第三章 离散系统时域分析
3,1离散时间信号
引言
3.2 LTI 离散系统的响应
3.3 单位序列和单位序列响应
3.5 解卷积
3.4 卷积和
引言
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号,
f(t)是连续变化的 t的函数，除若干不连续点之外对
于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都
是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
连续时间系统：
系统的输入、输出都是连续的时间信号。
模拟信号
抽样信号
量化信号
离散时间信号：
时间变量是离散的，
函数只在某些规定的时刻
有确定的值，在其他时间
没有定义。
离散时间系统：
系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
o
k
t
? ?
k
tf
2
t
1?
t
1
t 3t
2?
t
离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由
实际系统生成。
量化
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
采样过程 就是对模拟信号的时间取离
散的量化值过程 —— 得到离散信号。
数字信号：
离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
o t
? ?tf
T T2 T3
1.3
2.4
5.1
9.0
o T T2 T3
? ?tf
q
t
3
4
2
1
离散时间系统的优点
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其
优越性；
?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精
度取决于位数；
?可靠性好；
?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；
?易消除噪声干扰；
?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大
大改善了系统的灵活性和通用性；
?易处理速率很低的信号。
离散时间系统的困难和缺点
高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由
模拟转化为数字要牺牲带宽。
应用前景
由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，
被数字（更多是模／数混合）系统所代替；
人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数
字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与
生活的每个角落。 数字信号处理 技术正在使人类生产和
生活质量提高到前所未有的新境界。
混合系统：
连续时间系统与离散时间系统联合应用 。 如自控
系统, 数字通信系统 。 需要 A/D,D/A转换 。
不能认为数字技术将取代一切连续时间系统的应用
?人类在自然界中遇到的待处理信号相当多的是连
续时间信号，需经 A/D,D/A转换。
?当频率较高时，直接采用数字集成器件尚有一些
困难，有时，用连续时间系统处理或许比较简便。
?最佳地协调模拟与数字部件已成为系统设计师的
首要职责。
混合系统
系统分析
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
拉氏变换法变换域分析
零状态响应零输入响应
特解经典法：齐次解
时域分析
:
连续时间系统 —— 微分方程描述
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变换法变换域分析
零状态响应零输入响应
特解经典法：齐次解
时域分析
z:
离散时间系统 —— 差分方程描述
差分方程的解法与微分方程类似
本章内容
?离散时间信号及其描述, 运算；
?离散时间系统的数学模型 —— 差分方程；
?线性差分方程的时域解法；
?离散时间系统的单位样值响应；
?离散卷积。
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系,
区别, 对比, 与连续系统有并行的相似性 。 和前几
章对照, 温故而知新 。
学习方法
3,1离散时间信号
? ? ? ? ? ? 0,1,2,x t x n T T x n n? ? ? ?等间隔
一．离散信号的表示方法
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
值的大小线段的长短表示各序列波形表示
可以用函数表示有规则的
如数字序列
,
:,
1.0,3.0,8.0,9.0
0
nx
n
??
? ?? ? ? ?
? ?
x n x n
xn
与 概念上有区别，但为了书写方便，
常以 表示整个序列，在应用场合一般不会混淆。
序列的三种形式
O
)( nx
n
?
O
)( nx
n
??
O
)( nx
n1n 2n；双边序列,????? n；单边序列,0?n；有限长序列,21 nnn ??
二．离散信号的运算
1．相加：
2．相乘：
3．乘系数：
)()()( nynxnz ??
)()()( nynxnz ??
)()( naxnz ?
左移位
右移位
)()(
)()(
mnxnz
mnxnz
??
??4．移位：
o n
? ?1?nx
1 2
3
? ?1?x
? ?0x
? ?1x
? ?3x
? ?2x
41?o n
? ?nx
1
2
3
? ?1?x
? ?0x
? ?1x
? ?3x
? ?2x
1?
)()( nxnz ??
)1()()(
)()1()(
????
????
nxnxnx
nxnxnx
后向差分：
前向差分：
?
?
???
?
k
kxnz )()(
5．倒置：
6．差分：
7．累加：
8．重排（压缩、扩展）：
? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
???
a
nxnxanxnx,或
注意,有时需去除某些点或补足相应的零值。
9．序列的能量 ?
???
?
n
n
nxE 2)(
三．常用离散信号
?单位样值信号
?单位阶跃序列
?矩形序列
?斜变序列
?单边指数序列
?正弦序列
?复指数序列
1．单位样值信号
?
?
?
?
??
0,1
0,0)(
n
nn?
时移性
比例性 )(),( jncnc ???
抽样性 )()0()()( nfnnf ?? ?
注意：
nO
)( n?
1
1
?
?
?
?
???
jn
jnjn
,1
,0)(?
n
)1( ?n?
1
1O
? ? ? ?
? ?。不是面积取有限值在
，幅度为表示，强度用面积
0)(; 0 )(
?
??
nn
tt
?
?
利用单位样值信号表示任意序列
?
?
???
??
m
mnmxnx )()()( ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
,,,,,.,0030511
0n
nf
1
2
3 41? o n
? ?nf
5.1
3?
? ? ? ? ? ?235.11 ????? nnn ???
2．单位阶跃序列
?
?
?
?
??
00
01)(
n
nnu
nO
)( nu
1
11? 2 3
?
?
?
?
??
????????
0
)(
)3()2()1()()(
k
kn
nnnnnu
?
???? ?
( ),un 可以看作是无数个单位样值之和
)1()()( ??? nunun?
? ? ? ?n u n? 与 是差和关系，不再是微商关系。
3．矩形序列
?
?
?
??
????
Nnn
NnnR
N,00
101)(
? ? ( ) ( ) ( )Nu n R n u n u n N? ? ?与 的关系：
no
)( nR
N
1
11? 2 3
?
1?N
4．斜变序列
)()( nnunx ?
nO
)( nx
1
11? 2 3 4
O n
1
? ?nua
n
1? 1 2 3 4
01 ??? a
5．单边指数序列
? ? ? ?nuanx n?
O n
1
? ?nua n
1? 1 2 3 4
1?a
O n
1
? ?nua
n
1? 1 2 3 4
1??a
O n
1
? ?nua n
1? 1 2 3 4
10 ?? a
6．正弦序列
数值。个重复一次正弦包络的则序列每＝当
的速率。序列值依次周期性重复正弦序列的频率
10,
10
π2
,:
0
0
?
?
? ? ? ?0s i n n ωnx ?
1 5
O
n
1?
10
? ?
0
sin n ω
? ?t
0
sin ?
1
? ? ? ? s i n 0 是周期序列应满足离散正弦序列 nnx ??
N称为序列的 周期, 为任意 正整数 。
? ? ? ?nxNnx ??
? ? ? ?0c o s ?nnx ?余弦序列：
正弦序列周期性的判别
① π2
0
是正整数,NN??
② 为有理数，
m
N
m
N?
0
π2
?
? ? s i n 0 仍为周期的n?
0
π2
?mN ?周期：
正弦序列是周期的
? ?? ?Nn ?0s in ? ? ?n0s in ??? ?π2s i n 0 ?? n? ?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
0
0
π2s i n
?
? n
? ?? ?Nn ?0s in ? ? ?n0s in ??? ?π2s i n 0 ??? mn? ?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
0
0
π2s i n
?
? mn
为无理数
0
π2
?
③
? ? ? ? 值的找不到满足 NnxNnx ??,为非周期的
?
?
??
?
? ?
TΩ
?2
0
? ? ? ?的关系与区别。与连续信号离散信号 tn 00 s i n s i n ??
? ? ? ? ? ?tΩtftf 00 s i nπ2s i n ??
离散点 （ 时刻 ） nT上的正弦值
? ? ? ?nTΩnTx 0s i n?
00,离散正弦信号令 TΩ??
? ? ? ?nnx 0s i n ??
?
?
?
离散域的频率连续弧度单位
连续域的正弦频率连续秒弧度单位
/
0
0
ω
Ω
区别,
? ??，π0 ??ω
7．复指数序列
复序列用极坐标表示：
? ? nnnx n 00j s i njc o se 0 ??? ???
? ? ? ? ? ?? ?nxnxnx a r gje?
? ? 1?nx
? ?? ? nnx 0??a r g
复指数序列：
3.2 LTI 离散系统的响应
o一．差分与差分方程,
o 1,差分：
o 一阶前向差分,Δf(k)=f(k+1)― f (k)
o 一阶后向差分,?f(k)=f(k) -f(-1)
o 差分运算的线性性质：
o?[a1f1(k)+ a2f2(k)]= a1f1(k)+ a2f2(k) -a1f1(k-1)-a2f2(k-1)
o = a1[f1(k)-f1(k-1)]+ a2[f2(k)-f2(k-1)]
o = a1? [f1(k)+ a2?[ f2(k)]
o 二阶差分,?2f(k)=?[f(k) -f(k-1)]
o =?[f(k)]-?[f(k-1)]
o =f(k) -2f(k-1)+ f(k-2)
2, 差分方程：
LTI离散系统 —— 常系数线性差分方程
y(k)+an-1y(k─1)+ ┈ +a0 y(k─n)=bmf(k)+bm-1f(k─1) + ┈ +
b0 y(k─m)
非线性,y(k)+an-1[y(k─1)]2=0
变系数,y(k)+ y(k─1)=0
ka
3,差分方程的简明解法 —— 迭代法
已知,f(k),y(─1)?y(0)?y(1)?y(2)?┈ y(k)
例,y(k) ─2y(k─1)=ε(k),y(─1)=0
解,y(k)=2y(k─1)+ε(k)
y(0)= 2y(─1) +ε(0)=1
y(1)=2y(0)+ε(1)=3
y(2)=2y(1)+1=7
y(3)=15
优点：得到的是数值解, 适于计算机计算 。
缺点：希望得到 y(k)=2,k+1的形式，但得到的都
是数值解，
所以不易得到解析解,
二,差分方程的经典解, y(k)=yh(k)+yp(k)
1,齐次解：
齐次方程,y(k)+ an-1y(k─1) + ┈ +a0 y(k─n)=0
一阶差分方程,y(k)+ay(k─1) =0,y(k)/ y(k─1)= ─a
∴ y(k)=c(─a)=cλ (─a为特征根 )
代入原方程,cλ+ an-1 + ┈ +ca0 =0
c≠0 1?k? nk??
两边同乘以, + an-1 + ┈ +a1λ+ a0=0
这样就得到特征方程
特征根 → 齐次解形式 初始条件 → 系数 ci
2,特解：激励 f(k)→ 特解形式 原方程 → 系数 pi
3,全解,y(k)= ciλi+yp(k)
初始条件,y(0),y(1),y(2),┈ y(n─1)
4,求系统的自由响应和强迫响应：
y(k)=k(─2) ─? (─2)+? (2) k≥0
自由 强迫
nk??
n?
1?n?
?
?
n
i 1
三, 零输入响应和零状态响应：
1,y(k)=yx(k)+yf(k)
2, 初始值,k=0,f(k)接入
初始状态,y(─1),y(─2),┈,y(─n)已知
初始值,y(0),y(1),y(2),┈ 未知的 用迭代法
3,y(j)=yx（ j） +yf(j)
由 零状态响应,yf(─1)= yf(─2)= ┈ =0
yx(j)=y(j),j=─1,─2,┈,─n,
例,① yx(k)+3 yx(k─1)+2 yx(k─2)=0
yx(─1)=y(─1) =0,yx(─2)=y(─2)=?
初始值,yx(k)= ─3 yx(k─1) ─2 yx(k─2)
yx(0)= ─3 yx(─1) ─2 yx(─2)=─1
yx(1)= ─3 yx(0) ─2 yx(─1)=3
yx(k)=cx1(─1)+ cx2(─2) cx1=1
yx(0)=cx1++cx2=─1 cx2=─2
yx(1)= ─cx1─2cx2=3
yx(─1)= ─cx1─?cx2=0 cx1=1
yx(─2)= cx1+? cx2=? cx2=─2
② yf(k) yf(─1)= ─cf1─?cf2+1/6=0 cf1=─?
yf(─2)= cf1+? cf2+1/12=0 cf2=1
前向差分：共轭复数
例,y(k+2) ─2y(k+1)+2y(k)=0,y(0)=0,y(1)=3
解,c ─c*2 +2c =0 两边同乘以
─2λ+2=0 λ1=1+j,λ2=1─j
2?k? 1?k? k? k??
2?
共轭复根,a+bj→ P
λ1=1+j= λ2=1─j=
yh(t)= (Ccos k+Dsin k)
= (Ccos k+2sin k)
y(k+1)+3y(k) ─2 y(k─1)=0
?je
42
?j
e 42
?j
e
?
? ?k2 4?4?
? ?k2 4? 4?
§ 3.3 单位序列和单位序列响应
一,单位序列和单位阶跃序列,
1。 单位序列：
δ (k)= 1 k=0
0 k≠ 0
δ (t)=
0 t≠ 0
特点：是最简单的，同时也是最重要的,
移位,δ (k-i)= 1 k=i
0 k≠ I
取样性质,f(k)* δ (k)=f(0)* δ (k) δ (k)表示
位置
f(k)* δ (k-i)=f(I)* δ (k-i) δ (k-i)
注意序列不能丢
???? ? 1)( dtt?
2.单位阶跃序列：
ε (k)= 1 k＜ 0
0 k≥0
ε (t)= 0 t＜ 0
1 t＞ 0
严格讲 ε (0)=?,因为有跃变存在,
3,δ (k)与 ε (k)的关系：
δ (k)=▽ ε (k)= ε (k)- ε (k-1) 差分表示，
对应的微分 δ (t)=dε (t)/dt
ε (k)= 对应的是连续系统的积
分
i=k-j
ε (t)= ======
=
?
???
k
i
k )(?
? ??
t
dxx )(? ?
???
?
0
)(
j
jk?
?
?
?
?
0
)(
j
jk?
二,单位序列响应, h(k)
1.定义,h(k)=T[0,δ (k)]
2.求解,h(k)
方法一：若方程右端只有 f(k),而无移位项 ---经典法,
例,y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)
解：①满足 h(k)-h(k-1)-2h(k-2)= δ (k)
h(-1)=h(-2)=0
② 求初始值：用迭代法
h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+ δ (k)
h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1
h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1
③ k＞ 0时,h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0
h(k)=c1(-1)+c2(2)
h(0)=c1+c2=1 c1=0
h(1)=-c1+2c2=1 c2=0
方法二：方程右端除 f(k)外，还有移位项，分两步,
设仅 δ (k) → h1(k)
线性，移位不变性 → h(k）
例,左,x(k)-x(k-1)-2x(k-2)=f(k)
右,y(k)=x(k)-x(k-2) ①
-y(k-1)=-x(k-1)-[-x(k-3)] ②
-2y(k-2)=-2x(k-2)-[-2x(k-4)] ③
①＋② ＋③,
y(k)-y(k-1)-2y(k-2)
=[x(k)-x(k-1)-2x(k-2)]-[x(k-2)-x(k-3)-2x(k-4)]
=f(k)-f(k-2)
求 h(k),h(k)- h(k-1)-2h(k-2)= δ (k)- δ (k-2)
h(-1)=h(-2)=0
第一步：设 δ (k) → h1(k)
h1(k)- h1(k-1)-2 h1(k-2)= δ (k)
h(-1)=h(-2)=0
h1(k)=[ ]* ε (k)
kk )2(
3
2)1(
3
1 ??
δ (k) h1(k)
平移不变性
δ (k-2) h1(k-2)
第二步：
h(k)= h1(k)- h1(k-2)
= [ ] ε (k)-
[ ]ε (k-2)
kk )2(
3
2)1(
3
1 ?? 22 )2(32)1(31 ?? ?? kk
k＜ 0,h(k)=0
k=0.1,h(k)= h1(k)
k≥2,h(k)=0+2/3(2)[1-1/4]= ? (2)
三,阶跃响应,g(k)
1.定义,g(k)=T[0,ε (k) ]
2.h(k)与 g(k)的关系：
ε (k)= =
g(k)= =
δ (k)= ε (k)- ε (k-1) h(k)=g(k)-
g(k-1)
?
???
k
i
i)(? ?
?
?
?
0
)(
j
jk?
?
???
k
i
ih )( ?
?
?
?
0
)(
j
jkh?
?
3.求 g(k)的方法 经典法
由 h(k)求出
例：①经典法,g(k)-g(k-1)-2g(k-2)= ε (k)
g(-1)=g(-2)=0
对 k≥0,g(k) -g(k-1)-2g（ -2） =1
齐次解,gn(k)=c1 +c2
特解,gp(k)=p0=- ?
∴ g(k)= c1 +c2 -? k≥0
? ?k1? k)2(
? ?k1? k)2(
g(-1)= -c1+2c2-? =0 c1 =1/6
g(-2)= c1+ ? c2-? =0 c2=4/3
∴g(k)=[ ] ε (k)
② 利用 h(k)求 g(k):
h(k)=[ ] ε (k)
g(k)= =
2
1)2(
3
4)1(
6
1 ??? kk
kk )2(
3
2)1(
3
1 ??
? ??
???
k
i
ih ?
?
??
k
i
ii
0
])2(
3
2)1(
3
1[
=
求和公式：
基本形式：
a≠1
=
k2-k1+1 a=1
??
??
??
k
i
i
k
i
i
00
)2(
3
2)1(
3
1
?
?
2
1
k
kj
ja
a
aa kk
?
? ?
1
121
a≠1
=
k+1 a=1
= = ︱ a︱＜ 1
= 对应的是
∴ = =
?
?
k
j
ja
0
a
a k
?
?
1
1
?
?
?0j
ja
a
aa
?
? ?
1
0
a?1
1
?
?
k
j
j
0
2
)1( ?kk 2
0 2
1 tdt ?? ??
?
?
?
k
i
i
0
)1(
11
)1(1 1
?
?? ?k ])1(1[
2
1 k??
= =
∴ g(k)=
= k≥0
?
?
k
i
i
0
)2( 21
)2(1 1
?
? ?k k）（ 221 ?
]1)2(2[32])1(1[61 ???? kk
2
1)2(
3
4)1(
6
1 ??? kk
§ 3.4 卷积和
一,卷积和的定义,
f(t) yf(t)=h(t)*f(t)
δ(t) h(t)
f(k) yf(k)=h(k)*f(k)
δ(k) h(k)
1.f(k） 的分解：
k=-2,f(-2)* δ(k+2)
k=-1,f(-1)* δ(k+1)
k=0,f(0)* δ(k)
k=1,f(1)* δ(k-1)
k=i,f(i)* δ(k-i)
∴ f(k)=
2.定义,
?
?
???
?
i
ikif )()( ?
yf(k)=T[f(k)]=T[ ]
=
=
=f(k)*h(k)
3.一般定义,
f(k)=f1(k)*f2(k)
i:求和变量, -∞～ +∞
= f1(k)*f2(k) k:参考量,-∞～ +∞
?
?
???
?
i
ikif )()( ?
?
?
???
?
i
ikTif )]([)( ?
?
?
???
?
i
ikhif )()(
?
?
???i
二,卷积和的计算：
图解法：适用于有限长序列，因果和非因果均
可用，无闭合解,
列表法：适用于有限长序列，只适用于因果
序列,
解析法：适用于无限长序列，有闭合解,
1.图解法,反折
步骤,① f1(k) f1(i),f2(k) f2(-i)
平移 k
② f2(-i) f2(k-i)
③ 求乘积 f1(i)f2(k-i),求和,得到一个 f(k)
④ k从 -∞～ +∞变化，得到全部 f(k).
例,
?
?
i
k＜ 0,.f1(i)与 f2(k-i)无相交,f(k)=0.
K=0,f(0)= f1(i)f2(-i)=f1(0)f2(0)=1
k=1,f(1)= f1(i)f2(1-i)= f1(0)f2(1)+ f1(1)f2(0)
=2+1=3
k=2,f(2)= f1(i)f2(2-i) =6
?
?
0
0i
?
?
1
0i
?
?
2
0i
2.列表法,
f1(k)*f2(k)= f1(i)f2(k-i)
序号,i+k-i=k f(k)
卷积和长度, N=L+M-1 (L+M是原序列长度）
3.解析法,
①无限长因果序列,
h(k)= f(k)=ε (k)
yf(k)=
?
?
k
i 0
)()8.0( kk ?
??
?
?
???
??
k
i
i
i
i iki
0
)8.0()()()8.0( ??
gf(k)=
对于无限长的因果序列，下限从 0开始，到 k.
② 无限长非因果序列,
例,f1(k)= f2(k)=1,-∞＜ k＜ +∞
解,用定义式做
f1(k)*f2(k)=
= =2 -∞＜ k＜ +∞
)()8.01(5
8.01
8.01)8.0( 11
0
kk
kk
i
i ??
?
?
??
?
???
)()21( kk ?
??
?
?
?
???
?
0
)
2
1(1)()
2
1(
i
i
i
i i?
2
1
1
)
2
1
(1
?
?
?
③有限长序列的解析解,
例, f1(k)=f2(k)=ε(k)-ε(k-4)
0≤k≤3,相交逐步增大,
f(k)= =k+1
4≤k≤7,相交逐步减少,
f(k)= =3-(k-3)+1=7-k
1*1
0
?
?
k
i
1*1
3
3
?
?k
∴ f(k)= k+1 0≤k≤3
7-k 4≤k≤7
0 其他
三, 卷积和的性质：
1,代数运算,
2.f(k)与 δ(k)的卷积：
f(k)* δ(k)=f(k)
f(k)* δ(k-k1)= f(k -k1)
f(k -k1)* δ(k-k2)=f(k -k1 -k2)
f(k -k1)*f(k-k2)=f(k -k1 -k2)
f(k+1)=f(k)* δ(k+1)
四,复合系统的单位序列响应,
例,h1(k)=a ε(k),h2(k)=b ε(k) 都为因果序列
解, h(k)= h1(k)* h2(k)
=
= k≥0,a≠b
当 a=b时,h(k)=
1
00 1
1
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ??
k
k
i
k
i
kik
k
i
i
b
a
b
a
b
b
a
bba
ab
ab kk
?
? ?? 11
?
?
??
k
i
kk bkb
0
)1(1
结论,
b≠a
a=b
b=1,a ≠1
ε(k)* ε(k)=(k+1) ε(k) a=b=1
)()(*)(
11
k
ab
abkbka kkkk ???
?
?? ??
)()1( kbk k ??
)(
1
1)(*)( 1 k
a
akka kk ???
?
?? ?
例, ε(k+2)* ε(k-5)
=ε(k)* δ(k+2)*ε(k)*δ(k-5)
=ε(k)* ε(k)*δ(k+2-5)
=(k+1) ε(k)*δ(k-3)
=(k-2) ε(k-3)
五,求 LTI离散系统的全响应：
例, 全响应,y(k)=yx(k)+yf(k) 经典法
卷积和, yf(k)=h(k)*f(k)
经典法
经典法
① yx(k)= k≥0
② yf(k)=h(k)*f(k)
=
=
=
③ y(k)
kk )2(
9
2)1(
9
1 ??
)]()1[(*)]()2(
3
2)()1(
3
1[ kkk kkk ??? ???
)()1(*)()2(32)()1(*)()1(31 kkkk kkkk ???? ????
)(
21
21
3
2)()1)(1(
3
1 11 kkk kkk ??
??
????? ??）（
3.5 解卷积
积。这两类问题都称作解卷
问题。地质勘探、石油勘探等 如地震信号处理、
（系统辨识）；如何求,若已知
如血压计传感器；
（信号恢复）；如何求,若已知
式中在
)(),()(
)(),()(
)()()(
nhnxny
nxnhny
nhnxny ??
对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散
系统容易写出：
?
?
??
n
m
mnhmxny
0
)()()(
写为矩阵运算形式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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??
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)2(
)1(
)0(
)0()2()1()(
0)0()1()2(
00)0()1(
000)0(
)(
)2(
)1(
)0(
nx
x
x
x
hnhnhnh
hhh
hh
h
ny
y
y
y
?
?
?????
?
?
?
?
目的反求 x(n)
? ?
? ?
?
)0()1()1()2()0()2()2(
)0()1()0()1()1(
)0()0()0(
hhxhxyx
hhxyx
hyx
???
??
?
)0()()()()(
1
0
hmnhmxnynx
n
m
??
?
??
? ??? ??
?
)0()()()()(
1
0
xmnxmhnynh
n
m
??
?
??
? ??? ??
?
同理
例
? ? ? ?
系统方框图。算为基本单元，试画出以延时、相加、倍乘运
求
。表示，且满足用
函数若地层反射特性的系统接收回波信号
出的发射信号某地址勘探测试设备给
)2(
);()1(
)()()()(
),(
2
1
)(
,1
2
1
)(
nh
nxnhnynh
nuny
nnnx
n
??
?
?
?
?
?
?
?
??? ??
解：（ 1）求 h(n)
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
??
?
?
为偶数
为奇数
n
n
nh
xxhxhxhyh
xxhxhyh
xxhyh
xyh
n
2
1
0
0
2
1
2
1
2
1
)0()1()2()2()1()3()0()3()3(
2
1
0
2
1
)0()1()1()2()0()2()2(
0
2
1
2
1
)0()1()0()1()1(
1)0()0()0(
23
0
22
0
?
??? ???? ??
??? ??
)0()()()()(
1
0
xmnxmhnynh
n
m
??
?
??
? ??? ??
?
? ? ? ? ? ?
? ?1
2
1
)(
2
1
1
2
1
)(
2
1
1
0
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
?
?
? ?
?
?
nhnu
mnmnmhnu
n
n
m
n
??
即
)1(
2
1
2
1
)2(
2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)1(
2
1
)(
1
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
?
nunhnh
nunhnh
n
n
? ?
? ?nxnyny
nnhnh
???
???
)2(
4
1
)(
)2(
4
1
)( ?
?
1?
z
1?
z
? ?nx ? ?ny
41
系统框图
三．应用实例
? ?te ? ?
th T ? ?th ? ?th R
? ?tr
发送
信号
接收
信号
发送
天线
接收
天线
待测
目标
)()()()()( RT thththtetr ????
运算时需离散化。
，即可判别目标，求出系统的冲激响应 )( th
雷达探测系统
3,1离散时间信号
引言
3.2 LTI 离散系统的响应
3.3 单位序列和单位序列响应
3.5 解卷积
3.4 卷积和
引言
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号,
f(t)是连续变化的 t的函数，除若干不连续点之外对
于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都
是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
连续时间系统：
系统的输入、输出都是连续的时间信号。
模拟信号
抽样信号
量化信号
离散时间信号：
时间变量是离散的，
函数只在某些规定的时刻
有确定的值，在其他时间
没有定义。
离散时间系统：
系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
o
k
t
? ?
k
tf
2
t
1?
t
1
t 3t
2?
t
离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由
实际系统生成。
量化
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
采样过程 就是对模拟信号的时间取离
散的量化值过程 —— 得到离散信号。
数字信号：
离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
o t
? ?tf
T T2 T3
1.3
2.4
5.1
9.0
o T T2 T3
? ?tf
q
t
3
4
2
1
离散时间系统的优点
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其
优越性；
?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精
度取决于位数；
?可靠性好；
?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；
?易消除噪声干扰；
?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大
大改善了系统的灵活性和通用性；
?易处理速率很低的信号。
离散时间系统的困难和缺点
高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由
模拟转化为数字要牺牲带宽。
应用前景
由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，
被数字（更多是模／数混合）系统所代替；
人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数
字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与
生活的每个角落。 数字信号处理 技术正在使人类生产和
生活质量提高到前所未有的新境界。
混合系统：
连续时间系统与离散时间系统联合应用 。 如自控
系统, 数字通信系统 。 需要 A/D,D/A转换 。
不能认为数字技术将取代一切连续时间系统的应用
?人类在自然界中遇到的待处理信号相当多的是连
续时间信号，需经 A/D,D/A转换。
?当频率较高时，直接采用数字集成器件尚有一些
困难，有时，用连续时间系统处理或许比较简便。
?最佳地协调模拟与数字部件已成为系统设计师的
首要职责。
混合系统
系统分析
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
拉氏变换法变换域分析
零状态响应零输入响应
特解经典法：齐次解
时域分析
:
连续时间系统 —— 微分方程描述
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
变换法变换域分析
零状态响应零输入响应
特解经典法：齐次解
时域分析
z:
离散时间系统 —— 差分方程描述
差分方程的解法与微分方程类似
本章内容
?离散时间信号及其描述, 运算；
?离散时间系统的数学模型 —— 差分方程；
?线性差分方程的时域解法；
?离散时间系统的单位样值响应；
?离散卷积。
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系,
区别, 对比, 与连续系统有并行的相似性 。 和前几
章对照, 温故而知新 。
学习方法
3,1离散时间信号
? ? ? ? ? ? 0,1,2,x t x n T T x n n? ? ? ?等间隔
一．离散信号的表示方法
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
值的大小线段的长短表示各序列波形表示
可以用函数表示有规则的
如数字序列
,
:,
1.0,3.0,8.0,9.0
0
nx
n
??
? ?? ? ? ?
? ?
x n x n
xn
与 概念上有区别，但为了书写方便，
常以 表示整个序列，在应用场合一般不会混淆。
序列的三种形式
O
)( nx
n
?
O
)( nx
n
??
O
)( nx
n1n 2n；双边序列,????? n；单边序列,0?n；有限长序列,21 nnn ??
二．离散信号的运算
1．相加：
2．相乘：
3．乘系数：
)()()( nynxnz ??
)()()( nynxnz ??
)()( naxnz ?
左移位
右移位
)()(
)()(
mnxnz
mnxnz
??
??4．移位：
o n
? ?1?nx
1 2
3
? ?1?x
? ?0x
? ?1x
? ?3x
? ?2x
41?o n
? ?nx
1
2
3
? ?1?x
? ?0x
? ?1x
? ?3x
? ?2x
1?
)()( nxnz ??
)1()()(
)()1()(
????
????
nxnxnx
nxnxnx
后向差分：
前向差分：
?
?
???
?
k
kxnz )()(
5．倒置：
6．差分：
7．累加：
8．重排（压缩、扩展）：
? ? ? ? ? ? ?
?
??
?
???
a
nxnxanxnx,或
注意,有时需去除某些点或补足相应的零值。
9．序列的能量 ?
???
?
n
n
nxE 2)(
三．常用离散信号
?单位样值信号
?单位阶跃序列
?矩形序列
?斜变序列
?单边指数序列
?正弦序列
?复指数序列
1．单位样值信号
?
?
?
?
??
0,1
0,0)(
n
nn?
时移性
比例性 )(),( jncnc ???
抽样性 )()0()()( nfnnf ?? ?
注意：
nO
)( n?
1
1
?
?
?
?
???
jn
jnjn
,1
,0)(?
n
)1( ?n?
1
1O
? ? ? ?
? ?。不是面积取有限值在
，幅度为表示，强度用面积
0)(; 0 )(
?
??
nn
tt
?
?
利用单位样值信号表示任意序列
?
?
???
??
m
mnmxnx )()()( ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
,,,,,.,0030511
0n
nf
1
2
3 41? o n
? ?nf
5.1
3?
? ? ? ? ? ?235.11 ????? nnn ???
2．单位阶跃序列
?
?
?
?
??
00
01)(
n
nnu
nO
)( nu
1
11? 2 3
?
?
?
?
??
????????
0
)(
)3()2()1()()(
k
kn
nnnnnu
?
???? ?
( ),un 可以看作是无数个单位样值之和
)1()()( ??? nunun?
? ? ? ?n u n? 与 是差和关系，不再是微商关系。
3．矩形序列
?
?
?
??
????
Nnn
NnnR
N,00
101)(
? ? ( ) ( ) ( )Nu n R n u n u n N? ? ?与 的关系：
no
)( nR
N
1
11? 2 3
?
1?N
4．斜变序列
)()( nnunx ?
nO
)( nx
1
11? 2 3 4
O n
1
? ?nua
n
1? 1 2 3 4
01 ??? a
5．单边指数序列
? ? ? ?nuanx n?
O n
1
? ?nua n
1? 1 2 3 4
1?a
O n
1
? ?nua
n
1? 1 2 3 4
1??a
O n
1
? ?nua n
1? 1 2 3 4
10 ?? a
6．正弦序列
数值。个重复一次正弦包络的则序列每＝当
的速率。序列值依次周期性重复正弦序列的频率
10,
10
π2
,:
0
0
?
?
? ? ? ?0s i n n ωnx ?
1 5
O
n
1?
10
? ?
0
sin n ω
? ?t
0
sin ?
1
? ? ? ? s i n 0 是周期序列应满足离散正弦序列 nnx ??
N称为序列的 周期, 为任意 正整数 。
? ? ? ?nxNnx ??
? ? ? ?0c o s ?nnx ?余弦序列：
正弦序列周期性的判别
① π2
0
是正整数,NN??
② 为有理数，
m
N
m
N?
0
π2
?
? ? s i n 0 仍为周期的n?
0
π2
?mN ?周期：
正弦序列是周期的
? ?? ?Nn ?0s in ? ? ?n0s in ??? ?π2s i n 0 ?? n? ?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
0
0
π2s i n
?
? n
? ?? ?Nn ?0s in ? ? ?n0s in ??? ?π2s i n 0 ??? mn? ?
?
?
?
?
?
???
?
???
? ??
0
0
π2s i n
?
? mn
为无理数
0
π2
?
③
? ? ? ? 值的找不到满足 NnxNnx ??,为非周期的
?
?
??
?
? ?
TΩ
?2
0
? ? ? ?的关系与区别。与连续信号离散信号 tn 00 s i n s i n ??
? ? ? ? ? ?tΩtftf 00 s i nπ2s i n ??
离散点 （ 时刻 ） nT上的正弦值
? ? ? ?nTΩnTx 0s i n?
00,离散正弦信号令 TΩ??
? ? ? ?nnx 0s i n ??
?
?
?
离散域的频率连续弧度单位
连续域的正弦频率连续秒弧度单位
/
0
0
ω
Ω
区别,
? ??，π0 ??ω
7．复指数序列
复序列用极坐标表示：
? ? nnnx n 00j s i njc o se 0 ??? ???
? ? ? ? ? ?? ?nxnxnx a r gje?
? ? 1?nx
? ?? ? nnx 0??a r g
复指数序列：
3.2 LTI 离散系统的响应
o一．差分与差分方程,
o 1,差分：
o 一阶前向差分,Δf(k)=f(k+1)― f (k)
o 一阶后向差分,?f(k)=f(k) -f(-1)
o 差分运算的线性性质：
o?[a1f1(k)+ a2f2(k)]= a1f1(k)+ a2f2(k) -a1f1(k-1)-a2f2(k-1)
o = a1[f1(k)-f1(k-1)]+ a2[f2(k)-f2(k-1)]
o = a1? [f1(k)+ a2?[ f2(k)]
o 二阶差分,?2f(k)=?[f(k) -f(k-1)]
o =?[f(k)]-?[f(k-1)]
o =f(k) -2f(k-1)+ f(k-2)
2, 差分方程：
LTI离散系统 —— 常系数线性差分方程
y(k)+an-1y(k─1)+ ┈ +a0 y(k─n)=bmf(k)+bm-1f(k─1) + ┈ +
b0 y(k─m)
非线性,y(k)+an-1[y(k─1)]2=0
变系数,y(k)+ y(k─1)=0
ka
3,差分方程的简明解法 —— 迭代法
已知,f(k),y(─1)?y(0)?y(1)?y(2)?┈ y(k)
例,y(k) ─2y(k─1)=ε(k),y(─1)=0
解,y(k)=2y(k─1)+ε(k)
y(0)= 2y(─1) +ε(0)=1
y(1)=2y(0)+ε(1)=3
y(2)=2y(1)+1=7
y(3)=15
优点：得到的是数值解, 适于计算机计算 。
缺点：希望得到 y(k)=2,k+1的形式，但得到的都
是数值解，
所以不易得到解析解,
二,差分方程的经典解, y(k)=yh(k)+yp(k)
1,齐次解：
齐次方程,y(k)+ an-1y(k─1) + ┈ +a0 y(k─n)=0
一阶差分方程,y(k)+ay(k─1) =0,y(k)/ y(k─1)= ─a
∴ y(k)=c(─a)=cλ (─a为特征根 )
代入原方程,cλ+ an-1 + ┈ +ca0 =0
c≠0 1?k? nk??
两边同乘以, + an-1 + ┈ +a1λ+ a0=0
这样就得到特征方程
特征根 → 齐次解形式 初始条件 → 系数 ci
2,特解：激励 f(k)→ 特解形式 原方程 → 系数 pi
3,全解,y(k)= ciλi+yp(k)
初始条件,y(0),y(1),y(2),┈ y(n─1)
4,求系统的自由响应和强迫响应：
y(k)=k(─2) ─? (─2)+? (2) k≥0
自由 强迫
nk??
n?
1?n?
?
?
n
i 1
三, 零输入响应和零状态响应：
1,y(k)=yx(k)+yf(k)
2, 初始值,k=0,f(k)接入
初始状态,y(─1),y(─2),┈,y(─n)已知
初始值,y(0),y(1),y(2),┈ 未知的 用迭代法
3,y(j)=yx（ j） +yf(j)
由 零状态响应,yf(─1)= yf(─2)= ┈ =0
yx(j)=y(j),j=─1,─2,┈,─n,
例,① yx(k)+3 yx(k─1)+2 yx(k─2)=0
yx(─1)=y(─1) =0,yx(─2)=y(─2)=?
初始值,yx(k)= ─3 yx(k─1) ─2 yx(k─2)
yx(0)= ─3 yx(─1) ─2 yx(─2)=─1
yx(1)= ─3 yx(0) ─2 yx(─1)=3
yx(k)=cx1(─1)+ cx2(─2) cx1=1
yx(0)=cx1++cx2=─1 cx2=─2
yx(1)= ─cx1─2cx2=3
yx(─1)= ─cx1─?cx2=0 cx1=1
yx(─2)= cx1+? cx2=? cx2=─2
② yf(k) yf(─1)= ─cf1─?cf2+1/6=0 cf1=─?
yf(─2)= cf1+? cf2+1/12=0 cf2=1
前向差分：共轭复数
例,y(k+2) ─2y(k+1)+2y(k)=0,y(0)=0,y(1)=3
解,c ─c*2 +2c =0 两边同乘以
─2λ+2=0 λ1=1+j,λ2=1─j
2?k? 1?k? k? k??
2?
共轭复根,a+bj→ P
λ1=1+j= λ2=1─j=
yh(t)= (Ccos k+Dsin k)
= (Ccos k+2sin k)
y(k+1)+3y(k) ─2 y(k─1)=0
?je
42
?j
e 42
?j
e
?
? ?k2 4?4?
? ?k2 4? 4?
§ 3.3 单位序列和单位序列响应
一,单位序列和单位阶跃序列,
1。 单位序列：
δ (k)= 1 k=0
0 k≠ 0
δ (t)=
0 t≠ 0
特点：是最简单的，同时也是最重要的,
移位,δ (k-i)= 1 k=i
0 k≠ I
取样性质,f(k)* δ (k)=f(0)* δ (k) δ (k)表示
位置
f(k)* δ (k-i)=f(I)* δ (k-i) δ (k-i)
注意序列不能丢
???? ? 1)( dtt?
2.单位阶跃序列：
ε (k)= 1 k＜ 0
0 k≥0
ε (t)= 0 t＜ 0
1 t＞ 0
严格讲 ε (0)=?,因为有跃变存在,
3,δ (k)与 ε (k)的关系：
δ (k)=▽ ε (k)= ε (k)- ε (k-1) 差分表示，
对应的微分 δ (t)=dε (t)/dt
ε (k)= 对应的是连续系统的积
分
i=k-j
ε (t)= ======
=
?
???
k
i
k )(?
? ??
t
dxx )(? ?
???
?
0
)(
j
jk?
?
?
?
?
0
)(
j
jk?
二,单位序列响应, h(k)
1.定义,h(k)=T[0,δ (k)]
2.求解,h(k)
方法一：若方程右端只有 f(k),而无移位项 ---经典法,
例,y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)
解：①满足 h(k)-h(k-1)-2h(k-2)= δ (k)
h(-1)=h(-2)=0
② 求初始值：用迭代法
h(k)=h(k-1)+2h(k-2)+ δ (k)
h(0)=h(-1)+2h(-2)+1=1
h(1)=h(0)+2h(-1)+0=1
③ k＞ 0时,h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0
h(k)=c1(-1)+c2(2)
h(0)=c1+c2=1 c1=0
h(1)=-c1+2c2=1 c2=0
方法二：方程右端除 f(k)外，还有移位项，分两步,
设仅 δ (k) → h1(k)
线性，移位不变性 → h(k）
例,左,x(k)-x(k-1)-2x(k-2)=f(k)
右,y(k)=x(k)-x(k-2) ①
-y(k-1)=-x(k-1)-[-x(k-3)] ②
-2y(k-2)=-2x(k-2)-[-2x(k-4)] ③
①＋② ＋③,
y(k)-y(k-1)-2y(k-2)
=[x(k)-x(k-1)-2x(k-2)]-[x(k-2)-x(k-3)-2x(k-4)]
=f(k)-f(k-2)
求 h(k),h(k)- h(k-1)-2h(k-2)= δ (k)- δ (k-2)
h(-1)=h(-2)=0
第一步：设 δ (k) → h1(k)
h1(k)- h1(k-1)-2 h1(k-2)= δ (k)
h(-1)=h(-2)=0
h1(k)=[ ]* ε (k)
kk )2(
3
2)1(
3
1 ??
δ (k) h1(k)
平移不变性
δ (k-2) h1(k-2)
第二步：
h(k)= h1(k)- h1(k-2)
= [ ] ε (k)-
[ ]ε (k-2)
kk )2(
3
2)1(
3
1 ?? 22 )2(32)1(31 ?? ?? kk
k＜ 0,h(k)=0
k=0.1,h(k)= h1(k)
k≥2,h(k)=0+2/3(2)[1-1/4]= ? (2)
三,阶跃响应,g(k)
1.定义,g(k)=T[0,ε (k) ]
2.h(k)与 g(k)的关系：
ε (k)= =
g(k)= =
δ (k)= ε (k)- ε (k-1) h(k)=g(k)-
g(k-1)
?
???
k
i
i)(? ?
?
?
?
0
)(
j
jk?
?
???
k
i
ih )( ?
?
?
?
0
)(
j
jkh?
?
3.求 g(k)的方法 经典法
由 h(k)求出
例：①经典法,g(k)-g(k-1)-2g(k-2)= ε (k)
g(-1)=g(-2)=0
对 k≥0,g(k) -g(k-1)-2g（ -2） =1
齐次解,gn(k)=c1 +c2
特解,gp(k)=p0=- ?
∴ g(k)= c1 +c2 -? k≥0
? ?k1? k)2(
? ?k1? k)2(
g(-1)= -c1+2c2-? =0 c1 =1/6
g(-2)= c1+ ? c2-? =0 c2=4/3
∴g(k)=[ ] ε (k)
② 利用 h(k)求 g(k):
h(k)=[ ] ε (k)
g(k)= =
2
1)2(
3
4)1(
6
1 ??? kk
kk )2(
3
2)1(
3
1 ??
? ??
???
k
i
ih ?
?
??
k
i
ii
0
])2(
3
2)1(
3
1[
=
求和公式：
基本形式：
a≠1
=
k2-k1+1 a=1
??
??
??
k
i
i
k
i
i
00
)2(
3
2)1(
3
1
?
?
2
1
k
kj
ja
a
aa kk
?
? ?
1
121
a≠1
=
k+1 a=1
= = ︱ a︱＜ 1
= 对应的是
∴ = =
?
?
k
j
ja
0
a
a k
?
?
1
1
?
?
?0j
ja
a
aa
?
? ?
1
0
a?1
1
?
?
k
j
j
0
2
)1( ?kk 2
0 2
1 tdt ?? ??
?
?
?
k
i
i
0
)1(
11
)1(1 1
?
?? ?k ])1(1[
2
1 k??
= =
∴ g(k)=
= k≥0
?
?
k
i
i
0
)2( 21
)2(1 1
?
? ?k k）（ 221 ?
]1)2(2[32])1(1[61 ???? kk
2
1)2(
3
4)1(
6
1 ??? kk
§ 3.4 卷积和
一,卷积和的定义,
f(t) yf(t)=h(t)*f(t)
δ(t) h(t)
f(k) yf(k)=h(k)*f(k)
δ(k) h(k)
1.f(k） 的分解：
k=-2,f(-2)* δ(k+2)
k=-1,f(-1)* δ(k+1)
k=0,f(0)* δ(k)
k=1,f(1)* δ(k-1)
k=i,f(i)* δ(k-i)
∴ f(k)=
2.定义,
?
?
???
?
i
ikif )()( ?
yf(k)=T[f(k)]=T[ ]
=
=
=f(k)*h(k)
3.一般定义,
f(k)=f1(k)*f2(k)
i:求和变量, -∞～ +∞
= f1(k)*f2(k) k:参考量,-∞～ +∞
?
?
???
?
i
ikif )()( ?
?
?
???
?
i
ikTif )]([)( ?
?
?
???
?
i
ikhif )()(
?
?
???i
二,卷积和的计算：
图解法：适用于有限长序列，因果和非因果均
可用，无闭合解,
列表法：适用于有限长序列，只适用于因果
序列,
解析法：适用于无限长序列，有闭合解,
1.图解法,反折
步骤,① f1(k) f1(i),f2(k) f2(-i)
平移 k
② f2(-i) f2(k-i)
③ 求乘积 f1(i)f2(k-i),求和,得到一个 f(k)
④ k从 -∞～ +∞变化，得到全部 f(k).
例,
?
?
i
k＜ 0,.f1(i)与 f2(k-i)无相交,f(k)=0.
K=0,f(0)= f1(i)f2(-i)=f1(0)f2(0)=1
k=1,f(1)= f1(i)f2(1-i)= f1(0)f2(1)+ f1(1)f2(0)
=2+1=3
k=2,f(2)= f1(i)f2(2-i) =6
?
?
0
0i
?
?
1
0i
?
?
2
0i
2.列表法,
f1(k)*f2(k)= f1(i)f2(k-i)
序号,i+k-i=k f(k)
卷积和长度, N=L+M-1 (L+M是原序列长度）
3.解析法,
①无限长因果序列,
h(k)= f(k)=ε (k)
yf(k)=
?
?
k
i 0
)()8.0( kk ?
??
?
?
???
??
k
i
i
i
i iki
0
)8.0()()()8.0( ??
gf(k)=
对于无限长的因果序列，下限从 0开始，到 k.
② 无限长非因果序列,
例,f1(k)= f2(k)=1,-∞＜ k＜ +∞
解,用定义式做
f1(k)*f2(k)=
= =2 -∞＜ k＜ +∞
)()8.01(5
8.01
8.01)8.0( 11
0
kk
kk
i
i ??
?
?
??
?
???
)()21( kk ?
??
?
?
?
???
?
0
)
2
1(1)()
2
1(
i
i
i
i i?
2
1
1
)
2
1
(1
?
?
?
③有限长序列的解析解,
例, f1(k)=f2(k)=ε(k)-ε(k-4)
0≤k≤3,相交逐步增大,
f(k)= =k+1
4≤k≤7,相交逐步减少,
f(k)= =3-(k-3)+1=7-k
1*1
0
?
?
k
i
1*1
3
3
?
?k
∴ f(k)= k+1 0≤k≤3
7-k 4≤k≤7
0 其他
三, 卷积和的性质：
1,代数运算,
2.f(k)与 δ(k)的卷积：
f(k)* δ(k)=f(k)
f(k)* δ(k-k1)= f(k -k1)
f(k -k1)* δ(k-k2)=f(k -k1 -k2)
f(k -k1)*f(k-k2)=f(k -k1 -k2)
f(k+1)=f(k)* δ(k+1)
四,复合系统的单位序列响应,
例,h1(k)=a ε(k),h2(k)=b ε(k) 都为因果序列
解, h(k)= h1(k)* h2(k)
=
= k≥0,a≠b
当 a=b时,h(k)=
1
00 1
1
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ??
k
k
i
k
i
kik
k
i
i
b
a
b
a
b
b
a
bba
ab
ab kk
?
? ?? 11
?
?
??
k
i
kk bkb
0
)1(1
结论,
b≠a
a=b
b=1,a ≠1
ε(k)* ε(k)=(k+1) ε(k) a=b=1
)()(*)(
11
k
ab
abkbka kkkk ???
?
?? ??
)()1( kbk k ??
)(
1
1)(*)( 1 k
a
akka kk ???
?
?? ?
例, ε(k+2)* ε(k-5)
=ε(k)* δ(k+2)*ε(k)*δ(k-5)
=ε(k)* ε(k)*δ(k+2-5)
=(k+1) ε(k)*δ(k-3)
=(k-2) ε(k-3)
五,求 LTI离散系统的全响应：
例, 全响应,y(k)=yx(k)+yf(k) 经典法
卷积和, yf(k)=h(k)*f(k)
经典法
经典法
① yx(k)= k≥0
② yf(k)=h(k)*f(k)
=
=
=
③ y(k)
kk )2(
9
2)1(
9
1 ??
)]()1[(*)]()2(
3
2)()1(
3
1[ kkk kkk ??? ???
)()1(*)()2(32)()1(*)()1(31 kkkk kkkk ???? ????
)(
21
21
3
2)()1)(1(
3
1 11 kkk kkk ??
??
????? ??）（
3.5 解卷积
积。这两类问题都称作解卷
问题。地质勘探、石油勘探等 如地震信号处理、
（系统辨识）；如何求,若已知
如血压计传感器；
（信号恢复）；如何求,若已知
式中在
)(),()(
)(),()(
)()()(
nhnxny
nxnhny
nhnxny ??
对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散
系统容易写出：
?
?
??
n
m
mnhmxny
0
)()()(
写为矩阵运算形式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
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?
?
?
?
?
?
?
)(
)2(
)1(
)0(
)0()2()1()(
0)0()1()2(
00)0()1(
000)0(
)(
)2(
)1(
)0(
nx
x
x
x
hnhnhnh
hhh
hh
h
ny
y
y
y
?
?
?????
?
?
?
?
目的反求 x(n)
? ?
? ?
?
)0()1()1()2()0()2()2(
)0()1()0()1()1(
)0()0()0(
hhxhxyx
hhxyx
hyx
???
??
?
)0()()()()(
1
0
hmnhmxnynx
n
m
??
?
??
? ??? ??
?
)0()()()()(
1
0
xmnxmhnynh
n
m
??
?
??
? ??? ??
?
同理
例
? ? ? ?
系统方框图。算为基本单元，试画出以延时、相加、倍乘运
求
。表示，且满足用
函数若地层反射特性的系统接收回波信号
出的发射信号某地址勘探测试设备给
)2(
);()1(
)()()()(
),(
2
1
)(
,1
2
1
)(
nh
nxnhnynh
nuny
nnnx
n
??
?
?
?
?
?
?
?
??? ??
解：（ 1）求 h(n)
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
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???
?????
??
?
?
为偶数
为奇数
n
n
nh
xxhxhxhyh
xxhxhyh
xxhyh
xyh
n
2
1
0
0
2
1
2
1
2
1
)0()1()2()2()1()3()0()3()3(
2
1
0
2
1
)0()1()1()2()0()2()2(
0
2
1
2
1
)0()1()0()1()1(
1)0()0()0(
23
0
22
0
?
??? ???? ??
??? ??
)0()()()()(
1
0
xmnxmhnynh
n
m
??
?
??
? ??? ??
?
? ? ? ? ? ?
? ?1
2
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)(
2
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1
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2
1
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0
???
?
?
?
?
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??????
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nhnu
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n
n
m
n
??
即
)1(
2
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2
1
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2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
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2
1
)(
1
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?
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?
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???
?
nunhnh
nunhnh
n
n
? ?
? ?nxnyny
nnhnh
???
???
)2(
4
1
)(
)2(
4
1
)( ?
?
1?
z
1?
z
? ?nx ? ?ny
41
系统框图
三．应用实例
? ?te ? ?
th T ? ?th ? ?th R
? ?tr
发送
信号
接收
信号
发送
天线
接收
天线
待测
目标
)()()()()( RT thththtetr ????
运算时需离散化。
，即可判别目标，求出系统的冲激响应 )( th
雷达探测系统
