2001/2002 第一学期 《自动控制理论》期终试卷 一、 系统结构图如下图 (1)所示，求 )(/)( sRsC 。 (14分 ) 图 (1) 二、系统方框图如图 (2)所示，要求超调量 %3.16% =σ ，峰值时间 1= p t 秒，求放大器放大 倍数 K 和反馈校正微分时间常数 τ 。 (10分 ) 图 (2) 三、某系统的状态方程为 (12分 ) ux K x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? = 1 0 0 0 1321 2000 0100 000 1 & (1) 判断 3 1 =K 时该系统是否稳定； (2) 求使该系统稳定的 1 K 的取值范围。 四、设复合控制系统结构图如图 (4)所示，要求： (12分 ) （ 1）计算当 ttn =)( 时，系统的稳态误差； （ 2）设计 c K ，使系统在 ttr =)( 作用下无稳态误差。 )( 1 sG )( 2 sG )(sH )( 3 sG _ _ _ _ _ R(s) C(s) K )1( 10 +ss sτ )(sR )(sC _ _ )(sε 图 (4) 五、已知线性离散时间系统 (12分 ) )()()1( kHukGxkx +=+ 其中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 020 100 010 a G ， 0>a ； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 10 01 10 H ； 试用 Lyapunov 法确定使平衡点 0= e x 处渐近稳定时 a 的范围。 六、一采样控制系统如图所示。采样周期为 1=T 秒。 (14分 ) (1) 当 8=K 时，判断该系统是否稳定； (2) 求使该系统稳定的 K 的取值范围； (3) 当 2=K 时，求该系统在 )(1)( ttr = 作用下的响应 ( 5≤t 秒 )。 第 6 题图 七、 一单位负反馈最小相位系统的开环对数幅频特性如下图所示， 其中虚线是未加校正的， 实线是加串联校正后 (图中小圆圈为折线的折点 )。 (1) 画出串联校正环节的幅频特性 (渐近线 )； (2) 求串联校正环节的传递函数； (3) 求串联校正后，系统的截止频率和相角裕量。 (12 分 ) 1 K )1( 4 +Tss K 3 K )(sR )(sC _ _ )(sE s K 2 c K )(sN )2( +ss K )(tr )(ty _ 零阶保持器 T 第 7 题图 八、有继电控制系统如图所示。线性部分的传递函数为 (14分 ) )1)(18.0( 3 )( ++ = sss sG 为使系统不产生自振，试用描述函数法确定继电特性参数 h、 M 的值。 第 8 题图 (提示：继电特性描述函数为 2 1 4 )( ? ? ? ? ? ? ?= A h A M AN π ， hA ≥ ） r(t)=0 )(sG c (t) -h M h e(t) u(t) 2001/2002 第一学期 《自动控制理论》期终试卷 解答 一、 用梅逊公式求解。 2条前向通道： 211 GGp = ， 32 Gp ?= 6个回路： 11 Hl ?= ， 22 Gl ?= ， 13 Gl ?= ， 214 GGl ?= ， )( 35 Gl ??= ， ))(( 36 Gl ???= 其中 2 个回路不接触： 1 l 和 5 l 所以， ))()(())}(()({1 3332112 GHGGGGGGH ???+??????????=? HGGGGGH 32112 1 ?++++= 1 1 =? （所有回路和前向通道 1 p 都接触） HH +=??=? 1))((1 2 （ 2 p 和 1 l 不接触） 所以 HGGGGGH GHGGpp sR sC 32112 3212211 1 )1( )( )( ?++++ +? = ? ?+? = 二、由 163.0 2 1 == ? ? ? ?π σ e ， 1 1 2 = ? = ?ω π n p t ，可求得 5.0=? ， 63.3= n ω 弧度 /秒。 系统的开环传递函数 )(sG 为 ))101(( 10 )( τ++ = ss K sG 系统的闭环传递函数为 Kss K sR sC 10)101( 10 )( )( 2 +++ = τ 故 22 63.310 == n K ω 63.35.022101 ××==+ n K ?ω 由此得到 32.1=K ， 263.0=τ 秒 三、系统特征方程 20 01 00 132 20 01 1321 200 010 00 1 1 ? ? ? ? + ? ? = + ? ? ? =? s s K s s s s s s s Ks AsI 1 234 246 Kssss ++++= Routh表 4 s 1 6 1 2K 3 s 1 4 2 s 2 1 2K 1 s 1 4 K? 0 s 1 2K 可见，使系统稳定的 1 K 取值范围为 40 1 << K 显然，当 3 1 =K 时系统稳定。 四、 (略 ) 五、选 IQ = ，并代入离散系统的 Lyapunov 方程 QPPGG T ?=? 即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 020 100 010 010 201 000 332313 232212 131211 332313 232212 131211 ppp ppp ppp appp ppp ppp a 解之得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 2 2 332313 232212 131211 41 3 00 0 41 42 0 001 a a a ppp ppp ppp P 可见，要证明 P 正定，只需使 041 2 >? a 加上 0>a ，可得使系统渐近稳定的 a 范围为 2 1 0 << a 六、 )2( )1( )( 2 + ? = ? ss eK sG Ts ， [] ? ? ? ? ? ? + ?== ? )2( 1 )1()()( 2 1 ss ZzKsGZzG 14.014.1 )15.028.0( 2 +? + = zz zK ， 特征方程为 0)(1)( =+= zGzD 即 014.015.0)14.128.0( 2 =++?+ KzKz 将 1? + = w w z 代入，可得 0)13.028.2()3.072.1(43.0 2 =?+?+ KwKKw 对上述二阶系统，只要各项系数均大于零，即稳定。 ? ? ? ? ? >? >? > 013.028.2 03.072.1 043.0 K K K 由此解得 73.50 << K 时系统稳定。 显然， 8=K 时系统不稳定。 1 44.058.0 3.056.0 )( )(1 )( )()()( 2 ? ? +? + = + =Φ= z z zz z zR zG zG zRzzy 321 21 44.002.158.11 3.056.0 ??? ?? ?+? + = zzz zz Λ+++++= ????? 54321 92.009.129.118.156.0 zzzzz Λ+?+?+?+?+?= )5(92.0)4(09.1)3(29.1)2(18.1)(56.0)( * TtTtTtTtTtty δδδδδ 七、 )120/)(110/( )13/)(12/)(1( 16.3)( ++ +++ = sss sss sG c 八、描述函数 2 1 4 )( ? ? ? ? ? ? ?= A h A M AN π ， hA ≥ 2 14 )( 1 ? ? ? ? ? ? ? ? =? A h M A AN π 当 0→A 时， ∞→? )( 1 AN ； 当 ∞→A 时， ?∞→? )( 1 AN 所以必然存在极值。由 2222 23 )( 2 4 )( 1 hAhA AhA MdA AN d ?? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? π ， hA > 令 0 )( 1 = ? ? ? ? ? ? ? dA AN d ，得 hA 2= ，则 M h AN hA 2)( 1 2 π ?=? = 再求 ω ω js sss jG = ++ = )1)(18.0( 3 )( 与实轴的交点。 令 πω ?=∠ )( jG 得 πωω π ?=??? ?? )()8.0( 2 11 tgtg 可以求得 08.01 2 =? ω ， 2 5 =ω 3 4 11)8.0( 1 )( 2 5 22 2 5 = ++ = = = ω ω ωωω ωjG 即 )( ωjG 和实轴交点为才 )0, 3 4 (? 。 )(sG 没有在右半平面的极点， 0=P 。为使系统不产生自 振荡，应使 )( 1 AN ? 和 )( ωjG 两曲线无交点。所以有 3 4 2 ?<? M hπ 也就是 Mh π3 8 >