第8章习题 8.1设被控系统状态方程为 xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 1010 110 010 & + u ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 0 0 可否用状态反馈任意配置闭环极点？求状态反馈阵，使闭环极点位于10?、31 j±?，并画出状态变 量图。 解：（1）判定系统可控性： [] 3 9910010 90100 1000 2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?== rankBAABBrankrankP C 所以系统可控，可以实现极点的任意配置 （2）系统的闭环极点配置到期望位置上的状态反馈矩阵为： [] 321 kkkk = 123 2 3 3 10)1011010()11010()](det[)( kkkkbkAIf k ++++?++?+=??= λλλλλ 而闭环期望特征多项式为 402412)31)(31)(10()( 23 +++=++?++= ? λλλλλλλ jjf 所以： 4010 241011010 1211010 1 23 3 = =++? =+? k kk k 得1.2,2.1,4 321 === kkk 8.2 设系统的状态方程为 &xxu= ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 01 0 00 1 07218 0 0 1 (1)设计状态反馈矩阵F，使闭环系统的极点配置在100?，07.707.7 j±?： (2)画出状态反馈系统的结构图。 解：系统为可控标准形 要使闭环极点配置在100?，07.707.7 j±? 那系统的特征方程为 1000015102.114)1002.14)(100()( 232 +++=+++= ? λλλλλλλf 所以状态反馈矩阵为： [][ ]1.961438100002.1141815107210000 ???=???=k 8.3 设被控对象的动态方程为 uxx ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? = 1 0 00 10 & , [ ]01=y x 试设计全维状态观测器，使闭环极点位于r?，r2?（0>r），并画出状态变量图。 解： ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = 10 01 CA C N满秩，系统能观，可构造观测器 根据期望极点得到期望特征多项式为 22 23)2)(()( rrrrf ++=++= ? λλλλλ 观测器方程为 )( 1 0 )( 2 3 )( ? 02 13 )( ? 22 tuty r r tX r r tX ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? = 8.4设被控对象的状态方程为 [] &xxu yx = ?? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? = 01 23 0 1 20 (1)设计一个全维状态观测器，使其极点配置在s 1 10=?，s 2 10=? ； (2)画出全维状态观测器及被控对象的状态变量图。 解：（1）系统能控、能观，并且为可控标准形 全维观测器系统矩阵为： [] ? ? ? ? ? ? ??? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? =+? 322 12 02 32 10 1 1 0 1 0 h h h h CA 观测器特征方程为 0)226()32(1( 100 2 =+++++=+?? hhhCAI λλλ） 期望特征方程为 010020)10( 22 =++=+ λλλ 得5.8 0 =h 5.23 1 =h 所以，输出反馈矩阵为 ? ? ? ? ? ? 5.23 5.8 (2)全维状态观测器及被控对象状态变量图为： 被控对象部分 状态观测器部分 8.5使被控系统的动态方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 1 10 21 02 310 101 500 u u xx & ，=y [ ]x100 ? ? ?? 2 u y _ _ s 1 s 1 2 )0( 2 x )0( 1 x 2 x 1 x 3 ?? ? ??? ? s 1 s 1 2 )0(? 2 x )0(? 1 x y? _ 3 _ 2 5.8 5.23 __ _ 试检查受控系统能控性、能观测性；求输出至输入的反馈矩阵H，使闭环极点位于57.0?，3.122.0 j±?， 并画出状态变量图。 解：系统)( 0 CBA=ξ中矩阵对)( CA组成可观测规范型，所以系统 0 ξ是完全可观测的。 下面分别检查系统由每个输入分量 1 u和 2 u的可控性 [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? == 510 121 502 1 2 111 bAAbbQ c [] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? == 1451 1012 2550 2 2 222 bAAbbQ c 都是非奇异矩阵，这样，由每个输入分量看，系统都是独享可控的 系统的特征方程式 53)( 23 0 ?++= λλλλf 显然是不稳的 对 0 ξ采用输出反馈控制策略yvu ++= 1 其中：[] T hhH 21 =，则闭环系统( )CBBHCA H +=ξ系统矩阵 []100 10 21 02 310 101 500 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=+ h h BHCA、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? = 310 1201 2500 2 21 1 h hh h 则闭环特征方程式 )52()21()3()( 121 2 2 3 ?++?+?+= hhhhf λλλλ 要使闭环极点位于57.0，3.122.0 j±? 则3 1 =h ， 2 2 =h 8.6 已知系统{}cbA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 020 113 021 A， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 0 0 b，[ ]111?=c 检查系统的能观性；设计)( qn?维观测器，并使所有极点配置在4?。 解：1)( =crank。所以系统的最小维状态观测器使213 =?=?qn维的。为构造该系统的2维观测器， 首先选取 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = 111 010 001 0 C C T 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? 111 010 001 1 T 于是 ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? 2221 12111 123 124 021 AA AA TAT ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 1 1 0 0 b b Tb 设能使观测器的两个极点均位于-4处的输出内反馈增益阵为[ ] T mmmm 321 = 则得 2 2111 )4()](det[ +=+? smAAsI 即168)182()123( 2 2121 2 ++=??+++?+ ssmmsmms 得：[][ ] TT mmM 25.35.4 21 ??== 则可求得观测器得各函数矩阵： [] ? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? =+= 5.475.5 115.12 23 25.3 5.4 24 21 2111 mAAF ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? =?+= 75.4 375.21 25.3 5.4 5.475.5 115.12 1 25.3 5.4 1 0 2212 FmmAAG ? ? ? ? ? ? ? ? =+ ? ? ? ? ? ? =+= 25.3 5.4 0 0 21 mMbbH ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? 11 10 01 00 10 01 111 010 001 0 1 I TR ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ?? = ? 25.2 25.3 5.4 1 25.3 5.4 111 010 001 1 I m TQ 则要设计的2维观测器为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? =+ ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = )( 25.2 25.3 5.4 )( 11 10 01 )( ? )( 25.3 5.4 75.4 375.21 5.475.5 115.12 )( tytztX tuyztZ &