第二章 连续系统的时域分析 求响应： 经典法：已知f（t）、x{0} 全响应y（t）= yf（t）+yx（t） 卷积积分法：先求n（t），已知f（t） yf（t）=h（t） f（t） 主要内容： 一 经典法求LTI系统的响应： 齐次解 自由响应 瞬态 零输入 特解 强迫响应 稳态（阶跃、周期） 零状态 二 冲击响应与阶跃响应：（定义、求解方法仍为经典法） 三 卷积积分：（定义、图示法求卷积） 四 卷积积分的性质： §2.1 LTI系统的响应（经典法） 一 常系数线性微分方程的经典解 n阶：y(t)+ an-1y(t)+…+ a1y(t)+ a0y(t) = bm f (t)+ bm-1 f (t)+……+ b 1 f (t)+ b0f(t) 全解：y(t)=齐次解yh(t)+ 特解yp(t) 齐次解：yh(t)=（形式取决于特征根） 特征方程： (t)+ an-1(t)+… + a1 (t)+ a0=0 特征根：决定齐次解的函数形式，表2-1 如为2个单实根1、2， yh（t）= + 如为2重根(+1)2=0，= - 1，yh(t)=C1te-t+C0e-t 系数Ci：求得全解后，由初始条件确定 特解： 函数形式：由激励的函数形式决定，与特征根有关系，表2-2 如：f(t)为常数 ， yp(t)=P0 f(t)=t2， yp(t)= P2t2+ P1t+ P0 f(t)=e-t，= - 2，不等 yp(t)=P e-t f(t)= e-t，= - 1，相等 yp(t)=P1te-t+P0e-t 系数Pi：由原微分方程求出 全解：y(t)= yh(t)+ yp(t)=+ yp(t) 此时利用y(0)，y‘(0)，求出系数Ci 例2.1-1: y‘‘(t)+ 5y‘(t)+ 6y(t)= f(t) f(t)= 2e-t，y(0)= 2 y‘(0)= -1 解:(1)  齐次解： yh(t)= C1e-2t+C2e-3t 2+5+6 = 0，1= - 2，2= - 3  特解：yp(t)= e-t 设yp(t)= Pe-t 代入原方程：Pe-t+5(- Pe-t)+6 Pe-t = 2e-t P=1  全解：y(t)= C1e-2t+C2e-3t+ e-t 求Ci：y‘(t)= - 2 C1e-2t - 3C2e-3t - e-t 齐次解 特解 数学角度 y(t)= 3e-2t - 2C2e-3t + e-t t≥0 自由响应 强迫响应 系统角度 [P44] 例2.1-2: y‘’(t)+ 5y‘(t)+ 6y(t)= f(t) f(t)=10cost y(0)= 2 y‘(0)= 0 解:  yh(t)= C1e-2t + C2e-3t  yp(t)= Pcost+Qsint=cost+sint=cos（t-） yp‘‘(t)、yp‘(t)、yp(t)代入方程，求得P=Q=1  y(t)= C1e-2t + C2e-3t +cos（t-） 由初始条件可解得C1=2，C2 = - 1 y(t)=2e-2t - C2e-3t + cos（t-） t≥0 二 关于0-和0+初始值 若f(t)在t=0时接入系统，方程的解适用t≥0 求解的初始条件：严格是指t=0+时刻的值，y(0+)、y‘(0+)… 已知系统初始状态：t=0-时，激励未接入，y(0-)、y‘(0-)…，反映系统的历史情况。 求解微分方程时，要先从yi(0-)yi(0+) 例2.1-3: y‘‘(t)+3y‘(t)+2y(t)=2 f‘(t)+6 f(t) 已知：f(t)=，y(0-)=2 ，y‘(0-)=0， 求： y(0+)、y‘(0+) 解：y‘‘(t)+3y‘(t)+2y (t)=2+6 y‘‘(t)dt + 3y‘(t)dt + 2y(t)dt =2dt + 6dt [y‘(0+)- y‘(0-)] + 3 [y(0+)- y(0-)] + 2×0 = 2×1 + 6×0 y(t)在t =0是连续的 y(0+)=y(0-)=2 y‘(t)在t =0是跃变的 y‘(0+)=y‘(0-)+2=2 结论：当方程右端含有及函数时，y(t)及各阶导数有些将发生跃变； 当方程右端不含有及函数时，y(t)及各阶导数一般不发生跃变，可直接等。 三 零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) = ++ yp(t)= + yp(t) 初始值: y(0-) = yx(0-) + yf(0-) y(0+) = yx(0+) + yf(0+) 对零状态响应: yf(0-)=0 yx(0-)= y(0-) 对零输入响应:由于f(t)=0，故: yx(0+) = yx(0-)= y(0-) 1 经典法求yx(t) 和yf(t) 例2.1-4: y‘‘(t) + 3y‘(t)+2 y(t)=2 f‘(t)+6 f(t) 已知：f(t)= ，y(0-)=2 ，y‘(0-)=0 解：求yx(t) 即f(t)=0 满足yx‘‘(t) + 3yx‘(t)+2 yx(t)=0,且满足y‘(0+)的解 初始值: yx(0+)=yx(0-)= y (0-)=2 yx‘(0+)=yx‘(0-)= y‘(0-)=0 响应形式：yx(t)= Cx1e-t+Cx2e-2t  Cx1 +Cx2=2 yx‘(t)= -Cx1e-t-2Cx2e-2t -Cx1 -2Cx2 =0  Cx1 =4 Cx2 =-2 ∴yx(t)= 4e-t-2e-2t=[4e-t-2e-2t]·  求yf(t) f(t)=,初始状态为零 满足: yf‘‘(t) + 3yf‘(t)+2 yf(t)=2+6 且yf‘(0-)=yf(0-)=0 同前可求得: yf(0+)=yf(0-)=0 yf‘(0+)=2+yf‘(0-)=2 对于t＞0时,方程写为: yf‘‘(t) + 3yf‘(t)+2 yf(t)= 6 齐次解: Cf1e-t+Cf2e-2t 特解: 设为P0,求得P0=3 yf(t)= Cf1e-t+Cf2e-2t +3, 求得: Cf1= -4, Cf2=1 ∴ yf(t)= -4e-t+e-2t +3 t≥0 全响应y(t) = yx(t) + yf(t)= 4e-t-2e-2t-4e-t+e-2t +3= - e-2t +3 用LTI系统零状态响应的线形性质和微分性质求yf(t) 例: y‘(t) +2y(t)= f‘‘(t) + f‘(t)+2 f(t) f(t)= 求yf(t) 输入分为3部分： 设 f(t) 系统 y1(t)=T[0,f(t)] 满足方程: y1‘(t) +2y1(t)= f(t) 且y1(0-)=0 y1(0+)=0 齐次解: C1e-2t  y1(t )=C1e-2t +=-e-2t +=[ 1-e-2t]  特解: P0= f‘(t) 系统 y1‘(t) y1‘(t)= (1-e-2t)·+ e-2t= e-2t f‘‘(t) 系统 y1‘‘(t) y1‘‘(t)= e-2t-2 e-2t=-2 e-2t yf(t)= y1‘‘(t)+ y1‘ (t)+2 y1 (t)=+(1-2 e-2t)  §2.2 冲击响应和阶跃响应 求零状态响应的一种重要方法是卷积积分法.在这种方法中,冲击响应和阶跃响应是非常重要的概念.是系统的基本响应,反映系统特性.  一 冲击响应h(t) T[{0},{}] 1 定义:  2 h(t)的求解方法: 情况一: 等号右端只含激励f(t), ------经典法 y(t)+ an-1y(t)+…+ a1y (t)=f(t) h(t)+ an-1h(t)+…+ a1h (t)= 输入为 h(0-)=0, j=0、1、2 … n-1 初始状态为0 0+初始值 h(0+)= h(0-)=0 j=0、1、2 … n-2 h(0+)= h(0-)+1=1 h(t)的形式: h(t)= ()· 例: 2.2-1 h(t) 满足 h‘‘(t)+5 h‘(t)+6 h(t)= h‘(0-)= h (0-)=0  确定0+初始值：方程两端奇异函数平衡 h (t)连续，h (0+) =h (0-) h‘(t)跃变， h‘(0+)≠h‘(0-) 方程两边积分： h‘‘(t)dt+5h‘ (t)dt+6h (t)=dt [h‘(0+)- h‘(0-)]+5[ h (0+)- h (0-)]+0=1 ∴ h (0+) =h (0-)=0 h‘(0+)=h‘(0-)+1=1  考虑t＞0(或t=0+以后)的系统响应，此时激励为0 [P52] 齐次方程：h‘‘(t)+5 h‘(t)+6 h(t)=0 解的形式：h(t)= C1e-2t + C2e-3t t≥0 h‘(t)= -2C1e-2t -3C2e-3t h(0+)= C1+ C2 =0  C1 =1 h‘(0+)= -2C1 -3C2 =1 C2 = - 1 ∴ h(t)= (e-2t - e-3t)· 情况二：等号右端除f(t)外,还有f (t) y(t)+ an-1y(t)+…+ a1y(t)+ a0y(t) = bm f (t)+ bm-1 f (t)+……+ b 1 f (t)+ b0f(t) h(t)+ an-1h(t)+…+ a1h(t)+ a0h (t) = bmδ(t)+ bm-1δ (t)+……+ b 1δ (t)+ b0δ(t) h(0-)=0, j=0、1、2 … n-1 求0+初始值较复杂,求解思路分二步： 第一步：输入仅为时，设响应为h1(t) h1(t)+ an-1h1(t)+…+ a1h1(t)+ a0h1 (t)= h1(t)用方法一求出 第二步：用线性性质和微分特征 h (t) = bm h1(t)+ bm-1 h1(t)+……+ b 1h1(t)+ b0h1(t) 例：2.2-2 y‘‘(t)+5y‘(t)+6y(t)= f‘‘(t)+2 f‘(t)+3 f(t) 解： 设 h1(t) h1‘‘(t)+5h1‘(t)+6 h1(t)= h1(t)= (e-2t - e-3t)·  h(t)=h1‘‘(t)+2h1‘(t)+3 h1(t) ∵ h1‘(t) = (-2e-2t+3e-3t)·+ (e-2t - e-3t)·=(-2e-2t+3e-3t)· h1‘‘(t) = (4e-2t-9e-3t)·+ (-2e-2t +3 e-3t)· =(4e-2t-9e-3t)·+ ∴ h(t)=+(3 e-2t-6e-3t)· 二 阶跃响应 1 定义：g(t) T[{0},{}]  2 g(t)的求解： 情况一：等号右端只含f(t)= 满足 g(t)+ an-1 g(t)+……+ a0g(t)= g(0-)=0, j=0、1、2 … n-1 0+初始值 g(0+)= g(0-)=0 当t＞0+时,g(t)=齐次解+特解=+ 情况二：等号右端含f(t)及各阶导数，求0+较困难 由线性性质和微分性质求g(t) 第一步：g1(t) 第二步：用性质 例2.2-3：[P55]  解：(1) 列写微分方程: 左：x‘‘(t)+3x‘(t)+2x(t)=f(t) 右：2y(t) =-2x‘(t)+2x(t) 3y‘(t) = -3x‘‘(t)+6x‘(t) y‘‘(t)= - x‘‘‘(t)+2x‘‘(t) y‘‘(t)+3 y‘(t)+2 y(t) = - [x‘‘(t)+3x‘(t)+2x(t)]‘+2[x‘‘(t)+3x‘(t)+2x(t)] ∴ y‘‘(t)+3 y‘(t)+2 y(t) = -f‘(t)+2f(t) (2) 求g(t)，属情况二 第一步：设输入为时，响应为g1(t) g1‘‘(t)+3g1‘(t)+2g1(t)= g1(t) = C1e-t + C2e-2t+ g1‘(0+)=3g1 (0+)=0 g1‘(t)= - C1e-t-2C2e-2t g1(0+)=C1+ C2 +=0  C1 = - 1 g1‘(0+)= - C1 -2C2=0 C2 =  ∴ g1(t) =( - e-t +e-2t+)· 第二步：用线性和微分特性 g(t) = - g1‘(t)+2g1(t) = - ( -e-t +e-2t+)·- ( - e-t- e-2t)·+( -2e-t +e-2t+1)· =( -3e-t +2e-2t+1) · 三 h(t)与g(t)的关系 = LTI h(t)=  =dx 微积分特性 g(t)=h(x)dx 四 典型二阶电路的h(t)和g(t) 通过一个典型的实例,得出典型二阶电路h(t)和g(t)，与电路参数R、L、C的关系 例 2.2-4：电路如图：  解：(1) 列出与的微分方程 （书） ‘‘(t)+6‘(t)+25(t)=25 (2) 求h(t)，令= h‘‘(t)+6h‘(t)+25h(t)=25 h‘(0+)=h(0-)=0 0+初始值 h(0+)= h(0-)=0 h‘(0+)= h(0-)+25=25 λ2+6λ+25=0λ1，2= - 3j4 （查表2-1，P43） h(t)= e-3t[Ccos(4t)+Dsin(4t)]· h‘(t)= e-3t[-4Csin(4t)+4Dcos(4t)]-3e-3t[Ccos(4t)+Dsin(4t)] h(0+)= C=0  C=0 h‘(0+)= 4D-3C=25 D=6.25 ∴ h(t)= e-3t×6.25×sin(4t) t≥0 (3) 求g(t) 令 = g‘‘(t)+6g‘(t)+25g(t)=25 g(0+)=g‘(0+)=0 g(t)= e-3t[Ccos(4t)+Dsin(4t)]+1 g‘(t)= e-3t[-4Csin(4t)+4Dcos(4t)]-3e-3t[Ccos(4t)+Dsin(4t)] g(0+)= C+1=0  C=0 g‘(0+)= 4D-3C=2 D== - 0.75 ∴ g(t)={1- e-3t[cos(4t)+0.75sin(4t)]}· t≥0 典型二阶电路：（图2.2-5） 特征根：λ1，2= -， 四种情况（书图2.2-6）  ＞ω0，λ1、λ2为实负根，衰减，过阻尼  =ω0， λ为2重负根， 临界  ＜ω0， 一对共轭复根， 欠阻尼  =0， 图(a),取R=0，一对共轭虚根jω0，等幅振荡 (4) h(t)= g‘(t) = {1- e-3tcos(4t)-0.75sin(4t)}· -e-3t[-4sin(4t)+3cos(4t)]·+3e-3t[cos(4t)+0.75sin(4t)]· = --0+[4e-3tsin(4t)+2.25e-3tsin(4t)]· = 6.25e-3tsin(4t)· §2.3卷积积分 一 卷积积分的定义: 1. 提出的思路:  对不同的f(t)：(tm、e-t、sint)， 设不同的特解，求多次微分方程(t) 对复杂的f(t)= t·e-t　　　求解困难 经典法的缺点： 求解微分方程的次数多；  对复杂的f(t)较困难 优点：可求(t) 解决的办法：将复杂的信号f(t)分解为简单信号之和 f(t)的分解：   第k个波形： 宽度 △τ= 幅度 f(k·△τ) 位置 (t-k·△τ) f(t)≈f(k·△τ) ·△τ·(t-k·△τ) 3 求(t) 对LTI系统，自变量为t (t)= T[f(t)]=T[f(k·△τ) ·△τ·(t-k·△τ)] =f(k·△τ) ·△τ·T[(t-k·△τ)] =f(k·△τ) ·△τ·(t-k·△τ) 令△τ→0，△τ→dτ，k·△τ→τ f(t)= f(k·△τ) ·△τ·(t-k·△τ) = f(τ)·δ(τ)dτ→f(t) (t)= f(k·△τ) ·△τ·(t-k·△τ) =f(τ)·h(t-τ)·dτ=f(t) * h(t) 即:零状态响应(t)是激励f(t)与冲击响应h(t)的卷积积分 4 用卷积积分求(t)的步骤：  先求系统的单位冲击响应h(t),用经典法.  (t)=f(t) * h(t) 优点：灵活、简便、适用于复杂信号，是时域分析中的重要方法。 缺点：只能求(t)，不能求(t) 5 一般定义：f(t)=f1(t) * f1(t) f1(τ) f2(τ) 积分变量τ：-∞～+∞ 变化 参变量t： -∞～+∞ 变化 二 卷积的计算(图示) 图解的步骤： 求t=t1时刻f(t1)的步骤:  f1(t) →f1(τ) ,f2(t) f2 (-τ)   f2(-τ) f2(t1-τ)   f(t1)= f1(τ)·f2(t1-τ)dτ  当t从-∞～+∞ 连续取值时，将f2(t-τ)连续地沿τ轴右移 求得f(t)= f1(τ)·f2(t-τ) dτ 关键: 积分上下限的确定 参变量t的分段 例2.3-1: f(t)= f1(t) * f2(t)=f1(τ) f2(t-τ)dτ 第一步: f1(t)→f1(τ) f2(t)→ f2(-τ)  第二步: t: 变化区间为(-∞,+∞),当t从-∞逐渐增大时, f2(t-τ) 沿τ轴从左向右平移,将t分为数段,由于每一段图形相交情况不同,计算结果也不同.  -∞＜t＜-2 f1(τ) 和f2(t-τ) 非零值无相交,乘积为0 ∴ f(t)=0  -2＜t＜0 f1 (τ) 和f2(t-τ)非零值相交, 变区间为(-2,t) ∴ f(t)= f1(τ)·f2(t-τ) dτ= 2×dτ= (t+2)  0＜t＜-2 f1 (τ) 和f2(t-τ)非零值相交,区间不变(-2-t,t) 宽度为2,积分值为一固定值 ∴ f(t)= 2×dτ= (t+2-t)=3  2＜t＜4 ∴ f(t)= 2×dτ= (4-t)  t＞4,f(t)=0 (两函数无相交) 结果: 0 t＜-2 (t+2) -2＜t＜0 f(t) = 3 0＜t＜2 (4-t) 2＜t＜4 0 t＞4 从上例可看出,计算卷积时,确定积分上下限是关键,而图解可帮助我们正确的确定上下限. 特例: 2个因果函数的卷积,t＜0时, f1(t) =0, f2(t)=0 则: f1(t) * f2(t)=f1(τ) f2(t-τ)dτ 例2.3-2: f1(t)=3 e-2t· f2(t)=2 f3(t)= 2 解：(1) f1(t) * f2(t)=3 e-2t·dτ =3 e-2t×2dτ=3(1- e-2t)= 3(1-e-2t)· 两个因果函数的卷积仍为因果函数 f1(t) * f3(t)=3 e-2t·2dτ =3 e-2t×2dτ=3[1- e-2(t-2)]= 3[1-e-2(t-2)]· 如果将f1(t)看作系统的冲击响应h(t)  * 卷积存在的讨论: 存在: 若函数均为有始的可积函数,则卷积存在 如: *=·dτ=1dτ=t· 不存在: 无起始点, *=·dτ=1dτ 不存在 不一定: e-t无起始点 e-t* e-t =e-t* e-(t)·dτ = e-t·e(-)dτ=| = β＜α时， =0 存在 β＞α时，△→∞ §2.4卷积积分的性质 一 卷积的代数运算 1 交换律：f1(t) * f2(t)= f2(t) * f1(t) 证明：f1(t) * f2(t)=f1(τ) f2(t-τ)dτ  f1(t-η) f2(η)(-dη) =f1(t-η) f2(η)dη=f2(t) * f1(t) 例: f1(t)=e -t· f2(t)= 解: f1(t) * f2(t)=e -dτ=|=· f2(t) * f1(t)=· ·dτ =dτ=edτ ==· 几何意义:曲线下面积相等  2 分配律: f1(t) * [f2(t)+f3(t)]= f1(t) * f2(t)+ f1(t) * f3(t) 物理意义: 设   f1(t)激励, f2(t)+f3(t) h(t) h2(t) + h3(t) = h(t) 表示并联   3 结合律: [f1(t) * f2(t)] *f3(t)= f1(t) * [f2(t) * f3(t)] 证明: [f1(t) * f2(t)] *f3(t) = [f1(τ) f2(η-τ)dτ] f3(t-η)dη f1(τ) [f2(η-τ)f3(t-η)dη]dτ  f1(τ) [f2(x)f3(t-τ-x)dx]dτ =f1(τ) f23(t-τ)dτ = f1(t) * [f2(t) * f3(t)] 物理意义: f1(t)激励, f2(t)= h2(t) ,f3(t)= h3(t) h(t)= h2(t) * h3(t) 表示级联   二 f(t)与的卷积: 与一个函数相乘,积分时具有特殊的性质:抽样性;与函数卷积时也有特殊性. 基本形式: f(t) *=* f(t)= f(t) 某函数与冲击函数的卷积就是它本身. 证明: f(t) *=f(τ)·dτ= f(t) 由以上基本公式,可推出几个移位公式: 移位形式1: f(t) *=* f(t)= f(t-t1) 移位形式2: f(t-t1) *=f(t-t2)* f(t-t1)= f(t-t1-t2) 移位形式3:若f(t)= f1(t) * f2(t) 则: f1(t-t1) * f2(t-t2)= f1(t-t2)* f2(t-t1) = f(t-t1-t2) 证明: f1(t-t1) * f2(t-t2)= [f1(t) *]* f2(t-t2) = f1(t) *[* f2(t-t2)]= f1(t) * f2(t-t1-t2) = f1(t) * f2(t) *=f(t) * = f(t-t1-t2) 例2.4-2: (1) * (2) e-2t* 6解:(1) 方法一: *=** =[t]*= (t-2) 方法二:*=·dτ =1·1 dτ=(t-2) (2) e-2t*=e-2dτ= - | == = 例2.4-3:求 与f(t)的卷积 =…+++++… = f(t)=f0(t)* = f0(t)*  =[ f0(t)*] =[ f0(t-mT)]  结论1:τ＜T,波形不重叠,卷积也是周期信号 τ＞T,波形将重叠 结论2: 周期信号的表示:任意f(t)= [ f0(t-mT)] 三 卷积的微分与积分 f(t)= f1(t) * f2(t)= f2(t) * f1(t) 1 微分: f(1)(t) = f(1)(t) = f1(1)(t) * f2(t) =f1(t) * f2(1)(t) ……(1) 证明: f(1)(t) =f1(τ) f2(t-τ)dτ=f1(τ)  f2(t-τ)dτ =f1(t) * f2(1)(t) 2 积分: f(1)(t) =f(x)dx f(-1)(t) = f1(-1)(t) * f2(t) =f1(t) * f2(-1)(t) ……(2) 证明: f(-1)(t) =f1(x) f2(x)dx=[f1(τ) f2(x-τ)dτ]dx =f1(τ) [f2(x-τ)dx]dτ f1(τ) [f2(y)dy]dτ =f1(τ) f2(-1)(t-τ)dτ= f1(t) * f2(-1)(t) 3 微积分: f(t)= f1(1)(t) * f2(-1)(t)= f1(-1)(t) * f2(1)(t) 证明:对(1)式积分: f(t)= f1(1)(t) * f2(-1)(t) 对(2)式积分: f(t)= f1(-1)(t) * f2(1)(t) 多阶情况: f1(i)(t) = f1(j)(t) * f2(i-j)(t) i,j 取正值,表示导数的阶数 取负值,表示重积分的次数 例2.4-4：f(t)= f1(t) * f2(t)= f1(1)(t) * f2(-1)(t) f1(t) =2U(t-1)-2U(t-3) f1‘(t) =2-2 ∴f(t) =2[-2] * f2(-1)(t)=2 f2(-1)(t-1)-2 f2(-1)(t-3) 四 系统框图基本单元的冲击响应：←复合系统 1 数乘积: h(t)=a  2 延时器: h(t)=  3 微积分: h(t)=  4 积分器:h(t)=  例: (1) 求复合系统的h(t)  h(t)= ha(t) * [ha(t)+ hb(t)]= ha(t) * ha(t)+ ha (t) * hb(t)  (2) ha(t)和 hb(t)的框图:  ha(t) = -=*- * = *[-] 例:求图所示系统的单位冲击响应h(t)  解: 令f(t)= ,则yf(t)=h(t) h‘(t)=- h(τ) dτ h‘‘(t)=- h(t)  h‘‘(t)+ h(t)= 令输入仅为时，→h1(t) h1‘‘(t)+ h1(t)= 0+： h(0+)+ h(0-)= 0 h‘(0-)+ h(0-)= 0 h‘(0+)= h‘(0-)+1=1 λ2 +1=0，λ=j h1(t)=C·sint+D·cost →D=0 h1‘(t)=C·cost-C·sint →C=1 h1(t)=sint· ∴h(t)= h1‘(t)= cost·