自动控制原理：习题5及答案

1 第 5 章习题 5.1 已知系统的单位阶跃响应为 tt eetc 1060 2.12.01)( ?? ?+= ，试求： (1) 系统的传递函数； (2) 系统的阻尼比 ξ 和自然振荡频率 n ω 。 *答案： （ 1） )10)(60( 600 )( ++ = sss sG （ 2） 43.1=ξ 5.24= n ω 5.2 设单位反馈系统的开环传递函数为 )1( 1 )( + = ss sG 试求系统的上升时间 r t 、超调时间 p t 、超调量 % p σ 和调节时间 s t 。 *答案： 42.2= r t 625.3= p t %3.16=σ ? ? ? =? =? = 28 56 s t 5.3 要求图题 5.3 所示系统具有性能指标： %20% = p σ ， st p 1= 。试确定系统参数 K 和 A，并计算 r t ， s t 。 图题 5.3 *答案： 5.60=K 135.0=A 5.4 图题 5.4 所示控制系统，为使闭环极点为 sj 12 1 , = ? ± ，试确定 K 和 α 的值，并确定这时系统阶跃响 应的超调量。 r(t) c(t) 1+αs K s 2 图题 5.4 *答案： 2=K 1=α 35.0= r t ? ? ? =? =? = 5654.0 287.0 s t 5.5 设典型二阶线性定常系统的单位阶跃响应曲线如图题 5.5 所示 （1）求阻尼比 ? 和自然振荡频率 n ω ； （2）画出等效的单位反馈系统； （3）写出相应 的开环传递函数。 As )1( +ss K)(sR )(sC C(t) 1.25 1 t (秒 ) 0 0.3 2 )10( 100 )( + = SS sG 图题 5.5 *答案（ 1） 4.0=ζ 4.11= n ω (2) (3) 9.12)s(s 129.96 )( + =sG 5.6 图题 5.6 所示采样控制系统，已知图中线性网络部分的单位阶跃响应为 1? ? e t ，采样周期为 T，求系 统在输入单位阶跃信号时的输出响应 ynT()。 零阶 保持器 线性 网络 u y T 图题 5.6 *答案： nT enTy ?=1)( 5.7 试求下列状态方程的解，设初始状态为 )0(x 。 xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 300 020 001 & 答案： )0()( 3 2 x e e e tx t t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? 5.8 求下列状态方程在单位阶跃输入作用下的响应。设初始状态为： 0)0(,1)0( 21 == xx 。 uxx ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? = 1 1 11 01 & 答案： ? ? ? ? ? ? ? ? =Φ tt t ete e t 0 )( ； ∫ ? ? ? ? ? ? ? =?Φ t t t te e dBut 0 1 )()( τττ 5.9 已知线性系统状态转移矩阵 )(tΦ ，试求该系统的状态阵 A。 ? ? ? ? ? ? +?+? ?? =Φ ???? ???? tttt tttt eeee eeee t 22 22 222 2 )( *答案 : ? ? ? ? ? ? ?? =Φ′= = 32 10 |)( 0t tA 5.10 单位负反馈控制系统的开环传递函数为： r(t) c(t) - 9.12)s(s 129.96 + 3 试求： ⑴ 位置误差系数 Kp，速度误差系数 Kv 和加速度误差系数 Ka； ⑵ 当参考输入r(t)=1 + t + at 2 时，系统的稳态误差。 答案： （ 1） 0,10, ==∞= avp kkk （ 2） ∞ 5.11 单位负反馈系统的开环传递函数为 )1( 5 )( + = ss sG （ 1）求输入信号是 ttr 1.0)( 1 = 时系统的稳态误差； （ 2）求输入信号是 2 2 01.0)( ttr = 时系统的稳态误差。 *答案： （ 1） 02.0)( =∞ ss e （ 2） ∞ 5.12 单位反馈系统的开环传递函数为： )5)(2( )( ++ = ss K sG 求在单位阶跃信号的作用下，稳态误差终值 1.0= ss e 时的 K 值。 答案： 90=K 5.13 在零初始条件下，控制系统在输入信号 )(1)(1)( ttttr += 的作用下的输出响应为 )(1)( tttc = ，求系 统的传递函数，并确定系统的调节时间 s t 。 *答案： 1 1 )( + = s sG ? ? ? =? =? = 24 53 t s 5.14 控制系统的结构如图题 5.14 所示： )2( 8 + ss )(sR )(sC ? ? )(sE sα 图题 5.14 (1) 当 0=α 时，试确定系统的阻尼系数 ξ ，无阻尼自然振荡频率 n ω 和单位斜坡函数输入时系统的 稳态误差； (2) 确定系统中反馈校正参数 α 的值使系统为最佳二阶系统（ 707.0=ξ ） ,并计算单位斜坡输入时的 稳态误差。 (3) 在保证 ξ＝０ .７和 ss e ＝０ .２５的条件下，确定参数 a及前向通道增益 K 。 答案： （ 1） 22= n ω ， 4/2=ξ （ 2） 25.0=α 2/1 （ 3） 187.0,32 == αK 4 5.15 如图题 5.15 所示系统，采用微分补偿复合控制。当输入为 ttr =)( 时，要求系统稳态误差的终值为 0， 试确定参数 d τ 的值。 图题 5.15 答案： K d 1 =τ 5.16 控制系统结构图如图题 5.16 所示，要求： (1) 计算测速反馈校正（ 1 τ ＝０， 2 τ ＝０ .１）时，系统的动态性能指标 s t%,σ 和单位斜坡输入作用 下的稳态误差 ss e ； (2) 计算当比例—微分校正（ 1 τ ＝０ .１， 2 τ ＝０）时，系统的动态性能指标 s t%,σ 及单位斜坡输入 作用下的稳态误差 ss e 。 图题 5.16 *答案： （ 1） %1.35% =σ ， 5.3= s t ， 2.0= ss e （ 2） %7.75% =σ ， 1.3= s t ， 1.0= ss e 5.17 控制系统结构图如图题 5.17 所示。 (1) 当 25=K ， 0= f K 时，求系统的阻尼比 ξ，无阻尼自然振荡角频率 n ω 以及单位斜坡输入作 用下的稳态误差 ss e ； (2) 当 25=K 时，求 f K 取何值能使闭环系统的阻尼比 ξ＝ 0.707，并求单位斜坡输入作用下的稳 态误差 ss e ； (3) 欲使 ξ＝ 0.707，单位斜坡输入作用时的稳态误差 ssr e ＝ 0.12，求 K 和 f K 。 图题 5.17 答案： （ 1） 25/3,3.0,5 === ssn eξω )(sR )(sE )(sC K 3 1 +s ? ? ? f K s 1 ? )(sE )1( Tss K + )(sR s d τ )(sC )(sR )(sC )1( 10 +ss ? ? ? s 2 τ ? s 1 τ ? )(sE 5 （ 2） 29.0,4 == ssf eK （ 3） 84.138,66.13 == KK f 5.18 系统结构图如图题 5.18 所示，其超调量 %3.16% = p σ ，峰值时间 st p 1= 。 (1) 求开环传递函数 )(sG ； (2) 求闭环传递函数 )(sΦ ； (3) 根据已知性能指标 % p σ 及 p t 确定参数 K 及 τ ； (4) 计算输入 ttr 5.1)( = 时系统的稳态误差 ss e 。 图题 5.18 *解： （ 1） )101( )1( 10 1 )1( 10 )( τ τ ++ = + + + ? = ss K ss s ss K sG （ 2） Kss K sG sG s 10)101( 10 )(1 )( )( 2 +++ = + =Φ τ （ 3）令 ? ? ? ? ? = ? = == ?? 1 1 %3.16% 2 1/ 2 n p t e ωξ π σ ξξπ 解出： ? ? ? = = 628.3 5.0 n ω ξ 又因 ? ? ? ==+ == 628.32101 16.1310 2 n n K ξωτ ω 故 ? ? ? = = 2627.0 316.1 τ K （ 4）由（ 1）得 开环增益 628.3 101 10 0 = + = τ K K 系统型别 Iv = 故当 tRttr 5.1)( == 时，利用静态误差系数法得 4135.0 628.3 5.1 0 === K R e ss 5.19 复合控制系统结构图如图题 5.19 所示，图中 2121 ,,, TTKK 是大于零的常数。 (1) 确定当闭环系统稳定时，参数 2121 ,,, TTKK 应满足的条件。 (2) 当输入 tVtr 0 )( = 时，选择校正装置 )(sG c ，使得系统无稳态误差。 )(sR )(sE )(sC K )1( 10 +ss ? ? ? sτ )(sG c )(sR )(sE )(sC 1 1 1 +sT K )1( 2 2 +sTs K ? ? ? 6 图题 5.19 *答案： （ 1）系统的误差传递函数 2121 1221 )1)(1( )1)(()1)(1( )( KKsTsTs sTsGKsTsTs s C e +++ +?++ =Φ 21 2 21 3 212121 )()1)(1()( KKssTTsTTKKsTsTssD ++++=+++= 列劳斯表： 21 0 21 2121211 2121 2 21 3 1 KKs TT KKTTTT s KKTTs TTs + ?+ + 因 2121 ,,, TTKK 均大于零，所以只要 212121 KKTTTT >+ 即可满足稳定条件 （ 2） ] )( 1[lim )1)(1( )1)(()1)(1( lim)()(lim 2 21 0 0 2 0 2121 1221 00 s sG K KK V s V KKsTsTs sTsGKsTsTs ssRsse C s C s e s ss ?=? +++ +?++ ?=Φ= >?>?>? 令 0= ss e 故 2 )( K s sG C = 5.20 某系统结构图如图题 5.20 所示，其中 )(sR 为给定输入量， )(sN 为扰动输入量。试求： (1) 该系统在阶跃扰动输入信号 )(1)( ttn = 的作用下所引起的稳态误差 ssn e ； (2) 系统在 ttntr == )()( 同时作用下的稳态误差 ss e ＝０时 d K 的取值。 图题 5.20 答案： 1 1 K K K n d ? = 5.21 已知系统结构图如图题 5.21 所示。 (1) 求传递函数 )(/)( sNsC （无虚线所画的前馈控制） ； (2) 设 )(sN 阶跃变化 ?值（ ?为设定值） ，求 )(sC 的稳态变化； (3) 若加一增益等于 K 的前馈控制，如图中虚线所示，求 )(/)( sNsC ，并求 )(sN 对 )(sC 稳态值影 响最小的 K 值。 )(sR )(sE )(sC )1( 1 1 +sTs K 1+sT K n n ? ? ? )(sN ? sK d )(sR )(sC 5 2 +s 1 1 +s ? ? ? )(sN K 10 ? 7 图题 5.21 *答案： （ 1） 256 5 )( )( 2 ++ + = ss s sN sC （ 2） 5 )( ? =∞C （ 3）加前馈后 256 205 )( )( 2 ++ ?+ = ss Ks sN sC ， 最适值 4/1=K 5.22 如图题 5.22 所示控制系统，其中 )(te 为误差信号。 K sTs 0 1()+ r(t) e(t) n(t) c(t) K Ts P I ()1 1 + 图题 5.22 (1) 求 r tt()= ， nt()= 0时，系统的稳态误差 ss e ； (2) 求 r t()= 0， n t t( )= 时，系统的稳态误差 ss e ； (3) 求 ttr =)( ， nt t()= 时，系统的稳态误差 ss e ; (4) 当系统参数 IP ΤΚΤΚ ,,, 0 变化时，上述结果有何变化？ 答案： （ 1） 0 （ 2） p I K T ? （ 3） p I ss K T e ?= （ 4） 当 ΤΚ , 0 发生变化时， 对上述结果无任何影响。 因为 ΤΚ , 0 处于外扰 n(t)作用点的后面对 )(∞ ss e 无影响。而系统为二阶无差度系统， ttr =)( 时 0)( =∞ ss e 故 TK , 0 等数变化，只要不改变系统的结 构，即 0)( =∞ ss e ，当 IP ΤΚ , 发生变化时，对 )(∞ ss e 有影响。 5.23 如图题 5.23 所示系统。 (1) 求 )(1)(,0)( ttntr == 时，系统的稳态误差 ss e ； (2) 求 )(1)(,)( ttnttr == 时，系统的稳态误差 ss e ； (3) 若要减少 ss e ，则应如何调整 21 ,KK ？ (4) 如分别在扰动点之前或之后加入积分环节，对 ss e 有何影响？ 图题 5.23 )(sR )(sC ? ? ? )(sN )(sE 1 K )1( 2 2 +sTs K 8 *答案： （ 1） 1 1 K e ss ?= （ 2） 121 11 KKK e ss ?= （ 3）增加 1 K 可同时减少由 )(),( tntr 输入所产生的稳态误差，而增加 2 K 只对减少有由 )(tr 输入所产生 的稳态误差有效 （ 4）在扰动点之前的前向通道中加入积分环节，有利于提高系统的稳态指标（无论对控制输入还是扰 动） ；在扰动后的前向通道加积分环节，对减少扰动作用下的稳态误差无效。 5.24 求如图题 5.24 所示系统在 r(t)和 n(t)同时作用下的稳态误差 ss e 。 （误差定义为 e r c=?） r(t)=1+t c(t) 1 s 1 1s+ s n(t)=0.1sin100t 图题 5.24 *答案： )90100sin(10 ?= te ss 5.25 如图题 5.25 所示系统 : 图题 5.25 其中，输入 )(tr 和扰动 )( 1 tn 、 )( 2 tn 都是单位阶跃函数。求 （ 1）在 )(tr 作用下的稳态误差 ss e ； （ 2）在 )( 1 tn 作用下的稳态误差 ss e ； （ 3）在 )( 2 tn 作用下的稳态误差 ss e ； （ 4）在输入 )(tr 和扰动 )( 1 tn ， )( 2 tn 同时作用下的稳态误差 ss e 。 解： )()()( 1 )]()([ 21 sEsRsN s sNsKE ?=++ )()( 1 )()( 21 sN Ks s sN Ks sR Ks s sE + ? + ? + = （ 1） 0 1 lim)( 0 = + =∞ → sKs s se s ssr （ 2） KsKs se s ssn 111 lim)( 0 1 ?= + ? =∞ → s 1 K )( 1 tn )( 2 tn )(tc)(tr 9 （ 3） 0 1 lim)( 0 2 = + ? =∞ → sKs s se s ssn （ 4） K eeee ssnssnssrss 1 )()()()( 21 ?=∞+∞+∞=∞ 5.26 复合控制系统的方框图如图题 5.26 所示，前馈环节的传递函数 1 )( 2 2 + + = sT bsas sF r 。当输入 )(tr 为单 位加速度信号时，为使系统的静态误差为零，试确定前馈环节的参数 a和 b 。 图题 5.26 *答案：系统的误差传递函数为 ])1()[1( )]1()([ )( 2112 2221 2 21 KKsTssT bKsaKTTsTTs s e +++ ?+?++ =Φ ] 1 )([ 1 lim ])1()[1( )]1()([1 lim)()(lim 2 22121 21 0 2112 2221 2 21 3 00 s bK aKTTsTT KK KKsTssT bKsaKTTsTTs s ssRsse s s e s ss ? +?++= +++ ?+?++ ?=Φ= >? >?>? 可见只有令 ? ? ? =? =?+ 01 0 2 221 bK aKTT 时才满足要求。由此得出 2 21 K TT a + = 2 1 K b = 5.27 图题 5.27 所示离散系统，其中采样周期 T=0.2（ s） ,K=10， r(t)=1+t+t 2 /2，用终值定理法计算系统的 稳态误差 ss e 。 图题 5.27 *答案：系统的开环脉冲传递函数为 2 )1( 8.02.1 )( ? ? = z z zG 可以求出：位置误差系数： ∞=+= >? )](1[lim 1 zGK z p 速度误差系数 )(sF r )(sR )(sE )(sC 1 K )1( 2 2 +sTs K ? ? ? s Ts e ? ?1 K 2 1 S 0.5S ?? )(tr )(te )(* te T )(tc 10 ∞=?= >? )()1(lim 1 zGzK z r 加速度误差系数为 4.0)()1(lim 2 1 =?= >? zGzK z a 所以系统的稳态误差为 1.0 1 )( 2 =++==∞ arp ss K T K T K ee 5.28 图题 5.28 所示离散系统，其中 T=0.1（ s） ,K=1， r(t)=t，试求静态误差系数 p K ， v K ， a K ，并求系 统稳态误差 ss e 。 图题 5.28 *答案：系统的开环传递函数为： )905.0)(1( )9.0(005.0 )( ?? + = zz z zG 所以 位置误差系数： ∞=+= >? )](1[lim 1 zGK z p 速度误差系数 1.0)()1lim( 1 =?= >? zGzK z v 加速度误差系数为 0)()1(lim 2 1 =?= >? zGzK z a 所以系统的稳态误差为 1)( ===∞ V ss K T ee s Ts e ? ?1 s Ts e ? ?1 )1( + Κ ss ? )(tr )(te )(* te T )(tc