信号与系统的基本概念 §1.1 绪言 信号与系统是一门重要的专业基础课。是许多专业（通信、信息处理、自动化、计算机、系统工程）的必修课。重要性体现在两个方面：一是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础；二是上述各类专业硕士研究生入学考试课程。 在教学计划中起着承前启后的作用，前期课程是高数、微分方程、差分方程、工程数学中的积分变换（傅立叶变换和拉普拉斯变换），还有电路分析基础；而其本身是后续专业课（通信原理、数字信号处理）的基础。 信号 研究的主要内容：顾名思义 系统 合成：信号 系统 响应 一个典型的电系统—通信系统 信息源 转换 电信号 电信号 还原 受信者（声音、文字、图象） 发送设备 传输信道 接收设备 输入信号/激励 输出信号/响应 通信系统  系统： 控制系统 抽象为理想化的模型，讨论激励与响应的关系 经济系统  信号：时间的函数f(t)，一维函数，确定信号 * 信号与系统的关系：互相依存 信号是运载消息的工具，要很好的利用信号，需经过系统的传输、处理. 系统则是为传输信号或对信号进行处理而由元器件构成的某种组合。离开了信号，系统就失去了意义. §1.2 信号 定义：信号是带有信息的（如声音、图象等）随时间（或空间）变化的物理量。 本课程主要研究电信号（电流、电压）。 信号的分类：从不同的角度 1 从函数的定义域（时间）是否连续：  连续时间信号：在连续的时间范围内有定义。t是连续的，f（t）可是，也可不是 表达方式 时间的函数（解析式），如f（t）=Asinπt 波形图表示：  上述两种表达方式，可以互换。信号和函数两个词可互相通用 离散时间信号：在一些离散的瞬间才有定义。t=kT点上有定义，其余无定义 序列f（k）=2k，k≥0 表达方式 图形表示： 序列值f（k）=｛0、1、2、4、8、……｝  2 从信号的重复性：  周期信号：定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定时间T重复变化 连续f（t）=f（t+mT） 离散f（k）=f（k+mK） K为整数  非周期信号：不具有周期性的信号 例：正弦序列f（k）=sinkβ β为角频率，反映周期性重复的速率, 决定序列是否具有周期性 按定义：sinkβ=sin(β·k+m·2π) β=时， =12，为整数，是周期序列，k =12 β=时，=，为有理数，是周期序列，k =31 β=时， =4π，为无理数，是非周期序列 3 实信号：物理可实现的 复信号：实际上不能产生，但理论分析重要——复指数信号 表达式：f（t）=est ，-∞＜t＜+∞， δ= σ+jω f（t）=e（σ+jω）t=eσ t·ejωt = eσ tcosωt+j eσ t sinωt σ＞0，增幅振荡 σ＜0，衰减振荡 σ=0，等幅振荡  当ω=0，f（t）= eσt为实指数信号 当σ=ω=0，f（t）=1，为直流信号 重要特性：对时间的微分和积分仍然是复指数信号。 4．从能量有限和功率有限的角度： 能量信号：也就是能量有限信号，0＜E＜∞（p=0），如矩形脉冲、衰减的指数 功率信号：也就是功率有限信号，0＜P＜∞（E —＞∞），如周期信号、阶跃信号 信号f（t）的能量E  f（t）|2dt 信号f（t）的功率P|f（t）|2dt  §1.3 信号的基本运算 一 加法和乘法 f(·)=f1(·)+f2(·) 瞬时和 f(·)=f1(·)·f2(·) 瞬时积 例1.3-1 2k+0 k＜-2 f1(k)+ f2(k) = 2k +2-k k=-1、-2 k+1 +2-k k≥0 0 k＜-2 f1(k)× f2(k) = 1 k=-1、-2 (k+1)×2-k k≥0 二 反转和平移 反转： f(t)—＞f(- t) 以纵坐标为轴反折  倒相： f(t)—＞-f(t) 以横坐标为轴反折  平移：右移 f(t)—＞f(t-t0) 左移 f(t)（t）—＞f(t+t0)   平移与反折结合：f(t)—＞f(-t-t0) 注意：先平移后反转f[-（t+t0）] 若先反转f（-t）则f（-t-t0）为左移  t 三 尺度变换（横坐标展缩） f(t)—＞f(at) 若a＞1，以原点（t=0）为基准，压缩1/a 若0＜a＜1，以原点（t=0）为基准，展宽1/a 若a＜0，反转并压缩或展宽至1/|a|  四 复合运算 f(t)—＞f(-at+b) 顺序：先平移f(t)—＞f(t+b)；再反转f(-t+b)；最后尺度变换f(-at+b). 逆符合运算f(-at+b)—＞f(t) 顺序：先尺度变换 f(-t+b)；再反转f(t+b)；最后平移f(t) 例：已知f(5-2t)的波形如图，试画出f(t)的波形 解题思路：f(5-2t)f(5-2×2t)= f(5-t) f(5+t)f(5+t-5)= f(t)   §1.4 阶跃函数和冲激函数 重要性：完成信号的时域分解 f(t)可分解为不同时刻、不同幅度阶跃函数的连续和 f(t)可分解为不同时刻、不同幅度冲激函数的连续和 可使信号的分析、尤其是系统的分析更加简单、灵活 必要性：不是普通函数，而是奇异函数，有许多特殊的性质 重 点：引入两个函数的概念，讨论的性质 一 阶跃函数和冲激函数的定义 0， t＜0 1 阶跃函数 rn(t)= ， t=0 波形： 1， t＞0  2 冲激函数 pn(t) 幅度—＞∞ 宽度—＞0 强度始终为1 波形：  表达式： 0 t＜ rn(t)= t -＜t＜ —＞ [条件：n—＞∞，斜率无限大，区间 1 t＞ （-，）—＞0] 0 t＜- rn‘(t)= pn(t)=  -＜t＜ —＞ [条件：n—＞∞，幅度无限大，宽度—＞0] 0 t＞ pn(t)的强度始终为1 3 与的关系 =  =（注意积分上、下限）= 0，t＞0 1，t＜0 4 冲激函数的另2种定义  荻拉克给出 =0， t≠0 ，函数波形下的面积为1 该定义物理概念较明确，最易理解  的广义函数定义 （严格的数学定义） 检验函数：连续的，具有任意阶导数，且及其各阶导数在无限远处急速下降（|t|—＞∞，比1/|t|m下降更快）的普通函数（如e-| t2|等） 按广义函数理论，意义为： 作用于的效果是给它赋值 5 的移位及强度表示： ： t=0处的冲激 ： t= t1处的冲激 ： t=t2处，强度为A ： t=t3处，强度为-A  二 的性质 1 取样性质（筛选性质）： 2 与普通函数的乘积：f(t)= f(0) ∵[ f(t)]dt=[f(t)]dt=f(0) 又[f(0)]dt= f(0)dt= f(0) ∴ 按广义函数相等的原理可得： f(t)= f(0) f(t)dt=f(0)dt= f(0) 注意公式成立的条件：f(t)、也必须属于急降的检验函数。 例：t·=0·=0 e-αt·= e-α0·= e-3t-1dt=e-3·0-1·1=e-1（其中1为强度） 3 移位 dt= 对普通函数f(t)，也有 f(t)= f(t1) f(t)dt= f(t1) 分段连续函数在区间（-∞，∞ ）的导数。 跳跃度 Ji=f(ti+)-f(ti-) 广义函数概念：ti处导数为：Ji ∴ f‘(t)= f‘c(t)+Ji 例：1.4-2 求f‘(t) -∞＜t＜∞ 解：f(t) = 0 t＜0，t＞3 2+t 0＜t＜3  方法一：直接用上述结论 两个间断点 t1=0，J1= f(0+)-f(0-)=2 t2=3，J2= f(3+)-f(3-)=0-4=-4 ∴ f‘(t)=[-]+2-4 方法二：从函数求导 f(t)=(2+t)[-] f‘(t) =(2+t)‘[-] +(2+t)[-]‘ =[-]+(2+t)[-] =[-]+2-4 所求得的f‘(t)如下图  尺度变换：= 实际是强度变化，而不是展缩 推导：从dt研究： 若a＞0，|a|=a，令x=at ∵ dt== 而dt= ∴ = 若a＜0，同理可证 5 奇偶性：是偶函数 取a=-1，= 三 的导数和积分 1 导数定义：： dt= -dt = - 推导：分步积分 =dt =|-dt = 0-dt = - n阶导数：：dt =（-1）n 2 导数的性质： 与f（t）的乘积：f(t)= f(0)- f`(0) 移位： f(t)= f(t1)- f`(t1) f(t)dt = - f`(t1) 尺度变换：=· =· 奇偶性：取a = - 1，=(-1)n 当n为偶数时，有= 是偶函数 当n为奇数时，有= - 是奇函数 3 的积分： 积分的区间为(-∞，t)时，区间为(-∞，+∞)时 =dx dt=1 =dx dt=0 非普通，仅是表达形式 r(t)=dx =1·dx =t· 普通积分 * 有关信号的几个概念： 1．无时限信号：在t（-∞，+∞）内均有f(t)≠0 2．有始信号：t＜t1时f(t)= 0, t＞t1时f(t)≠0 3．有终信号：t＜t2时f(t)≠0，t＞t2时f(t)= 0 4．因果信号：t＜0时f(t)=0； t＞0时f(t)≠0 ， f(t)·v(t)表示 5．反因果信号：t≥ 0时f(t)=0； t＜0时f(t)≠0 ， f(t)·v(-t) 6．时限信号：在（t1，t2）内，f(t)≠0 *．抽样信号：f(t)==Sa(t) -∞＜t＜∞ 性质：（1）是t 的偶函数。 （2）f(t)= f(0)=1 （3）当t=kπ(k=……)时，f(t)=0 （4）f(t)dt=dt=π （5）=0  例：写出f(t)的时域表达式，并画出波形，求f(t)、f‘(t)、f‘‘(t) f(t) = sint[v(t)-v(t-π)] f`‘(t)= cost[v(t)-v(t-π)] + sint[-] = cost[v(t)-v(t-π)] f‘‘(t)= - sint[v(t)-v(t-π)] + cost[-] = - sint[v(t)-v(t-π)] + +  § 1.5 系 统 系统分析：实际物理问题→数学模型→求出解答→结果的物理解释。 主要讨论：??即时系统（无记忆系统）：响应仅取决于激励，即电阻组成，用代数方程描述 ??动态系统（记忆系统）：相应与激励有关，而且与过去历史状态有关（初始条件） 。含有记忆元件（电容、电感），由微分方程描述。 系统的描述： ??数学模型? ??框图表示 两种描述可互换。 1．系统的数学模型 ??连续系统?— 微分方程 RLC串联电路  由KVL: uL(t)+ uR(t)+ uC(t)= uS(t) 由各元件端口电压与电流的关系:i(t)=C*uC’(t) uR(t)=R*i(t)=R*C*uC’(t) uL(t)=L*i’(t)=L*C*uC”(t) 整理：uC”(t)+R/L* uC’(t)+1/L/C * uC(t)=1/L/C * uS(t) 二阶线性微分方程求解：需已知初始条件 uC（0）, uC’(0). 结论：有以上数例可见，虽然系统的具体内容各不相同，但描述各系统的数学模型都是微分方程，因此在系统分析中，常抽去系统的物理含义，而作为一般意义下的系统来研究，以便于揭示系统的一般特性。 ??离散系统---差分方程 例1：人口问题 y(k) = y(k-1) + a*y(k-1) – b*y(k-1) + f(k) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 第k年人口 第(k-1)年人口 出生 死亡 迁入 整理：y(k)-(1+a-b)*y(k-1)=f(k) ??一阶差分方程 ??结论：有以上数例可见，虽然系统的内容各不相同，但描述这些离散时间系统的数学模型都是差分方程，因而也能用相同的数学方法来分析。 2．系统的框图表示 ??连续系统：基本单元有三个：积分器、加法器、数乘器??　  例1．5-2、已知框图表示，写出微分方程。 解：设右方积分器的输出为x(t) 左输出：x”(t)=f(t)-a0*x(t)-a1*x’(t) →f(t)=x”(t)+ a1*x’(t)+ a0*x(t) (1) 右  输 出：y(t)= b2*x”(t)+ b1*x’(t)+ b0*x(t) (2) 为求y(t)与f(t)的关系，消去中间变量x(t)及其导数。 由（2）： a0*y= b2*( a0*x”)+ b1*( a0*x’)+ b0*( a0*x) a1*y’= b2*( a1 *x”)’+ b1*( a1*x’)’+ b0*( a1*x)’ y”= b2*(x”)”+ b1*(x’)”+ b0*(x)” 相加：y”+ a1*y’+ a0*y= b2*[x”+ a1*x’+ a0*x]” +b1*[x”+ a1*x’+ a0*x]’+ b0*[x”+ a1*x’+ a0*x] ∴ y”(t)+ a1*y’(t)+ a0*y(t)= b2*f”(t)+ b1*f’(t)+ b0*f(t) ?离散系统：延迟单元，加法器、数乘器 ??f(k)?→  → y(k)=f(k-1) 例1．5-3、 已知离散系统框图，写出差分方程。  解：2个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为x(k) 左:x(k)=f(k)-a0*x(k-2)- a1*x(k-1)→ x(k)+ a1*x(k-1)+ a0*x(k-2)=f(k) (1) 右: y(k)= b2*x(k)- b0*x(k-2) (2) 为消去x(k)，将y(k)按（1）式移位。 a1*y(k-1)= b2* a1*x(k-1)+ b0* a1*x(k-3) (3) a0*y(k-2)= b2* a0*x(k-2)-b0* a0*x(k-4) (4) (2)、（3）、（4）三式相加：y(k)+ a1*y(k-1)+ a0*y(k-2)= b2*[x(k)+ a1*x(k-1)+a0*x(k-2)]- b0*[x(k-2)+a1*x(k-3)+a0*x(k-4)] ∴ y(k)+ a1*y(k-1)+ a0*y(k-2)= b2*f(k)- b0*f(k-2)═>差分方程 ??结论：已知框图，写方程的步骤。 选中间变量x(.)。 写出个加法器输出信号的方程。 消去中间变量。 ??动态系统是否为线性系统： 例1、y(t)= f(t)*x(0)+ ∫t0f(x)dx 非线性 分解特性：??当 f(t)=0时，应得到yx (t)←x(0) , 实际 y(t)=0. 当x(t)=0时，得到yf (t)= ∫t0f(x)dx ∴不满足。 例2： y(t)= t*x(t)+sint*f(t) 分解特性： 令f(t)=0, yx(t)= t*x(t). 令x(0)=0,yf (t)= sint*f(t) 满足。 零输入线性;T[a1*x1(0)+ a2*x2 (0)]= t*[ a1* x1(0)+ a2* x2 (0)] = a1*t*x1(0)+ a2*t* x2 (0) = a1*T[x1 (0)]+ a2*T[x2 (0)] 零状态线性：T[a1* f1(t)+a2* f2 (t)] = sint*[ a1* f1 (t)+ a2* f2 (t)] = a1*sint* f1 (t)+ a2*sint* f2 (t) 均满足，为线性。 §1.6 系 统 的 性 质 系统可分为： ? 线性系统和非线性系统 ? 时变系统和时不变系统 ?? 因果系统和非因果系统 ???稳定系统和非稳定系统 线性时不变系统(Linear Time Invariant)LTI系统。 激励与响应关系的表示：  线性： 齐次性： T[a*f(t)= a*T[f(t)]= a*y(t) 输入增大a倍，响应也增大a倍。 可加性： T[f1 (t)+ f2 (t)]=T[f1 (t)]+T[f2 (t)] = y1 (t)+ y2 (t) 等于激励和响应等于响应之和。 线性：既是齐次的又是可加的。 T[a1* f1 (t)+ a2* f2(t)]= a1*T[f1 (t)]+ a2*T[f2 (t)] 例;1、积分器 f(t)→→y(t)= T[f(t)]=∫t-∞ f(x)dx a1* f1 (t)+ a2* f2 (t) →→ T[a1* f1 (t)+ a2* f2 (t)] = ∫t-∞[a1* f1 (x)+ a2* a2 (x)]dx = a1*∫t-∞f1 (x)dx+ a2*∫t-∞f2 (x)dx = a1*T[f1 (t)]+ a2*T[f2 (t)] ∴ 此系统是线性的。 2、平方运算 f(x) → 平方 → y(t)=T[f(t)]=f2(t) a*f(t)→平方→T[a*f(t)]=[a*f(t)]2=a2*f2(t) = a2*T[f(t)]≠ a*T[f(t)] f1(x)+ f2(x)→平方→T [f1 (x)+ f2 (x)]=[ f1 (x)+ f2 (x)]2≠f1 2(x)+ f2 2(x) ∴ 此系统是非线性。 3、f(k)→系统→y(k)=f(k)*f(k-1) a*f(k)→系统→T[a*f(k)]= a*f(k)*a*f(k-1) = a2*f(k)*f(k-1) ≠ a*f(k)*f(k-1) f1 (k)+ f2 (k) → 系统→T[f1 (k)+ f2 (k)] =[ f1 (k)+ f2 (k)]*[ f1 (k-1)+ f2 (k-1)]≠f1 (k)* f1 (k-1)+ f2 (k)* f2 (k-1) ∴ 此系统是非线性的。 ??动态系统中线性性质的应用：  → y(t) = T[｛x（0）｝,｛f(t)｝] 线性T[｛x(0)｝,0]+T[0,｛f(t)｝] = yx (t)+ yf (t) 分解特性： 零输入响应：yx (t)=T[｛x(0)｝,0],对多个x(0)，满足零输入线性。 零状态响应：yf (t)=T[0,｛f(t)｝],对多个f(t),满足零状态线性。 现性：满足分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统。 二、时不变性 定义：系统的参数都是常数，称为时不变（非时变）系统。 性质：激励延迟一定的时间td，则它引起的零状态响应也延迟td. 设T[｛0｝,f(t)]= yf (t) T[{0},f(t- td )]= yf (t- td ) 例 1、yf (t)= e-t * f(t) ═> 时变 2、y(k)+(k-1)* y(k-1) = f(k) ═> 时变 3、T[{0},f(t- td )] = e-t * f(t- td ) ═> 非时变 4、yf (t- td ) = e-(t-td) * f(t- td ) ═>非时变 三、本书只讨论线性时不变系统。 即LTI(Linear Time Invariant)的特性。 LTI—常系数线性微分方程（差分方程）描述。 如：y’(t) + 2 * y (t) = f’(t)- 2 * f(t) y’(t) + sint * y(t) = f(t) 线性系统 y”(t) + [y(t)]2 = f(t) 非线性系统 证：y1”(t)+[ y1”(t)]2 = f1 (t) y2”(t)+[ y2 (t)]2 = f2 (t) f1 (t)+ f2 (t)=[ y1 (t)+ y2 (t)]”+[ y1 (t)]2+[ y2 (t)]2 2、LTI连续系统具有微分特性： 若 T[{0},f(t)]= yf (t) 则 T[{0},f’(t)]= yf’(t) 证：由时不变 T[{0},f(t-△t)]= yf (t-△T) 由线性T[{0},[f(t)-f(t-△t)]/ △t] =[ yf (t)- yf (t-△T)]/ △T. △t→0, T[{0},f’(t)]= yf’(t). 3、LTI连续系统具有积分特性 若T[{0},f(t)]= yf (t),且f(-∞)=0, yf (-∞)=0 则 T[{0},∫t-∞f(x)dx]=∫t-∞yf (t)dt 例：LTI系统，在零状态条件下激励f1 (t)与响应y1 (t)如图，求f2 (t)时的y2 (t). 解：因有f2 (t)= ∫t-∞f1 (τ)dτ 故有y2 (t)= ∫t-∞y1 (τ)dτ     ??LTI连续系统具有微分特性：T[{0},f(t)]= yf (t), →T[[0],df(t)/dt]=d[yf(t)]/dt ??LTI连续系统具有积分特性： T[{0},f(t)]= yf (t), →T[{0},∫t-∞f(x)dx]=∫t-∞yf (x)dx 条件是f(-∞)=0, yf (-∞)=0. 例：1.6-1 [P31} 解：（1）首先符合分解特性： ??yx (t) = a * x(0) 零输入线性 ??yf (t) = b *∫0tf(τ)dτ t≥0 零状态线性 ∴是线性的。 时不变性针对零状态响应yf (t),判断yf (t-t0)是否等于T[f(t-t0)]. ∵yf (t-t0)= b *∫0(t-t0) f(τ)dτ t-t0≥0 T[f(t-t0)]= b *∫0tf(τ-t0)dτ t≥t0 = b *∫-t0(t-t0)f(x)dx t≥t0 (x=τ-t0) = b *∫0-t0f(x)dx+b* ∫0t-t0f(x)dx = b *∫0t-t0f(x)dx t≥t0 {条件:t=0时，接入f(t).即t<0时,f(t)= 0} ∴ T[f(t-t0)]= yf (t-t0)是时不变系统。  （2）同上。 三、因果性、 因果系统：响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统。 定义：如果f(t)= 0,t<t0则yf（t）= T[{0},f(t)]= 0 t<t0 因果：yf（t）= 3 * f(t-1)   非因果：yf（t）= 3 * f(t+1) yf（t）=f(2*t) yf（1）=f(2) yf（k）=f(k2) yf（2）=f(4)   四、稳定性：对有界激励，其零状态响应也是有界的。 定义：如果|f(t)|<∞ ，则| yf (t)|<∞ ∵yf（k）= f(k) + f(k-1) ∴系统是稳定的。 ∵yf（t）=∫0t f(x)dx取f(t)=ε(t)有界， 但yf（t）= t*ε(t)无限。 ∴系统是不稳定的。 §1.7 LTI系统分析方法概述 系统分析的任务： 1、建立描述系统的数学方程式（微分/差分方程）。 2、给定初始状态和f(t),求响应y(t) ???描述系统的方法: ( 建立数学方程式 ) 输入输出法（外部法）：建立f(t)与y(t)的直接关系， 考虑内部状态x(t),微分/差分方程，适用于单输入/出系统。 2、 状态变量法（内部法）：状态方程和输出方程，适用于多输入/出系统。 ??输入输出分析法：（求解方程的方法） 时域分析 连续系统（2）：求解微分方程；卷积积分. 离散系统（3）：求解差分方程；卷积积分. 二、变换域分析： 连续系统傅里叶变换（4）；频谱，频域分析。 卷积 连续系统拉式变换（5）； 微分方程→ 代数方程。 ↓ 离散系统z变换（6）； 差分方程→ 代数方程。 乘积 系统函数（7）；决定系统的特性。 ??出发点：把复杂信号分解为基本信号之和。 ??基本信号：δ（t）、ε(t)、ejwt 、sinωt、est 等。 ??学习本课程的原则： 1、物理语言描述与数学语言描述并重； 2、信号分析与系统分析并重； 3、时域分析法与变换域分析法并重； 4、连续时间系统与离散时间系统并重；