第七章 系统函数 系统分类： 连续系统 离散系统 分析方法：时域： h(t) h(k) 冲击响应/单位响应 　　　　　↑逆　　　　 ↑逆　 复频域: H(s) H(z) 系统函数H(·) 　　　　↓s = jw　　　↓z = 频域: H(jw) H() 频率响应 系统的研究: 系统分析: 给定系统→H(·)→系统的特性 系统综合: 给定要求(如幅频特性)→确定结构和参数→H(·) 本章是在前几章的基础上加以概括和引伸 主要内容: 一 H(·)与系统的特性(时域响应、频域响应) 二 系统的因果性和稳定性及判别准则 三 信号流图 四 系统模拟。 由系统函数→框图 § 7.1 系统函数与系统特性 一 H(·)的零点与极点 H(·)= 极点：A(·)=0的根，，H()→∞ 零点：B(·)=0的根，，H()=0 类型：实数、共轭虚数、共轭复数，一阶或二阶 二 H(·)与时域的响应关系： H(·) h(·) 1 连续系统: H(s) h(t) 以虚轴为界 结论： H(s)的极点位置→h(t)的函数形式  极点在左半开平面→h(t)是衰减的，h(t)|→0， 系统是稳定的  虚轴上的一阶极点→h(t)是幅度稳定，临界稳定  极点在右半开，和虚轴上二阶以上→h(t)是增长的， 系统不稳定 稳定性：若输入有界，则输出有界。若|f(·)|＜∞，则| yf(·)|＜∞ 2 离散系统：H(z) h(k) 以单位圆为界 结论： H(z)的极点位置→h(k)的序列形式  极点在单位圆内→h(k)是衰减的，k→∞，h(k)→0 系统是稳定的  单位圆上的一阶极点→h(k)是幅度稳定，临界稳定  极点在单位圆外，和单位圆上二阶以上→h(k)是增长的， 系统不稳定 三 极、零点与频率响应的关系： 1 连续系统 H (s)= 设极点都在左半开平面，收敛域含虚轴 H (jω)= H (s)|s=jw = 画幅频、相频特性 下面用矢量分析法分析，主要是定性分析其变化规律 矢量：pi | pi | jω 　|ω| 差矢量： jω- pi 幅角 幅角  令 jω- pi =A i  jω-ζi =Bj  H (jω)== H (ω)= =()- () ω从0～∞时，可得到其幅频特性和相频特性曲线 例7.1-1 研究RC低通网络电压转移函数的频率响应H(jω)= 解：H (s)== 极点S= -  H (jω)= 令 A= θ=arctgωcR H (ω)= =0-θ= - arctgωcR 定性分析：ω从0～∞时，A 单调增大，θ从0～ H (ω)单调下降，从0～ -  例7.1-2 典型的二阶系统，RLC串联电路，求动点导纳y(s)=的频率特性 解：H (s) == 设α＞0，ω02 ＞α2 零点：s=0 极点：p1，2 = -=- 其中： 衰减因素   谐振角频率 只讨论α＜ω0时的频率响应，先画极、零图  H (jω)== H (ω) =  定性分析：ω从0～∞  ω=0 B=0，A1=A=ω   y (ω)=0  ω↑ B和A2↑ A1↓ ↑  y (ω) ↑ ↓  ω=ω0 y (ω)=为极大值   ω↑ B、A2、A1↑ y (ω) ↓ ↑ ↓ ω→∞ y (ω)→0   全通函数： |H(jω)|为常数 设有二阶系统H(s)，左半平面有一对极点p1，2 = - 右半平面有一队零点ξ1，2 =  H(s)=  H(jω)== 由图：对所有ω，有A1= B1 A2 =B2 ∴ |H(jω)|= =1 结论：凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，且以jω轴镜像对称，此系统函数即为全通函数 最小相移函数 零点位于左半开平面的系统函数，其相频特性最小 一阶 p1，2 =  H(z)= 共轭极点 h(k)=2|k1|cos (βk+θ)·u (k) 二阶实或共轭： h(k)= Ck·u (k) k↑ h(k)↑ （二阶以上同） h(k)=Ckcos (βk+θ)·u (k) k→∞ h(k)→∞ (3) 极点在单位圆外：|a|＞1 一阶实极点 p=a，h(k)=ak·u (k) k↑ 一阶共轭极点：p=a h(k)=C ak cos (βk+θ)·u (k) h(k)↑ 高阶情况同上 结论： A H(z)的零、极点决定 h(k) 形式由极点决定 幅度和相角由零、极点共同决定 B 单位圆内的极点，h(k)为衰减序列，k→∞ h(k)→0，暂态分量 C 单位圆上的一阶极点，h(k)为等幅序列，k→∞ h(k)有限值，稳态分量 D 单位圆上的二阶及以上极点 h(k)为等幅序列 单位圆外的极点 k→∞ h(k)→∞ 2 离散系统：H(z)零、极点H()关系 H(z)= 若极点均为单位圆内，收敛域含单位圆 频率响应：H()== = =Hd(ω)  幅频：Hd(ω)= H()= 相频：=()- () 分析：ωT从0～2π，即ω从0～，z由z=1沿单位圆逆时针方向旋转一周。Hd(ω)、随之变化 H(z)== ，求频率响应 解：极点z=0.5＜1，收敛域含单位圆，|z|＞0.5，零点z=-1 1 定量： H()= = =  B==  A==  Hd(ω)= = 是ω的函数，ω从0～， = 可逐点画出曲线 2 定性分析：   ω=0，A=0.5， B=2， Hd(ω)= =ψ ψ=θ=0 =0 0＜ω＜，A单调↑，B单调↓，Hd(ω)= 单调↓ ψ、θ均↑，但ψ＜θ，=ψ-θ＜0  ω=，A=1.5，B=0， Hd(ω)=0 ψ=， θ=π， =-π= -  ＜ω＜，A↓，B↑，Hd(ω)= ↑ ψ、θ均↑，但二者差值↓，↑ ω=，回到起始点ω=0 特点：幅频和相频特性都以ω=周期性的重复 例2： 二阶系统的频率特性 解：H(z)= 零点：ξ=1+j ξ* =1-j 极点： p= p*= 四个零、极点的关系：ξ=，ξ* = 互为共轭倒数 H() =  =  = =4· = 4· Hd(ω) = 4· = 4 -= 分析：Hd(ω)与ω取值无关，始终为4，是全通系统 结论：零点与极点镜像对称于单位圆，ξi=→全通离散系统 § 7.2 系统的因果性和稳定性 一 系统的因果性（物理可实现性） 因果系统是激励加入之前不会出现响应的系统。 若f(·)＜0，t＜0，则yf(·)=0，t＜0 1 连续系统 定义：设激励f(t)=0，t＜0，如有y(t)=0，t＜0，则称为因果系统  时域充要条件：系统的冲击响应h(t)=0，t＜0  s域：H(s)的条件：H(s)的收敛域是σ＞σ0，即收敛坐标σ0以右的半平面；或因果系统的H(s)的极点都在收敛轴 s=σ0的左边。 ∵H(s)=[h(t)]，对单边拉氏变换，Re[s] ＞σ0。对无σ0具体要求。 2 离散系统： 定义：设激励f(k)=0，k＜0，如有y(k)=0，k＜0，则称为因果系统  时域充要条件：系统的单位响应h(k)=0，k＜0  z域：H(z)的约束：H(z)的收敛域是|z|＞ρ0，即为收敛圆ρ0的圆外区域。 二 系统的稳定性（可用性）： 稳定系统：如果对任意的有界输入，系统的零状态响应也是有界的，则称为稳定系统 例：H(s)= u (s)=  yf(s)=  yf(t)=[1-]·u (t) 稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。 系统的冲击响应h(t)或系统函数H(s)集中表现了系统的本性，它们也反映了系统是否稳定。所以判断系统的稳定性，可从时域或s域两方面进行。 1 连续系统： 定义：对所有的|f(t)|≤Mf，其响应|yf(t)|≤My，则称该系统是稳定的  时域充要条件：| h(t)|dt≤M，即若冲击响应h(t)绝对可积，则系统是稳定的。  s域：稳定因果系统的H(s)的约束条件： H(s)在s平面的极点位置决定h(t)的形式，所以研究极点的分布，可以很方便的给出稳定性的结论。从稳定性考虑，系统可分为稳定系统、边界稳定系统、不稳定系统 稳定系统 H(s)的极点都在左半开平面， =0，满足| h(t)|dt≤M 边界稳定系统 H(s)的极点都在虚轴上，且为一阶， =有限值 不稳定系统 H(s)的极点都在右半开平面或虚轴上二阶以上， →∞，不满足 2 离散系统： 定义：对所有的|f(k)|≤Mf，其响应|yf(k)|≤My，则称该系统是稳定的  时域充要条件：| h(k)|≤M，即若单位响应h(t)绝对可和 对因果、稳定系统：| h(k)|≤M  z域：H(z)的约束条件： 稳定系统 H(z)的极点在单位圆内 边界稳定系统 H(z)的极点都在单位圆上，且为一阶， 不稳定系统 H(z)的极点都在单位圆外 例7.2-1 反馈系统：G(s)= 解：先求H(s)→极点→在左半开平面→稳定  X(s) = F(s)+Ky(s) y(s) =G(s)·X(s)=KG(s)y(s)+ G(s)F(s) [1- KG(s)] y(s)= G(s)·F(s) ∴ H(s)= p1，2 = 左半开：＜ 稳定条件：k＜2 例7.2-2 离散系统，求k 解：先求H(z)→极点→在单位圆内→稳定  左：X(z)= F(z)- z -1X(z)-K z -2 F(z) = (1+ z -1 +K z -2)·X(z) ……(1) 右：Y(z)= X(z)+2z -1X(z)+3 z -2X(z) Y(z)= (1+2z -1+3 z -2 )·X(z) ……(2) 得：H(z)= p1，2 = 单位圆内： 当1-4k≥0时，k≤时，为极点 最大 ＜1 最小 ＞-1  当1-4k＜0时，k＞时，为复极点 p1，2 = 稳定条件：0＜k＜1 三 连续系统的稳定性准则： 从上面的讨论看到，为判断H(s)的极点位置，需求解分母多项式 A(s)=0的根，对高阶方程，求根十分困难。实际上，无须解出方程的全部根，只要知道它是否有在虚轴和右半开平面的根就够了。 1877年，罗斯（Routh）首先提出一种判别代数方程根的方法，不必解方程就可以知道它包含多少个具有正实部的根和零实部的根。1895年，霍尔维兹（Hurwitr）导出类似的方法。 H (s)= 霍尔维兹多项式： A(s)=0所有的根都在左半开平面的多项式→稳定系统 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式是否为霍尔维兹多项式的准则 准则：多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充要条件是罗斯矩阵中第一列元素均大于零。变号的总次数就是在右半平面根的数目。 例：H(s)=，为使系统稳定，k应满足什么条件？ 罗斯阵列：1 3 0 cn-1==(1+k)= 1+k 0  0 0 dn-1==1+k 1+k 0 第一列元素应为正值，即： ＞0， k＜8 　　　　　　 1+k＞0， k＞-1 ∴ -1＜k＜8时，系统是稳定的 对二阶系统：A(s)=a2s2+a1s+a0 阵列：a2 a0 0 a1 0 0 a0 0 cn-1= 条件：若a2 ＞0， a1＞0， a0＞0 四 离散系统的稳定性准则→朱里准则 H(z)= A(z)=0的根的绝对值＜1 →列表检验法 列表：A(z)的系数，A(z)=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0 cn-1= cn-2= dn-1= dn-2= 充要条件：A(z)=0的根都在单位圆内，必须： A(1)＞0 * 对二阶系统 　　　　　(-1)nA(-1)＞0 n=2，2n-3=1 第一行 an＞|a0| A(1)＞0 第三行 cn-1＞|c0| A(-1)＞0 第五行 dn-2＞|d0| a2＞|a0|  各奇数行：第一元素＞最后一个元素 例：若A(z)=4z4-4z3+2z-1 是否稳定 解：先判断前2项，A(1)=4-4+2-1=1＞0 (-1)4A(-1)=4+4-2-1=5＞0 满足 第1行 4 -4 0 2 -1 第2行 -1 2 0 -4 4 c3==15 c2==-14 第3行 15 -14 0 4 第4行 4 0 -14 15 d2==209 d1==-210 第5行 209 -210 56 结束：2n-3=8-3=5行 ∵　第1行 4＞|-1| 　　第3行 15＞|4| 均满足 ∴是稳定系统 　　第5行 209＞|56| § 7.3 信号流图 交换域框图（a、s-1、z-1）信号流图 一 信号流图的基本概念： 1 定义：用点和有向的线段来描述系统   术语: 结点：每一个结点对应于一个变量(x1、x2…x5) 支路：连接两个结点的有向线段；支路增益(a、b、…g) 源点与汇点：输入结束和输出结点 通路 开通路：通路与任一结点相遇不多于一次 如：x1 x2  x3  x4  x5 回路：通路的结点就是通路的起点 如：x2  x3  x2 不接触回路：相互没有公共结点 如：x2  x3  x2和 x4 x4 自环：x4 x4 通路增益：各支路增益的乘积H=a·e 前向通路：从源点→汇点的开通路；前向通路增益 2 信号流图的基本性质：  （1）信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路增益的乘积。x5=d·x4 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。 x4= ax1+bx2+cx3 3 流图简化的基本规则： （1）串联支路的合并：  （2）并联支路的合并：  （3）自环的消除  例：7.3-1 如图 P241 图5.4-1 解： 回路x1→x2→x1，化简为自环，回路增益：-a1s-1 x1→x2→x3→x1， -a0s-2  x1→y1间串并连支路合并→  消除自环 ∴H(s)== 典型的二阶微分方程的系统方程 二 梅森公式: 有流图 H(s) 对简单的流图,可用化简方法得到H(s)，对复杂流图，根据梅森公式求H(s) 公式：H= 其中：pi：前向通路增益 △i：余因子 特征行列式： △= 1 -  →不同回路 →两两互不接触 →三个都不接触 例：已知流图求H对连续/离散一样  解：不同回路共4个 L1= - H1G1， L2= - H2G2， L3= - H3G3， L4= - H4 G1 G2 G3 两两互不接触，2个，L2 和L3 L2·L3= G1G3H1H3 三个互不接触，无 ∴△=1-=1+(H1G1+H2G2+H3G3+H4G1 G2 G3)+ G1G3H1H3 前向通路,有2条P1=H1H2 H3H5 △1=1各回路都与该通路接触 P2= H4H5 △2=1+G2H2 不接触回路有L2   梅森公式：H= §7.4 系统模拟 已知H(s)→流图→方框图 对同一个系统函数,模拟实现时可有多种方式: 直接形式、级联形式、并联形式 对不同的形式，模拟的精度和系统的结构（费用）是不同的 一 直接形式 H(s) == = 画出信号流图→框图 由梅森公式：  一个系统函数对应的信号流图一般不是唯一的，可有其它形式 信号流图的转置： 信号传输方向反转  源点与汇点对调 结论：转置后系统函数不变 例7.4-1 H(s) =，用直接形式模拟此系统 解: H(s)  二 级联形式— 因式分解 H(z)= H1(z)·H2(z)…H(z)= Hi(z)→直接形式   子系统Hi(z)一阶函数（对实数极点）：→一阶节 Hi(z)=  Hi(z)为二阶函数（对共轭复数极点）：→二阶节 Hi(z)=  三 并联形式—部分分式展开 H(z)= H1(z)+H2(z)+…+H(z)= Hi(z) 同上  特点：结构简单，调试方便，减少误差 例7.4-3 H(s) =，用级联和并联形式模拟此系统 级联形式— 分解因式 H(s) == H1(s)·H2(s) 一阶节：H1(s)= 二阶节：H2(s)=  并联实现— 部分分式展开 极点：P1= -1，P2、3= -1 H(s)= = = H1(s)= H2(s)=