一、波动能量的传播
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动
能量的传播。
设平面简谐波 c os ( )xy A t
u???
质量为 在 x 处取一体积元 dV d m d V??
质点的振动速度 sin ( )yxv A t
tu??
?? ? ? ?
?
体积元内媒质质点动能为
21
2kdE v dm?
2 2 21 s in ( )
2
xd V A t
u? ? ?? ? ? ?
§ 15-3 波的能量
体积元内媒质质点的弹性势能为
2 2 21 sin ( )
2p
xd E d V A t
u? ? ?? ? ? ?
体积元内媒质质点的总能量为,
kpd E d E d E?? 2 2 2sin ( )
xd V A t
u? ? ?? ? ? ?
① 在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不
仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等
于零。
说明
② 因为介质元属于开放系统,在波传动过程中，任
意体积元的能量不守恒。
y
x
介质元的动能与势能同相位的定性解释
以纵波为例
密部中心
疏部中心
位移最大,动能为零,形变为零,势能为零
位移为零,动能最大,形变最大,势能最大
能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。
2 2 2s in ( )d E xw A t
d V u? ? ?? ? ?
平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。
221
2wA???
2 2 2
00
11 s in ( )TT xw w d t A t d t
T T u? ? ?? ? ? ???
T ??? 2
0 s i n 2d
? ? ? ????
2 2 2sin ( )xd E d V A t
u? ? ?? ? ? ?
能流,单位时间内通过介质中某一
截面的能量。
二、波的 能流和能流密度
p w u S??
平均能流, 在一个周期内能流的平均值。
p w u S w u S? ? ? ?
能流密度（波的强度）,
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量 。
pI w u
S???
221
2I A u???
2??瓦 米
u
u
S?
单位,
例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波
在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距
离成反比。
证明,
在一个周期 T内通过 S1和 S2面的能量应该相等
1 1 2 2I S T I S T?
12S S S??
2 2 2 2
1 1 2 2
11
22u A S T u A S T? ? ? ??
12AA?所以,平面波振幅相等。
对平面波,
2224Sr??
1 1 2 2A r A r??
2114;Sr??
∴ 振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位
距离的振幅为 A则距波源 r 处的振幅为 A/r
∵ 振动的相位随距离的增加而落后的关系，与
平面波类似，球面简谐波的波函数,
c o s [ ( ) ]Arytru ??? ? ?
2 2 2 2
1 1 2 2
11
22u A S T u A S T? ? ? ??
对球面波,
一、惠更斯原理
荷兰物理学家惠更斯（
C.Huygens,1629-1695）
于 1679年首先提出,
§ 15-4 惠更斯原理 波的叠加和干涉
介质中波动传播到的各
点都可以看作为是发射子
波的波源，而在其后一时
刻，这些子波的包络就是
新的波前。 障碍物上的小孔成为新的波源
子波源
新波前
子波波面
*应用惠更斯原理求波前,
t时刻波面 ? t+?t时刻波面 ?波的传播方向
平面波
t+?t时刻波面 t时刻波面
球面波 波传播方向
u?t
1、波的衍射现象
波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边
缘继续前进的现象叫做 波的衍射现象 。
2、用惠更斯原理解释波的衍射现象
靠近狭缝的
边缘处，波
面弯曲，波
线改变了原
来的方向，
即绕过了障
碍物继续前
进。
A
B
二、波的衍射
1、波的反射现象和折射现象
i i’
r
当波传播到两种介质分界面
时，一部分波从分界面上返
回，形成 反射波,另一部分
进入另一介质，形成 折射波,
这就是波的反射现象和折射
现象。
2、反射定律
?反射线、入射
线和法线在同
一平面内；
?反射角等于入
射角。
3、波的折射定律
?折射线、入射线和法线在同一平面内；
?入射角的正弦与反射角的正弦之比等
于波在第一种介质中传播的速度与波
在在第一种介质中传播的速度之比
1
2
sin
sin
ui
ru?
三、波的反射与折射
*应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律
i i?
M NA
1A
2A
3A
B
3B2B1B
3 3 3A A B A B B? ? ?
3 3 3A A B B B A? ? ?
ii??
i
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M NA
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1介质
2介质
3 3 1 3 s i nA B u t A B i? ? ?
11
22
sin
sin
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u c n? ??
23 s i nA B u t A B ?? ? ?
2
1
sin
sin
ni
n? ?
4、用惠更斯原来解释波的反射和折射
反射波与入射波在同一介质中，传
播的速度是相同的，因而在同一时
间内行进的距离是相等的；而折射
波与入射波在不同的介质中传播，
波速是不同的，因而在同一时间内
行进的距离是不等的。据此可以解
释波的反射与折射现象。
i i’
r
?没有说明子波的强度分布问题；
?没有说明波为什么只能向前传播而不向后传播的问题。
四、惠更斯原理的缺陷
§ 15-5 波的干涉
?几列波在同一介质中传播
时，无论是否相遇，它们将
各自保持其原有的特性（频
率、波长、振动方向等）不
变，并按照它们原来的方向
继续传播下去，好象其它波
不存在一样；
?在相遇区域内，任一点的振动均为各列波单独存在
时在该点所引起的振动的合成。
～ 波的 独立传播性
一、波的叠加原理
～ 波的 可叠加性
1、相干波
振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定
的两列波，在空间相遇时,叠加的结果是使空间某
些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，
形成一种稳定的强弱分布,这种现象称为 波的干涉
现象 。
相干波,能够产生干涉的两列波；
相干波源,相干波的波源；
相干条件,满足相干波的三个条件
振动方向相同
频率相同
相位相同或相位差恒定的两列波
二、波的干涉
S
1S
2S
最强
最强
最强
最弱
最弱
2,干涉图样的形成
考虑两相干波源，振动表达式为,
1 1 1c o s ( )y A t????
2 2 2c o s ( )y A t????
传播到 P 点引起的振动为,
1 1 1 1
2c o s( )y A t r???
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2 2 2 2
2c os ( )y A t r???
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在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
在 P点的合成振动为,
12 c o s ( )y y y A t??? ? ? ?
2 2 21 2 1 22 c o sA A A A A ?? ? ? ?
其中,
2 1 2 1
2( ) ( )rr?? ? ?
?? ? ? ? ?
对空间不同的位置，都有恒定的相位差，因而合强度
在空间形成稳定的分布，即有 干涉现象 。
1r
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2r
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1S
2S
p
2,0,1,2,.,,kk??? ? ? ?
12A A A??
( 2 1 ),1,2,3,.,,kk??? ? ? ? ?
12||A A A??
干涉相长的条件,
干涉相消的条件,
当两相干波源为同相波源时，相干条件写为,
21,0,1,2,.,,r r k k??? ? ? ? ?
21 ( 2 1 ),1,2,3,...2r r k k
?? ? ? ? ? ? ?
相长干涉
相消干涉
例题 位于 A,B两点的两个波源，振幅相等，频
率都是 100赫兹，相位差为 ?，其 A,B相距 30米，
波速为 400米 /秒，求,A,B连线之间因相干干涉而
静止的各点的位置。
解,如图所示，取 A点为坐标原点,A,B 联线为 X轴，
取 A点的振动方程,
)c o s ( ?? ?? tAy A
在 X轴上 A点发出的行波方程,
)2c o s ( ???? xtAy A ???
B点的振动方程, )0c o s ( ?? tAy
B ?
BA
Xx
m30
x?30
O
)2c o s ( ???? xtAy A ???
B点的振动方程,
)0c o s ( ?? tAy B ?
在 X轴上 B点发出的行波方程,
])30(20c o s [ ??? xtAy B ????
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为
静止的点满足,
???????? )()( 123022 ?????? kxx
BA
Xx
m30
x?30
O
相干相消的点需满足,?kx ??? 230
mu 4?? ??因为,
,...2,1,0
215
???
???
k
kx
mx 29,27,25,.,,,,,9,7,5,3,1?
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BA
Xx
m30
x?30
O
例 (P66) A 和 B 为相干波源，振幅均为 5 cm,频
率为 100 Hz,波速为 10 m/s, 当 A 点为波峰时，
B 点恰为波谷，求两列波在 P 点的干涉结果 。
解
15 m
P
0.1 0 mu?
?
??
A,B 两点的振动反相，设
AB? ? ???
2 5 1 522
0,1 0BA
B P A P? ? ? ? ? ?
?
??? ? ? ? ? ? ?
201 ???
P 点的合振幅 A = 0,静止,
A B 20 m
25 m
作业 P86
15-15 15-16
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动
能量的传播。
设平面简谐波 c os ( )xy A t
u???
质量为 在 x 处取一体积元 dV d m d V??
质点的振动速度 sin ( )yxv A t
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§ 15-3 波的能量
体积元内媒质质点的弹性势能为
2 2 21 sin ( )
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体积元内媒质质点的总能量为,
kpd E d E d E?? 2 2 2sin ( )
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① 在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不
仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等
于零。
说明
② 因为介质元属于开放系统,在波传动过程中，任
意体积元的能量不守恒。
y
x
介质元的动能与势能同相位的定性解释
以纵波为例
密部中心
疏部中心
位移最大,动能为零,形变为零,势能为零
位移为零,动能最大,形变最大,势能最大
能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。
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平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。
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能流,单位时间内通过介质中某一
截面的能量。
二、波的 能流和能流密度
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平均能流, 在一个周期内能流的平均值。
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能流密度（波的强度）,
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量 。
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2I A u???
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单位,
例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波
在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距
离成反比。
证明,
在一个周期 T内通过 S1和 S2面的能量应该相等
1 1 2 2I S T I S T?
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11
22u A S T u A S T? ? ? ??
12AA?所以,平面波振幅相等。
对平面波,
2224Sr??
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∴ 振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位
距离的振幅为 A则距波源 r 处的振幅为 A/r
∵ 振动的相位随距离的增加而落后的关系，与
平面波类似，球面简谐波的波函数,
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2 2 2 2
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11
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对球面波,
一、惠更斯原理
荷兰物理学家惠更斯（
C.Huygens,1629-1695）
于 1679年首先提出,
§ 15-4 惠更斯原理 波的叠加和干涉
介质中波动传播到的各
点都可以看作为是发射子
波的波源，而在其后一时
刻，这些子波的包络就是
新的波前。 障碍物上的小孔成为新的波源
子波源
新波前
子波波面
*应用惠更斯原理求波前,
t时刻波面 ? t+?t时刻波面 ?波的传播方向
平面波
t+?t时刻波面 t时刻波面
球面波 波传播方向
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1、波的衍射现象
波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边
缘继续前进的现象叫做 波的衍射现象 。
2、用惠更斯原理解释波的衍射现象
靠近狭缝的
边缘处，波
面弯曲，波
线改变了原
来的方向，
即绕过了障
碍物继续前
进。
A
B
二、波的衍射
1、波的反射现象和折射现象
i i’
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当波传播到两种介质分界面
时，一部分波从分界面上返
回，形成 反射波,另一部分
进入另一介质，形成 折射波,
这就是波的反射现象和折射
现象。
2、反射定律
?反射线、入射
线和法线在同
一平面内；
?反射角等于入
射角。
3、波的折射定律
?折射线、入射线和法线在同一平面内；
?入射角的正弦与反射角的正弦之比等
于波在第一种介质中传播的速度与波
在在第一种介质中传播的速度之比
1
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三、波的反射与折射
*应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律
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4、用惠更斯原来解释波的反射和折射
反射波与入射波在同一介质中，传
播的速度是相同的，因而在同一时
间内行进的距离是相等的；而折射
波与入射波在不同的介质中传播，
波速是不同的，因而在同一时间内
行进的距离是不等的。据此可以解
释波的反射与折射现象。
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?没有说明子波的强度分布问题；
?没有说明波为什么只能向前传播而不向后传播的问题。
四、惠更斯原理的缺陷
§ 15-5 波的干涉
?几列波在同一介质中传播
时，无论是否相遇，它们将
各自保持其原有的特性（频
率、波长、振动方向等）不
变，并按照它们原来的方向
继续传播下去，好象其它波
不存在一样；
?在相遇区域内，任一点的振动均为各列波单独存在
时在该点所引起的振动的合成。
～ 波的 独立传播性
一、波的叠加原理
～ 波的 可叠加性
1、相干波
振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定
的两列波，在空间相遇时,叠加的结果是使空间某
些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，
形成一种稳定的强弱分布,这种现象称为 波的干涉
现象 。
相干波,能够产生干涉的两列波；
相干波源,相干波的波源；
相干条件,满足相干波的三个条件
振动方向相同
频率相同
相位相同或相位差恒定的两列波
二、波的干涉
S
1S
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最强
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最强
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2,干涉图样的形成
考虑两相干波源，振动表达式为,
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传播到 P 点引起的振动为,
1 1 1 1
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在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
在 P点的合成振动为,
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对空间不同的位置，都有恒定的相位差，因而合强度
在空间形成稳定的分布，即有 干涉现象 。
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干涉相长的条件,
干涉相消的条件,
当两相干波源为同相波源时，相干条件写为,
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相长干涉
相消干涉
例题 位于 A,B两点的两个波源，振幅相等，频
率都是 100赫兹，相位差为 ?，其 A,B相距 30米，
波速为 400米 /秒，求,A,B连线之间因相干干涉而
静止的各点的位置。
解,如图所示，取 A点为坐标原点,A,B 联线为 X轴，
取 A点的振动方程,
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在 X轴上 A点发出的行波方程,
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在 X轴上 B点发出的行波方程,
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因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为
静止的点满足,
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例 (P66) A 和 B 为相干波源，振幅均为 5 cm,频
率为 100 Hz,波速为 10 m/s, 当 A 点为波峰时，
B 点恰为波谷，求两列波在 P 点的干涉结果 。
解
15 m
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A,B 两点的振动反相，设
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P 点的合振幅 A = 0,静止,
A B 20 m
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作业 P86
15-15 15-16
