第四章 连续系统的频域分析 时域分析：f(t) yf(t)=h(t)*f(t) ( 分解 ( 基本信号((t)→ LTI →h(t) 频域分析： f(t) yej(t =h(t)* H(j()Fej(t ( 分解 ( 基本信号 sin(t → LTI → H(j()ej(t ej(t H(j()：系统的频域响应函数，是信号角频率(的函数，与t无关. 主要内容： 一、信号的分解为正交函数。 二、周期信号的频域分析(付里叶级数（求和），频谱的特点。 信号 三、非周期信号的频域分析(付里叶变换（积分），性质。 分析 四、LTI系统的频域分析：频域响应H(j()；y(j()= H(j()?F(j(). (系统分析) 五、抽样定理：连续信号(离散信号. §4.1 信号分解为正交函数 一、正交： 两个函数满足 φ1(t) φ2(t)dt=0, 称φi(t),φj(t)在区间( t1 ,t2)正交。 二、正交函数集：几个函数 φi(t) φi(t)dt= 0 当i≠j; Ki 当i=j. 三、完备正交函数集：在{φ1(t)… φn(t)}之外， 不存在((t)满足 ( (t) φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n). 例、三角函数集:{1,cos(t,cos2(t,… ,cosm(t,…,sin(t, sin2(t,…sin(n(t),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/(为周期. 满足： cosm(tcosn(tdt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 T m=n=0 sin（m(t）sin(n(t)dt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 sin(m(t)cos(n(t)dt= 0. 所有的m和n. 结论:三角函数集是完备正交集。 推导： cosm(tcosn(tdt =(1/2) [cos(m+n) (t+cos(m-n) (t]dt =(1/2)sin(m+n)(t +(1/2)sin(m-n)(t =(1/2)[sin(m+n) ((t0+T)-sin(m+n)(t0] +(1/2)[sin(m-n) ((t0+T)-sin(m-n)(t0] =0 当m≠n时. m=n≠0，原式=(1/2) [ cos(m+n)(t+1]dt=(1/2)?t =T/2 m=n=0 , 原式=(1/2) [1+1]dt=T. 4、复函数的正交函数集： 几个复函数集{φi(t)}， φi(t) φi* (t)dt= 0 i≠j ki i=j 例：复函数集{ ejnΩt}(n=0,±1,±2…) 区间(t0,t0+T）,T=2π/(为周期。 满足 ejm (t(ejn(t)*dt= ej(m-n)(t dt =[1/(j(m-n)Ω)] ej(m-n)(t dt =0 m≠n = 1dt=T m=n. 结论：{ ejnΩt}是完备正交集。(n=0,±1,±2…) 二、信号分解为正交函数集。 1、分解： 二维 A=c1vx + c2yy { vx ，v}y二维正交矢量集 三维 A= c1vx +c2vy +c3vz { vx ，vy，vz }三维正交矢量集 n维：{φ1(t)… φn(t)}在( t1 ,t2)构成正交函数集。 f(t)≈c1φ1 (t)+ c2φ2(t)+…cnφn(t)+(t)= cjφj(t) 任意一个函数可以用这几个正交函数的线性组合来近似。 2、系数cj的选择。 方均误差定义：=[1/(t2-t1)] [f(t)- cjφj(t)]2dt 使 最小，对第i个系数ci来说，应使/ci =0. ∴cj= [ f(t) φj(t)dt]/ ( [φj(t)]2dt) =(1/Kj) f(t) φj(t)dt 最佳近似条件下的方均误差： =[1/(t2-t1)]( [f(t)]2 dt - cj2Kj). ∵ ≥0,n(, (; ∴n(∞, (0. 则 [f(t)]2 dt= cj2Kj(称帕斯瓦尔方程。 f(t)= cjφj(t). 即函数f(t)在区间( t1 ,t2)可分解为无穷多项正交函数之和。 §4.2付里叶级数 一、付里叶级数：（三角形式） f(t)=(a0/2)·1+a1cos(t+a2cos2(t+…+b 1sin(t+b 2sin2(t+… = a0/2+ ancos(n(t)+ b nsin(n(t). 积分区间：t0 t0+T, 0T, -T/2T/2 Ki= (cos(n(t))2 dt=T/2. an=(2/T)  f(t)cos(n(t)dt bn=(2/T)f(t)sin(n(t)dt 形制：a-n=an是偶函数 b-n=-bn时奇函数 (其中n=0,1,2…). 2、三角形式二：同频率项合并。 f(t)=a0/2+A1cos((t+φ1)+A2cos(2(t+φ2) +… = a0/2+ Ancos(n(t+φn). A0=a0 an= bn =-arctg(bn / an). 由性质可知：a0= A0 an=Ancosφn bn= bn sinφn 3、物理意义;同周期信号可分解为各次谐波之和。 f(t)= a0/2+A1cos((t+φ1)+A2cos(2(t+φ2) +…+Ancos((t+φn)+… 例4.2-1 f(t)为方波，分解为付里叶级数。 周期：T 频率：1/T 角频率：(=2(/T. 区间：(-T/2,T/2) (1)f(t)= a0/2+ ancos(n(t)+ bnsin(n(t) an=(2/T) f(t)cos(nΩt)dt =0 bn=(2/T) f(t)sin(nΩt)dt= 0 n=2,4,6… . 4/(n() n=1,3,5… ∴f(t)=(4/()[sin(t+(1/3)sin(3(t)+…+ (1/n)sin(n(t)+ …] 结论：方波只含有1，3，5等奇次谐波分量，无直流分量。 （2）方均误差（有限项逼近） =[1/(t2-t1)][ f2(t)dt- c2jKj] =(1/T)[ 1dt-(T/2) （bj）2]=1-(1/2) （bj）2 只取基波：=1-(1/2)(4/()2=0.189. 取基三次谐波：=1-(1/2)[(4/()2+(4/3()2=0.0994. 基“+”3，”+”5次: =1-(1/2)[(4/()2+(4/3()2+(4/5()2]=0.0669 （3）方波分解的特点 1、它包含的基波分量越多，越接近方波，其均方误差越小。 2、当合成波所含基波次数n(∞，在间断点仍有约9(偏差，在间断点出尖峰下的面积非常小以致趋近于零。 二、奇偶函数的付里叶系数的特点: 1、为偶函数：f(-t)=f(t),关于纵坐标对称。 an=(2/T) f(t)cos(n(t)dt =(2/T)f(t) cos(n(t)dt +(2/T)f(t) cos(n(t)dt ∴an=(4/T)f(t) cos(n(t)dt bn=(2/T) f(t)sin(n(t)dt+(2/T)f(t)sin(n(t)dt ∴ bn= 0. 当f(t)为偶函数时 an=(4/T)f(t) cos(n(t)dt An= |an| bn/ an=0 bn= 0 (n= m( arctgbn/an角度为0，( 2、f(t)为奇函数。F(-t)=-f(t),波形关于原点对称。 当f(t)为奇函数时： an=0 An= |bn| bn=(4/T)f(t)sin(nΩt)dt (n= (2m+1)(/2. bn/an(∞. ∴ 奇函数只有正弦项。 任意函数 f(t)=fod(t)+fev(t) ( fod(t)=(f(t)-f(-t))/2. f(-t)= fod(-t)+fev(-t)= -fod(t)+fev(t) fev(t)=(f(t)+f(-t))/2. 3、f(t)为奇谐函数。（半波对称函数） f(t)=- f(t(T/2),移动T/2后，关于横轴对称。 付里叶级数只含奇次谐波，不含偶次谐波。 a0= a2= a4= a6=( b0= b2= b4=(=0 例4.2-2 把锯齿波信号展为付里叶级数。 解：     方法1：f(t)=t/T既不是偶函数也不是奇函数， 直接在[0,T]区间上求an ，bn . 方法二：把分为奇偶两部分。 fev(t)=(1/2)[f(t)-f(-t)]=(1/2)[t/T+(-t+T)/T]=1/2. fod(t)=(1/2)[f(t)+f(-t)]=(1/2)[t/T-(-t+T)/T]=t/T-1/2=(t-T/2)/T. 奇函数部分分解为：an bn =(4/T)[t/T-1/2]sin(n(t)dt =(4/T2)[sin(n(t)-n(cos(n(t)]/(n()2 +(2/T)[cos(n(t)]/(n()]=-1/n(. n=1,2,3… ∴f(t)= fev(t)+fod(t)=1/2+ bn sin(n(t) =1/2-(1/()[sin(t+(1/2)sin(2(t)+(1/3) sin(3(t)+…]. 锯齿波含直流分量和各次谐波分量。 三、周期信号分解为指数形付里叶级数。 1、定义式：（由三角形式推导） f(t)=A0/2+ Ancos(n(t+φn) = A0/2+ (An/2)[ej(nΩt+φn)+e -j(nΩt+φn)]。 ∴ f(t)= FnejnΩt 2、确定付里叶系数Fn Fn=(1/2) Anejφn+(1/2)[Ancosφn)+jAnsinφn]=(1/2)(an-jbn) =(1/2)(2/T) f(t)cos(nΩt)dt -j(1/2)(2/T) f(t)sin(nΩt)dt =(1/T)f(t)[cos(nΩt)-jsin(nΩt)]dt ∴ Fn=(1/T) f(t)e-jnΩtdt. n=0,±1,±2… 3、物理意义：周期信号可分解为许多不同频率(n()的虚指数信号(ejnΩt)之和。 每个分量的大小用Fn来表示，分为幅度和相位。 各三角函数型和指数型付里叶级数及其系数，以及各系数间的关系见表4-1。 §4.3 周期信号的频谱 一、频谱的概念： 频谱分为 ( 幅度频谱：以频率ω（或角频率(）为横坐标，An/｜Fn｜为纵坐标。 ( 相位频谱：以频率ω（或角频率(）为横坐标，φn 为纵坐标。 f(t)=A0/2+ Ancos(nΩt+φn) A0为直流分量幅度；An为n次谐波的振幅；φn为n次谐波的初相角。  周期信号的频谱是离散的。 结论：正如波形是信号在时域的表示一样，频谱则是信号在频域的表示。 描述了一个信号的频谱就等于描述了这个信号。 信号分解：从已知信号绘制其频谱图。 合成：根据其频谱图反过来和成原有的信号。 波形f(t) 频谱 Fn与An比较： An：每条谱线代表一个完整的谐波分量的幅度，物理意义明确。 Fn：从数学上将cosn(t分成ejnΩt和e-jnΩt，有负频率，没有物理意义。变化趋势一致都可进行信号的频谱分析。｜Fn｜=(1/2)An. 3、周期信号频谱的特点：离散性；谐波性（是基波频率的整数倍）。 二、周期矩形脉冲的频谱。 f(t)幅度为1，脉冲宽度为(;周期为T. 1、求频谱：f(t)=  nejnΩt Fn=(1/T)f(t) e-jnΩtdt=(1/T) e-jnΩtdt =((/T)[sin(n(()/(n()]=((/T)[sin(n((/2)/(n((/2)] = ((/T)Sa(n((/2) 或(=2(/T. n=((/T)[sin(n2((/2T)/(n2((/2T)] =((/T)Sa(n((/2). N=0,(1,(2( (1) ( f(t)= ((/T)Sa(n((/2) ejnΩt 是指数形式的付里叶级数展开式。 由（1）式画出矩形脉冲信号频谱图。设T=4( Fn=((/4()Sa(n((/4()=(1/4)[sin(n((/4)/(n(/4)] = sin(n()/(n() n=0,(1,(2( n=0 F0 =1/4=0.25 [∵Sa(x)=1,当x(0时] n=1 F1= sin((/4)/(=0.225.  n=2 F2= sin((/2)/2(=0.16 n=3 F3= sin(3(/4)/3(=0.075. n=4 F4= sin(()/4(=0. n=5 F5= sin(5(/4)/5(=-0.045. n=6 F6= sin(3(/2)/6(=-0.053. n=7 F7= sin(7(/4)/7(=-0.032. n=8 F8= sin(2()/8(=0. 特点：1、是离散的，仅含有(=n(的各分量。(n取整数)。 2、谱线间隔为(（(=2(/T） T( 间隔小，密 T( 间隔大，疏 3、第一零点在2(/(处，与(有关 (( 主瓣宽 (( 主瓣窄。 2、脉冲宽度与频谱的关系：(( 直流分量F0=(/T( 频带宽度(F=1/(( ∴ 保持第一零点内能量不变。 脉冲宽度(() 频谱幅度(F0=(/T) 第一零点 (F=1/( (=T/4 F0=1/4 2(/(=8(/T 4/T (=T/8 F0=1/8 2(/(=16(/T 8/T (=T/16 F0=1/16 2(/(=32(/T 16/T   3、周期与频谱的关系。谱线间隔保持第一零点内能量不变 F0=(/4 (=2(/T T=4( F0=1/4 (=2(/4( T=8( F0=1/8 (=2(/8( T=16( F0=1/16 (=2(/16(   T(( ，频谱趋于一个脉冲。 三、周期信号的功率 p= (1/T)f2(t)dt=(1/T)[ A0/2+ Ancos(nΩt+φn)]2dt = (A0/2)2 + (An)2/2. P=(1/T)f2(t)dt= ｜F0｜2+2 ｜Fn｜2 =｜F-n｜2+｜F0｜2+ ｜Fn｜2=｜Fn｜2 例4.3-1 T=1,(=0.2 解：p= (1/T)f2(t)dt=(1) 2dt=0.2 Fn = ((/T)Sa(n((/T)=0.2·Sa(0.2(() n=0,1,2,3,4,5. 确定第一个零点：2(/(= 2(/0.2=10(, (= 2(/T= 2(,n= 10(/2(=5. P10(=(0.2)2+2(0.2)2[Sa2(0.2()+Sa2(0.4()+Sa2(0.6()+Sa2(0.8()+ Sa2(()]=0.1806。 P10(/p=0.1806/0.2=90.3(. 4、=H(jn() n =（1/）Sa(0.2n()e-jarctg0.5n y(t)=  ejn(t= [Sa(0.2n()/] e-jarctg0.5n . 输出波形与时域分析相同。 §4.4 非周期信号的频谱(付里叶变换 信号分析； ( 周期信号：可展开为付里叶级数，频谱n是离散的，求和形式，满足狄里赫利条件。 非周期信号：存在付里叶变换，频谱密度F(j()是连续的，积分形式， ｜f(t)｜dt<( 一、付里叶变换。 由周期信号非周期信号，推导出付里叶变换的定义。 1、频谱密度函数 定义：F(j()=n/(1/T)= n·T称为频谱密度函数。 n/f表示单位频率的频谱，类似于单位体积的质量，定义为物体的密度。 T((,即为非周期。 2、付里叶变换的定义： 周期信号 n·T=f(t) e-jnΩtdt (1) f(t)= n·T·ejnΩt·(1/T) = [f(t)e-jnΩtdt]·ejnΩt·(/2(. (2) 非周期信号: F(j()= n·T def f(t) e-j(t dt f(t)= [f(t)e-j(tdt]ej(td(/2(def=(1/2()f(j()ej(td( F(j()=[f(t)] f(t)=[F(j()] f(t)( F(j() F(j()与n一样，也是一复函数，讨论时可分开写为: F(j()=｜F(j()｜ej((()=R（()+jX(() =｜F(j()｜cos [((()]+j｜F(j()｜sin [((()]. 3、复里叶变换的物理意义 三角形式： f(t)= (1/2() F(j()ej(td(=(1/2() ｜F(j()｜ej[(t + ((()]d( =(1/2()｜F(j()｜cos[(t+(((t)]d( +j(1/2()｜F(j()｜sin [(t+(((t)]d( =(1/()｜F(j()｜cos [(t+(((t)]d( 定义:非周期信号可看作是由不同频率的各余弦“分量”组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”。 三要素：1、它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”，且是连续的。 2、各分量的振幅为：(1/()｜F(j()｜d( 它是无穷小量。 3、相位为((()。 4、付里叶变换的条件： 充分条件： f(t)在无限区间内绝对可积，即f(t) e-j(t dt<(，但这并非必要条件。 在引入((t)函数后，可将条件放宽，使许多不满足绝对可积条件的函数也能进行付里叶变换。 例4.4-3：双边指数函数（((0，衰减） e-(｜t｜ ( (2()/((2+(2) 实函数。 例4.4-4： f2(t)= - e-(t t<0 e-(t t>0 ((>0)满足绝对可积条件。 F2(j()=- e(t·e-j(tdt+ e-(t·e-j(tdt =-1/((-j()+1/((+j()=-j2(/((2((2)。 F2(j()= R2(()+jX2(() 5、典型常用信号的付里叶变换。 ①门函数g( (t)，幅度为1,宽度为(.     F(j()=  f(t)e-j(tdt=1 e-j(tdt = (e-j((((-e-j(((()/(-j()=2[sin(((/2)]/(=(·Sa((()/2 零点幅值：F(0)=( 第一零点位置在((/2=(,(=2(/(处。 信号的宽度(F=1/( , (( (F( ②单边指数函数f(t)= e-(t·((t),((>0)，满足绝对可积条件。  F(j()=  f(t)e-j(tdt= e-(t·e-j(tdt =[ -1/((+j()]·e-((+j()t =[0-1]/[-( (+j()] = 1/((+j().(>0. 复函数 ( F(j()(=1/ . 偶函数 ((()=-arctg((/(). 奇函数 F(j()=  f(t)e-j(tdt=  f(t)cos((t)dt-jf(t)sin((t) dt. 特点：若f(t)是t的偶函数 (F(j()是的实函数 若f(t)是t的奇函数 ( F(j()是的虚函数。 若f(t)非奇非偶 ( F(j()为复函数，用幅度和相位才能表示。 二、奇异函数的付里叶变换。 1、((t)的频谱 ①由定义[((t)]=  ((t)e-j(tdt=1 其频谱密度在-(<(<(区间处处相等。 ②由极限概念[(1/()g((t)]= (1/()(((Sa(((/2) [((t)]= Sa(((/2)=1. 2、单位直流信号的频谱： f(t)=1, -(<t<(不满足绝对可积条件，不能用定义。 只有极限概念得到：引入(()函数后，条件放宽。 双边指数： f1(t)=e-((t( ((0 f1(t)=1.   F1(j()=2(/((2((2) ((0 2(/((2((2)= 0 ((0 2/( (=0 是一个以(为位自变量的冲激函数，强度有冲激函数定义求出。 强度：2(/((2((2)d(=2(/[1(((/()2]d((/() =2arctg((/() = 2[arctg(()-arctg(-()]=2[(/2-(-(/2)]=2(. ( [1]=2((((). 3、符号函数 sgn(t)= -1 t<0 0 t=0 1 t>0 不满足决度可积条件，不能用定义。用极限 f2(t)= -e-(t t<0 ((0 Sgn(t)= -1 t<0 e(t t>0 1 t>0  ((0  F2(j()=-2j(/((2((2) -2j(/((2((2)= -2j/(=2/j( ((0 0 (=0 F2(j()是的奇函数，在 (=0处时值为0.  4、((t)的频谱 v(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求. v(t)=1/2+(1/2)Sgn(t).  [( (t)]=(1/2)[1]+(1/2)[Sgn(t)]=(((()(1/j(. 5、((t)的频谱 [(((t)]=(((t)e-j(tdt= j(. 同理：[((n)(t)]=(j()(n). § 4.5 付里叶变换的性质 连续时间信号有两种描述方法: ( 时域描述 f(t) ( 频域描述 F(j() 一、线性 a1f1(t)+ a2f2(t) ( a1F1(j()+ a2F2(j() 利用该性质，可将所求信号表示成已知频谱信号的线性组合，用间接方式求出频谱函数。 二、奇偶性 大前提，f(t)是实函数；f(t)与F(j()奇偶虚实关系: 推导：F(j()=f(t)e-j(tdt=f(t)cos(tdt-jf(t)sin(tdt F(j()=R(()+jX(()=(F(j()(ej((() (F(j()(= ,( (()=arctg[X(()]/[R(()]. 1、实部是偶函数R(()=R(-()，虚部是奇函数X(()=-X(-(). 模是偶函数，(F(j()(=(F(-j()(,相角是奇函数( (()=-( (-()。 2、若f(t)是偶函数f(t)=f(-t), 则X(()=0, F(j()=R(()是实函数，也是偶函数 若f(t)是奇函数f(t)=-f(-t), 则R(()=0, F(j()=jX(()是虚函数，也是奇函数 偶：∵f(t)sin(t是的奇函数，虚部积分为0，∴只有实部。 奇：∵f(t)cos(t是的奇函数，实部积分为0，∴只有虚部。 3、f(-t)( F(-j()= F((j()。 推导：[f(-t)] = f(t)e-j(tdt((-t f(()ej((d(-() = f(()e-j(-()(d(()=F(-j(). F(-j()= R(-()+jX(-()=R(()-jX(()=F((j(). 三、对称性 若f(t) ( F(j() 则F(jt) (2(f(-() 当f(t)为偶函数时： f(t) ( R((),R(t) (2(f((). 推出：F(j()=f(t)e-j(tdt f(t)=(1/2()  F(j()ej(td( 令t=-t,f(-t)= (1/2()  F(j()e-j(td( 令t=(/ (=t ，f(-()= (1/2()  F(jt)e-j(tdt ( (2() f(-()=  F(jt)e-j(tdt. 定义：时间函数F(jt) [与F(j()形式相同]的付里叶变换是(2()f((). 例：((t)( 1 1((2()((()利用对称性，可以很方便地求出一些函数的付里叶变换。 例:4.5-1 Sa(t)=sint/t. 门函数g((t) (( Sa(((/2)令(/2=1.则(=2. ∴(1/2)(g((t) (2((1/2)(Sa(()=Sa((). ( 由对称性知：Sa(t) ( 2(((1/2)(g2(()= (g2(() ( 例：f(t)=t ∵ (((t) ( j(. jt(2(( (((-()=-2(( (((() ∴ t(+j2(( ((((). 例：f(t)=1/t. 已知：sgn(t)(2/j( 则2/(jt)( 2(sgn((). ∴1/t (j(sgn(-()=-j(sgn((). 四、尺度变换（时域展缩） 若 f(t) ( F(j() 则f(at) ( (1/(a() F(j(/a)       结论：信号的等效脉冲宽度与占有的等效宽度成反比。若言压缩信号的持续时间，则不得不以占宽频带作代价。在通信中，通信速度与占用频带宽度是一对矛盾。通信系统的设计便是寻找矛盾的合理解决方案。 五、时移特性 若f(t) ( F(j() 则f(t(t0) ( e(j(t0F(j()= (F(j()( ej[(((((j(t0] 即时域中信号延时t0 (频域中所有频率“分量”相应落后一相位( t0，而幅度不变。 既有时移又有尺度变换 若f(t) ( F(j() 则f(at+b) ( (1/(a() e-j(b/a)( F(j(/a) b=0 尺度变换 a=1，时移。 例4.5-3 已知f1(t)= g2(t), F(j()= (( Sa(((/2)= 2Sa(()=zsin(/(.   解：(1) f2(t)= f1(t+1)+f1(t-1) F2(j()= ej( F1(j()- e-j( F1(j() = (ej( - e-j()2sin(/ (=4j(sin2(/ (. (2) f3(t)= f2(2t) F3(j() = (1/2) F2(j(/2) = (1/2) 4j(sin2((/2)/((/2)= j4(sin2((/2)/(. 例4.5-5 已知f(t) ( F(j() 求f(3-2t) ( ej4t的付里叶变换。 解：f(t) ( F(j() 时移：f(t+3) (ej3( F(j() 尺度变换 a=-2, f(-2t+3) ((1/(-2() ej3(/(-2) F(j(/(-2))= (1/2) e-j(3/2)( F(-j(/2) 频移特性： ej4t f(3-2t) ( (1/2) e-j(3/2)((-4) F(-j((-4)/2). 六、频移特性(调制特性) 若f(t) ( F(j() (0为常数 f(t)e(j(0t ( F[j(((0)]. 证：[f(t) ej(0t]= f(t) ej(0t(e-j(tdt=f(t)(e-j((-(0)tdt= F[j((-(0)]. 应用：频域搬移技术在通信系统中得到广泛应用，诸调频、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移的实现原理是将信号乘以载频信号cos(0t或sin(0t。 应用例子：y(t)= g((t) cos(0t y(t)= (1/2)g((t) (e-j(0t+(1/2)g((t)(ej(0t Y(j()=((/2)Sa[((+(0)(/2)+((/2)Sa[(-(0)(/2]. 表示：已调信号的频谱是将原频谱一分为二，分别向左和向右搬移(0，在搬移中幅度谱的形状并未改变。  应用：收音机，分成各个波段，将声音调制在不同的频段上。 七、卷积定理 1、时域卷积定理：f1(t)( f2(t)( F1(j()F2(j() 证：[ f1(t)( f2(t)]= [ f1(()f2(t-()d(](e-j(tdt = f1(()[ f2(t-()(e-j(t dt]d( = f1(()(e-j(t F2(j()d( =F2(j() f1(()(e-j(td(= F2(j()F1(j() 2、频域卷积定理：f1(t)f2(t) ((1/2() F1(j()(F2(j() =(1/2() F1(j()F2(j(-j()d(. 例：4.5-7 r(t)=tv(t)的频谱函数 解：1、t的频谱 t(j2(((((() 2、((t)的频谱 ((t) (((((()+1/(j() 3、由频域卷积定理 [t((t)]= (1/2()[ j2(((((()]([((((()+1/(j()] = j(((((()(((()+(((()((1/() = j(((((()+( (()((1/()(= j(((((()+ j(((((()-1/(2 ∴ t((t) (j(((((()-1/(2 可推出：(t((-2/(2 八、时域微积分 1、微分：f(t) ( F(j() f((t) ( j(F(j(). f(n)(t) ( (j()n F(j() 证：f((t)=f(t)*(((t) [ f((t)]= [ f(t)] ([(((t)]= F(j()(j(. 2、积分： f(-1)(t) ( (F(0) (((()+(1/j()F(j() f(-1)(t) ( (1/j()F(j() 当F(0)=  f2(t)dt=0时 证：f(-1)(t)= f(-1)(t)* ((t)= f (t)* ((-1)(t)= f(t)*((t). [ f(-1)(t)] = [ f(t)] ([((t)]= (F(0)(((()+(1/j() = (F(j()(((()+(1/j() F(j()=(F(0)(((()+(1/j() F(j() 如果F(0)=0即F(0)=  f2(t)dt=0则f(-1)(t) ( (1/j()F(j() 例：4.5-8 仍求f((t)的频谱函数。 解：f((t)( f(((t)( f((((t).冲激函数变换 F(j()   f((t)= f(-2)(t) 为双重积分。 f(t)=(2/()((t+(/2)- (4/()((t)+ (2/()((t-(/2) F(j()=(2/() ej((/2- (4/()+ (2/() e-j((/2 =(4/()[cos(((/2)-1]=-8sin2(((/4)/(. 要用积分公式限判断F(0)=  f((t)dt=0， 因为双重积分，判断F(0)=  f( (t)dt=0, F(0)=  f(((t)dt=0. F((j()=(1/j()2 F(j()=8sin2(((/4)/((()2= (2/()Sa2(((/4). 九、频域微积分 1、微分：f(t) ( F(j() -jtf (t) ( F((j(). (-jt)n f(t) ( F(n)(j() 2、积分： (f(0)(((t)-(1/jt)f(t)( F(-1)(j() ∴ -(1/jt)f (t) ( F(-1) (j() 当f(0)= 0时. 例：4.5-10. 求t((t) 的付氏变换。 解： ((t) (((((()+1/(j() -jt ((t) (d[((((()+1/(j()]/d(=(((((()-1/(j(2). ∴t((t) (j(((((()+1/(2 例：4.5-11 求 Sa(t)=sint/t的付氏变换。 f(t)=sint=(1/2j)(ejt-e-jt) ( (1/2j)[2((((-1)-((( +1)] =j([((( +1)-(((-1)]=F(j() ∵f(0)=0 ∴sint/(-jt) ( F(-1)(j()=j([(((+1)-(((-1)]d( = j([((( +1)-(((-1)] ∴ sint/t(([((( +1)-(((-1)]= (g2(()。 十、能量谱和功率谱： 1、能量谱 信号的能量：E= f2(t)dt= f(t)([(1/2() F(j()(ej(t d(]dt =(1/2() (F(j()(2 d(. 能量谱： ξ(()=(F(j()(2 单位频率的信号能量，能量密度函数。 E= f2(t)dt =(1/2()ξ(()d(. 2、功率谱 信号的功率：P=  (1/T)f2(t)dt =(1/2()[((F(j()(2)/T]d(. 功率谱: ((()=((F(j()(2)/T单位频率的信号能量，功率密度函数。 P= (1/2()((()d(. § 4.6 周期信号的付里叶变换 信号分析； ( 周期信号：可展开为付里叶级数(求和)，频谱Fn是离散的，满足狄里赫利条件。 非周期信号：存在付里叶变换(积分)，频谱密度F(j()是连续的， ｜f(t)｜dt<(,可放宽。 目的：统一分析方法。 一、正余弦函数的付里叶变换（典型的周期信号） 1(2(((() ej(0t(2((((-(0) e-j(0t(2((((+(0) cos(0t=(1/2)(ej(0t+e-j(0t)(([(((-(0)+ (((+(0)] sin(0t=(1/2j)(ej(0t–e-j(0t)(([(((+(0)- (((-(0)] 二、一般周期函数的付里叶变换：fT(t),周期为T. 方1、先求Fn，再求F(j()=[ fT(t)] fT展开成付里叶级数：fT(t)= FnejnΩt Fn=(1/T)f(t)e-jnΩtdt. F(j()=[ fT(t)]= [ FnejnΩt]=(2() Fn(((-n() 含义：有无穷多个冲击函数组成，位置在n(处，强度2(Fn. 例4.6-1  解：先求 Fn=((/T)Sa(n((/2) F(j()=[ PT(t)]=(2()((/T)Sa(n((/2) (((-n() = [2sin(n((/2)/n](((-n() 比较 fn 与 F(j()图形相位似，含义不同。 Fn是虚指数分量的幅度和相位；F(j()是频谱密度。 例4.6-2   求(T(t)= ((t-nT)的付里叶变换 解：先求Fn=(1/T) (T(t)e-jnΩtdt=(1/T) ((t)e-jnΩtdt=1/T 再求F(j()=[(T(t)]=(2()Fn(((-n()=(2(/T)(((-n() = ( (((-n()=(((() ∴ (T(t)( (((((). 方2、先求第一周期函数f0(t) ( F0(j()，再求F(j().   先求第一周期函数f0(t) ( F0(j()， fT(t)= f0(t)* ((t-nT)= f0(t)*(T(t) 再求 F(j()=[fT(t)]= [f0(t)]˙[(T(t)] = F0(j()((((()= (  F0(j()(((-n() =(  F0(jn()(((-n() 例4.6-3 P0(t)=g((t) 的付里叶变换.  解：先求[P0(t)]= (Sa(((/2) 再求: [PT(t)]= ( (Sa(n((/2) (((-n() =(2()((/T) Sa(n((/2) (((-n() 三、付里叶系数与付里叶变换 比较 [fT(t)]= (2()Fn (((-n() [fT(t)]= (2(/T)F0(jn()(((-n(). 关系：Fn=(1/T) F0(jn()=(1/T) F0(j() 表明：付里叶变换中的许多性质，定理也可用于付里叶级数，并提供一种求Fn的方法。 例4.6-4：将fT(t)展开成指数形式付里叶级数。  解：∵f1(t)( F1(j()=(T/2)S2a((T/4) f0(t)( F1(j()e-j(T/2)(=(T/2)S2a((T/4) e-j(T/2)(= F0(j() ∴Fn=(1/T) F0(j()=(1/2) S2a(n(T/4)e-j(T/2)n( = (1/2) S2a(n(/2)e-jn( fT(t)= (1/2) S2a(n(/2)e-jn(e-jn(t § 4.7 LTI系统的频域分析 一、频域响应： f(t)( LTI系统 ( y(t)=yf(t) ej(t ( LTI系统 ( H(j() ej(t f(t)=(1/2()F(j()ej(td(( LTI系统 (y(t)= (1/2() H(j()F(j()ej(td( 1、频域响应的定义;当输入为f(t)= ej(t 时 系统的零状态响应y(t)=h(t)*f(t)=h(t)* ej(t = h(()ej((t-()d(=h(()e-j((d(ej(t= H(j()ej(t 定义：H(j()=h(()e-j(td(为频域响应函数/系统函数； 关系：h(t)( H(j() 用来描述系统的特性；表示H(j()=(H(j()(ej((() h(t)描述时域特性 ； H(j()描述频域特性 ； 2、频域分析的基础方法：当激励为任意信号f(t)时 f(t)( F(j() 系统函数h(t)( H(j() y(t)( Y(j()= H(j()F(j() 时域分析 f(t)*h(t) = y(t)    频域分析 的关系： H(j()F(j()=Y(j() 非周期信号激励的系统响应： Y(j()= H(j()F(j() y(t)=[ Y(j()] 周期信号激励的系统响应： Y(j()= H(j()F(j()= H(j() (2()Fn(((-n() =(2() Fn H(jn()(((-n() y(t)= [ Y(j()]=[(2()  H(jn()Fn(((-n()] = Fn H(jn()ejnΩt=YnejnΩt ∴ yn= H(jn()Fn y(t)= ynejnΩt 例4.7-1：已知H(j()，f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)求y(t).  解：f(t)是周期信号，基波(=5rad/s （1）用付里叶级数法 yn= H(jn()Fn= F(j()Fn. f(t)=2+4cos((t)+4cos(2(t) =2+2ejΩt+2e -jΩt+2ej2Ωt+2e-j2Ωt=2ejnΩt H(j()= ｜H(j()｜ej( (() H(jn()= ｜H(jn()｜ej( (n() yn= H(jn()Fn y0= H(0)F0 =1(ej0(2=2 y1= H(j()F1=(1/2)(e-j((/2)(2= e-j((/2) y2= H(j2()F2=0 y-1= H(-j()F-1=(1/2)(ej((/2)(2= ej((/2) y-2= H(-j2()F-2=0 y(t)= ynejnΩt =y-1e-jnΩt+y0+y1ejnΩt=e-j(5t-(/2)+2+ej(5t-(/2) =2+2cos(5t+900). （2）用付里叶变换法 F(j()=4(((()+4([(((+()+(((-()]+4([(((+2()+(((-2()] = 4((((-n(). Y(j()=H(j()4((((-n()=4(  H(jn()(((-n() = 4([0.5 ej(((+()+((()+0.5 e-j(((-()]. y(t)= [ Y(j()]= e-j(n (-)+2+ ej(n (-)=2+2cos((t-900). 例：4.7-4 已知f(t)=[sin(2t)]/t,s(t)=cos(3t)， 系统H(j()= 1 ｜(｜<3 0 ｜(｜>3, 求y(t).    H(j() ( y(t) ( ( ( ( 调制信号 ((t)载波信号 已调信号 传输   解：从频域角度考虑系统在传输过程中的影响。 ①求 X(j(). x(t)=f(t)(s(t) X(j()=(1/2()F(j()*S(j() ∵f(t)=2Sa(2t) ( F(j()=(g4(() s(t)=cos(3t) ( S(j()=([(((+3)+(((-3)] ∴X(j()=(1/2()(g4(()*([(((+3)+(((-3)]=((/2)[g4((+3)+g4((-3)]. ②系统 H(j()=g6(() ③ Y(j()= X(j()( H(j()=((/2)[g2((+2)+g2((-2)] = (1/2()(( g2(()([(((+2)+(((-2)] ④ y(t)=Sa(t)(cos(2t)=(sint/t)(cos2t. 分析：传输中有失真。 3、求频域响应的方法： 由定义：H(j()=h(t)e-j(tdt 由微分方程：y((t)+a1y((t)+a0y(t)=f(t) 两边取付氏变换：(j()2Y(j()+ a1(j()Y(j()+a0Y(j()=F(j() ∴ H(j()=Y(j()/X(j()=1/[ (j()2+ a1(j()+a0]. 向量法（简单电路） 由电路分析可知，电路在正弦稳态作用下可应用向量法分析，此时电路有阻抗特征或导纳特征，且其阻抗和导纳均为的复函数。 H(j()=Y(j()/X(j()= 例4.7-2 已知：y((t)+2y(t)=f(t),f(t)=e-t((t).求y(t). 解：方程取付氏变换: j(Y(j()+2Y(j()=F(j(). H(j()= Y(j()/ F(j()=1/(j(+2). f(t) =e-t((t)( 1/(j(+1)= F(j(). Y(j()= H(j() F(j()=1/[(j(+2)(j(+1)]= 1/(j(+1)- 1/(j(+2). ∴y(t)= [Y(j()]= e-t((t)- e-2t((t). 例：4.7-3已知RC电路. u s(t)= ((t).求u c(t). 解：向量法：H(j()=Uc(j()/Us(j()=(1/j(c)/[R+(1/j(c)] =[1/(RC)]/[j(+(1/RC)]=(/((+j(). 激励：u s(t)= ((t)( Us(j()=(((()+1/(j(). Uc(j()= H(j()Us(j()=[(/((+j()][(((()+1/(j()] = [((/((+j()]((()+ (/[((+j()(j()]. = (((()+1/(j()- 1/((+j(). u c(t)= [Uc(j()]=1/2+(1/2)Sgn(t)-e-(t((t)=(1- e-(t)((t). 二、无失真传输 引起信号失真的根本原因是系统函数。包括两个方面： 幅度失真：(H(j()(对信号频率分量加权不同，使信号幅度产生相应变化。 相位：((() 对信号频率分量附加了不同相移，而是合成波形也产生了变化。 1、定义:y(t)=Kf(t-td). 2、频域条件：H(j()应满足的条件 Y(j()=Ke-j(td F(j()  H(j()=Ke-j(td (H(j()(=K全部频带内，幅频特性为一常数；读不同频谱分量，加 权相同。 ((() =-(td 向频特性为原点的直线，是线性的，斜率为- td。 3、时域条件：h(t)= [H(j()]=[ Ke-j(td]=K((t-td). 应为冲激函数的K倍，延时td。（以上为理想条件。） 三、理想低通滤波器 1、定义：( H(j()( = 1 ((( < (c 0 ((( > (c ((() =-(td 系统函数：H(j()= e-j(td ((( < (c 0 ((( > (c = e-j(td g2(td((). 宽度为2(c，幅度为1的门函数。 2、冲激响应 h(t)= [e-j(td g2(()]=((c/()Sa[(c(t- td)] = ((c/()(sin[(c(t- td)]/ (c(t- td)) 特点： 中心：td 峰值：(c/( 零点间隔(/(c t<0时，h(t)(0,为非因果系统。 3、阶跃响应 g(t)(G(j(). G(j()= H(j()[v(t)] = [(((()+(1/j()] e-j(td ((( < (c 0 ((( > (c g(t)= (1/2()G(j()ej(td( = (1/2()[(((()+(1/j()] e-j(td ej(td( = 1/2+(1/2() e-j((t-td)/(j()d( = 1/2 + (1/()Si[(c(t- td)].其中Si(x)=(sin()/(d( ①阶跃响应的斜率: dg(t)/dt=h(t)= (c/(。 ②信号的上升时间tr，定义为t=td处斜率的倒数。 Tr = (/(c =(/2(fc =0.5/fc=0.5/8. 通带愈宽，上升时间愈短，波形愈陡直，上升时间与通带宽度成反比。 ③基波斯现象：间断点处过冲。 第一个极大值发生在t=td+(/(c处 gmax =1/2+(1/()Si[(c(t-td)]=1/2+(1/()Si((）=1.0895.幅度为9％. 结论：与(c无关，不可能通过增大通带宽度来改变。 四、实际低通滤波器： 1、传输函数H(j() H(j()= UR(j()/ US(j()=1/[1-(2LC+j((L/R)] =1/[1-((/(c )2+j((/(c )] (c =,R= 幅度特性：H(j()= 1/ 相频特性; ((()= -arctg(((/(c )/[1-((/(c )2]). H(±(c )=1/ ((±(c)= ±(/2.  与理想滤波器有相似之处,(-(c ,(c )阶数越高，逼近程度越好。 2、冲激响应；h(t)=[ (cesin()]((t). 阶跃响应： g(t)=[1-esin(+(/4)]((t). 五、网络可实现的条件 1、时域条件: h(t)=0 t<0 g(t)=0 t>0. 2、频域条件:  ( H(j()(d(<( 无失真，不满足. 且 [(ln ( H(j()((]/(1+(2)d(<( 佩利——维钠准则或定理. §4.8 取样定理 一、信号的取样：连续信号 离散信号，以便用计算机处理。 1、抽样的模型： f(t)((fs(t) ( ((t) fs(t)=f(t) ((t) Ts:抽样周期; fs=1/Ts 抽样频率；(s=2(fs抽样角频率. 冲激抽样 2、冲激抽样 时域(频域变化。  S(t)= (T(t)= (Ts(t) 2([ (Ts(t)]= ((((()=(s ((s(()=(s  (((-n(s). 表示：有无限个冲激序列组成，间隔(s，强度(s f(t)( F(j()带限信号. fs(t)=f(t)(Ts(t). Fs(j()=(1/2()F(j()*(s  (((-n(s) =((s/2() F(j()* (((-n(s)=(1/Ts) F[j((-n(s)]. 表示：是原信号频谱F(j()的周期性重复，重复周期：(s强度：1/Ts. 频谱混叠想象： 当(s ( 2(m或Ts(1/(2fm) 时,无混叠现象，可从fm(t)中恢复f(t)。 当(s (2(m或时，有混叠，无法分开，不能恢复f(t). 3、矩形脉冲抽样，时域(频域  令s(t)是幅度为1，宽度为(的门函数序列. S(t)=PT(t)= g((t-nTs). 由例4.6-1 P(j()=(2((/T) Sa(n((/2)(((-n() = (2((/Ts) Sa(n(s(/2)(((-n(s) 表明：它是冲激函数序列，周期为(s，包络线是(2((/Ts)Sa(((/2). f(t)( F(j() 频带受限信号，当(( ( ( (m时，不为0. fs(t)=f(t)PT(t). Fs(j()= (1/2()F(j()*P(j() =((/Ts)F(j()*[Sa(n(s(/2)(((-n(s)] = ((/Ts) [Sa(n(s(/2)F(j()*(((-n(s)] = ((/Ts) [Sa(n(s(/2)F(j((-n(s)].。 表示：有F(j()无限个频移组成，间隔(s，包络线((/Ts)Sa(((/2). 混叠现象： 若(s( 2(m可恢复,不混叠。 若(s ( 2(m不可恢复,混叠。g(t) t td tr 0 0.5 1.0895 -0.0895  三、时域抽样定理： 两个条件：1、信号f(t)必须是带限信号，在F(j()时( ( (>(m为零。 抽样频率； 2、(s( 2(m；抽样间隔不能太长Ts(1/(2fm). 满足时，可从fm(t)中恢复f(t)，通过理想低通滤波器((c=(s/2)。 最低抽样频率fs= 2fm 奈奎斯特频率。 最大抽样间隔Ts=1/(2fm) 奈奎斯特间隔。 二、信号的恢复：离散信号fs(t)(连续信号f(t). 理想低通滤波器 1、理想低通滤波器的选择。    (c: (m( (c ((s/2. 幅度：Ts 相位: ((()=0,td=0. H(j()= Ts ((( <(c 0 ((( >(c 2、理想低通的h(t) h(t)=  = . 取(c =(s/2, Ts=2(/(s=(/(c ( h(t)=Ts((1/Ts)(Sa((st/2). 表示：f(t)可展开为正交抽样函数[Sa函数]的无穷级数 系数为f(nTs)，各点的抽样值。 在采样点，f(nTs)与f(t)完全相等，采样点间由Sa函数的无穷波形叠加而成，无失真。 四、频域抽样定理：对称性。 频域( 时域     Fs(j()= F(j()((s(() fs(t)= f(t)* [((s(()]. ∵((t-nTs) ( (s(((-n(s)= (s((s((). ∴(1/(s)((t-nTs) (((s((). fs(t)= f(t)* (1/(s)((t-nTs)= (1/(s)f(t)*((t-nTs) = (1/(s)f(t-nTs).表示时域信号以为Ts周期重复，幅度为1/(s . 混叠现象: 若选Ts<2tm [1/Ts= fs<1/(2tm)]，则fs(t)无混叠，可用选通信号无失真恢复。 若选Ts>2tm，会产生混叠，无法恢复。 频域取样定理：一个在时域区间((-tm ,tm )以外为零的有限时间信号f(t)的频谱函数F(j()，可惟一地由其在均匀频率间隔fs( fs<1/(2tm))上的样点值F(jn(s)确定。 2个条件： 有限时间信号f(t)，(-tm ,tm )间有值。 取样频率fs<1/(2tm)，可恢复。