自动控制原理：习题4及答案

1 第 4 章习题 4.1 已知系统特征方程如下，试用劳斯判据判别系统稳定性，并指出位于右半 S 平面和虚轴上的特征根的 数目。 （ 1） Ds s s s s s()=++ + ++= 54 3 2 44210 （ 2） Ds s s s s s s()=+ + + + ++= 654 32 3598640 （ 3） 0253520123)( 2345 =+++++= ssssssD （ 4） 044732)( 23456 =?????+= sssssssD 答案： （ 1）有两个根在右半平面，不稳定 （ 2）有 4 个根在虚轴上，临界稳定 (3) 虚轴上有两个根，临界稳定 （ 4）有 2 个根在虚轴上，有 2 个根在右半平面，不稳定 4.2 已知反馈系统的开环传递函数为 )1092( 2 )( 232 +++ + = ssss s sG 试用劳斯判据判别系统稳定性。若系统不稳定，指出位于右半 S 平面和虚轴上的特征根的数目。 解：闭环特征方程为： 021092 2345 =+++++ sssss 2 05/4 210 004 2102 191 0 1 2 3 4 5 ? ? s s s s s s 第一列数的符号变化一次，所以有一特征根在右半平面。 4.3 已知反馈控制系统的开环传递函数为 )2( )( 22 2 nn vn sss K sG ωζω ω ++ = 当 1 90 ? = s n ω ，阻尼比 2.0=ζ 时，试确定 v K 为何值时系统是稳定的。 *答案： 360 << v K 时系统稳定。 4.4 已知反馈系统的开环传递函数为： )15.0)(11.0( )( ++ = sss k sG 确定系统稳定时的 k 值范围。 解：闭环特征方程为： 0)15.0)(11.0( =+++ ksss 0)16.005.0( 2 =+++ ksss 06.005.0 23 =+++ ksss 2 ks k s ks s 0 1 2 3 6.0 6.005.0 6.0 105.0 ? ? 稳定条件： 0>k 0 6.0 6.005.0 > ? ?k 即 k<12 稳定，当 k=12 时临界稳定（当比例增益变大，系统稳定性变差） 4.5 已知反馈系统的开环传递函数为 )1( )1)(12( )( 2 + ++ = Tss ssK sG 0,0 >> TK 试确定闭环系统稳定时， KT, 应满足的条件。 答案：当 ,30 <<T 0>k 当 ,3≥T 6 3? > T k 4.6 已知反馈控制系统的传递函数为 )1( 10 )( ? = ss sG sKsH h +=1)( 试确定闭环系统临界稳定时 h K 的值。 解：开环特征方程为： )1( )1(10 )1( )1( 10 )()( ? + =+ ? = ss sk sk ss sHsG n n 闭环特征方程为： 0)1(10)1( =++? skss n 即 010)110( 2 =+?+ ssks n 10 110 101 0 1 2 s ks s n ? 稳定 当 1.0= n k 时，临界稳定 非最小相位系统，当速度及增量 n k 越大，越稳定 4.7 已知闭环离散系统的特征方程为 08.036.02.0)( 234 =++++= zzzzzD 试判断系统的稳定性。 答案：临界稳定 4.8 如图题 4.8 所示离散系统，采样周期 T=1s， G h （ s）为零阶保持器，而 )12.0( )( + Κ = ss sG 要求： （ 1） K=5 时，分析系统的稳定性； （ 2）确定使系统稳定的 K 值范围。 null Τ )(tR )(sG h )(sG )(te _ )(tC 120 <<∴ k 1.0,0110 >>? nn kk 3 图题 4.8 解： （ 1） )12.0( )1( )()( 2 + ? = ? ss ek sGsG TS h ? ? ? ? ? ? + ?= ? )12.0( 1 )1()( 2 1 ss ZzkzGG h 闭环传递函数为： )(1 )( zGG zGG h h + = ]2.02.1)2.08.0[())(1( ]2.02.1)2.08.0[( 555 55 +?++?? +?+ ??? ?? ezekezz ezek 则 ]2.02.1)2.08.0[())(1()( 555 +?++??= ??? ezekezzzD = )2.12.0(]1)2.08.0([ 55552 ???? ?++??++ ekezeekz 当 k=5 时， 52 513)( ? ?++= ezzzD 由于 D(1)>0 D(-1)<0，而 n=2 为偶数，所以系统不稳定。 (2)要使系统稳定，则 第一个条件： 0)1()1( 5 >?= ? ekD 由于 0)1( 5 >? ? ek ，只要 0>k 第二个条件： 0)4.16.0(22)1( 55 >+?+=? ?? ekeD 55 22)4.16.0( ?? +<+? eek 3.3<? k 第三个条件： 20 aa < 即使 9932.01)2.12.0( 555 =?<?+ ??? eeke 17.5<? k 综合上三个条件，可得要使系统稳定，则 3.30 〈k< 4.9 如图题 4.9 所示采样控制系统，其中，采样周期 T=0.5s。 图题 4.9 （ 1） 求闭环系统的脉冲传递函数； （ 2） 写出系统的差分方程； （ 3） 确定系统稳定的 K 值范围。 解： （ 1）闭环系统的传递函数为： ])()[())(1( ])()[( ττττ ττττ τττ ττ ++??+?+?? ++???+? ??? ?? TezeTkezz TezeTk TTT TT 当 5.0,1 == Tτ 时， 闭环传递函数为： )1( + ss K T 零 阶 保持器 )(tr )(te )(tc 4 ]15.1)15.0[())(1( ]15.1)15.0[( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 +??+?+?? +??+? ??? ?? ezekezz ezek 61.009.0)61.111.0( )09.011.0( 2 ++?+ + = kzkz zk （ 2） )(09.0)1(11.0)61.009.0()1()1.61-0.11k()2( kkrkkrkkckc ++=+++++ (3) 36.40 << k 4.10 已知系统的状态方程为 212 21 2 xxx xx ??= = & & 试用李雅普若夫稳定判据判断系统的稳定性。 *答案： 2 2 2 1 2 1 )( xxxV += 2 2212212211 )2(22)( xxxxxxxxxxxV ?=??+=+= && & 半负定 所以平衡状态是大范围内渐近稳定的。 4.11 已知系统状态方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 1 2 1 2 1 01 20 01 10 010 32 u u xx& 当 Q=I 时， P=？若选 Q 为正半定矩阵， Q=？对应 P=？并判断系统稳定性。 4.12 设线性定常离散系统状态方程为 )( 00 100 010 )1( 2 kxkx k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =+ K>0 试求使系统渐进稳定的 K 值范围。 *答案： 20 << K 时系统渐进稳定。 4.13 非线性系统线性部分的极坐标图，非线性部分的负倒幅特性如图题 4.13 所示。试判断系统是否稳 定，是否存在自激振荡。 图题 4.13 m I m I m I m I ∞=? ∞=? ∞=? ∞=? e R e R e R e R0 0 0 0 aX /←∞ aX / ↑ ∞ aX /←∞ a a a ?? )/( 1 0 aXN )/( 1 0 aXN ? )/( 1 0 aXN ? )/( 1 0 aXN ? b Ι=v Ι=v =v Ι=v Ⅱ Ⅱ aX / ↑ ∞ )( ?jG )( ?jG )( ?jG )( ?jG ()a ()d ()b ()c 5 *答案（ a）存在自激振荡 (b)存在自激振荡 （ c） a 点是自振点 ,b 不是自振点 （ d）不稳定 4.14 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )11.0)(1( 10 )( ++ = ss sG ,用奈式判据判断闭环系统的稳定性。 答案：稳定 4.15 已知单位反馈系统开环传递函数为 )1)(5.01)(1.01( )( sss K sG +++ = 试求当 K 为何值时，闭环系统稳定。 *答案： 20=K 时，临界稳定， 200 << K 时，稳定， 20>K 时，不稳定 4.16 已知单位反馈系统的开环传递函数为 1 )( ? = s K sG 用奈氏判据判断系统的稳定性。 答案：当 1≥k 时，稳定 当 10 << k 时，不稳定 当 0<k 时，不稳定 4.17 单位负反馈系统的开环对数幅频特性渐进线如图题 4.17 所示。 1 4 0.1 0.2 L(w) w -20 db/dec -40 db/dec -20 db/dec -40 db/dec 图题 4.17 （ 1）写出系统开环传递函数和频率特性表达式； （ 2）判别闭环系统的稳定性； 答案： （ 1） )25.01)(101( )51(2 )( sss s sG ++ + = （ 2）稳定 4.18 设单位反馈控制系统的开环传递函数为 2 1 )( s as sG + = 试确定使相位裕量 γ ＝４５ 0 的 a值。 答案： 786.0=α 4.19 如图题 4.19 所示非线性系统，分析系统稳定性和自激振荡的稳定性，并确定稳定自激振荡的振幅和 频率。 6 4 1 2 ss()+ 0 M -M 图题 4.19 答案： π ω M A 8 ,1 == 4.20 如图题 4.20 所示双位继电器非线性系统，其中， a=1， M=3，分析自激振荡的稳定性，并确定稳定自 激振荡的振幅和频率。 4 12ss s()()++ 0 M -M -a a 图题 4.20 答案： 3 2 ,2 == Aω 4.21 如图题 4.21 所示非线性系统，试用描述函数法分析系统自激振荡的稳定性，并确定自激振荡的振幅 和频率。 图题 4.21 解： 1)(jj 10 )(j + = ωω ωG 1 10 Re 2 + ? = ω ωω )1( 10 Im 2 + ? = b a jaA bAN 44)( 1 22 ππ ???=? 由 ? ? ? ? ? ? ? ?= + ? ??= + ? b a aA b 4)1( 10 41 10 2 22 2 π ωω π ω 解得： 97.4=ω 5.0=A 4.22 已知非线性控制系统结构如图题 4.22 所示。为使系统不产生自振，试利用描述函数法确定继电特 性参数 ba, 的值。 )1( 10 +ss null ? ( )( ) 118.0 3 ++ sss e c 0 a r u b 7 图题 4.22 *答案： ba π3 8 > 4.23 如图题 4.23 所示非线性系统，已知非线性环节的描述函数为 2 4 3 )( AAN = ，分析系统自激振荡的稳 定性；若自激振荡稳定，确定自激振荡的振幅和频率。 答案： 2=A 4.24 非线性系统结构如图题 4.24 所示，分析系统运动并计算自振参数。 图题 4.24 *答案：输出端的振幅为： 72.12=X 频率 1=ω 4.25 非线性系统的方框图如图题 4.25 所示。 试绘制初始条件为 0)0(,3)0( . =?= cc 的相轨迹以及对应的 时间响应曲线。并讨论饱和非线性特性对系统暂态响应指标的影响。 图题 4.25 *答案： 4.26 设系统如图题 4.26 所示，假设系统仅受初始条件作用，试画 . ee? 平面上的相轨迹。 ? ? ()1 10 +ss e c 2 0 0=r 2 + ? s 1 ? ? ? + + s 1 r e c . cM M? 0 )2)(1( 1 ++ sss ? ? () 2 1 10 +ss e c 2 0 1 0=r 0 0 1 1 1 2 8 图题 4.26 *解： （ 1）求微分方程：由结构图知 cu &= cce &??= uccce ??=??= &&&& uuuce &&&& ??=??= 当 0≠e 时， 0=u& ? ? ? < >? = 0 0 eM eM e& 当 0=e 时， uue && ??= 。其中 0=e 为开关线。 （ 2） 求相轨迹： 当 0>e 时， Me ?=& M de ed e ?= & & eMdede &&& ?= 1 2 2 cMee +?=& 可见，在 0>e 区域内，相轨迹是开口向左的抛物线，顶点在 e 轴上。 当 0<e 时，同理可得 2 2 2 cMee +=& 相轨迹是一条开口向右的抛物线，顶点在 e 轴上。 当 0=e 时， uue && ??= ， 此时相轨迹在开关线上， u 发生突跳。设突跳时刻为 0 t ，将上式在 0 t 时刻积分 dtudtudte t t t t t t ∫∫∫ + ? + ? + ? ??= 0 0 0 0 0 0 && 由于 u 跳跃，幅值为有限值 M2± ，所以 0 0 0 = ∫ + ? dtu t t )]()([)()( 0000 ?+?+ ??=? tututete && )()( 00 tute ??=?& 当 e由负向正运动穿过开关线时， Mtu 2)( 0 =? 所以在开关线上 ? ? ? < >? =? 02 02 )( 0 eM eM te & & & 相轨迹图 （ 2）由上面的分析可画出相轨迹，如图所示，相轨迹在开关线上有幅度为 M2 的跳跃，当 0>e& 时，相 轨迹下跳，当 0<e& 时，相轨迹上跳，最终收敛于坐标原点。 4.27 试绘制图题 4.27 所示系统的 cc? . 相平面图，并分析系统运动特性。初始条件为 2)0(,0)0( . == cc 。 图题 4.27 ? ? s 1e c 1=K 2 0 1 ? e& e 0 9 *解：由结构图知 ? ? ? ? ? ?<? <<? >+ = 11 112 11 ee ee ee c& 又 ce ?= 所以 ? ? ? ? ? ?<+? ≤≤?? >?? = 11 112 11 cc cc cc c& 由初始条件 2)0(,0)0( . == cc 积分，当 11 ≤≤? c 时， cc 2?=& cdccdc 2?=&& 得 42 22 +?= cc& 1 24 22 =+ cc& 相轨迹为一椭圆，且 当 1=c 时， 2±=c& 当 1?=c 时， 2±=c& 当 1>c 时， 1??= cc& 积分得 6)1( 22 =++ cc& 相轨迹是圆心在点（ 0， -1）半径为 6 的圆弧。 当 1?<c 时， 1+?= cc& 同理积分得 6)1( 22 =?+ cc& 相轨迹是圆心在点（ 0， 1）半径为 6 的圆弧。 整个相轨迹形成闭和的环形，如图所示。说明系统运动为等幅振荡，且和初始条件有关。 c 0 c& 1? 1 2? 2