第六章 离散系统的 z域分析
§ 6.1 Z变换
§ 6.2 Z变换的性质
§ 6.4 离散系统的 Z域分析
§ 6.3 逆 Z变换
§ 6.5 离散时间系统的频率响应特性
?z变换的历史可是追溯到 18世纪；
?20世纪 50~60年代抽样数据控制系统和数字
计算机的研究和实践，推动了 z变换的发展；
?70年代引入大学课程；
?求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；
?今后主要应用于 DSP分析与设计，如语音信
号处理等问题。
本章主要讨论：
?拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变
换和拉氏变换的关系；利用 z变换解差分方程；
?利用 z平面零极点的分布研究系统的特性 。
连续系统,时域分析,y(t);频域分析,Y(jw) →y(t);
复频域分析,Y(S) →y(t)
(微分方程 ) (s)
离散系统,时域分析,y(k);频域分析,Y(jw) →y(t) ;
复频域分析,Y(Z) →y(k)
(差分方程 ) (z)
主要内容
1.z变换定义
2.z变换性质 离散信号 f(k) F(Z)
3.逆 z变换
4.离散系统的 z域分析 F(Z) LTI Y(Z)
§ 6.1 Z变换
抽样信号的拉氏变换 → 离散信号的 z变换
O t
? ?tx
s
T T2
? ? ? ?nTtnTx ??
O n
? ?nx
1 2
一,定义
1.从拉氏变换导出 Z变换：
)(s tx
DA/
)( nx k 数字滤
波器
)( ng k
AD/
)( tg
)( tp
)( tx
取样信号, fs(t)=f(t) δT(t)=f(t)
=
拉氏, ￡[fs(t)]=
=
? ??
?
???
?
k
kTt?
? ? ? ??
?
???
?
k
kTtkTf ?
? ? ? ?]?
?
???
?
k
kTtkTf ?
? ??
?
???k
kTf
k T s-
e
令 Z=,F(Z)=
2.拉氏变换与 Z变换关系,
F(S)=F(Z) ︳ Z=
Z与 S的关系,Z=,S= lnZ
3.定义式,
设 f(k),(k=0,± 1,± 2,………)
sTe
? ??
?
???k
kf k-Z
sTe
sTe
T
1
F(Z)= … 正变换
双边
Z变换
f(k)= …,逆变换
对因果序列, f(k)=0,k＜ 0
? ??
?
???k
kf k-Z
? ?c k dZZZFj 1)(2
1
?
F(Z)=
单边
f(k)= k≥0
Z[f(k)]=F(Z)
[F(Z)]=f(k)
f(k) ←→F(Z)
? ??
?
???k
kf k-Z
? ?c k dZZZFj 1)(2
1
?
1?Z
二,Z变换的收敛域,
充要条件, ＜ ∞,绝对可和
例,f(k)= 0,k＜ 0 发散序列
2 k≥ 0
f(k)
…..
0 1 2 3 k
? ??
?
???k
kf k-Z
k2
F(Z)=
︱ 2Z ︱＜ 1,︱ Z︱＞ 2
? ? ? ?
k
K K
Zkf? ?
?
?
?
?
??
0 0
1k- 2Z
? ?
11
1
21
1
21
21
??
??
?
?
?
?
?
ZZ
Z
不同类型序列 收敛域范围
有正幂,Z≠∞
有限长序列 0＜︱ Z︱ ＜ ∞
有负幂,Z≠0
因果序列 ︱ Z︱＜ ︱ a︱ (圆外 )
非因果序列 ︱ Z︱ ＜ ︱ b︱ (圆内 )
双边序列 ︱ a︱ ＜ ︱ Z︱ ＜ ︱ b︱ (环状 )
1.有限长序列,
① f(K)= δ(k)
F(Z)= =1 Z平面 (`全部 )
② f(k)={1,2,3,2,1}
k=0 3
2 2
1 1 ….
-2 –10 1 2 k
? ? k
k
Zk ?
?
???
? ?
双边,F(Z)=
=
Z平面, 0＜︱ Z︱ ＜ ∞,Z≠∞,Z≠0.
? ? k
k
Zkf ?
?
???
?
2
2 1*21*13*2*1
ZZ
ZZ ????
单边,F(Z)= =
Z平面, 0＜︱ Z︱ ≤∞,Z≠0.
? ? k
k
Zkf ?
?
???
? 2213 ZZ ??
2.因果序列,
f1(k)= ε(k) ←→ Z/(Z-a),︱ Z︱＞ ︱ a︱
F1(Z)= =
= Z/(Z-a) ︱ a ︱ ＜ 1,︱ Z︱＜ ︱ a︱
不定 ︱ Z︱ =︱ a︱ → 收敛圆
无界 ︱ Z︱＜ ︱ a︱
ka
? ?
K
kk
kk aZZa ??
?
?
?
?
?
? ?
0
1
0
? ?
1
1
1
1
?
??
?
?
aZ
aZ
1?Z
Im[Z]
︱ a︱
0 Re[Z]
Z平面 ---积坐标 R S平面 ---直角坐标?je
3,非因果序列,
f2(k)=,k＜ 0 = ε(-k-1)
0,k≥0
F2(Z)=
kb kb
??
?
?
??
?
???
?
1
1
m
mmk
k
k ZbZb
? ? ? ?
Zb
ZbZb
Zb
m
m
1
11
1
1
1 ?
????
?
?
?
?
?? ?
= -Z/(Z-b) ︱ Z︱ ＜ ︱ b︱ (圆内 )
不定 ︱ Z︱ = ︱ b︱
无界 ︱ Z︱ ＞ ︱ b︱
三,常用序列的 Z变换,
1.因果序列, a为正实数
a ε(k) ←→Z/(Z -a) ︱ Z︱ ＞ a
(-a ) ε(k) ←→Z/(Z+a) ︱ Z︱ ＞ a
a=1,ε(k) ←→Z/(Z -1) ︱ Z︱ ＞ 1
ε(k) ←→
a= ︱ Z︱ ＞ ︱ ︱ =1
ε(k) ←→
︱ Z︱ ＞ ︱
δ(k) ←→1,0≤︱ Z︱ ≤ ∞
?je?
kje ? ?jeZ
Z
?
?je
kje ?? ?jeZ
Z
??
2.反因果序列, b为正实数
ε(-k-1) ←→ -Z/(Z-b) ︱ Z︱ ＜ b
(- ) ε(-k-1) ←→ -Z/(Z+b) ︱ Z︱ ＜ b
b=1,ε(-k-1) ←→ -Z/(Z-1) ︱ Z︱ ＜ 1
kb
kb
§ 6.2 Z变换的性质（ 9个）
一,线性,
二,移位（移序）特性,
y(k-2)+y(k-1)+y(k)=f(k)
Y(Z)
1.双边 z变换的移位,
若 f(k) ←→F(Z),?＜︱ Z︱＜ ?
f(k± m) ←→Z F(Z),?＜︱ Z︱＜ ?
证明,
ξ [f(k+m)]=
=
? ? k
k
Zmkf ?
?
???
? ?
? ? ? ? mmk
k
ZZmkf ??
?
???
? ?
=
=
2.单边 z变换,
f(k) ←→F(Z)=
① 向右移位,
推导,
? ? n
n
m ZnfZ ?
?
???
?
? ?ZFZ m
? ??
?
?
?
0k
kZkf
? ? k
k
Zmkf ?
?
?
? ?
0
? ? ? ? m
k
mk ZZmkf ?
?
?
??? ?
0
ξ [f(k-m)]=
=
n=k-m
? ? n
mn
m ZnfZ ?
?
??
? ?? ? ? ? ?
=
=
结论, f(k-1) ←→ F(Z)+f( -1)
f(k-2) ←→ F(Z)+ f( -1)+f(-2)
? ? ? ? n
n
mn
mn
m ZnfZZnfZ ?
?
?
??
?
??
? ?? ?
0
1
? ? ? ? n
mn
mm ZnfZZFZ ?
?
??
?? ??
1
1?Z
1?Z2?Z
f(k) 4
f(-2) f(1) 1 2 3
…,…..
-2 -1 0 1 2 3 k
f(k-2)
f(-2) f(-1) 1 2 3 4
…..
0 k
对因果序列, f(k)=0,k＜ 0,f(k-m)= F(Z)
②向左移位,
f(k+1) ←→ ZF(Z) -Zf(0)
f(k+2) ←→ Z 2F(Z)- Z2f(0)-Zf(1)
f(k+m) ←→ F(Z) -
mZ?
mZ
? ? k
m
k
m ZkfZ ?
?
?
?
1
0
f(k+2)
3 4 5
f(0) f(1)
-2 -1 0 1 2 k
任意周期序列的 Z变换（因果序列）
N=4 f(k)
f0(k)
…..
0 1 2 3 4 7 8 k
设, f0(k) ←→ F 0(Z)
f(k) =f0(k) + f0(k-N)+…..+f 0(k-mN)+…..
F(Z)= F0(Z)[1+ + +… +…]
∴ F(Z)= F(S)=
NZ? NZ 2? mNZ ?
? ?
NZ
ZF
??1
0 ? ?
sTe
SF
??1
0
三, 序列乘 ←→ Z 域尺度变换
若 f(k)←→F(Z) ?＜︱ Z︱＜ ?
则 f(k) ←→F(Z/a) ?＜︱ Z/a︱＜ ?,
? ︱ a︱＜︱ Z︱＜ ? ︱ a︱
当 a=-1,f(k) ←→F( -Z)
ka
ka
? ?k1?
四, 卷积定理,
f1(k)*f2(k)=F1(Z)F2(Z)
证明,
ξ [f1(k)*f2(k)]=
=
= =F2(Z) F1(Z)
? ? ? ? k
k i
Zikfif? ?
?
???
?
???
??
?
??
? ?
21
? ? ? ? k
ki
Zikfif ?
?
???
?
???
??? 21
? ? ? ?ZFZif ii 21 ??????
? ? ? ?ZFZif i
i
21
?
?
???
?
例, 求 kε(k)
解, ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)=k ε(k)+ε(k)
kε(k)= ε(k)*ε(k)- ε(k)
ξ[k ε(k)]=
︱ Z︱ ＞ 1
? ? 21111 ?????? Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
五, 序列乘 k←→Z 域微分
若 f(k) ←→F(Z)
则； kf(k) ←→ -Z
k2 f(k) ←→ -Z
∴ f(k) ←→
? ?
dZ
ZdF
? ?
??
?
??
? ?
dZ
ZdFZ
dZ
d
mk
? ?ZF
dZ
d
Z
m
??
?
??
? ?
证明,F(Z)=
=
= =
∴ ξ[kf(k)]=-Z
? ? k
k
Zkf ?
?
???
?
? ?
dZ
ZdF ? ?? ? 1???
???
?? k
k
Zkkf
? ? k
k
ZkkfZ ?
?
???
? ?? 1 ? ?? ?kkfZ ?
1??
? ?
dZ
ZdF
六, 序列除（ k+m） ←→Z 域积
分
? ?
mk
kf
?
? ? ?
?
? dFZ
Z m
m ? ?
? 1
? ?
k
kf ? ? ?
?
? dF
Z?
?
证明, ξ[ ]=
=
=
= =
? ?
mk
kf
?
? ? k
k
Z
mk
kf ??
???
? ?
? ?
? ?
?
?
???
??
?k
mk
m
mk
ZkfZ
? ? ? ?? ?
?
???
? ???
k Z
mkm dkfZ ?? 1
? ? ? ? ??? dkfZ mk
Z
k
m 1????
?
???
? ? ? ?? ? ?? ? dFZ Z mm ?
?
? 1
例,求 f(k)=1/k,k≥1
解, f(k)= ε(k-1)
ε(k-1)←→ =
←→ =
∞
= =ln Z =ln
1
1
?
?
Z
ZZ
1?Z
Z
? ?
k
k 1?? ?
?
?
d
Z?
? ? 1
1
? ? ??? dZ?
?
? 1
1
?
??
d
Z?
?
???
?
???
? ?
?
1
1
1
1
1
?? 1?Z
Z
七,k域反转,
若 f(k) ←→F(Z) ?＜︱ Z︱＜ ?
则； f(-k) ←→F( ) ?＜︱ 1/Z︱＜ ?
∴ 1/? ＜︱ Z︱ ＜ 1/ ?
1?Z
八,部分和, 相当于连续系统中时
域积分
若 f(k) ←→F(Z)
则； g(k)= ←→ F(Z)
证明,
f(k)* ε(k)= =
∴ ξ[ ] =ξ[(k)* ε(k)]=F(Z)
? ?dxxft? ??
? ??
?
???i
if
1?Z
Z
? ? ? ?ikif
i
??
?
???
? ? ? 1*?
?
???i
if
? ??
?
???i
if
1?Z
Z
九,初值定理和终值定理,
F(Z) →f(0),f(1) 和 f(∞)
1.初值定理：因果序列
F(Z) =
=f(0)+f(1) +f(2) +…+f(m) +…
∴ ZF(Z)=Zf(0)+f(1)+f(2) +..+f(m),.
∴ f(0)=limF(Z)
Z→∞
? ? k
k
Zkf ?
?
?
?
0
1?Z
2?Z 2??mZ
1?Z 1??mZ
f(1)=lim[ZF(Z)-Zf(0)]
Z→∞
…………….
∴ f(m)=lim [F(Z)- ]
Z→∞
mZ
? ? i
m
i
Zif ?
?
?
?
1
0
2.终值定理,
f(∞)=lim F(Z)
Z→1
应用条件, ①收敛域含 Z=1
② limf(k)收敛
k→∞
Z
Z 1?
例, F(Z)= ︱ Z︱ ＞ ︱ a︱ 因果序列
f(∞)=lim =lim
Z→1 Z→1
f(k)= ε(k)
aZ
Z
?
aZ
Z
Z
Z
?
? 1
aZ
Z
?
?1
ka
§ 6.3 逆 Z变换 F(Z) →f(k)
方法, 幂级数展开法 (长除法 )
部分分式展开
反演积分 (留数法 )
双边变换
注意, F(Z) ︱ Z︱ ＞ ?→ 因果 f(k)ε(k)
︱ Z︱＜ ? → 反因果 f(k)ε(-k)
?＜︱ Z︱＜ ? → 双边 相加
一,幂级数展开法,因果序列
F(Z)=
=f(0)+f(1) +f(2) +…+f(i) +…
f(k)
例, F(Z)=
=1+x+ +…+ +… 令 x=-
? ? k
k
Zkf ?
?
?
?
0
1?Z 2?Z iZ?
Z
a
e
?
xe
!2
kx
!k
xk
Z
a
=1+(- )+ +…+
F(Z)=
=1+(-a) + +…+ +..
∴ f(k)= k≥0
Z
a
e?
Z
a
!2
2
?
?
?
?
?
?
?
Z
a
!k
Z
a
k
?
?
?
?
?
?
?
Z
a
e?
1?Z ? ? 2
2
!2
?? Za ? ? k
k
Z
k
a ??
!
? ?
!k
a k?
例,F(Z)= 长除法
+…
解, -Z-2 3Z
3Z-3-6
3+6
3-3 -6
9 +6
9 -9 -18
…….
2
3
2 ?? ZZ
Z
4321 15933 ???? ??? ZZZZ
2Z
1?Z
1?Z
1?Z
1?Z
1?Z
2?Z
2?Z
2?Z 3?Z
∴ F(Z)= +…
f(k)={0,3,3,9,15,…..}
k=0
缺点,不易求得闭合解,
4321 15933 ???? ??? ZZZZ
二,部分分式展开
F(Z)= =
(m≤n)
= m＜ n 变为真分式
求分母多项式的根 → 极点
极点,A(Z)=0的根,Z1,Z2,…,Z n.F(Z) →∞
? ?
? ?ZA
ZB
01
1
1
01
1
1
.,,
.,,
aZaZaZ
bZbZbZb
n
n
n
m
m
m
m
????
????
?
?
?
?
? ?
Z
ZF ? ?
? ?ZZA
ZB
极点类型, 实数单极点
共轭复数单极点
实数重极点
复数二重极点
1.实数单极点, Z1,Z2,…,Z n互不相等,
① =
? ?
Z
ZF
n
n
ZZ
k
ZZ
k
ZZ
k
Z
k
?
??
?
?
?
?,,,
2
2
1
10
=
② ki=(Z- ) Z=
③ F(Z)=k0+ ε(k) ←→
④ f(k)=k0?(k)+
i
n
i
i ZZkZ
k
?
? ?
?
1
1
0
? ?
Z
ZF
iZ i
Z
i
n
i
i ZZ
Zk
??? 1
ka
aZ
Z
?
?
?
n
i
ik
1
︱ Z ︱＞ ?
︱ Z ︱＜ ?
∵ ←→
∴ ←→
2.F(Z)有共轭单极点,
Z1,2=c± jd ?
? ? ? ?kZ ki ?
? ? ? ?1??? kZ ki ?
? ?1?? kb k?
? ?1??? kb k ?
bZ
Z
?
bZ
Z
?
?
?je?
=
F(Z)=
F(Z)=,k1=︱ k1︱
? ?
Z
ZF
jdcZ
k
jdcZ
k
??
?
?? 1
*
1
1
1
jdcZ
Zk
jdcZ
Zk
??
?
?? 1
*
1
1
1
?je
?
?
?
?
?? j
j
j
j
eZ
Zek
eZ
Zek
?
?
?
?
?
11
f(k)=[ ] ε(k)
︱ Z︱＞ ?
f(k)=2 cos(?k+?) ε(k) ︱ Z︱＞ ?
f(k)=-2 cos(?k+?) ε(-k-1) ︱ Z︱＞ ?
3.F(Z)有重极点,Z=a处,r重。
? ? ? ? kjjkjj eekeek ???? ?? ??? 11
kk ?
1
kk ?
1
? ? ? ? ? ?
? ?
Z
ZF
aZ
K
aZ
K
aZ
K
Z
ZF br
rr ???????? ?
1
1
1211,..)(
z=a
F(z)=
︱ Z︱＞ ?
←→ ε(k)
? ? ? ? ??
?
??
? ?
?
? ?
?
Z
ZFaZ
dZ
d
i
K ri
i
i
)(
!1
1
1
1
1
? ? ? ? ? ? )(...
1
1
1211 ZF
aZ
ZK
aZ
ZK
aZ
ZK
b
r
rr ??????? ?
aZ
Z
?
ka
k ε(k) ←→ -Z
←→k ε(k)
←→ ?k(k-1) ε(k)
4.F(Z)有共轭二重极点,
ka
? ? 2az
az
az
z
dz
d
?
??
?
??
?
?
?
? ?2az
z
?
? ?3az
z
?
1?ka
2?ka
§ 6.4离散系统的 Z域分析
离散信号分析, 定义性质
f(k) F(Z) 收敛域
逆变换
离散系统分析, f(k) 离散 y(k)
F(Z) H(Z) Y(Z)
离散系统：
差分方程 → Z域代数 →
Y(Z)=Yx(Z)+Yf(Z→y(k) 系统函
k域框图 → Z域框图 → Z域方程
→Y(Z)=Y x(Z)+Yf(Z) →y(k) 数 H(Z)
一,差分方程 → Z域方程
n阶,
初始状态,y(-1),y(-2),…,y(-n)
激励,k=0接入,f(-1)=f(-2)=… =0
取 Z变换 （单边）：
? ? ? ???
?
?
?
? ???
m
j
jm
n
i
in jkfbikya
00
? ????
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
??
? ?? m
j
j
jm
i
k
ki
n
i
in ZFZbZikyZYZa
0
1
00
)()()(
A(Z)特征多项式 -M(Z)初始状态 B(Z)
Y(Z)= →y(k)=y x(k)+yf(k)
=Yx(Z)+Yf(Z)
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
m
j
j
jm
n
i
i
k
k
in
n
i
i
in ZFZbZikyaZYZa
00
1
00
)()()(
)(
)(
)(
)(
)( ZF
ZA
ZB
ZA
ZM ?
例,6y(k)-5y(k-1)+y(k-2)=f(k)
解,6Y(Z)-5[ Y(Z)+y(-1)]+[ Y(Z)+
y(-2) + y(-1)]=F(Z)
Y(Z)=
F(Z)=10
1?Z 2?Z
1?Z
)(
56
1
56
)1()2()1(5
2121
1
ZF
ZZZZ
yZyy
????
?
??
?
??
?????
1
10
1
2
c o s2
2
c o s
2
2
2
2
?
?
??
?
Z
Z
ZZ
ZZ
?
?
Y(Z)=
=
∴
Y(Z)=
1
10
56
1
56
610
2
2
2121
1
???
?
??
??
????
?
Z
Z
ZZZZ
Z
? ?? ?jZjZ
Z
ZZ
Z
ZZ
ZZ
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?? 222 10
3
1
2
1
6
3
1
2
1
6
610
1
3
1
3
1
2
1
3
1
8
3
2
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Z
ZZ
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
y(k)=[ - + - +cos k
+sin k] ε(k)
由 A(Z)的根 (Z1=?,Z2=1/3) 自由响应形式
F(Z)的极点 (Z1,2=± j) 强迫响应形式
k
?
?
??
?
?
2
1 k
?
?
?
?
?
?
3
1
3
8
k
?
?
??
?
?
2
1 k
?
?
?
?
?
?
3
1
3
1
?
2
?
2
二,系统函数 H(Z)
1.定义,由 yf(z)=
def
H(Z)==== =
2.k域分析与 Z域分析,
Yx(Z)=H(Z)F(Z)卷积定理 yf(k)=h(k)*f(k)
?[h(k)]=H(Z)ξ[?(k)]=H(Z)*1,h(k)←→H(Z)
)(
)(
)( ZF
ZA
ZB
)(
)(
ZF
ZY f
)(
)(
ZA
ZB
例,某 LTI离散系统，已知当输入 f(k)=
其零状态响应为
yf(k)=[ ] ε(k)
求系统的单位序列响应 h(k)和描述系统
的差分方程,
? ?k
k
??
?
??
?
??
2
1
kkk
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
?
??
?
?
2
1
2
9
3
14
2
1
2
3
解, yf(k)的象函数为
Yf(z)=
=
f(k)的象函数, F(Z)=
2
12
9
3
1
4
2
12
3
?
?
?
?
? z
z
z
z
z
z
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
2
1
3
1
2
1
2 23
zzz
zz
2
1?z
z
系统函数,H(Z)= Yf(z)/ F(Z)
=
=
=
? ?? ?? ? z
z
zzz
zz 21
2
1
3
1
2
1
2 23 ?
???
?
? ?? ?3121
2 23
??
?
zz
zz
6
1
6
1
2
2
23
??
?
ZZ
zz
∴ h(k)=
将 H(Z)的分子分母同乘以,得
取逆变换,得后向差分方程,
y(k)- y(k-1)- y(k-2)=f(k)+2f(k-1)
? ?k
kk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
3
12
2
13
2?Z
? ? ? ? )(21
6
1
6
11 121 ZFzzYzz
f
??? ???
?
??
?
? ??
6
1
6
1
取逆变换,得前向差分方程,
y(k+2)- y(k+1)- y(k)=f(k+2)+2f(k+1)
6
1
6
1
三,系统的 Z域框图
基本运算单元,
k域 z域
数乘器 f(k) a af(k) F(Z) a aF(Z)
f1(k) f1(k) ± f2(k) F1(Z) F1(Z)± F2(Z)
加法器, f2(k) ∑ F2(Z) ∑
迟延单元 f(k) D f(k-1)
f(-1)
F(Z) ∑ F(Z)+f(-1)
迟延单元, f(k) D f(k-1)
(零状态 )
F(Z) F(Z)
1?z1?z
1?z1?z
例,某 LTI系统的 k域框图如图所示，已知
输入 f(k)=?(k),(1)求系统的单位序列响应
h(k)和零状态响应 yf(k).(2)若 y(-1)=0,
y(- 2)=1/2,求零输入响应 yx(k).
1
x(k) 3 - +
f(k) ∑ D D ∑ y(k)
- + 3
2
按 Z域模型可画出该系统在零状态下的 Z框
图, 1
X(Z) 3 - +
F(Z) ∑ ∑ Y(Z)
- + 3
2
由左端加法器输出端可列出象函数方程为；
X(Z)=3 X(Z)-2 X(Z)+F(Z)
1?z 1?z
1?z 2?Z
(1-3 +2 )X(Z)=F(Z)
由右端加法器输出端可列出方程,
Yf(Z)=X(Z)-3 =(1-3 )X(Z)
Yf(Z)= F(Z)=H(Z)F(Z)
H(Z)=
=
2?Z1?z
1?z 1?z
21
1
231
31
??
?
??
?
zz
z
21
1
231
31
??
?
??
?
zz
z
21
2
23
3
2
2
?
??
?
?
??
?
z
z
z
z
zz
zz
h(k)=[2- ]?(k)
当激励 f(k)=?(k) ?(k)←→z/(z -1)
Yf(Z)=H(Z)F(Z)
=
=
yf(k)=[2k+3-2 ] ?(k)
? ?k2
? ?? ?
? ?
? ? ? ?21
3
121
3
2
22
??
??
???
?
zz
zz
z
z
zz
zz
? ? 2
2
1
3
1
2
2 ?
??
?
?
? z
z
z
z
z
z
? ?k2
(2)由 H(Z)知零输入响应 yx(k)满足方程
yx(k)-3 yx(k-1)+2 yx(k-2)=0
∴ Yx(Z)-3[ Yx(Z)+yx(-1)]+2[ Yx(Z)
+yx(-2)+yx(-1) ]=0
Yx(Z)=
1?z
1?z
2?Z
? ? ? ?? ? ? ?
21
1
231
122213
??
?
??
?????
zz
zyyy xxx
yf(-1)=yf(-2)=0,
∴ yx(-1)=y(-1)=.yx(-2)=y(-2)=1/2
Yx(Z)=
=
yx(k)=[1-2 ] ?(k)
23231
1
2
2
21 ??
??
??
?
?? zz
z
zz
2
2
1 ?
?
?
? z
z
z
z
? ?k2
例,某 LTI离散系统的系统函数
H(Z)=,已知当激励 f(k)=
其全响应 y(k)= (1).
求零输入响应 yx(k)； (2)求初始状态
y(-1),y(-2).
23
3
2
2
??
?
zz
zz ? ? ? ?k
k ?1?
? ? ? ? ? ?kkk ??
?
?
??
? ??? 1
3
22
3
42
解,(1) ∵ 全响应 y(k)=yx(k)+yf(k)
f(k)的象函数 F(Z)=Z/(Z+1),
∴ Yf(Z)=H(Z)F(Z)=
=
∴ yf(k)=
123
3
2
2
???
?
z
z
zz
zz
13
2
23
2
1 ?
?
?
?
? z
z
z
z
z
z
? ? ? ? ? ?kkk ??
?
?
??
? ??? 1
3
22
3
21
yx(k)=y(k)-yf(k)
= -
=
? ? ? ? ? ?kkk ??
?
?
??
? ??? 1
3
22
3
42 ? ? ? ? ? ?kkk ??
?
?
??
? ??? 1
3
22
3
21
? ?? ? ? ?kk ?221 ?
(2)由 yx(k)可得零输入响应的初始值
yx(0)=3,yx(1)
由给定的系统函数可知零输入响应
满足的差分方程为,
yx(k)-3yx(k-1)+2yx(k-2)=0
yx(k-2)= [- yx(k)+ 3yx(k-1)]
2
1
令 k=1和 =0，考虑到 yf(-1)=yf(-2)=0,
y(-1)=yx(-1)= [-yx(1)+3yx(0)]=2
y(-2)=yx(-2)= [-yx(0)+3yx(-1)]=
2
1
2
1
2
3
四,S域与 Z域关系
Z= = =,s=?+j?直角坐标
S= lnZ Z=? 极坐标
?=
?= ?T 映射
① ?=0(s=j?,虚轴 ) ?= 1(单位圆 )
?＜ 0(左半平面 ) ?＜ 1(单位圆内 )
?＞ 0(右半平面 ) ?＞ 1 (单位圆外 )
sTe ? ?Tjwe ?? jw TT ee ?
T
1 ?je
Te?
S平面 j? z平面 Im[Z]
单位圆
0 ? 0 1 Re[Z]
② ?=0,(实轴 ) ?=0(正实轴 )
?=0 (原点 ) ?=0, ?= 1
?=0
s0= ?0+j?0
TjwT ee 00?
∵ ?= = =
以 2 ?为周期,
?je
?
?
2
2
jTTj ee ?Tje ?
③ s平面多值 → z平面单值,
当 ?从 -?/T~ ?/T时,?从 - ? ~ ?变化
当 ?从 ?/T~ 3?/T时,?从 ? ~ 3?变化
§ 6.5 离散时间系统的
频率响应特性
一．离散系统频响特性的定义
正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应） ? ?nx ? ?ny zs
? ?zH
离散系统
稳定的因果
? ?nx
n
O
ω
? ?
1
s i n θn ωA ?
ω
θ
1
A
? ?ny
zs
n
O
ω
? ?
2
s i n θn ωB ?
ω
θ
2
B
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，
这就是系统的 频率响应 特性。
由系统函数得到频响特性
输出对输入序列的相移
? ? ? ? ? ? ? ?ωωω H
zzHH
?? jj
j
j ee
ee ???
? ? ωH ω ~e j
? ? ωω ~?
离散时间系统在单位圆上的 z变换即为傅氏变换，
即系统的频率响应特性,
输出与输入序列的幅度之比幅频特性
相频特性
? ? DT F T)(e j 的即 nhH ω?
? ?jje e
2 π
ωω H? 为周期函数，所以 为周期函数，
其周期为 。
通过本征函数透视系统的频响特性
? ?nh? ?nx ? ?ny
? ?为稳定的因果系统nh
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??
???
?
m
mnωmhnxnhny je
? ??ny
? ?
为本征函数
设输入 ?nx
n?je
n?je ? ?ωH je?
? ???
???
?
m
mωmh jen?je
为输入序列的加权，
体现了系统对信号的处理功能。
是 在单位圆上的动态，
取决于系统的特性。
? ?ωH je
? ?zH? ?ωH je
? ? ??
??
??? mzmhzH )( ? ? ? ?
ωzω zHH jeje ??
单位圆上
离散系统（数字滤波器）的分类
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带通
O ω
s
ω
c
ω
? ?
ω
H
j
e
低通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
高通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带阻
O ω2
s
ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
全通
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
二．频响特性的几何确定法
? ?
? ?
? ?k
N
k
r
M
r
pz
zz
zH
??
??
?
?
?
1
1
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?ωω
k
ω
N
k
r
ω
M
r H
p
z
eH ?? jj
j
1
j
1j ee
e
e
?
??
??
?
?
?
k
r
kk
ω
rr
ω
Bp
Az
?
?
jj
jj
ee
ee
??
??令
? ?
k
N
k
r
M
rω
B
A
H
1
1je
?
?
?
?
?幅频响应
? ? ??
??
??
N
k
k
M
r
r
11
????相位响应
? ?zRe
? ?zImj
1?
1
p
2
p
1
z
2
z
O
1
A
2
A
1
B
2
B
ω
1
?
2
?
1
?
2
?
ω
D
j
e
CE
几点说明
? ?
。零点的作用与极点相反
趋于无穷大。
，则频率响应的峰值＝落在单位圆上，若极点
值附近愈尖锐；
愈短，则频率响应在峰越靠近单位圆，若极点
点可能出现峰值。最短，则频率响应在该
度附近时，如果矢量的长点旋转到某个极点当
应。变化，但会响应相位响
不会使幅度响应发生处加入或去除零极点，因而在
响应不产生作用，处的零点或极点对幅度位于
?
?
?
?
?
??
0
e
0
0
j
ii
ii
i
i
ω
Bp
Bp
B
p
z
z
小结
1.系统的频响特性
：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比
：相 频 特性，输出对输入序列的相移
? ? ? ? ? ? ? ?ωωω HzzHH ?? jjjj eeee ????
? ? ωH ~e j ?
? ? ωω ~?
3.因为 是周期为 的周期函数，所以系统的频响
特性 为周期为 的周期函数。
ωje π2
? ?ωH je π2
4,是关于 的偶函数,是关于 的奇函数。? ?ωH je ω ? ?ω? ω
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，
因 而变化，影响输出的幅度与相位。ω
§ 6.1 Z变换
§ 6.2 Z变换的性质
§ 6.4 离散系统的 Z域分析
§ 6.3 逆 Z变换
§ 6.5 离散时间系统的频率响应特性
?z变换的历史可是追溯到 18世纪；
?20世纪 50~60年代抽样数据控制系统和数字
计算机的研究和实践，推动了 z变换的发展；
?70年代引入大学课程；
?求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；
?今后主要应用于 DSP分析与设计，如语音信
号处理等问题。
本章主要讨论：
?拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变
换和拉氏变换的关系；利用 z变换解差分方程；
?利用 z平面零极点的分布研究系统的特性 。
连续系统,时域分析,y(t);频域分析,Y(jw) →y(t);
复频域分析,Y(S) →y(t)
(微分方程 ) (s)
离散系统,时域分析,y(k);频域分析,Y(jw) →y(t) ;
复频域分析,Y(Z) →y(k)
(差分方程 ) (z)
主要内容
1.z变换定义
2.z变换性质 离散信号 f(k) F(Z)
3.逆 z变换
4.离散系统的 z域分析 F(Z) LTI Y(Z)
§ 6.1 Z变换
抽样信号的拉氏变换 → 离散信号的 z变换
O t
? ?tx
s
T T2
? ? ? ?nTtnTx ??
O n
? ?nx
1 2
一,定义
1.从拉氏变换导出 Z变换：
)(s tx
DA/
)( nx k 数字滤
波器
)( ng k
AD/
)( tg
)( tp
)( tx
取样信号, fs(t)=f(t) δT(t)=f(t)
=
拉氏, ￡[fs(t)]=
=
? ??
?
???
?
k
kTt?
? ? ? ??
?
???
?
k
kTtkTf ?
? ? ? ?]?
?
???
?
k
kTtkTf ?
? ??
?
???k
kTf
k T s-
e
令 Z=,F(Z)=
2.拉氏变换与 Z变换关系,
F(S)=F(Z) ︳ Z=
Z与 S的关系,Z=,S= lnZ
3.定义式,
设 f(k),(k=0,± 1,± 2,………)
sTe
? ??
?
???k
kf k-Z
sTe
sTe
T
1
F(Z)= … 正变换
双边
Z变换
f(k)= …,逆变换
对因果序列, f(k)=0,k＜ 0
? ??
?
???k
kf k-Z
? ?c k dZZZFj 1)(2
1
?
F(Z)=
单边
f(k)= k≥0
Z[f(k)]=F(Z)
[F(Z)]=f(k)
f(k) ←→F(Z)
? ??
?
???k
kf k-Z
? ?c k dZZZFj 1)(2
1
?
1?Z
二,Z变换的收敛域,
充要条件, ＜ ∞,绝对可和
例,f(k)= 0,k＜ 0 发散序列
2 k≥ 0
f(k)
…..
0 1 2 3 k
? ??
?
???k
kf k-Z
k2
F(Z)=
︱ 2Z ︱＜ 1,︱ Z︱＞ 2
? ? ? ?
k
K K
Zkf? ?
?
?
?
?
??
0 0
1k- 2Z
? ?
11
1
21
1
21
21
??
??
?
?
?
?
?
ZZ
Z
不同类型序列 收敛域范围
有正幂,Z≠∞
有限长序列 0＜︱ Z︱ ＜ ∞
有负幂,Z≠0
因果序列 ︱ Z︱＜ ︱ a︱ (圆外 )
非因果序列 ︱ Z︱ ＜ ︱ b︱ (圆内 )
双边序列 ︱ a︱ ＜ ︱ Z︱ ＜ ︱ b︱ (环状 )
1.有限长序列,
① f(K)= δ(k)
F(Z)= =1 Z平面 (`全部 )
② f(k)={1,2,3,2,1}
k=0 3
2 2
1 1 ….
-2 –10 1 2 k
? ? k
k
Zk ?
?
???
? ?
双边,F(Z)=
=
Z平面, 0＜︱ Z︱ ＜ ∞,Z≠∞,Z≠0.
? ? k
k
Zkf ?
?
???
?
2
2 1*21*13*2*1
ZZ
ZZ ????
单边,F(Z)= =
Z平面, 0＜︱ Z︱ ≤∞,Z≠0.
? ? k
k
Zkf ?
?
???
? 2213 ZZ ??
2.因果序列,
f1(k)= ε(k) ←→ Z/(Z-a),︱ Z︱＞ ︱ a︱
F1(Z)= =
= Z/(Z-a) ︱ a ︱ ＜ 1,︱ Z︱＜ ︱ a︱
不定 ︱ Z︱ =︱ a︱ → 收敛圆
无界 ︱ Z︱＜ ︱ a︱
ka
? ?
K
kk
kk aZZa ??
?
?
?
?
?
? ?
0
1
0
? ?
1
1
1
1
?
??
?
?
aZ
aZ
1?Z
Im[Z]
︱ a︱
0 Re[Z]
Z平面 ---积坐标 R S平面 ---直角坐标?je
3,非因果序列,
f2(k)=,k＜ 0 = ε(-k-1)
0,k≥0
F2(Z)=
kb kb
??
?
?
??
?
???
?
1
1
m
mmk
k
k ZbZb
? ? ? ?
Zb
ZbZb
Zb
m
m
1
11
1
1
1 ?
????
?
?
?
?
?? ?
= -Z/(Z-b) ︱ Z︱ ＜ ︱ b︱ (圆内 )
不定 ︱ Z︱ = ︱ b︱
无界 ︱ Z︱ ＞ ︱ b︱
三,常用序列的 Z变换,
1.因果序列, a为正实数
a ε(k) ←→Z/(Z -a) ︱ Z︱ ＞ a
(-a ) ε(k) ←→Z/(Z+a) ︱ Z︱ ＞ a
a=1,ε(k) ←→Z/(Z -1) ︱ Z︱ ＞ 1
ε(k) ←→
a= ︱ Z︱ ＞ ︱ ︱ =1
ε(k) ←→
︱ Z︱ ＞ ︱
δ(k) ←→1,0≤︱ Z︱ ≤ ∞
?je?
kje ? ?jeZ
Z
?
?je
kje ?? ?jeZ
Z
??
2.反因果序列, b为正实数
ε(-k-1) ←→ -Z/(Z-b) ︱ Z︱ ＜ b
(- ) ε(-k-1) ←→ -Z/(Z+b) ︱ Z︱ ＜ b
b=1,ε(-k-1) ←→ -Z/(Z-1) ︱ Z︱ ＜ 1
kb
kb
§ 6.2 Z变换的性质（ 9个）
一,线性,
二,移位（移序）特性,
y(k-2)+y(k-1)+y(k)=f(k)
Y(Z)
1.双边 z变换的移位,
若 f(k) ←→F(Z),?＜︱ Z︱＜ ?
f(k± m) ←→Z F(Z),?＜︱ Z︱＜ ?
证明,
ξ [f(k+m)]=
=
? ? k
k
Zmkf ?
?
???
? ?
? ? ? ? mmk
k
ZZmkf ??
?
???
? ?
=
=
2.单边 z变换,
f(k) ←→F(Z)=
① 向右移位,
推导,
? ? n
n
m ZnfZ ?
?
???
?
? ?ZFZ m
? ??
?
?
?
0k
kZkf
? ? k
k
Zmkf ?
?
?
? ?
0
? ? ? ? m
k
mk ZZmkf ?
?
?
??? ?
0
ξ [f(k-m)]=
=
n=k-m
? ? n
mn
m ZnfZ ?
?
??
? ?? ? ? ? ?
=
=
结论, f(k-1) ←→ F(Z)+f( -1)
f(k-2) ←→ F(Z)+ f( -1)+f(-2)
? ? ? ? n
n
mn
mn
m ZnfZZnfZ ?
?
?
??
?
??
? ?? ?
0
1
? ? ? ? n
mn
mm ZnfZZFZ ?
?
??
?? ??
1
1?Z
1?Z2?Z
f(k) 4
f(-2) f(1) 1 2 3
…,…..
-2 -1 0 1 2 3 k
f(k-2)
f(-2) f(-1) 1 2 3 4
…..
0 k
对因果序列, f(k)=0,k＜ 0,f(k-m)= F(Z)
②向左移位,
f(k+1) ←→ ZF(Z) -Zf(0)
f(k+2) ←→ Z 2F(Z)- Z2f(0)-Zf(1)
f(k+m) ←→ F(Z) -
mZ?
mZ
? ? k
m
k
m ZkfZ ?
?
?
?
1
0
f(k+2)
3 4 5
f(0) f(1)
-2 -1 0 1 2 k
任意周期序列的 Z变换（因果序列）
N=4 f(k)
f0(k)
…..
0 1 2 3 4 7 8 k
设, f0(k) ←→ F 0(Z)
f(k) =f0(k) + f0(k-N)+…..+f 0(k-mN)+…..
F(Z)= F0(Z)[1+ + +… +…]
∴ F(Z)= F(S)=
NZ? NZ 2? mNZ ?
? ?
NZ
ZF
??1
0 ? ?
sTe
SF
??1
0
三, 序列乘 ←→ Z 域尺度变换
若 f(k)←→F(Z) ?＜︱ Z︱＜ ?
则 f(k) ←→F(Z/a) ?＜︱ Z/a︱＜ ?,
? ︱ a︱＜︱ Z︱＜ ? ︱ a︱
当 a=-1,f(k) ←→F( -Z)
ka
ka
? ?k1?
四, 卷积定理,
f1(k)*f2(k)=F1(Z)F2(Z)
证明,
ξ [f1(k)*f2(k)]=
=
= =F2(Z) F1(Z)
? ? ? ? k
k i
Zikfif? ?
?
???
?
???
??
?
??
? ?
21
? ? ? ? k
ki
Zikfif ?
?
???
?
???
??? 21
? ? ? ?ZFZif ii 21 ??????
? ? ? ?ZFZif i
i
21
?
?
???
?
例, 求 kε(k)
解, ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)=k ε(k)+ε(k)
kε(k)= ε(k)*ε(k)- ε(k)
ξ[k ε(k)]=
︱ Z︱ ＞ 1
? ? 21111 ?????? Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
五, 序列乘 k←→Z 域微分
若 f(k) ←→F(Z)
则； kf(k) ←→ -Z
k2 f(k) ←→ -Z
∴ f(k) ←→
? ?
dZ
ZdF
? ?
??
?
??
? ?
dZ
ZdFZ
dZ
d
mk
? ?ZF
dZ
d
Z
m
??
?
??
? ?
证明,F(Z)=
=
= =
∴ ξ[kf(k)]=-Z
? ? k
k
Zkf ?
?
???
?
? ?
dZ
ZdF ? ?? ? 1???
???
?? k
k
Zkkf
? ? k
k
ZkkfZ ?
?
???
? ?? 1 ? ?? ?kkfZ ?
1??
? ?
dZ
ZdF
六, 序列除（ k+m） ←→Z 域积
分
? ?
mk
kf
?
? ? ?
?
? dFZ
Z m
m ? ?
? 1
? ?
k
kf ? ? ?
?
? dF
Z?
?
证明, ξ[ ]=
=
=
= =
? ?
mk
kf
?
? ? k
k
Z
mk
kf ??
???
? ?
? ?
? ?
?
?
???
??
?k
mk
m
mk
ZkfZ
? ? ? ?? ?
?
???
? ???
k Z
mkm dkfZ ?? 1
? ? ? ? ??? dkfZ mk
Z
k
m 1????
?
???
? ? ? ?? ? ?? ? dFZ Z mm ?
?
? 1
例,求 f(k)=1/k,k≥1
解, f(k)= ε(k-1)
ε(k-1)←→ =
←→ =
∞
= =ln Z =ln
1
1
?
?
Z
ZZ
1?Z
Z
? ?
k
k 1?? ?
?
?
d
Z?
? ? 1
1
? ? ??? dZ?
?
? 1
1
?
??
d
Z?
?
???
?
???
? ?
?
1
1
1
1
1
?? 1?Z
Z
七,k域反转,
若 f(k) ←→F(Z) ?＜︱ Z︱＜ ?
则； f(-k) ←→F( ) ?＜︱ 1/Z︱＜ ?
∴ 1/? ＜︱ Z︱ ＜ 1/ ?
1?Z
八,部分和, 相当于连续系统中时
域积分
若 f(k) ←→F(Z)
则； g(k)= ←→ F(Z)
证明,
f(k)* ε(k)= =
∴ ξ[ ] =ξ[(k)* ε(k)]=F(Z)
? ?dxxft? ??
? ??
?
???i
if
1?Z
Z
? ? ? ?ikif
i
??
?
???
? ? ? 1*?
?
???i
if
? ??
?
???i
if
1?Z
Z
九,初值定理和终值定理,
F(Z) →f(0),f(1) 和 f(∞)
1.初值定理：因果序列
F(Z) =
=f(0)+f(1) +f(2) +…+f(m) +…
∴ ZF(Z)=Zf(0)+f(1)+f(2) +..+f(m),.
∴ f(0)=limF(Z)
Z→∞
? ? k
k
Zkf ?
?
?
?
0
1?Z
2?Z 2??mZ
1?Z 1??mZ
f(1)=lim[ZF(Z)-Zf(0)]
Z→∞
…………….
∴ f(m)=lim [F(Z)- ]
Z→∞
mZ
? ? i
m
i
Zif ?
?
?
?
1
0
2.终值定理,
f(∞)=lim F(Z)
Z→1
应用条件, ①收敛域含 Z=1
② limf(k)收敛
k→∞
Z
Z 1?
例, F(Z)= ︱ Z︱ ＞ ︱ a︱ 因果序列
f(∞)=lim =lim
Z→1 Z→1
f(k)= ε(k)
aZ
Z
?
aZ
Z
Z
Z
?
? 1
aZ
Z
?
?1
ka
§ 6.3 逆 Z变换 F(Z) →f(k)
方法, 幂级数展开法 (长除法 )
部分分式展开
反演积分 (留数法 )
双边变换
注意, F(Z) ︱ Z︱ ＞ ?→ 因果 f(k)ε(k)
︱ Z︱＜ ? → 反因果 f(k)ε(-k)
?＜︱ Z︱＜ ? → 双边 相加
一,幂级数展开法,因果序列
F(Z)=
=f(0)+f(1) +f(2) +…+f(i) +…
f(k)
例, F(Z)=
=1+x+ +…+ +… 令 x=-
? ? k
k
Zkf ?
?
?
?
0
1?Z 2?Z iZ?
Z
a
e
?
xe
!2
kx
!k
xk
Z
a
=1+(- )+ +…+
F(Z)=
=1+(-a) + +…+ +..
∴ f(k)= k≥0
Z
a
e?
Z
a
!2
2
?
?
?
?
?
?
?
Z
a
!k
Z
a
k
?
?
?
?
?
?
?
Z
a
e?
1?Z ? ? 2
2
!2
?? Za ? ? k
k
Z
k
a ??
!
? ?
!k
a k?
例,F(Z)= 长除法
+…
解, -Z-2 3Z
3Z-3-6
3+6
3-3 -6
9 +6
9 -9 -18
…….
2
3
2 ?? ZZ
Z
4321 15933 ???? ??? ZZZZ
2Z
1?Z
1?Z
1?Z
1?Z
1?Z
2?Z
2?Z
2?Z 3?Z
∴ F(Z)= +…
f(k)={0,3,3,9,15,…..}
k=0
缺点,不易求得闭合解,
4321 15933 ???? ??? ZZZZ
二,部分分式展开
F(Z)= =
(m≤n)
= m＜ n 变为真分式
求分母多项式的根 → 极点
极点,A(Z)=0的根,Z1,Z2,…,Z n.F(Z) →∞
? ?
? ?ZA
ZB
01
1
1
01
1
1
.,,
.,,
aZaZaZ
bZbZbZb
n
n
n
m
m
m
m
????
????
?
?
?
?
? ?
Z
ZF ? ?
? ?ZZA
ZB
极点类型, 实数单极点
共轭复数单极点
实数重极点
复数二重极点
1.实数单极点, Z1,Z2,…,Z n互不相等,
① =
? ?
Z
ZF
n
n
ZZ
k
ZZ
k
ZZ
k
Z
k
?
??
?
?
?
?,,,
2
2
1
10
=
② ki=(Z- ) Z=
③ F(Z)=k0+ ε(k) ←→
④ f(k)=k0?(k)+
i
n
i
i ZZkZ
k
?
? ?
?
1
1
0
? ?
Z
ZF
iZ i
Z
i
n
i
i ZZ
Zk
??? 1
ka
aZ
Z
?
?
?
n
i
ik
1
︱ Z ︱＞ ?
︱ Z ︱＜ ?
∵ ←→
∴ ←→
2.F(Z)有共轭单极点,
Z1,2=c± jd ?
? ? ? ?kZ ki ?
? ? ? ?1??? kZ ki ?
? ?1?? kb k?
? ?1??? kb k ?
bZ
Z
?
bZ
Z
?
?
?je?
=
F(Z)=
F(Z)=,k1=︱ k1︱
? ?
Z
ZF
jdcZ
k
jdcZ
k
??
?
?? 1
*
1
1
1
jdcZ
Zk
jdcZ
Zk
??
?
?? 1
*
1
1
1
?je
?
?
?
?
?? j
j
j
j
eZ
Zek
eZ
Zek
?
?
?
?
?
11
f(k)=[ ] ε(k)
︱ Z︱＞ ?
f(k)=2 cos(?k+?) ε(k) ︱ Z︱＞ ?
f(k)=-2 cos(?k+?) ε(-k-1) ︱ Z︱＞ ?
3.F(Z)有重极点,Z=a处,r重。
? ? ? ? kjjkjj eekeek ???? ?? ??? 11
kk ?
1
kk ?
1
? ? ? ? ? ?
? ?
Z
ZF
aZ
K
aZ
K
aZ
K
Z
ZF br
rr ???????? ?
1
1
1211,..)(
z=a
F(z)=
︱ Z︱＞ ?
←→ ε(k)
? ? ? ? ??
?
??
? ?
?
? ?
?
Z
ZFaZ
dZ
d
i
K ri
i
i
)(
!1
1
1
1
1
? ? ? ? ? ? )(...
1
1
1211 ZF
aZ
ZK
aZ
ZK
aZ
ZK
b
r
rr ??????? ?
aZ
Z
?
ka
k ε(k) ←→ -Z
←→k ε(k)
←→ ?k(k-1) ε(k)
4.F(Z)有共轭二重极点,
ka
? ? 2az
az
az
z
dz
d
?
??
?
??
?
?
?
? ?2az
z
?
? ?3az
z
?
1?ka
2?ka
§ 6.4离散系统的 Z域分析
离散信号分析, 定义性质
f(k) F(Z) 收敛域
逆变换
离散系统分析, f(k) 离散 y(k)
F(Z) H(Z) Y(Z)
离散系统：
差分方程 → Z域代数 →
Y(Z)=Yx(Z)+Yf(Z→y(k) 系统函
k域框图 → Z域框图 → Z域方程
→Y(Z)=Y x(Z)+Yf(Z) →y(k) 数 H(Z)
一,差分方程 → Z域方程
n阶,
初始状态,y(-1),y(-2),…,y(-n)
激励,k=0接入,f(-1)=f(-2)=… =0
取 Z变换 （单边）：
? ? ? ???
?
?
?
? ???
m
j
jm
n
i
in jkfbikya
00
? ????
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
??
? ?? m
j
j
jm
i
k
ki
n
i
in ZFZbZikyZYZa
0
1
00
)()()(
A(Z)特征多项式 -M(Z)初始状态 B(Z)
Y(Z)= →y(k)=y x(k)+yf(k)
=Yx(Z)+Yf(Z)
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
m
j
j
jm
n
i
i
k
k
in
n
i
i
in ZFZbZikyaZYZa
00
1
00
)()()(
)(
)(
)(
)(
)( ZF
ZA
ZB
ZA
ZM ?
例,6y(k)-5y(k-1)+y(k-2)=f(k)
解,6Y(Z)-5[ Y(Z)+y(-1)]+[ Y(Z)+
y(-2) + y(-1)]=F(Z)
Y(Z)=
F(Z)=10
1?Z 2?Z
1?Z
)(
56
1
56
)1()2()1(5
2121
1
ZF
ZZZZ
yZyy
????
?
??
?
??
?????
1
10
1
2
c o s2
2
c o s
2
2
2
2
?
?
??
?
Z
Z
ZZ
ZZ
?
?
Y(Z)=
=
∴
Y(Z)=
1
10
56
1
56
610
2
2
2121
1
???
?
??
??
????
?
Z
Z
ZZZZ
Z
? ?? ?jZjZ
Z
ZZ
Z
ZZ
ZZ
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?? 222 10
3
1
2
1
6
3
1
2
1
6
610
1
3
1
3
1
2
1
3
1
8
3
2
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Z
ZZ
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
y(k)=[ - + - +cos k
+sin k] ε(k)
由 A(Z)的根 (Z1=?,Z2=1/3) 自由响应形式
F(Z)的极点 (Z1,2=± j) 强迫响应形式
k
?
?
??
?
?
2
1 k
?
?
?
?
?
?
3
1
3
8
k
?
?
??
?
?
2
1 k
?
?
?
?
?
?
3
1
3
1
?
2
?
2
二,系统函数 H(Z)
1.定义,由 yf(z)=
def
H(Z)==== =
2.k域分析与 Z域分析,
Yx(Z)=H(Z)F(Z)卷积定理 yf(k)=h(k)*f(k)
?[h(k)]=H(Z)ξ[?(k)]=H(Z)*1,h(k)←→H(Z)
)(
)(
)( ZF
ZA
ZB
)(
)(
ZF
ZY f
)(
)(
ZA
ZB
例,某 LTI离散系统，已知当输入 f(k)=
其零状态响应为
yf(k)=[ ] ε(k)
求系统的单位序列响应 h(k)和描述系统
的差分方程,
? ?k
k
??
?
??
?
??
2
1
kkk
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ???
?
??
?
?
2
1
2
9
3
14
2
1
2
3
解, yf(k)的象函数为
Yf(z)=
=
f(k)的象函数, F(Z)=
2
12
9
3
1
4
2
12
3
?
?
?
?
? z
z
z
z
z
z
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
2
1
3
1
2
1
2 23
zzz
zz
2
1?z
z
系统函数,H(Z)= Yf(z)/ F(Z)
=
=
=
? ?? ?? ? z
z
zzz
zz 21
2
1
3
1
2
1
2 23 ?
???
?
? ?? ?3121
2 23
??
?
zz
zz
6
1
6
1
2
2
23
??
?
ZZ
zz
∴ h(k)=
将 H(Z)的分子分母同乘以,得
取逆变换,得后向差分方程,
y(k)- y(k-1)- y(k-2)=f(k)+2f(k-1)
? ?k
kk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
3
12
2
13
2?Z
? ? ? ? )(21
6
1
6
11 121 ZFzzYzz
f
??? ???
?
??
?
? ??
6
1
6
1
取逆变换,得前向差分方程,
y(k+2)- y(k+1)- y(k)=f(k+2)+2f(k+1)
6
1
6
1
三,系统的 Z域框图
基本运算单元,
k域 z域
数乘器 f(k) a af(k) F(Z) a aF(Z)
f1(k) f1(k) ± f2(k) F1(Z) F1(Z)± F2(Z)
加法器, f2(k) ∑ F2(Z) ∑
迟延单元 f(k) D f(k-1)
f(-1)
F(Z) ∑ F(Z)+f(-1)
迟延单元, f(k) D f(k-1)
(零状态 )
F(Z) F(Z)
1?z1?z
1?z1?z
例,某 LTI系统的 k域框图如图所示，已知
输入 f(k)=?(k),(1)求系统的单位序列响应
h(k)和零状态响应 yf(k).(2)若 y(-1)=0,
y(- 2)=1/2,求零输入响应 yx(k).
1
x(k) 3 - +
f(k) ∑ D D ∑ y(k)
- + 3
2
按 Z域模型可画出该系统在零状态下的 Z框
图, 1
X(Z) 3 - +
F(Z) ∑ ∑ Y(Z)
- + 3
2
由左端加法器输出端可列出象函数方程为；
X(Z)=3 X(Z)-2 X(Z)+F(Z)
1?z 1?z
1?z 2?Z
(1-3 +2 )X(Z)=F(Z)
由右端加法器输出端可列出方程,
Yf(Z)=X(Z)-3 =(1-3 )X(Z)
Yf(Z)= F(Z)=H(Z)F(Z)
H(Z)=
=
2?Z1?z
1?z 1?z
21
1
231
31
??
?
??
?
zz
z
21
1
231
31
??
?
??
?
zz
z
21
2
23
3
2
2
?
??
?
?
??
?
z
z
z
z
zz
zz
h(k)=[2- ]?(k)
当激励 f(k)=?(k) ?(k)←→z/(z -1)
Yf(Z)=H(Z)F(Z)
=
=
yf(k)=[2k+3-2 ] ?(k)
? ?k2
? ?? ?
? ?
? ? ? ?21
3
121
3
2
22
??
??
???
?
zz
zz
z
z
zz
zz
? ? 2
2
1
3
1
2
2 ?
??
?
?
? z
z
z
z
z
z
? ?k2
(2)由 H(Z)知零输入响应 yx(k)满足方程
yx(k)-3 yx(k-1)+2 yx(k-2)=0
∴ Yx(Z)-3[ Yx(Z)+yx(-1)]+2[ Yx(Z)
+yx(-2)+yx(-1) ]=0
Yx(Z)=
1?z
1?z
2?Z
? ? ? ?? ? ? ?
21
1
231
122213
??
?
??
?????
zz
zyyy xxx
yf(-1)=yf(-2)=0,
∴ yx(-1)=y(-1)=.yx(-2)=y(-2)=1/2
Yx(Z)=
=
yx(k)=[1-2 ] ?(k)
23231
1
2
2
21 ??
??
??
?
?? zz
z
zz
2
2
1 ?
?
?
? z
z
z
z
? ?k2
例,某 LTI离散系统的系统函数
H(Z)=,已知当激励 f(k)=
其全响应 y(k)= (1).
求零输入响应 yx(k)； (2)求初始状态
y(-1),y(-2).
23
3
2
2
??
?
zz
zz ? ? ? ?k
k ?1?
? ? ? ? ? ?kkk ??
?
?
??
? ??? 1
3
22
3
42
解,(1) ∵ 全响应 y(k)=yx(k)+yf(k)
f(k)的象函数 F(Z)=Z/(Z+1),
∴ Yf(Z)=H(Z)F(Z)=
=
∴ yf(k)=
123
3
2
2
???
?
z
z
zz
zz
13
2
23
2
1 ?
?
?
?
? z
z
z
z
z
z
? ? ? ? ? ?kkk ??
?
?
??
? ??? 1
3
22
3
21
yx(k)=y(k)-yf(k)
= -
=
? ? ? ? ? ?kkk ??
?
?
??
? ??? 1
3
22
3
42 ? ? ? ? ? ?kkk ??
?
?
??
? ??? 1
3
22
3
21
? ?? ? ? ?kk ?221 ?
(2)由 yx(k)可得零输入响应的初始值
yx(0)=3,yx(1)
由给定的系统函数可知零输入响应
满足的差分方程为,
yx(k)-3yx(k-1)+2yx(k-2)=0
yx(k-2)= [- yx(k)+ 3yx(k-1)]
2
1
令 k=1和 =0，考虑到 yf(-1)=yf(-2)=0,
y(-1)=yx(-1)= [-yx(1)+3yx(0)]=2
y(-2)=yx(-2)= [-yx(0)+3yx(-1)]=
2
1
2
1
2
3
四,S域与 Z域关系
Z= = =,s=?+j?直角坐标
S= lnZ Z=? 极坐标
?=
?= ?T 映射
① ?=0(s=j?,虚轴 ) ?= 1(单位圆 )
?＜ 0(左半平面 ) ?＜ 1(单位圆内 )
?＞ 0(右半平面 ) ?＞ 1 (单位圆外 )
sTe ? ?Tjwe ?? jw TT ee ?
T
1 ?je
Te?
S平面 j? z平面 Im[Z]
单位圆
0 ? 0 1 Re[Z]
② ?=0,(实轴 ) ?=0(正实轴 )
?=0 (原点 ) ?=0, ?= 1
?=0
s0= ?0+j?0
TjwT ee 00?
∵ ?= = =
以 2 ?为周期,
?je
?
?
2
2
jTTj ee ?Tje ?
③ s平面多值 → z平面单值,
当 ?从 -?/T~ ?/T时,?从 - ? ~ ?变化
当 ?从 ?/T~ 3?/T时,?从 ? ~ 3?变化
§ 6.5 离散时间系统的
频率响应特性
一．离散系统频响特性的定义
正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应） ? ?nx ? ?ny zs
? ?zH
离散系统
稳定的因果
? ?nx
n
O
ω
? ?
1
s i n θn ωA ?
ω
θ
1
A
? ?ny
zs
n
O
ω
? ?
2
s i n θn ωB ?
ω
θ
2
B
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，
这就是系统的 频率响应 特性。
由系统函数得到频响特性
输出对输入序列的相移
? ? ? ? ? ? ? ?ωωω H
zzHH
?? jj
j
j ee
ee ???
? ? ωH ω ~e j
? ? ωω ~?
离散时间系统在单位圆上的 z变换即为傅氏变换，
即系统的频率响应特性,
输出与输入序列的幅度之比幅频特性
相频特性
? ? DT F T)(e j 的即 nhH ω?
? ?jje e
2 π
ωω H? 为周期函数，所以 为周期函数，
其周期为 。
通过本征函数透视系统的频响特性
? ?nh? ?nx ? ?ny
? ?为稳定的因果系统nh
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??
???
?
m
mnωmhnxnhny je
? ??ny
? ?
为本征函数
设输入 ?nx
n?je
n?je ? ?ωH je?
? ???
???
?
m
mωmh jen?je
为输入序列的加权，
体现了系统对信号的处理功能。
是 在单位圆上的动态，
取决于系统的特性。
? ?ωH je
? ?zH? ?ωH je
? ? ??
??
??? mzmhzH )( ? ? ? ?
ωzω zHH jeje ??
单位圆上
离散系统（数字滤波器）的分类
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带通
O ω
s
ω
c
ω
? ?
ω
H
j
e
低通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
高通
O ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
带阻
O ω2
s
ω
s
ω
? ?
ω
H
j
e
全通
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
2
s
ω
二．频响特性的几何确定法
? ?
? ?
? ?k
N
k
r
M
r
pz
zz
zH
??
??
?
?
?
1
1
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?ωω
k
ω
N
k
r
ω
M
r H
p
z
eH ?? jj
j
1
j
1j ee
e
e
?
??
??
?
?
?
k
r
kk
ω
rr
ω
Bp
Az
?
?
jj
jj
ee
ee
??
??令
? ?
k
N
k
r
M
rω
B
A
H
1
1je
?
?
?
?
?幅频响应
? ? ??
??
??
N
k
k
M
r
r
11
????相位响应
? ?zRe
? ?zImj
1?
1
p
2
p
1
z
2
z
O
1
A
2
A
1
B
2
B
ω
1
?
2
?
1
?
2
?
ω
D
j
e
CE
几点说明
? ?
。零点的作用与极点相反
趋于无穷大。
，则频率响应的峰值＝落在单位圆上，若极点
值附近愈尖锐；
愈短，则频率响应在峰越靠近单位圆，若极点
点可能出现峰值。最短，则频率响应在该
度附近时，如果矢量的长点旋转到某个极点当
应。变化，但会响应相位响
不会使幅度响应发生处加入或去除零极点，因而在
响应不产生作用，处的零点或极点对幅度位于
?
?
?
?
?
??
0
e
0
0
j
ii
ii
i
i
ω
Bp
Bp
B
p
z
z
小结
1.系统的频响特性
：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比
：相 频 特性，输出对输入序列的相移
? ? ? ? ? ? ? ?ωωω HzzHH ?? jjjj eeee ????
? ? ωH ~e j ?
? ? ωω ~?
3.因为 是周期为 的周期函数，所以系统的频响
特性 为周期为 的周期函数。
ωje π2
? ?ωH je π2
4,是关于 的偶函数,是关于 的奇函数。? ?ωH je ω ? ?ω? ω
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，
因 而变化，影响输出的幅度与相位。ω
