§ 13-3 自感与互感
不论何种方式只要能使穿过闭
合回路的磁通量发生变化，此闭
合回路内就会有感应电动势出现。
引起磁通量变化的原因是多种多样
的，必须依据情况作具体分析。
如图，依场叠加原理知，穿过回路 1的磁通量为,
1I
1
2I
2
1 1 1 1 2? ? ? ? ?
由回路 l中的电流 I1在
回路 1中引起的磁通量
由回路 2中的电流 I2在
回路 1中引起的磁通量
则，回路 1的电动势为,
1 11 12( ) ( )
i
d d d
dt dt dt?
? ? ?? ? ? ? ? ?
由回路 l条件变化而在
回路 1中引起的电动势
由回路 2条件变化而在
回路 1中引起的电动势
11
L
d
dt?
???
12
12
d
dt?
???
～自感电动势
～互感电动势
一,自感
LI
o t
1,自感现象
由于回路中电流变化，引起穿过回路包围面积的磁通变
化，从而在回路自身中产生感生电动势的现象叫 自感现
象。 自感电动势
L?
?
A
RB
LR,
K
?
?
由叠加原理,
?? BB ?? d
IB ?
磁链,
? ?? sm SBN ?? d?
Im ??
LIm ??
自感系数,IL m??
定义,某回路的 自感,在数值上等于通有单位电流
时，穿过回路的全磁通。
～与回路形状、大小、匝数
及周围介质的磁导率有关。
由毕 -萨定律,
0
34
I dl rdB
r
?
?
??
2,自感系数
(1) 定义,
d B I?
(2) 物理意义
由法拉第定律 d d( ) d d
()d d d dmL L I L IILt t t t?? ? ? ? ? ? ? ?
若 为常数 L
t
IL
L d
d???
:L 描述线圈电磁惯性的大小；～基本的电器元件。
I一定,线圈阻碍 变化能力越强。 ?? L.L ?
t
I
d
d
当 时,
1dIdt ? LL ???
物理意义,
L单位：亨利（ H）
愣次定律的
数学表达式
111H W b A ???
常用,361 1 0 1 0H m H H???
(3) 计算,求 L的步骤 (与求电容 C类似 )
设 分布 求 BI ? ? ??
sm SBN
?? d? IL
m??
例 1(P220)求长直螺线管自感系数 ( )
rLSVn ??? 0,,??
IVnn L B SN B S 2?? ???
VnIL 2?? ??
nIHB r ??? ?? 0r?
n
S
L 设长直螺线管载流 I 解,
提高 L的途径
增大 V
提高 n
放入 ? 值高的介质
实用
I
五,互感
1,互感现象
R
?
K
G
12?2I 变化 变化 线圈 1中产生 12?
21?
1I 变化 变化 线圈 2中产生 21?
一个载流回路中电流变化，引起邻近另一回路中产
生感生电动势的现象～ 互感 现象；这两个回路～ 互
感耦合回路 互感电动势
12? 21?
21 II
2 1
2,互感系数
(1)定义 当线圈几何形状、相对位置、周围介质磁
导率均一定时
121221 IN ?? ?? 12121 IM??
212112 IN ?? ?? 21212 IM?? MMM ?? 2112
实验、理论均证明,
2
12
1
21
IIM
?? ??
～第一种定义式 互感系数 M
两个线圈的互感 M在数值上等于其中一个线圈中的电
流为一单位时，穿过另一个线圈所围面积的磁通量。
(2) 物理意义
t
IM
t d
d
d
d 121
21 ????
??
t
IM
t d
d
d
d 212
12 ????
??
???
t
IM
d
d
21
1
?
t
I
d
d
12
2
?
?
:M 当一个回路中电流变化率为一个单位时，在
相邻另一回路中引起的互感电动势的绝对值。
～第二种定义式
M的 单位 与 L相同：亨利（ H）
M的值通常用实验方法测定，一些较简单的可用
计算方法求得。
(3) 计算
得
1
21
IM
??设 I1 I1的磁场分布 穿过回路 2的 1B
?
21?
? ?? 2 d1221 s SBN ???
1N
1L
12r
2N
l
22r
2L
例 (P222 例 3)两同轴长直密绕螺线管的互感 如图 13-
24所示，有两个长度均为,半径分别为 r1和 r2(且 r1
＜ r2)，匝数分别为 N1和 N2的同轴长直密绕螺线管。试
计算它们的互感。
l
解：设内管 r1通电流 I1
1B ?
1
1 1 1 1 ( )
N I n I r r
l?? ??
10 ( )rr?
222 1 1 2
2 1 1 1 2 1
1
()NNM r n n l r
Il
? ? ? ? ?? ? ? ?
穿过外管的磁通量,
2
2 1 2 1 2 1 1d sN B S N B S? ? ? ? ??
212
11
NN Ir
l????
1N
1L
12r
2N
l
22r
2L
同理：设外管 r2通电流 I2
2B ?
2
2 2 2 2 ( )
N I n I r r
l?? ??
20 ( )rr?
221 2 1 2
1 2 1 1 2 1
2
()NNM r n n l r
Il
? ? ? ? ?? ? ? ?
2
2 2 2 211
1 1 1 1 1()
NNL n V l r r
ll
? ? ? ? ?? ? ? ?
2
22
22
NLr
l
???
2
12
1
rM L L
r
?
穿过内管的磁通量,
1
1 2 1 2 1 2 1d sN B S N B S? ? ? ? ??
212
21
NN Ir
l????
1N
1L
12r
2N
l
22r
2L
1 2 2 1M M M? ? ?
两螺线管共轴，且,完全耦合
两螺线管轴相互垂直,：不耦合
1,21 ?? KRR
0?K
一般情况,
21 LLKM ?
（ ） 10 ?? K
耦合系数，取决于两
线圈的相对位置及绕法。
:K
1N
1L
12r
2N
l
22r
2L
??????
2
1
10
2 12121
d
2d
R
R
s x
xhINSBNN
?
??? ??
1
210 ln
2 R
RhIN
?
??
例：矩形截面螺绕环尺寸如图,密绕 N匝线圈,其轴
线上置一无限长直导线，当螺绕环中通有电流
时，直导线中的感生电动势为多少？ tII ?c o s
0?
解一,这是一个互感问题
先求 M
h
2R
1R
h
N
I
sd
设直导线中通有电流 I1
x
IB
?
?
2
10
1 ?
1I
x
1
210
21 ln2 R
RhIN
?
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1
21
I
M ??
1
20 ln
2 R
RNh
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t
IM
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1 ???
tR
RNh
d
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2 1
20
?
??? )c o s( 0 tII ??
t
R
RN h I ?
?
?? s inln
2 1
200 ??
h
2R
1R
h
N
I
sd
1I
x
解二,由法拉第定律求解,
螺绕环 ?内B xNI??20
0,?外B
如何构成闭合回路？
长直导线在无穷远处闭合
穿过回路的磁通量,
SBSBSBSBΦ
R
R
R
R
m
???????? dddd
2
2
1
1
0
????? ??????? ? 外内外 ??
2
1
d
2
0
R
R x
xIhN
?
?
tI
R
RNh ?
?
? c o sln
2 01
20 ??
t
R
RN h I
t
Φ m ?
?
??? s i nln
2d
d
1
200 ????
h
2R
1R
h
N
I
sd
1I
x
作业,P243
习题 13-19
13-23
?
L
R
1 2
K
§ 13-4 RL电路
L RI????
dt
diL
L ????
dIL RI
dt
? ??
)1( tL
R
e
R
i ???? ?
oIi 6 3 2.0?
定义 为时间常数 ?
t
I
R?
?
L?
I
如图所示的电路
中，开关 K→1
利用初
始条件,00tI??
R
Lt ?? ?当
?
?
d I R
dt
LI
R
?
??
?
当开关倒向 2时，电路的阶跃
电压从 到 0 ?
dIL I R
dt??
t
L
R
e
R
i
?
? ?
自感的作用将使电路中的电流不会瞬间
突变。从开始变化到趋于恒定状态的过
程叫暂态过程。时间常数 表征该过程
的快慢。
?
0.368i R??
t
i
oI
?
L?
?
L
R
I
1 2
L iR? ?
R
Lt ?? ?当
当 t 大于 ? 的若干 (3～ 5)倍以
后，暂态过程基本结束。
d I R dt
IL??
0tI R???
§ 13-5 磁场的能量 磁场能量密度
? 在电容器充电过程中，外力克服静电力作功，将非
静电力能 → 电能。当极板电压为 U时，电容器储存的
电能为,
211
22eW Q U CU??
2
0
11
22
e
er
Ww E D E
Sd ??? ? ? ?
电场的能量密度～ 电场中单位体积内的能量
? 在电流激发磁场的过程中，也是要供给能量的，所
以磁场也应具有能量。
可以仿照研究静电场能量的方法来讨论磁场的能量,
? kR
? 以 自感电路为例，推导磁场能量表达式。
当 K接通时
设：有一长为,横截面为 S,匝数
为 N，自感为 L的长直螺线管。电
源内阻及螺线管的直流电阻不计。
l
S
I
l
在 I↗ 过程中,L内产生与电源
电动势 ε 反向的自感电动势,
L?
L
dIL
dt? ??
由欧姆定律,
dIL RI
dt
? ??
同乘 Idt，在
0～ t内积分,20 0 0t I tI d t L I d I R I d t? ??? ? ?
22
00
1
2
tt
Idt L I RI d t? ????
物理
意义,
0～ t时间间隔内电源 ε 所作的功，即 ε 提供的能量
0～ t时间内电源 ε 反抗自感电动势所作的功
0～ t时间内回路电阻 R所放出的焦耳热
结论,电流在线圈内建立磁场的过程中，电源供给的
能量分成两个部分：一部分转换为热能，另一部分则
转换成线圈内的磁场能量。
即,电源 ε 反抗自感电动势所作的功在建立磁场过程
中 转换成线圈内磁场的能量，储存在螺线管内。
21
2m
W L I?
自感磁能,
对长直螺线管,
2 L n V??
2
221 ( ) ( )
22m
BBW n V V
n
?
??
? ? ? ?
可推广到
一般情况
磁场能量密度,单位
体积内的磁场能量。 21
2
m
m
W Bw
V ?
??
VBHVBVwW
VV rV
mm d2
1d
2
d
0
2
??? ??? ??
磁场
能量,
BI
n?
?
各向同性的均匀介质, BH??
21 1 1
2 2 2mw H B H B H?? ? ? ? ?
电容器储能
C
QQVCV
22
1
2
1 22 ??自感线圈储能 2
2
1LI
电场能量密度
2
02
1
2
1 EEDw
re ????
磁场能量密度
r
m
BBHw
?? 0
2
22
1 ??
能量法求 C L能量法求
电场能量
?? V ee VwW d
磁场能量 ??
V mm VwW d
电场能量 磁场能量
3,电场能量与磁场能量比较
例 (P228)同轴电缆的磁能和自感 如图 13-31所示，同
轴电缆中金属芯线的半径为 R1，共轴金属圆筒的半径
为 R2，中间充以磁导率为 μ 的磁介质。若芯线与圆筒
分别和电池两极相接，芯线与圆筒上的电流大小相等、
方向相反。设可略去金属芯线内的磁场，求此同轴电
缆芯线与圆筒之间单位长度上的磁能和自感。
1R
2R
I
I
? 1R?
o2R
12 ( )2
I R r R
r?
??
),( 0 21 RrRr ??
H?
解：如图,由题意知，同轴电缆芯
线内的磁场强度可视为零。
I
r
取单位长度的体积元,d 1 2 d 2 dV r r r r??? ? ?
? 由安培
环路定理,
()
il
in
H d l I?? ??
? 在芯线与圆筒之间 r处附近，磁场的能量密度为,
?
?
I
? ?
?
?
?
?
2
22
22
1 1 1()
2 2 2 8m
IIwH
rr
???
??
? ? ? ?
2
1
ln
2
RL
R
?
?
?
21
2mW L I?
2
1
2
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2
2
1
d
1
2d
8
ln
4
mm
V
R
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I
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R
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?
? 1R?
o2R
I
r??
I
? ?
?
?
?
?
单位长度同轴电缆的磁场能量为,
单位长度同轴
电缆的自感为,
作业,P245
习题 13-29
不论何种方式只要能使穿过闭
合回路的磁通量发生变化，此闭
合回路内就会有感应电动势出现。
引起磁通量变化的原因是多种多样
的，必须依据情况作具体分析。
如图，依场叠加原理知，穿过回路 1的磁通量为,
1I
1
2I
2
1 1 1 1 2? ? ? ? ?
由回路 l中的电流 I1在
回路 1中引起的磁通量
由回路 2中的电流 I2在
回路 1中引起的磁通量
则，回路 1的电动势为,
1 11 12( ) ( )
i
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由回路 l条件变化而在
回路 1中引起的电动势
由回路 2条件变化而在
回路 1中引起的电动势
11
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12
12
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???
～自感电动势
～互感电动势
一,自感
LI
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1,自感现象
由于回路中电流变化，引起穿过回路包围面积的磁通变
化，从而在回路自身中产生感生电动势的现象叫 自感现
象。 自感电动势
L?
?
A
RB
LR,
K
?
?
由叠加原理,
?? BB ?? d
IB ?
磁链,
? ?? sm SBN ?? d?
Im ??
LIm ??
自感系数,IL m??
定义,某回路的 自感,在数值上等于通有单位电流
时，穿过回路的全磁通。
～与回路形状、大小、匝数
及周围介质的磁导率有关。
由毕 -萨定律,
0
34
I dl rdB
r
?
?
??
2,自感系数
(1) 定义,
d B I?
(2) 物理意义
由法拉第定律 d d( ) d d
()d d d dmL L I L IILt t t t?? ? ? ? ? ? ? ?
若 为常数 L
t
IL
L d
d???
:L 描述线圈电磁惯性的大小；～基本的电器元件。
I一定,线圈阻碍 变化能力越强。 ?? L.L ?
t
I
d
d
当 时,
1dIdt ? LL ???
物理意义,
L单位：亨利（ H）
愣次定律的
数学表达式
111H W b A ???
常用,361 1 0 1 0H m H H???
(3) 计算,求 L的步骤 (与求电容 C类似 )
设 分布 求 BI ? ? ??
sm SBN
?? d? IL
m??
例 1(P220)求长直螺线管自感系数 ( )
rLSVn ??? 0,,??
IVnn L B SN B S 2?? ???
VnIL 2?? ??
nIHB r ??? ?? 0r?
n
S
L 设长直螺线管载流 I 解,
提高 L的途径
增大 V
提高 n
放入 ? 值高的介质
实用
I
五,互感
1,互感现象
R
?
K
G
12?2I 变化 变化 线圈 1中产生 12?
21?
1I 变化 变化 线圈 2中产生 21?
一个载流回路中电流变化，引起邻近另一回路中产
生感生电动势的现象～ 互感 现象；这两个回路～ 互
感耦合回路 互感电动势
12? 21?
21 II
2 1
2,互感系数
(1)定义 当线圈几何形状、相对位置、周围介质磁
导率均一定时
121221 IN ?? ?? 12121 IM??
212112 IN ?? ?? 21212 IM?? MMM ?? 2112
实验、理论均证明,
2
12
1
21
IIM
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～第一种定义式 互感系数 M
两个线圈的互感 M在数值上等于其中一个线圈中的电
流为一单位时，穿过另一个线圈所围面积的磁通量。
(2) 物理意义
t
IM
t d
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21 ????
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?
:M 当一个回路中电流变化率为一个单位时，在
相邻另一回路中引起的互感电动势的绝对值。
～第二种定义式
M的 单位 与 L相同：亨利（ H）
M的值通常用实验方法测定，一些较简单的可用
计算方法求得。
(3) 计算
得
1
21
IM
??设 I1 I1的磁场分布 穿过回路 2的 1B
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21?
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例 (P222 例 3)两同轴长直密绕螺线管的互感 如图 13-
24所示，有两个长度均为,半径分别为 r1和 r2(且 r1
＜ r2)，匝数分别为 N1和 N2的同轴长直密绕螺线管。试
计算它们的互感。
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解：设内管 r1通电流 I1
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1 2 2 1M M M? ? ?
两螺线管共轴，且,完全耦合
两螺线管轴相互垂直,：不耦合
1,21 ?? KRR
0?K
一般情况,
21 LLKM ?
（ ） 10 ?? K
耦合系数，取决于两
线圈的相对位置及绕法。
:K
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例：矩形截面螺绕环尺寸如图,密绕 N匝线圈,其轴
线上置一无限长直导线，当螺绕环中通有电流
时，直导线中的感生电动势为多少？ tII ?c o s
0?
解一,这是一个互感问题
先求 M
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设直导线中通有电流 I1
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解二,由法拉第定律求解,
螺绕环 ?内B xNI??20
0,?外B
如何构成闭合回路？
长直导线在无穷远处闭合
穿过回路的磁通量,
SBSBSBSBΦ
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作业,P243
习题 13-19
13-23
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§ 13-4 RL电路
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L?
I
如图所示的电路
中，开关 K→1
利用初
始条件,00tI??
R
Lt ?? ?当
?
?
d I R
dt
LI
R
?
??
?
当开关倒向 2时，电路的阶跃
电压从 到 0 ?
dIL I R
dt??
t
L
R
e
R
i
?
? ?
自感的作用将使电路中的电流不会瞬间
突变。从开始变化到趋于恒定状态的过
程叫暂态过程。时间常数 表征该过程
的快慢。
?
0.368i R??
t
i
oI
?
L?
?
L
R
I
1 2
L iR? ?
R
Lt ?? ?当
当 t 大于 ? 的若干 (3～ 5)倍以
后，暂态过程基本结束。
d I R dt
IL??
0tI R???
§ 13-5 磁场的能量 磁场能量密度
? 在电容器充电过程中，外力克服静电力作功，将非
静电力能 → 电能。当极板电压为 U时，电容器储存的
电能为,
211
22eW Q U CU??
2
0
11
22
e
er
Ww E D E
Sd ??? ? ? ?
电场的能量密度～ 电场中单位体积内的能量
? 在电流激发磁场的过程中，也是要供给能量的，所
以磁场也应具有能量。
可以仿照研究静电场能量的方法来讨论磁场的能量,
? kR
? 以 自感电路为例，推导磁场能量表达式。
当 K接通时
设：有一长为,横截面为 S,匝数
为 N，自感为 L的长直螺线管。电
源内阻及螺线管的直流电阻不计。
l
S
I
l
在 I↗ 过程中,L内产生与电源
电动势 ε 反向的自感电动势,
L?
L
dIL
dt? ??
由欧姆定律,
dIL RI
dt
? ??
同乘 Idt，在
0～ t内积分,20 0 0t I tI d t L I d I R I d t? ??? ? ?
22
00
1
2
tt
Idt L I RI d t? ????
物理
意义,
0～ t时间间隔内电源 ε 所作的功，即 ε 提供的能量
0～ t时间内电源 ε 反抗自感电动势所作的功
0～ t时间内回路电阻 R所放出的焦耳热
结论,电流在线圈内建立磁场的过程中，电源供给的
能量分成两个部分：一部分转换为热能，另一部分则
转换成线圈内的磁场能量。
即,电源 ε 反抗自感电动势所作的功在建立磁场过程
中 转换成线圈内磁场的能量，储存在螺线管内。
21
2m
W L I?
自感磁能,
对长直螺线管,
2 L n V??
2
221 ( ) ( )
22m
BBW n V V
n
?
??
? ? ? ?
可推广到
一般情况
磁场能量密度,单位
体积内的磁场能量。 21
2
m
m
W Bw
V ?
??
VBHVBVwW
VV rV
mm d2
1d
2
d
0
2
??? ??? ??
磁场
能量,
BI
n?
?
各向同性的均匀介质, BH??
21 1 1
2 2 2mw H B H B H?? ? ? ? ?
电容器储能
C
QQVCV
22
1
2
1 22 ??自感线圈储能 2
2
1LI
电场能量密度
2
02
1
2
1 EEDw
re ????
磁场能量密度
r
m
BBHw
?? 0
2
22
1 ??
能量法求 C L能量法求
电场能量
?? V ee VwW d
磁场能量 ??
V mm VwW d
电场能量 磁场能量
3,电场能量与磁场能量比较
例 (P228)同轴电缆的磁能和自感 如图 13-31所示，同
轴电缆中金属芯线的半径为 R1，共轴金属圆筒的半径
为 R2，中间充以磁导率为 μ 的磁介质。若芯线与圆筒
分别和电池两极相接，芯线与圆筒上的电流大小相等、
方向相反。设可略去金属芯线内的磁场，求此同轴电
缆芯线与圆筒之间单位长度上的磁能和自感。
1R
2R
I
I
? 1R?
o2R
12 ( )2
I R r R
r?
??
),( 0 21 RrRr ??
H?
解：如图,由题意知，同轴电缆芯
线内的磁场强度可视为零。
I
r
取单位长度的体积元,d 1 2 d 2 dV r r r r??? ? ?
? 由安培
环路定理,
()
il
in
H d l I?? ??
? 在芯线与圆筒之间 r处附近，磁场的能量密度为,
?
?
I
? ?
?
?
?
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2
22
22
1 1 1()
2 2 2 8m
IIwH
rr
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2
1
ln
2
RL
R
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21
2mW L I?
2
1
2
22
2
2
1
d
1
2d
8
ln
4
mm
V
R
R
WV
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R
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? 1R?
o2R
I
r??
I
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?
?
?
?
单位长度同轴电缆的磁场能量为,
单位长度同轴
电缆的自感为,
作业,P245
习题 13-29
