)( 020 tete tt ?? ?? ?? ??
)()1(23)()1( 2 tete tt ?? ???? ??
)()2321( 2 tee tt ??? ???
最后，介绍
杜阿密尔积分
y t x t h t x t h t
x t s t
( ) ( ) ( ) ' ( ) ( )
' ( ) ( )
( )? ? ? ?
? ?
? 1
2010-5-14 82
第二章 连续时间系统时域分析法
§ 2.1 引言
§ 2.2 微分方程的式的建立与求解
§ 2.3 系统的冲激响应
§ 2.4卷积的图解和卷积积分限的确定
§ 2.5卷积积分的性质
2010-5-14 2
§ 2.1 引言
2010-5-14 3
系统数学模型的时域表示
时域分析方法,不涉及任何变换，直接求解
系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，
物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基
础。
?
?
?
元一阶微分方程状态变量描述
阶微分方程一元输入输出描述
,
,
N
N
本课程中我们主要讨论 输入、输出描述法 。
2010-5-14 4
系统分析过程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变换域法
利用卷积积分法求解零状态
可利用经典法求零输入
双零法
经典法
解方程
网络拓扑约束根据元件约束列写方程
:
:
,:
经典法,前面电路分析课里已经讨论过, 但与
?(t)有关的问题有待进一步解决 —— h(t)；
卷积积分法, 任意激励下的零状态响应可通过
冲激响应来求 。 (新方法 )
2010-5-14 5
本章主要内容
?线性系统完全响应的求解；
?冲激响应 h(t)的求解；
?卷积的图解说明；
?卷积的性质；
?零状态响应,。
? ? ? ? ? ?thtfty ??zs
2010-5-14 6
§ 2.2 微分方程的式的建立与求解
2010-5-14 7
主要内容
物理系统的模型
微分方程的列写
n 阶线性时不变系统的描述
求解系统微分方程的经典法
复习求解系统微分方程的经典法
2010-5-14 8
?许多实际系统可以用线性系统来模拟。
?若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用
线性常系数微分方程 来描述。
一．微分方程的列写
2010-5-14 9
?根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
?对于电路系统，主要是根据 元件特性约束 和 网
络拓扑约束 列写系统的微分方程。
元件特性约束,表征元件特性的关系式。例如
二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流
的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电
流的关系等等。
网络拓扑约束,由网络结构决定的电压电流约
束关系,KCL,KVL。
2010-5-14 10
二．求解系统微分方程的经典法
分析系统的方法,列写方程，求解方程。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变换域法
利用卷积积分法求解零状态
可利用经典法求解零输入
应零输入响应和零状态响
经典法
解方程
网络拓扑约束根据元件约束列写方程
:
:
,:
求解方程时域 经典法 就是,齐次解 +特解。
2010-5-14 11
齐次解,
由特征方程 →求出特征根 →写出齐次解形式
?
?
n
k
t
k
kA
1
e ? 注意重根情况处理方法。
特 解,
根据微分方程右端函数式形式, 设含待定系
数 的 特 解 函 数式 →代入原方程, 比 较 系数
定出特解 。
经典法
kA
全 解,
齐次解 +特解，由 初始条件 定出齐次解 。
2010-5-14 12
我们一般将激励信号加入的时刻定义为 t=0,
响应为 时的方程的解，初始条件
?? 0t
1
1
2
2
d
)0(d,,
d
)0(d,
d
)0(d,)0(
?
????
?
n
n
t
r
t
r
t
rr ?
初始条件的 确定 是此课程要解决的问题。
2010-5-14 13
三 零输入响应和零状态响应
?起始状态与激励源的等效转换
?系统响应划分
?对系统线性的进一步认识
2010-5-14 14
1．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效
转换。即可以将原始储能看作是激励源。
电容的等效电路 电感的等效电路
外加激励源
系统的完全响应 共同作用的结果
可以看作 起始状态等效激励源
系统的完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
( 线性系统具有叠加性 )
2010-5-14 15
2．系统响应划分
自由响应＋强迫响应
(Natural+forced)
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
暂态响应 +稳态响应
(Transient+Steady-state)
2010-5-14 16
也称固有响应，由系统本身特性决定，与外
加激励形式无关。对应于齐次解。
形式取决于外加激励 。 对应于特解 。
(1)自由响应：
强迫响应：
3、各种系统响应定义
2010-5-14 17
是指激励信号接入一段时间内，完全响应
中暂时出现的有关成分，随着时间 t 增加，它将
消失。
由完全响应中减去暂态响应分量即得稳
态响应分量。
(2)暂态响应：
稳态响应：
2010-5-14 18
没有外加激励信号的作用，只由起始状态
（起始时刻系统储能）所产生的响应。
不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态
等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
(3)零输入响应：
零状态响应：
2010-5-14 19
系统 零输入响应,实际上是求系统方程的齐次解，
由非零的系统状态值 决定的初始值求出
待定系数。
? ? ? ??? 00 LC iv 和
系统 零状态响应,是在激励作用下求系统方程的非齐
次解，由状态值 为零决定的初始值求出待
定系数。
? ? ? ??? 00 LC iv 和
求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出 卷
积积分法 。
? ?t ? 线性时不变系统 ? ?th ? ?te ? ?th ? ?tr
4、求解
系统的零状态响应 =激励与系统冲激响应的卷积，即
? ? ? ? ? ?thtetr ??
2010-5-14 20
系统的初始状态为零，激励为单位冲激信号
作用下的响应，用 表示。)(th
§ 2.3 系统的冲激响应
2010-5-14 21
由于冲激函数及其各阶导数仅在 t=0处作
用，而在 t>0的区间恒为零。也就是说，
激励信号 的作用是在 t=0的瞬间给
系统输入了若干能量，贮存在系统的各
贮能元件中，而在 t>0系统的激励为零，
只有冲激引入的那些贮能在起作用，
)(t?
因而，
系统的冲激响应由上述贮能唯一地确定。
一个特殊的零输入响应时，系统的冲激响应是当 ?? 0t
2010-5-14 22
+
-)(tvs
R
L
)(tiL
列微分方程：
)()()( tvdt tdiLtRi sLL ??
)()()()(,0)0( thtittvi LsL ????,则设 ?
)()()( tdt tdiLtRi LL ???
一、简单电路可直接计算
2010-5-14 23
上式从 到 取积分，得??0t ??0t
? ?? ??? ??00 1)0()0()( LLL LiLidttiR
Liidttiti LLLL
1)0(0)0(0)()( 0
0
???? ???
?
? 且是有限的，由于
电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到 L1
由三要素公式得 )()(1)( thte
Lti
tLR
L ??
? ?
当 时，t ? ?0 ? ( ),t ? 0
此时电路是一个 特殊的零输入响应 。
2010-5-14 24
与 RL电路相对偶，可得 RC电路的冲激响应
)(t? R c
+
_ )(tvc
)(
1
)(
)(
)()(
1
te
c
tv
t
dt
tdv
c
R
tv
t
Rc
c
cc
?
?
?
?
??
2010-5-14 25
二先计算系统的阶跃响应,然后利用冲激
响应 与阶跃响应 的关系求冲激响应)(th )(ts
)(ts
与 的关系（线性时不变系统）)(th )(ts
)()( tst ?? )()( ttstt ??????
2010-5-14 26
)(
)()()(
lim
)(
)()()(
lim
0
0
th
dt
tds
t
ttsts
t
dt
td
t
ttt
t
t
??
?
???
??
?
???
??
??
响应为
激励为 ?
???
dt
tdsth )()( ?
2010-5-14 27
Riii LLL
1)(,0)0()0( ???? ??
R
Lte
Rts
t
??? ? ??? ),()1(1)(
)(1)()1(1)()( teLteRdt tdsth
tt
?? ?? ?? ????
+
-)(tvs
R
L
)(tiL如
0)()1(1),()0()()( ??? ? teRtfttf
t
??? ?故由于
)(1)( teLth L
Rt
???
2010-5-14 28
例：如图所示电路,R1=R2=1?,c=1F,求阶跃
响应和冲激响应
解：先用三要素法求阶跃响应
0)0()0( ?? ?? cc vv?
?
)(tv
+
-)(tvs
1R
2R
c
sRcVvVv 2,1)(,21)0( ?????? ?
2010-5-14 29
冲激响应会少一项
不能不写，否则，注意：求阶跃响应时,)( t?
)(41)(21)(),()211()( 22 tetthtetS
tt
v ???
?? ????
从波形图上也能得到同样的结论：
(0.5)
0.25
h t( )1
0.5
s tv( )
2010-5-14 30
三,从微分方程求解得冲激响应
当已知微分方程时，求解冲激响应有两种方法。
(1)间接法：人为假设描述 n阶连续系统的微分
方程右侧只有一项，为
)()()(')()( 01)1(1)( txtyatyatyatya nnnn ????? ?? ?
)()(),()( 0 thtyttx ?? ?
)()()(')()( 0001)1(01)(0 tthathathatha nnnn ?????? ?? ?
则有
2010-5-14 31
?? 0t当 时，由因果性 0)0()0(')0( )1(000 ???? ???? nhhh ?
为保证等式两边平衡，只能是第 n阶导数项包
含冲激函数 。而且只有一项。这时)(t?
则 n-1阶导数项包含,而 n-2阶导数项包
含 …,
)(t? )(tt?
)(,0)( 0 tht ??
?? 0t
当 时，由于 将是一个 特殊的零
输入响应,它取决于 时的 n个初始条件。
?? 0t
2010-5-14 32
在 t=0处，只有 是不连续的，而其余的如
等都是连续的，因而 的低于 n-1阶导数在 t=0
处是连续的。即
)(t? )(tt?
)(0 th
0)0()0(,0)0(')0(',0)0()0( )2(0)2(0 ?????? ???????? hhhhhh nn ?
注意,…,,, … 是 一族 很有用
的函数。
)(t? )(t? )(tt?
只有 h hn n
0 1 0 10 0( ) ( )( ) ( )? ? ? ??
2010-5-14 33
对上述微分方程两边取积分
?? ? ? ???? ?? ?? ???? ?? 0000 00 00 00)1(01)(0 )()()()( dttdtthadtthadttha nnnn ??
上式左边只第一项不为零，其他项为零
1)]0()0([ )1(0)1(0 ?? ???? nnn hha
n
n
a
h 1)0()1(0 ???
单位冲激信号引起的 t=0+时的 n个初始条件为
2010-5-14 34
一,卷积的图解
能够直观地理解卷积积分的计算过程，
有助于确定更为一般的卷积积分的上下
限。
进一步加深对其物理意义的理解。
§ 2.4卷积的图解和卷积积分限的确定
2010-5-14 35
)()(.2 ?? ?? hh折叠
)(.3 ??th位移
4.相乘
5.积分 求函数 的面积。
x h t( ) ( )? ?? ?
x h t( ) ( )? ?? ?
?
?
??
??????
??
dthx
thtxty
)()(
)()()(
)()(),()( ?? hthxtx ??
求响应，必须：
1.换元（ t??)
ththt
ththt
在时间轴上左移是时，
在时间轴上右移是时，
)()(0
)()(0
??
??
???
???
2010-5-14 36
1
1
t0
)(tx
1 3
0.5
t
)(th
0
1
1
0
)(?x
1 3
0.5
)(?h
0
解,
? ?
)()()()(),( thtxtythtx ??波形如图，求例：已知
2010-5-14 37
-1-3
0.5
)( ??h
0 ? -1+t-3+t
0.5
)( ??th
0 ?
(1)当 -1+t<0即 t<1时，
-1+t-3+t
)( ??th
0 ?
1
1
)(?x
y(t)=0
移动距离 t
前沿坐标 -1+t
两函数 无 公共的非零区域
2010-5-14 38
)( ??th
0 ?
1
1
)(?x
-3+t -1+t
时，即当 21110)2( ?????? tt
)1(5.05.01
)()()(
1
0
1
0
????
??
?
?
??
??
td
dthxty
t
t
?
???
-3+t -1+t
时，即且当 320311)3( ???????? ttt
5.05.01
)()()(
1
0
1
0
???
??
?
?
?
???
d
dthxty
)( ??th
0 ?
1
)(?x
2010-5-14 39
-3+t -1+t
时，即当 43130)4( ?????? tt
)4(5.05.01
)()()(
1
3
1
3
td
dthxty
t
t
????
??
?
?
??
??
?
???
-3+t -1+t
时，即当 413)5( ???? tt
0)( ?ty
)( ??th
0 ?
1
1
)(?x
)( ??th
0 ?
1
1
)(?x
2010-5-14 40
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
?
?
40
43)4(5.0
325.0
21)1(5.0
10
)(
t
tt
t
tt
t
ty
将上述结果整理得：
0.5
1 2 3 4
2010-5-14 41
1
2?0 t
)(tx
解, (1)当 t<0时
1
t0
)(th
1
0
)( ??th )(?x
?2?ty(t)=0
)()()(
),()()],()([s i n)(
thtxty
tethttttx t
??
??
?
????? ?
求
例：设
2
2010-5-14 42
0
1
)( ??th )(?x
?2?
时当 20)2( ??? t
)c o s( s in
2
1
s in
s in)()()(
0
0
)(
0
ttt
t tt
ettdee
dedthxty
??
??
????
???
?
??
??
?????
?
?
0
1
)( ??th )(?x
?2?
时当 2)3( ??t
)1(
2
1
s in)()()(
2
2
0
)(2
0
?
?
?
?
?????
ee
dedthxty
t
t
??
???
?
????
t
t
2010-5-14 43
二,卷积的另一种计算方法
当被卷积函数中有分段连续函数时，
直接用公式
)()()(
)()()()()()(
)()()(),()()(
2121
2211
2211
2
1
tttdtff
dtttftfthtx
tttfthtttftx
tt
t
?????
??????
????
?
?
?
?
??
????
???????
??
2010-5-14 44
用图解来说明。
x t( )
t1 t
h t( )
t2 t
t-t2 ?-t2 t1
2010-5-14 45
)()()(
),()()],
2
()([s in)(
thtxty
tethttttx t
??
???? ?
求
例：设 ?
?
??
)()]2()([s in tettt t ???? ????解：
)()2(s i n)()(s i n tetttett tt ????? ?? ?????
)
2
(s i n)(s i n
2
)(
0
)( ?? ??? ???? t tt t tdetde
?
?? ???????
2010-5-14 46
)]2(s in)(s in[
2
0
???????
?
?? ??? ??? tdetdee ttt
????? ???? deededte tttt c o ss in)(s ins in 0000 ??? ???
???? ttt deee 000 s inc o ss in ???? ???
)c o ss in(21s in
000
ttt eede ??? ???? ???
2010-5-14 47
)
2
(]c o s[ s i n
2
)(]c o ss i n[
2
22
00
?
???
???
?
?
?
?
??
???
??
?
?
tee
e
tee
e
tt
t
tt
t
原卷积式
)2(]c o s[ s i n21)(]c o s[ s i n21 2 ???
?
??????? ?? tteettett tt
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
2
)1(
2
1
2
0)c ot( s in
2
1
00
2
?
?
?
tee
tet
t
t
t
2010-5-14 48
一,卷积代数
(1)交换律 )()()()( txththtx ???
x t( ) h t( ) y t( )
x t( )h t( ) y t( )
如，输入和冲激响
应的函数表达式互
换位置，则零状态
响应不变。
§ 2.5卷积积分的性质
2010-5-14 49
)()(
)()(
))(()(
)()()()(
,
txth
dtxh
dhtx
dthxthtx
t
??
??
???
???
??
?
?
?
?
??
??
?
?
??
???
???
???
?? 有令
证：
2010-5-14 50
(2)分配律
)()()()()]()([)( 2121 thtxthtxththtx ??????
利用卷积的定义比较容易得到
)()()()(
)()()()(
)]()()[()]()([)(
21
21
2121
thtxthtx
dthxdthx
dththxththtx
????
????
??????
? ?
?
?
??
?
??
?
??
??????
????
两个子系统并联
2010-5-14 51
)()( 21 thth ? )(ty
)(tx
)(1 th
)(2 th
)(tx ?
)]()([)()( 21 ththtxty ???
)()( 1 thtx ?
)()( 2 thtx ?
2010-5-14 52
两次卷积运算是二重积分，变换积分次序可得。
)]()([)()()]()([ 2121 ththtxththtx ?????
(3)结合律
两个子系统级联
)(2 th )(ty
)(tx
)(1 th
)()( 21 thth ?
)(tx )(ty
2010-5-14 53
二,卷积的微分与积分
，有设 )()()( thtxty ??
(1)卷积的微分性质
)(')(
)(')()()()('
thtx
dthxdthx
dt
d
ty
??
???? ??
?
??
?
??
??????
)()(')(' thtxty ??同理可证
2010-5-14 54
(2)卷积的积分性质
)()()()()( )1()1()1( thtxthtxty ???? ???
(3)卷积的微积分性质
)(')()()(')( )1()1( thtxthtxty ???? ??
为整数推广为 ithtxty ii )()()( )()( ???
当为正整数时，表示求导数的阶数，当为
负整数时，表示求重积分的次数。
2010-5-14 55
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),i j i jy t x t h t i j? ??
进一步推广为
为整数
注意：应用微积分性质时，被积分的函数应
为可积函数，被求导的函数在 处应
为零值。
???t
时，就不满足。如 1)( ?tx
2010-5-14 56
三,含有冲激函数的卷积
? ??? ???? )()()()()( ttxdtxtx ?????
)()(
)()()()()()(
0 txtx
dtxdtxttx
???
?????
?
?
??
?
??? ?
??
?????????
由第二章第二节，任意信号的分解，记为
2010-5-14 57
)()()()()( 111 ttxdttxtttx ??????? ? ??? ?????进一步有
即：任意函数 与单位冲激函数 的卷
积仍为该函数本身。
x t( ) ?( )t
即,x t t t x t t( ) ( ) ( )? ? ? ??
1 1
即：任意函数 与延迟冲激函数 的
卷积只是把该函数 延迟了时间,而其
波形不变。此性质称为冲激函数的 重现性 。
x t( ) ? ( )t t? 1
x t( ) t1
2010-5-14 58
冲激函数三个常用性质小结：
1.筛选性,(抽样性 )
2.加权性：
3.重现性,(“照相
” )
x t t t x t t( ) ( ) ( )? ? ? ?? 1 1
x t t t x t t t( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?? ?1 1 1
x t t t dt x t( ) ( ) ( )? ? ?
??
?
? 1 1
x t t d x t t( ) ( ) ( )? ? ? ?? ? ? ?
??
?
? 1 1写详细，为
2010-5-14 59
利用微积分性质还可以得到
? ????
??
t
dxttx
txttx
???
?
)()()(
)(')(')(
推广后，有
)()()(
)()()(
1
)(
1
)(
)()(
ttxtttx
txttx
ii
ii
????
??
?
?
利用卷积的性质能大大简化卷积计算。
2010-5-14 60
)(
)(]c os1[)(c os)(s i n
)(]s i n[)]([ s in
)()(s in)(')(s in
)]()('[)(s in)()(
0
t
tttttt
tdtt
dt
d
tttttt
ttttthtx
t
?
???
????
????
???
?
????
??
????
????
?
解：
)()(),()(')(),(s in)( thtxttthtttx ???? 求例：已知 ???
2010-5-14 61
)()()(),( thtxthtx ?如图，求例：已知输入
-2 21
A )(tx
0
)(th
(1) (1)
t t0
0
)()( thtx ?
2 3-1-2
A
t
解：这类题只需
要画图即可。
2010-5-14 62
)()()(),( thtxthtx ?如图，求例：已知输入
)()( Tttx ?? ?
-2T 0
A
t
2T t0
A
)()( Tttx ?? ?
A
2A
0 2T t-2T
)()( thtx ?
a
)(txA
-T
(1) (1))(th
0 T t
0 T t
2010-5-14 63
。各时间段的积分上下限和
图解法确定的波形如图所示，试用和例：已知
)()()()(
)()(
txththtx
thtx
??
2
1
0 t
)(tx
1-1 0
1
t
)(th
解,
0)()(
1,01
??
????
thtx
tt 时，即当
2t-1 t t+1
1
)( ??th )(?x
?
2010-5-14 64
? ??????? 1011,210 ttt 时，即当
t-1 t t+12
1
)( ??th )(?x
?t-1 t t+1
t-1 t t+1
? ?????? 2 131,210 ttt 时，即当
2
1)( ??th )(?x
?t-1 t +1
t-1 t t+1
0)()(3,21 ????? thtxtt 时，即当
0 2
1)( ??th )(?x
?
2010-5-14 65
1 )(?h
)( ??tx
?t-2 t -1 0 1
0)()(
1
??
??
thtx
t 时，当
1 )(?h
)( ??tx
?-1 0 1 t-2 t t-2 t
????? tt 111 时，当
2010-5-14 66
)( ??tx
1 )(?h
?
-1 0 1 t-2 t t-2 t
0)()(3,12 ????? thtxtt 时，即当
1 )(?h
)( ??tx
?-1 0 1 t-2 t t-2 t
? ??????? 1 231,121 ttt 时，即当
2010-5-14 67
)()()()(),()( thtxttthtetx t ??? ?,求例,??
)()(")()("),()()( tethtxtythtxty t ??????? 则设
)()1()()1()( 0 tettdety tt t ??? ?????? ???
)()("),()(' tthtth ?? ??解：
)()(")( tethtx t????
，)()1()()(' 0 tetdety tt ???? ?? ???? ?
2010-5-14 68
例,已知波形如图，求 )()( thtx ?
10
2
1
-1 0t t
)1()1( ??? te t ?
)(tx )(th
)()(),()( )( 111 1 ??????? ?? tethttx t解：
)()()( thtxty ??
)()()( )()( 1111 11 ?????????? ???? tette tt
2010-5-14 69
)()()( )()( 1111 11 ?????????? ???? ttete tt
)()( )()( tdede t ????????? ?? ?? ?????? ??? 11 11 1
)()()( tdede t ?????? ?? ?
?
????
?
??? 1
1
1
1
1
11111111 1 ????????? ??????????? ???? tttt eeeeeede )()()(
11111 1 ?????? ???????? ???? eeeede )()(
)()()( tety t ???? ?11
2010-5-14 70
例,已知波形如图，求 )()( thtx ?
0 1 2 3 t
2
)(tx
0 1 2 3 t
1
-1
)(th
解,直接求卷积比较复杂，利用卷积的性质
及函数与冲激函数的卷积较为简便
如图所示
求积分，得对求导，得对 ),()(),(')( )1( ththtxtx ?
2010-5-14 71
)()()()(' )1( thtxthtx ??? ?卷积 结果如图所示
0 1 2 3 t
(2)
)(' tx
(2)
0 1 2 3 t
1
)()1( th ?
-2
0 1 2 3 t
2 )()( thtx ?
4 5
2010-5-14 72
)()(),()(,)( thtxtethetx tt ???? ? 求例：已知 2
? ??? ?????? dthxthtx )()()()(解：
? ??? ???? ????? dtee t )()(2
ttt edee 23
3
1??? ?
??
??
2010-5-14 73
)()()()( tettttx t ?????? ? 11例：已知：
)( tx 1求
)()()]()([ tet
dt
dtttx
dt
d t ?????? ? 1
2
2
12
2
解：
)()()( tettx t ???? ?1即
)()( tetx t ?? ?1
2010-5-14 74
?
?
)(tvc
+
-)(tvs
R
c
)(
)(),()()(
,,
tv
Vvtetv
FcRRC
c
c
t
s
求电容上响应电压
电容上初始电压
激励电压为电路如图，例：
201
11
3
????
???
??
解,列电路微分方程
)()()( tvtvdt tdvRC scc ??
2010-5-14 75
代入数值
)()()( tvtvdt tdv scc ??
，零输入响应为特征方程的特征根为 1???
0)( ?? ? tketv tc
代入初始条件 2,2)0()0( ??? ?? kvv
cc 故
02)( ?? ? tetv tc z i故
2010-5-14 76
要求零状态响应，须先求得电路的冲激响应
直接法，设 )()( tceth t???
)()()(' tcetceth tt ?? ?? ??
代入微分方程 )()()(' tthth ??? 1?c解得
)()( teth t???
2010-5-14 77
电路的零状态响应电压
)()()1()( 3 tetetv ttc z s ?? ?? ???
)()1(0 )(3 tdeet t ???? ??? ? ???
)()( 20 tdeee tt ???? ??? ?? ?
)(]21[
0
2
0
teee ttt ??? ??? ??
)(]21211[ 3 tee tt ??? ???
全响应
0)(]21211[2 3 ????? ??? tteee ttt ?
)()()( tvtvtv c z sc z ic ??
2010-5-14 78
时，系统的零状态响应求当例：如图所示系统，试 )()( ttx ??
"q 'q q
? ? ?
3?
2?
)(tx )(ty?
2
解,设辅助函数 qqtxq 2'3)(" ???有
qqty ?? '2)(
2010-5-14 79
程为模拟图所对应的微分方
)()('2)(2)('3)(" txtxtytyty ????
要求零状态响应，须先求冲激响应
直接法有
)()()( 221 tececth tt ??? ??
21 21 ???? ??,根是特征方程所对应的特征
)()2()()()(' 22121 tecectccth tt ?? ?? ?????
)()4()()2()(')()(" 2212121 tecectcctccth tt ??? ?? ???????
2010-5-14 80
代入原微分方程整理得
)()('2)()2()(')( 2121 tttcctcc ???? ?????
?
?
?
??
??
12
2
21
21
cc
cc
?
?
?
?
??
3
1
2
1
c
c
)()3()( 2 teeth tt ??? ???
零状态响应为 )()()()()( tththtty ?? ????
)()(3)()( 2 ttette tt ???? ????? ??
?? ????? ?? tt tdetde 0 20 )(3)( ???? ??
2010-5-14 81
)(23)( 020 tete tt ?? ?? ?? ??
)()1(23)()1( 2 tete tt ?? ???? ??
)()2321( 2 tee tt ??? ???
最后，介绍
杜阿密尔积分
y t x t h t x t h t
x t s t
( ) ( ) ( ) ' ( ) ( )
' ( ) ( )
( )? ? ? ?
? ?
? 1
2010-5-14 82
