自动控制原理：习题3及答案

1 第 3 章习题 3.1 已知理想采样开关的采样周期为 T 秒，连续信号为下列函数，求采样的输出信号 )( * tf 及其拉氏变换 )( * sF 。 （ 1） at tetf ? =)( （ 2） ttetf at ωsin)( ? = *答案（ 1） ∑ ∞ = ?? ?= 0 )()( k akT kTtkTetf δ ∑ ∞ = ??? = 0 )( k kTsakT ekTesF （ 2） ∑ ∞ = ?? ?= 0 )(sin)( k akT kTtkTetf δω ∑ ∞ = ??? = 0 sin)( k kTsakT kTeesF ω 3.2 求下列序列的 Z 变换，设 0<k 时 0)( =kf 。 （ 1） ΛΛ,,,,1 32 λλλ （ 2） ΛΛ 432 ,,,, λλλλ 答案： λ λ λ ?? z z z z )2(;)1( 3.3 设采样周期为 0.5 秒，求函数 )(tf 的 Z 变换 )(ZF ? ? ? = 0 1 )(tf 2.20 2.20 ≥< <≤ tt t 和 当 答案： 4321 1)( ???? ++++= zzzzzF 3.4 用长除法、部分分式法和留数法求 )(ZF 的反变换 （ 1） )2)(1( 10 )( ?? = ZZ Z ZF （ 2） )1)(1( )1( )( 11 1 aT aT eZZ eZ ZF ??? ?? ?? ? = （ 3） )1.0)(8.0( )( 2 ?? = ZZ Z ZF 答案： （ 1） ∑ ∞ = ? ??= 0 )(1210)( k K kTttf δ）（ 2 *（ 2） ∑ ∞ = ?? ??= 0 )()1()( k akT kTtetf δ *（ 3） ∑ ∞ = ++? ??= 0 11 )(1.08.0 7.0 1 )( k kk kTttf δ）（ 3.5 用 Z 变换法解下列差分方程 （ 1） 0)(2)1(3)2( =++++ kckckc ， 1)1(,0)0( == cc 。 （ 2） )()(2)1(3)2( krkckckc =++?+ ， 0)1()0(),()( === cckkr δ 。 （ 3） )()()1(2)2( krkckckc =++++ ， 0)1()0(),2,1,0(,)( ==== cckkkr ΛΛ 。 （ 4） 0)(6)1(11)2(6)3( =++++++ kckckckc ， 1)1()0( == cc ， 0)2( =c 。 答案： （ 1） 21 )( + ? + + = z z z z zC ,.....)1,0(,)2()1()( =???= kkC kk （ 2） 23 1 )( 2 +? = zz zC ? ? ? =? = = ? ,....2;12 1,0;0 )( 1 k k kC k (3) )1()1( )( 2 ?+ = zz kz zC ....)1,0(),2()1( 4 1 4 )( 2 =??+= kkk k kC k (4) )3)(2)(1( 177 )( 23 +++ ++ = zzz zzz zC .....)1,0(,)3(5.2)2(7)1(5.5)( =?+???= kkC kkk 3.6 如图题 3.6 所示采样控制系统： r(t) c(t) 1? ? e s Ts K s+1 T 图题 3.6 （ 1）求系统开环脉冲传递函数； （ 2）求闭环系统脉冲传递函数； 3 （ 3）写出系统的差分方程。 解： （ 1） 1 1 )( + ? = ? s K s e sG Ts ] 1 1 1 1 )[1( ] 1 11 [)1(] )1( 1 [)1()( 11 1 11 ??? ? ?? ? ? ? ?= + ??= + ?= zez zK ss ZzK ss ZzKzG T 1 1 1 )1( ?? ?? ? ? = ze zeK T T （ 2） 1 1 )(1 )1( )(1 )( )( )( )( ??? ?? ??+ ? = + ==Φ zKeeK zeK zG zG zR zC z TT T (3) )1()1()1()()( ??=???+ ??? kreKkcKeeKkc TTT 3.7 求图题 3.7 所示采样系统输出 )(zC 表达式。 图题 3.7 答案： )()()(1 )()( )( 3121 1 zGzGzGG zRzG zC ++ = 3.8 如图题 3.8 所示采样控制系统 (1)求在输入和扰动共同作用下的输出量的 Z 变换表达式； (2)求系统输出 )(zC 与输入 )(zR 之间的 Z 传递函数； (3)设 1)( 1 =zD ， 0)( 2 =zD ， 1 )( 1 + = s K sG ， 1)( 2 =sG ， )(sG h 是零阶保持器，求系统输 出 )(zC 与输入 )(zR 之间的 Z 传递函数。 )( 1 sG )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 zD )( 2 zD )(sG h T T T T )(sR )(sE )(sC ? ? ? )( 1 sG )( 3 sG )( 2 sG )(sD ? ? 4 图题 3.8 解： （ 1） )()(1 )( )( )()(1 )]()()[( )( 211 2 211 2121 zGGGzD zNG zR zGGGzD zDzDzGGG zC hh h + +? ?+ + = （ 2） )()(1 )())()(( )( 211 2121 zGGGzD zGGGzDzD z h h ?+ + =Φ （ 3）当 1)( 1 =zD ， 0)( 2 =zD 时， 由（ 2）得 )()(1 )( )( 211 21 zGGGzD zGGG z h h ?+ =Φ 代入数据，化简可得： TT T eekz ek z ?? ? ??+ ? =Φ )1( )1( )(