1 第 6 章习题 6.1 试判断下列系统的状态能控性。 （ 1） uxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = 1 0 0 041 020 121 & ； (2) uxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0 1 0 110 010 011 & ； (3) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 1 01 10 00 110 010 011 u u xx& ； (4) uxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 2 1 10 4 04 & ； (5) uxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 1 0 0 0 2 1 1 1 λ λ λ λ & ； (6) uxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 0 0 0 1 01 2 1 1 1 λ λ λ λ & 。 答案： （ 1）不完全能控； （ 2）不完全能控； （ 3）完全能控； （ 4）不完全能控； （ 5）不完全能控； （ 6）完 全能控； 6.2 试判断下列系统的能观性。 （ 1） uxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? = 1 0 2 101 110 221 & ， =y [ ]011 x ； （ 2） xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 130 020 002 & ， =y []x111 ； (3) xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 20 12 1 011 & , xy ? ? ? ? ? ? ? = 0100 0001 ； 2 (4) xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 300 020 012 & , =y []x110 。 答案： （ 1）完全能观； （ 2）不完全能观； （ 3）完全能观； （ 4）不完全能观； 6.3 设有三阶系统 []xy uxx 210 0 1 1 310 301 100 ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =& 判别系统的能控性和能观性。 答案：不完全能控、不完全能观 6.4 设有三阶系统 [] &xx a b c u ydefx = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = λ λ λ 1 10 00 00 1 2 (1) 适当地选择常数 a， b， c，使系统完全能控。 (2) 适当地选择常数 d， e， f，使系统完全能观。 答案： （ 1） 0,0,0,0 ≠≠≠≠ fdcb 6.5 系统结构图如图题 6.5 所示，图中 dcba ,,, 均是实常数。试建立系统的状态空间表达式，并分别确定 当系统状态能控及能观时， dcba ,,, 应满足的条件。 图题 6.5 解： []xy u x x bd ca x x 01 1 1 2 1 2 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? = ? ? ? ? ? ? & & []ABBS C =Θ acdb db ac S C +???= ?? ? = 1 1 ∴ 当 0≠??? dcba 时系统完全能控 u )(sC s 1 ? ? ? a s 1 b c d ? ? 2 x 1 x ? 3 ? ? ? ? ? ? = CA C S O Θ c ca S O = ? =∴ 01 ∴当 0≠c 时系统完全能观 6.6 设 []00 010 001 1 321 cC aaa A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? = 其中， 1321 ,,, caaa 为实数。试问， {}cA, 能观的充分必要条件是什么？要求用 A和 c中的参数具体 表示。 解： 13113121121 2 1 131211 1 2 00 caacacaacaca cacaca c CA CA C S O ?? ???== = 3 1 2 3 313212 2 1 321 3 1 001 )( ca aaaaaaa aaac ?= ?? ? ∴ 当 0 13 ≠ca 时系统可观测 6.7 系统状态空间表达式如下： u b b xx ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ?? = 2 1 32 10 & [ ]xccy 21 = 欲使系统中有一个状态既能控又能观测，另一个状态为既不能控又不能观测，试确定 1 b ， 2 b 和 1 c ， 2 c 应满足的关系。 解 :系统的特征方程为 : )2)(1(23 32 1 2 ++=++= + ? =? ssss s s ASI 可见系统特征根为互异单根，且矩阵 A 为友矩阵，可用范德蒙矩阵实现对角化，即 ? ? ? ? ? ? ?? = 21 11 P ? ? ? ? ? ? ?? = ? 11 12 1 P ? ? ? ? ? ? ? ? == ? 20 01 1 APPA ? ? ? ? ? ? ?? + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? == ? 21 21 2 11 2 11 12 bb bb b b BPB [] [ ] 212121 2 21 11 ccccccCPC ??= ? ? ? ? ? ? ?? == 对角化后系统的状态空间表达式为： 4 u bb bb xx ? ? ? ? ? ? ?? + + ? ? ? ? ? ? ? ? = ? 21 21 1 2 20 01 []xccccy 2121 2??= 令 x 可控可观测， 2 x 不可控不可观测，则应有 ? ? ? ≠? ≠+ 0 02 21 21 cc bb ? ? ? =? =+ 02 0 21 21 cc bb 当令 x 不可控、不可观测， 2 x 可控可观测时，可同理讨论 6.8 判断下列系统的输出能控性。 （ 1） uxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? = 1 0 0 6116 100 010 & ， =y [ ]x001 (2) ux d c b x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 0 01 & , y =[ ]x0001 答案： （ 1）系统输出可控（ 2）系统输出不可控 6.9 试将下列状态方程化为能控标准形。 uxx ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 43 21 & 答案；能控标准型 uxx ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? = 1 0 510 10 & 6.10 设系统状态方程为 u b x a x ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? = 1 1 10 & 设状态能控，试求 ba, 。 答案： [] ? ? ? ? ? ? +? == abb b ABBS C 1 1 2 1 babS C ?+?= 则当 01 2 ≠?+? bab 时，状态能控 6.11 试确定使下列系统能观测的 a、 b 。 x b a x ? ? ? ? ? ? = 0 1 & ， =y [ ]x11 ? 答案： ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = baCA C S o 1 11 abS o +?=1 则当 01 ≠+? ab 时，状态能观 5 6.12 已知系统各矩阵，试用传递矩阵判断系统能控性、能观测性。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 100 240 231 A ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 01 00 10 B ， ? ? ? ? ? ? = 100 001 C 解： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? =?= ? ? 01 00 10 100 240 231 100 001 )s()( 1 1 s s s BAIcsG ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? 01 1 4 )1(2 01 00 10 400 210 234 100 001 4 1 1 s s s s s s s s s 系统能观、能控。 6.13 设在线性系统 CxyBuAxx =+= , . 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? = 2 3 0 1 4023 0326 0020 0001 BA [ ]1134 ??=C （１） 判断其能控性，并求出其能控子空间的动态方程； （２） 判断其能观测性，并求出其不能观测子空间的动态方程； （３） 计算其传递函数。 解：系统的特征方程为： 0)4)(3)(2)(1( =????=? ssssASI 可见系统特征值为互异单根，可对角化，设矩阵 A 相对于 1 1 =λ 的特征向量为 1 p ,则有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 3 0 1 1 p 对 2 2 =λ 相应的特征向量为 2 p ，有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 2 1 0 2 p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0 1 0 0 3 p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 0 0 0 4 p 使系统为对角形的线性变换矩阵为： [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? == 1011 0123 0010 0001 4321 ppppp 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? = ? 1011 0123 0010 0001 1 p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? == ? 4000 0300 0020 0001 1 AppA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? == ? 1 0 0 1 1 BpB []1100==CpC 对角化的状态空间表达式： uxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? 1 0 0 1 4000 0300 0020 0001 []xy 1100= 可看出系统不可控、不可观测。 1 x ， 4 x 构成可控子空间 u x x x x x c ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? 1 1 40 01 4 1 4 1 3 x ， 4 x 构成可观测子空间 u x x x x x o ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? 1 0 40 03 4 3 4 3 [] 0 11 xy = 系统的传递函数为 BAsICBAsICsG 11 )()()( ?? ?=?= =[] 4 1 1 0 0 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1100 ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s s s s s 6.14 给定系统的状态空间表达式为 7 []xy uxx 210 0 1 1 310 301 100 ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =& 判断系统的能控性、能观测性。若不完全能控，请用坐标变换分出其能控和不能控的子系统，讨论 能否用状态反馈控制律 Kxu = 使闭环系统稳定。 解 : [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? == 210 311 101 2 BAABBS C rank 32 =<= nS C (不完全可控 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 432 321 210 2 CA CA C So rank 32 =<= nS o (不完全可观测 ) 系统的可控性能数为 2，在 C S 中选两个线性无关的列向量。即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 11 01 ，取一个与之线性无关的列向 量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 ，构成变换矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? 110 011 001 1 T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 111 011 001 T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? == ? 100 221 110 1 TATA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? == 0 0 1 TBB [ ]211 1 ??== ? CTC 系统按可控性、不可控性分解为 u x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 1 100 221 110 3 2 1 3 2 1 可见，不可控子空间对应特征值 1 3 ?=λ ，可控子空间用状态反馈可以实现极点任意配置，因此用状 态反馈可以使闭环系统稳定。