§ 9-2电容、电容器（ Capacitance, Capacitor)
电容器是一储能元件。
纸质电容器 陶瓷电容器
电解电容器 钽电容器
可变电容器
一,孤立导体的 电容,
U
qC ?定义,
～升高单位电压所需的电量为该导体的电容。
单位,[库仑 /伏特 ] 称作,法拉 记为Ｆ或 [C/V]。
结论,孤立导体的电容与导体的形状有关，与其带
电量和电位无关。
～孤立导体是指附近无其它带电体或导体，认为
离它很远。
FF ?110 6 ?? 微法 pFF 110 12 ?? 微微法
孤立导体,周围无其他导体，电介质，带电体,
孤立导体电容 取决于本身形状，大小与其
是否带电无关。
C
由电容定义,R
U
QC
04 ????
则金属球电势,R
QU
04??
?
令 0??U设其带电量为 Q
[例 ] 半径 的孤立金属球的电容 R
二、电容器的电容,
带正电荷的导体Ａ～电容器的正极板
若两个导体分别带有等量异号的电荷Ｑ，周围没
有其它导体带电；其间电位差 UAB，它们组成电容器
的电容,
A B A B
QQC
U V V?? ?
带负电荷的导体Ｂ～电容器的负极板
结论,电容器的电容与导体的几何形状和排列的位置
有关，而与其所带电量和电位差无关。
实际上，孤立导体的电容是其与无穷远处导体的组
成的电容器的电容。
0??0?
E?
0QS???
?求电容步骤,
1 平行板电容器,
真空中平行板电容器,
d
SC 0
0
???
0
00
/QSE ?
??
??
A）让导体带等量异性电荷并求其电场分布；
2dS ??
0
B
AB A
QdU E d l E d
S?
? ? ? ??
B）求两极板间电压
C）用定义 Q/U求 C
2 圆柱形电容器（同轴电缆）,
02
ln B
A
ll
C
RU
R
???
??
00
ln
22
B
A
R B
R
A
RU d r
rR
??
? ? ? ?
? ? ??
AR
BR
l
02
E
r
?
??
? ABR r R??
解,
两个长为 的圆柱体，圆柱面上带有等量异号的电
荷,其间距离,线电荷密度为 。
/Ql? ?
l
Q? BlR??
设两圆柱面间隙为,
BAd R R??
l n l nBA
A A A
R R d d
R R R
???
002 AlR SC
dd
?? ???
3 球形电容器,P67 例２
两个同心的金属球壳带有等量异号电荷 ± Ｑ
122
04
r
QE e R r R
r??? ? ?
10 RrE ??
?
10 RrE ??
?
1R
2R
Q?
Q?
2
1
12 2
0 0 1 0 24 4 4
R
R
Q Q QU d r
r R R? ? ? ? ? ?? ? ??
0 1 2
21
4 RRC
RR
????
?12
QC
UU? ?
当 ??2R?
014CR???? ～孤立球形导体电容的公式
三、电容器的串联和并联
? 并联电容器的电容,
??
i
iCC
U
qqqC i?? ??? 21
2C
1C
AU BU
iC
UCq 11 ?
等效
UCq 22 ?
UCq ii ?
BA UUU ??
令
iCCCC ????? ?21
C
BUAU
? 串联电容器的电容,
??
i iCC
11
等效
1
1 U
qC ?
iUUUUU ???? ?321
iUUU
q
U
qC
???
??
?
?
21
C
AU BU
BA UUU ??
令
1C 2C 3C iC
AU BU
2
2 U
qC ?
i
i U
qC ?
q
U
q
U
q
U
C
i????? ?211
作业,P94
9-5,9-10
9-3 静电场中的电介质
一、电介质对电容的影响
相对电容率
? 电介质 是由大量电中性的分
子组成的绝缘体。紧束缚的正
负电荷在外场中要发生变化。
在外电场中电介质要受到电场
的影响，同时也影响外电场。
+Q –Q
在以平行板电容器有电介质
与无电介质时，极板上电压
的变化为例说明
+Q –Q
本节只限于讨论各向同性的均匀的电介质。
静电计测电压
?插入电介质前后，极板带电量 Q不变，两
极板间的电压分别用 U0, U 表示，有,
0
1
r
UU??
是一个大于 1 的常数，其大小随电介质的种类
和状态的不同而不同，是电介质的特征常数称为电
介质的 相对电容率
r?
?上述实验表明：插入电介质后两极
板间电压减少，说明其间电场减弱了。 01 EE r??
?电场减弱的原因可用电介质与外电场的相互影响，
从微观结构上来解释。
研究,结构、形状一定的电容器，其电容 C与极板
间均匀的各向同性电介质之间的关系。
0 r? ? ?? ～电介质的 电容率
?参见 P72 表 9-1几种常见电介质的相对电容率和击穿场强
?当电介质两端极板的电压增加，极板间的电场强度 E增大到 Eb，电介质中
分子发生电离，使电介质失去绝缘性，电介质被击穿了。
?电介质能承受的最大电场强度 Eb～电介质的
击穿场强；两极板的电压称击穿电压 Ub,bb UE d? 平行板电容器
① 无极分子（ Nonpolar molecule）
在无外场作用下：整个分子 无电矩 。
例如,CO2 H2 N2 O2 He
② 有极分子（ Polar molecule）
在无外场作用下：存在 固有电矩
例如,H2O Hcl CO SO2
因无序排列对外不呈现电性。
2 电介质的分子,
1 电介质－是由大量电中性的分子组成的绝缘体。
紧束缚的正负电荷在外场中要发生变化。
? 电介质,
二、电介质的极化
电子云的
正电中心
?? ?
?
?
c
H
H
HH
无极分子
电介质
① 位移极化 Displacement polarization
? 电介质的极化, Polarization
无外场 0?ip?
0??
i i
p?
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
外场中 (位移极化 )
0?ip? 0??
i i
p?
出现束缚电荷和附加电场
0E?
+
+
+
+ +
-
-
-
-
-
+ -
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
E??
位移极化和转向极化微观机
制不同，宏观效果相同。
统一描述, 0??
i
ip
? 出现束缚电荷
?
??? 104 H
H
o
有极分子
电介质
无外场 0?ip? 0??
i i
p?
+
-
② 取向极化 Orientation polarization
??
?
0E?
外场中 (转向极化 )
0?ip? 0??i ip?
出现束缚电荷和附加电场
+ -
E??
//M p E p E? ? ?
? 极化电荷 Polarization charge or bound charge
在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在介
质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电介质到其它
带电体，也不能在电介质内部自由移动。我们称它为
束缚电荷 或 极化电荷 。它不象导体中的自由电荷能用
传导方法将其引走。
在外电场中，出现束缚电荷的现象～ 电介质的极化 。
0E
?无极分子 0E
?
有极分子
金属导体和电介质比较
有大量的
自由电子
基本无自由电子，正负电荷
只能在分子范围内相对运动
金属导体
特征
电介质（绝缘体）
模型
与电场的
相互作用
宏观
效果
,电子气” 电偶极子
静电感应
有极分子电介质,
无极分子电介质,
转向极化
位移极化
静电平衡
导体内
导体表面
感应电荷
0,0 ?? ?E?
E0?? ?
表面?E?
内部：分子偶极矩矢量
和不为零
表面：出现束缚电荷
（极化电荷）
0??
i i
p?
三,电极化强度 Polarization
在宏观上测量到的是大量分子电偶极矩的统计平均值,
为了描述电介质在外场中的行为引入一个物理量,
单位,[库仑 /米 2],[C/m2],
1.电极化强度矢量
V
pP i
?
? ?
??～单位体积内分子电偶极矩矢量和。
i i ip q r?
电介质极化时，,极化程度,电介质表
面束缚电荷面密度
P
??
2.极化电荷与电极化强度之间的关系
（以位移极化为例）
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
均匀介质
电场中每个分子产生电矩,
单位体积中分子电矩
的矢量和为,
E?
ep ql?
e
e
p
P n p
V
??
?
?
nql?
式中 为介质中单位体积的分子数。 n
- +
-
- - +
h
l E?
?
- + + + P
??
Sd?
极化中电荷的位移等效地看成是正电荷的位移。
作如图
斜圆柱
穿出 dS的电荷为体元 dV中所有分子的正电荷,
Nd q q d q n d V? ? ? ? ?
P n q l? d q P d S?? ? ?单位体积的分子数
c o sn q l S ??
设电荷
作用中
心的位
移为 l
Sd?
P?
+
+ + + +
+
+ +
+ +
介质 S
穿出 S面的极化电荷,
（积分关系）
讨论,1）处在一个闭合
曲面中的极化电荷,
? 'q
E?
' Sq P dS??? ?
'd q P d S??穿 出
' Sq P d S???穿 出
- -
- - - -
- -
+ + +
+
+
+ +
+ +
+
+
+
++
P?Sd?
- -
- - - -
- -
+ + +
+
+
+ +
+ +
+
+
+
++
S面内留下的极化电荷
P?Sd?
极化强度通过某封闭曲面的通量等于曲面内极化电
荷代数和的负值
d
s s
P S q ?? ? ? ??
2）介质表面的极化电
面荷面密度。
E?
介
质
? P?
Sd?
?
P?
Sd? -
- + + + +
+
+
- -
- - -
讨论,为正极化电荷
为负极化电荷
+
'd q P d S??穿 出
c osP dS??
' ?c o sdq P P n
dS
?? ? ?
①
'0
2
???? ? ?
②
'0
2
???? ? ?
?' nP n P? ? ? ?
电极化强度和极化电荷面密度的关系
在电介质中取一长为 d、面
积为 Δ S的柱体，柱体两底
面的极化电荷面密度分别为
-σ '和 +σ '，这样柱体内所
有分子的电偶极矩的矢量和
的大小为
? ??? Sdp ?
电极化强度的大小为
?? ?
?
???
?
? ＝＝
Sd
Sd
V
p
P
平板电容器中的均匀电介质，其电极化强度的大小
对于极化产生的极化电荷面密度。
+ + + + + +
- - - - - - + + + + + + + + + + +
r?
- - - - - - - - - - -
l
P?
S?
3.退极化场
电介质在外场中的性质相当于在真
空中有适当的束缚电荷体密度分布
在其内部。因此可用 和 的分布
来代替电介质产生的电场。 '? '?
在外电场 中，介质极化产生的束缚
电荷，在其周围无论介质内部还是外
部都产生附加电场 称为退极化场。
任一点的总场强为,
'E?
0E
?
+Q –Q
'?'??
退极化场
0E
? 是自由电荷产生的电场。
'E? 极化电荷产生的退极化场
depolarization field
'0 EEE ??? ??
是电介质中的总电场强度。
0E
?
P?
n?n?
??
'??nP
'E?
四、电介质的极化规律
实验表明,
0PE???
? 称为电极化率或极化率 polarizability
在各向同性线性电介质中它是一个纯数。
EEP ??? ??? ''?
?以充满均匀、各向同性电介质的平行电容器为例,
① 放入电介质前
自由电荷
0? 0
0
0
E ?
?
?
0??
0??
0E
极化电荷 ??
00
PE ?
??
?? ??
② 放入电介质 后
r?
???
???
P E?
③ 电介质中某一点场强
0E E E ??? 000
0 0 0
1 ()E E E ? ? ??
? ? ?
???? ? ? ? ? ?
依电势与电容定义,
0
0 0 0
00r r r
Q d d dU E d Q E
CS
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
0
01r
r
EE E E?
?
? ? ? ? ?
④ 极化电荷 与自由电荷 的关系
0QQ?
00
0
00
1 ()
rr
EE ? ??
? ? ? ?
?? ? ? ?
0
1( 1 )
r
??
?
?? ? ? 0 1(1 )
r
QQ
?
? ??
001r QQ? ? ???? ? ? ?
⑤ 极化电荷密度 与 的关系 E??
0 0 0
0 r
E
EE
??
?
?
?
0
0
00
1
( 1 ) ( 1 )
( 1 )
r
rr
r
P
EE
?
? ? ?
??
? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
? ? ?
?放入电介质 后，讨论电容 C的变化,
r?
电介质的极化率
0 0 0
1.
r
Q c o n s t E E E E E
?
? ? ? ?
0QU E d U C C
U? ? ?
§ 9-4 电位移矢量 有电介质时的高斯定理
'
0
0
1 ()
Ss
E d S q q
?
? ? ???
'
SS
P dS q? ? ? ??
? 定义,
0D E P???
电位移矢量
electric displacement
自由电荷 束缚电荷
根据介质极化和
真空中高斯定理
0
00
11
SSS
E d S q P d S
??
? ? ? ????
00()
SS
E P d S q? ? ? ? ??
一、静电场有电介质时的高斯定理
0D E P???
e
SV
D dS dV????? 自由电荷
00()
SS
E P d S q? ? ? ? ??
通过任一闭合曲面的电位移通量，等于
该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 物理意义
?电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷，
与束缚电荷无关。
?电力线起始于正电荷终止于负电荷，包括自由电
荷和与束缚电荷。
～静电场有电介质时的高斯定理
? ???s
s
qSD
内
0d
??电介质中的高斯定理,
注意,
② 穿过闭合曲面的 通量仅与
? ?s SD,d ?? ?内s
q0 有关, D?
特例,真空 —— 特别介质
.0, 0' ?? Pq ? EPED ????
00 ?? ???
与 均有关,
0 PED
??? ?? ? '0,qq① 电位移矢量
?? ??
)(
0
0
1d
内Ss
qSE
?
??回到,
0 0 0D E P E E? ? ? ?? ? ? ?
0(1 )DE????
EED r ??? ??? ?? 0
二,之间的关系,EDP ???,、
(1 )r????
0??? r?
电容率 permittivity 或 介电常量 dielectric constant。
相对电容率或相对介电常量
?以充满均匀、各向同性电介质的平行电容器,
0
0 0 0
0
1
r
rr
E E D E? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
?注意,
～辅助矢量，描写电场性质的物理量仍为 D,EV
解：导体内场强为零。
0qSdD
S
???? ??? 0 2
4 r
qD e r R
r?
? ? ?
∵ ED
r
?? ??
0＝ 0
2
04
r
r
qE e r R
r? ? ?
? ? ?
0q
均匀地分布在球表面上,
球外的场具有球对称性
R
0q
r
高斯面
0PE???
00' ( 1 )nrP E E? ? ? ? ?? ? ? ? ?
0
2
1' 1 )
4r
q
R
?
??
? ? ?（
例一：一个金属球半径为 R，带电量 q0，放在均匀的
电容率为 ?r 电介质中。求任一点场强及界面处？ '?
r
EE
?
0
??
＝?
00 ED
??? ?＝
rEE ?/0
?? ＝?
上例也说明当均匀电介质充满电场的全部空间时,
或当均匀电介质的表面正好是等势面时，有,
例二：平行板电容器充电后，极板
上面电荷密度,
将两板与电源断电以后，再插入
的电介质后计算空隙中和
电介质中的
mC /1077.1 60 ????
8?r?
PDE ???,、
+?0 –?0
∵ 断电后，插入介质。 ∴ 极板上电
荷面密度不变，电位移线垂直与极板。
ED r ??? ?? 0＝
+?0 –?0 根据高斯定理,高斯面
高斯面
SSDD III ???? 0)( ?
I II III I
SSDD IIII ???? 0)( ?
0??IID
0??IIID
0
0
?
??
IIE
r
IIIE ??
?
0
0? EP e ??? 0???
0
00
0
( 1 )I I I r
r
PE ?? ? ? ?
??
? ? ? ?
0)
11(' ?
?
?
r
???
电位移线
退极化场
作业,P96 9-12 9-13 9-19
电荷是能量的携带着。
以电容器为例，通过电容器的
能量来说明电场的能量。
§ 9-5 静电场的能量 能量密度
两种观点,
电场是能量的携带着 — 近代观点。
在电磁波的传播中，如通讯工程中能充分说明：场
才是能量的携带者。
?
R
I
C
?电容器充放电的过程是能量从
电源到用电器，（如灯炮）上
消耗的过程。
电容器冲电过程中,电量 在电场力的作用下，从
负极板 → 正极板，这微小过程中外力克服静电力作功
为,
dq?
1d W Ud q q d q
C??
0
2
21 1 1
2 2 2
Q q
W dW dq
C
Q
QU C U
C
??
? ? ?
??
所以，储存在电容器中的能量为,
2
211
2 2 2e
QW C U Q U
C? ? ?
一、电容器的电能
?
R
I
C
22
2200
00
()
2 2 2 2
rr
e
rr
Q Q d QW S d E S d
C S S
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
二、静电场的能量 能量密度
1.静电场的能量
以平行平板电容器为例，略去边缘效应,
两式物理意义差异,
① 2
2e
QW
C?
～能量携带者为电荷
② 2
0
1 ()
2erW E Sd???
～能量携带者为电场
变化的电磁场（电磁波的传播）过程中，并无电
荷伴随着电磁波传播，电磁波能量的携带者为电场
和磁场～此式具有普遍意义。
2
0
2
r
ee
EW w d V d V??????
2
0
11
22
e
er
Ww E D E
Sd ??? ? ? ?
2,电场的能量密度
电场中单位体积
内的能量,
??? rddrdrdV ??? s i n?
?
?
z
y
x
球坐标的体元
22
0 0 0s i n
Rd V r d r d d?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
计算方法,① 先求电场强度分布
② 2
0
2
r
e e e e
Ed W w d V W w d V d V??? ? ???
例一：一个球半径为 R，体电荷密度为 ?，试利用
电场能量公式求此带电球体系统的静电能。
R
?
1
03
r
r
rE e r R?
??
??
3
2 2
03
r
r
RE e r R
r
?
??
??
2
0
2
r
ee
EW w d V d V??????
??
?
??
R
rR r drrEdrrE 2
2
20
0
2
2
10 4
2
4
2
??????
球内 球外空间
??
?
??
R
r
rR
r
r drr
r
Rdrrr 22
2
0
3
0
0
22
0
0 4)
3
(
2
4)
3
(
2
?
??
????
??
???
rr
RR
??
??
??
??
0
52
0
52
18
4
185
4 ?
?
?
2
0
2
r
ee
EW w d V d V??????
r
R
??
??
0
52
15
4?
例二,用能量法推导球形电容器 (R1,R2,?r)电容公式
q?解,设极板带电量
)( 4 212
0
RrRrq
r
?????
)( 0 1Rr ?
?E
)( 0 2Rr ?
取同心球壳为积分元
2
1
2 2 2
00 2
0
11 d ( ) 4 d
2 2 4
R
e r rVR
r
qW E V r r
r? ? ? ? ?? ? ?? ? ???
21
12
0
2
8 RR
RRq
r
??
???
q?
q?
2R
r?
1Ro
r
Vd
2
2e
qW
C?
12
21
04 RR
RRC
r ?? ???
例三（ P99 习题 9-28）：一平板电容器面积为 S，间
距 d，用电源充电后，两极板分别带电为 +q和 -q,断
开电源，再把两极板拉至 2d, 试求,① 外力克服电
力所做的功。 ② 两极板间的相互作用力？
q?q
d2
解：① 根据功能原理可知，外力的
功等于系统能量的增量。电容器两个
状态下所存贮的能量差等于外力的功。
22
2122
ee
qqWW
CC
? ? ? ?
q?q
d
初态
末态
S
dq
CC
CCq
r?? 0
2
21
21
2
22
???
22
12
1 2 022
e
r
CCq q dW
C C S??
???
② 若把电容器极板拉开一倍的距离，所需外力的功等
于电容器原来具有的能量。
2
12
e
qW
C
??
解,外力反抗极板间的电场力作功
W F d? ? ?
22
0022 rr
W q d qF
d S d S? ? ? ?
? ? ? ?
极板间的力
电容器是一储能元件。
纸质电容器 陶瓷电容器
电解电容器 钽电容器
可变电容器
一,孤立导体的 电容,
U
qC ?定义,
～升高单位电压所需的电量为该导体的电容。
单位,[库仑 /伏特 ] 称作,法拉 记为Ｆ或 [C/V]。
结论,孤立导体的电容与导体的形状有关，与其带
电量和电位无关。
～孤立导体是指附近无其它带电体或导体，认为
离它很远。
FF ?110 6 ?? 微法 pFF 110 12 ?? 微微法
孤立导体,周围无其他导体，电介质，带电体,
孤立导体电容 取决于本身形状，大小与其
是否带电无关。
C
由电容定义,R
U
QC
04 ????
则金属球电势,R
QU
04??
?
令 0??U设其带电量为 Q
[例 ] 半径 的孤立金属球的电容 R
二、电容器的电容,
带正电荷的导体Ａ～电容器的正极板
若两个导体分别带有等量异号的电荷Ｑ，周围没
有其它导体带电；其间电位差 UAB，它们组成电容器
的电容,
A B A B
QQC
U V V?? ?
带负电荷的导体Ｂ～电容器的负极板
结论,电容器的电容与导体的几何形状和排列的位置
有关，而与其所带电量和电位差无关。
实际上，孤立导体的电容是其与无穷远处导体的组
成的电容器的电容。
0??0?
E?
0QS???
?求电容步骤,
1 平行板电容器,
真空中平行板电容器,
d
SC 0
0
???
0
00
/QSE ?
??
??
A）让导体带等量异性电荷并求其电场分布；
2dS ??
0
B
AB A
QdU E d l E d
S?
? ? ? ??
B）求两极板间电压
C）用定义 Q/U求 C
2 圆柱形电容器（同轴电缆）,
02
ln B
A
ll
C
RU
R
???
??
00
ln
22
B
A
R B
R
A
RU d r
rR
??
? ? ? ?
? ? ??
AR
BR
l
02
E
r
?
??
? ABR r R??
解,
两个长为 的圆柱体，圆柱面上带有等量异号的电
荷,其间距离,线电荷密度为 。
/Ql? ?
l
Q? BlR??
设两圆柱面间隙为,
BAd R R??
l n l nBA
A A A
R R d d
R R R
???
002 AlR SC
dd
?? ???
3 球形电容器,P67 例２
两个同心的金属球壳带有等量异号电荷 ± Ｑ
122
04
r
QE e R r R
r??? ? ?
10 RrE ??
?
10 RrE ??
?
1R
2R
Q?
Q?
2
1
12 2
0 0 1 0 24 4 4
R
R
Q Q QU d r
r R R? ? ? ? ? ?? ? ??
0 1 2
21
4 RRC
RR
????
?12
QC
UU? ?
当 ??2R?
014CR???? ～孤立球形导体电容的公式
三、电容器的串联和并联
? 并联电容器的电容,
??
i
iCC
U
qqqC i?? ??? 21
2C
1C
AU BU
iC
UCq 11 ?
等效
UCq 22 ?
UCq ii ?
BA UUU ??
令
iCCCC ????? ?21
C
BUAU
? 串联电容器的电容,
??
i iCC
11
等效
1
1 U
qC ?
iUUUUU ???? ?321
iUUU
q
U
qC
???
??
?
?
21
C
AU BU
BA UUU ??
令
1C 2C 3C iC
AU BU
2
2 U
qC ?
i
i U
qC ?
q
U
q
U
q
U
C
i????? ?211
作业,P94
9-5,9-10
9-3 静电场中的电介质
一、电介质对电容的影响
相对电容率
? 电介质 是由大量电中性的分
子组成的绝缘体。紧束缚的正
负电荷在外场中要发生变化。
在外电场中电介质要受到电场
的影响，同时也影响外电场。
+Q –Q
在以平行板电容器有电介质
与无电介质时，极板上电压
的变化为例说明
+Q –Q
本节只限于讨论各向同性的均匀的电介质。
静电计测电压
?插入电介质前后，极板带电量 Q不变，两
极板间的电压分别用 U0, U 表示，有,
0
1
r
UU??
是一个大于 1 的常数，其大小随电介质的种类
和状态的不同而不同，是电介质的特征常数称为电
介质的 相对电容率
r?
?上述实验表明：插入电介质后两极
板间电压减少，说明其间电场减弱了。 01 EE r??
?电场减弱的原因可用电介质与外电场的相互影响，
从微观结构上来解释。
研究,结构、形状一定的电容器，其电容 C与极板
间均匀的各向同性电介质之间的关系。
0 r? ? ?? ～电介质的 电容率
?参见 P72 表 9-1几种常见电介质的相对电容率和击穿场强
?当电介质两端极板的电压增加，极板间的电场强度 E增大到 Eb，电介质中
分子发生电离，使电介质失去绝缘性，电介质被击穿了。
?电介质能承受的最大电场强度 Eb～电介质的
击穿场强；两极板的电压称击穿电压 Ub,bb UE d? 平行板电容器
① 无极分子（ Nonpolar molecule）
在无外场作用下：整个分子 无电矩 。
例如,CO2 H2 N2 O2 He
② 有极分子（ Polar molecule）
在无外场作用下：存在 固有电矩
例如,H2O Hcl CO SO2
因无序排列对外不呈现电性。
2 电介质的分子,
1 电介质－是由大量电中性的分子组成的绝缘体。
紧束缚的正负电荷在外场中要发生变化。
? 电介质,
二、电介质的极化
电子云的
正电中心
?? ?
?
?
c
H
H
HH
无极分子
电介质
① 位移极化 Displacement polarization
? 电介质的极化, Polarization
无外场 0?ip?
0??
i i
p?
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
外场中 (位移极化 )
0?ip? 0??
i i
p?
出现束缚电荷和附加电场
0E?
+
+
+
+ +
-
-
-
-
-
+ -
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
E??
位移极化和转向极化微观机
制不同，宏观效果相同。
统一描述, 0??
i
ip
? 出现束缚电荷
?
??? 104 H
H
o
有极分子
电介质
无外场 0?ip? 0??
i i
p?
+
-
② 取向极化 Orientation polarization
??
?
0E?
外场中 (转向极化 )
0?ip? 0??i ip?
出现束缚电荷和附加电场
+ -
E??
//M p E p E? ? ?
? 极化电荷 Polarization charge or bound charge
在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在介
质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电介质到其它
带电体，也不能在电介质内部自由移动。我们称它为
束缚电荷 或 极化电荷 。它不象导体中的自由电荷能用
传导方法将其引走。
在外电场中，出现束缚电荷的现象～ 电介质的极化 。
0E
?无极分子 0E
?
有极分子
金属导体和电介质比较
有大量的
自由电子
基本无自由电子，正负电荷
只能在分子范围内相对运动
金属导体
特征
电介质（绝缘体）
模型
与电场的
相互作用
宏观
效果
,电子气” 电偶极子
静电感应
有极分子电介质,
无极分子电介质,
转向极化
位移极化
静电平衡
导体内
导体表面
感应电荷
0,0 ?? ?E?
E0?? ?
表面?E?
内部：分子偶极矩矢量
和不为零
表面：出现束缚电荷
（极化电荷）
0??
i i
p?
三,电极化强度 Polarization
在宏观上测量到的是大量分子电偶极矩的统计平均值,
为了描述电介质在外场中的行为引入一个物理量,
单位,[库仑 /米 2],[C/m2],
1.电极化强度矢量
V
pP i
?
? ?
??～单位体积内分子电偶极矩矢量和。
i i ip q r?
电介质极化时，,极化程度,电介质表
面束缚电荷面密度
P
??
2.极化电荷与电极化强度之间的关系
（以位移极化为例）
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
+-
均匀介质
电场中每个分子产生电矩,
单位体积中分子电矩
的矢量和为,
E?
ep ql?
e
e
p
P n p
V
??
?
?
nql?
式中 为介质中单位体积的分子数。 n
- +
-
- - +
h
l E?
?
- + + + P
??
Sd?
极化中电荷的位移等效地看成是正电荷的位移。
作如图
斜圆柱
穿出 dS的电荷为体元 dV中所有分子的正电荷,
Nd q q d q n d V? ? ? ? ?
P n q l? d q P d S?? ? ?单位体积的分子数
c o sn q l S ??
设电荷
作用中
心的位
移为 l
Sd?
P?
+
+ + + +
+
+ +
+ +
介质 S
穿出 S面的极化电荷,
（积分关系）
讨论,1）处在一个闭合
曲面中的极化电荷,
? 'q
E?
' Sq P dS??? ?
'd q P d S??穿 出
' Sq P d S???穿 出
- -
- - - -
- -
+ + +
+
+
+ +
+ +
+
+
+
++
P?Sd?
- -
- - - -
- -
+ + +
+
+
+ +
+ +
+
+
+
++
S面内留下的极化电荷
P?Sd?
极化强度通过某封闭曲面的通量等于曲面内极化电
荷代数和的负值
d
s s
P S q ?? ? ? ??
2）介质表面的极化电
面荷面密度。
E?
介
质
? P?
Sd?
?
P?
Sd? -
- + + + +
+
+
- -
- - -
讨论,为正极化电荷
为负极化电荷
+
'd q P d S??穿 出
c osP dS??
' ?c o sdq P P n
dS
?? ? ?
①
'0
2
???? ? ?
②
'0
2
???? ? ?
?' nP n P? ? ? ?
电极化强度和极化电荷面密度的关系
在电介质中取一长为 d、面
积为 Δ S的柱体，柱体两底
面的极化电荷面密度分别为
-σ '和 +σ '，这样柱体内所
有分子的电偶极矩的矢量和
的大小为
? ??? Sdp ?
电极化强度的大小为
?? ?
?
???
?
? ＝＝
Sd
Sd
V
p
P
平板电容器中的均匀电介质，其电极化强度的大小
对于极化产生的极化电荷面密度。
+ + + + + +
- - - - - - + + + + + + + + + + +
r?
- - - - - - - - - - -
l
P?
S?
3.退极化场
电介质在外场中的性质相当于在真
空中有适当的束缚电荷体密度分布
在其内部。因此可用 和 的分布
来代替电介质产生的电场。 '? '?
在外电场 中，介质极化产生的束缚
电荷，在其周围无论介质内部还是外
部都产生附加电场 称为退极化场。
任一点的总场强为,
'E?
0E
?
+Q –Q
'?'??
退极化场
0E
? 是自由电荷产生的电场。
'E? 极化电荷产生的退极化场
depolarization field
'0 EEE ??? ??
是电介质中的总电场强度。
0E
?
P?
n?n?
??
'??nP
'E?
四、电介质的极化规律
实验表明,
0PE???
? 称为电极化率或极化率 polarizability
在各向同性线性电介质中它是一个纯数。
EEP ??? ??? ''?
?以充满均匀、各向同性电介质的平行电容器为例,
① 放入电介质前
自由电荷
0? 0
0
0
E ?
?
?
0??
0??
0E
极化电荷 ??
00
PE ?
??
?? ??
② 放入电介质 后
r?
???
???
P E?
③ 电介质中某一点场强
0E E E ??? 000
0 0 0
1 ()E E E ? ? ??
? ? ?
???? ? ? ? ? ?
依电势与电容定义,
0
0 0 0
00r r r
Q d d dU E d Q E
CS
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
0
01r
r
EE E E?
?
? ? ? ? ?
④ 极化电荷 与自由电荷 的关系
0QQ?
00
0
00
1 ()
rr
EE ? ??
? ? ? ?
?? ? ? ?
0
1( 1 )
r
??
?
?? ? ? 0 1(1 )
r
?
? ??
001r QQ? ? ???? ? ? ?
⑤ 极化电荷密度 与 的关系 E??
0 0 0
0 r
E
EE
??
?
?
?
0
0
00
1
( 1 ) ( 1 )
( 1 )
r
rr
r
P
EE
?
? ? ?
??
? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
? ? ?
?放入电介质 后，讨论电容 C的变化,
r?
电介质的极化率
0 0 0
1.
r
Q c o n s t E E E E E
?
? ? ? ?
0QU E d U C C
U? ? ?
§ 9-4 电位移矢量 有电介质时的高斯定理
'
0
0
1 ()
Ss
E d S q q
?
? ? ???
'
SS
P dS q? ? ? ??
? 定义,
0D E P???
电位移矢量
electric displacement
自由电荷 束缚电荷
根据介质极化和
真空中高斯定理
0
00
11
SSS
E d S q P d S
??
? ? ? ????
00()
SS
E P d S q? ? ? ? ??
一、静电场有电介质时的高斯定理
0D E P???
e
SV
D dS dV????? 自由电荷
00()
SS
E P d S q? ? ? ? ??
通过任一闭合曲面的电位移通量，等于
该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 物理意义
?电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷，
与束缚电荷无关。
?电力线起始于正电荷终止于负电荷，包括自由电
荷和与束缚电荷。
～静电场有电介质时的高斯定理
? ???s
s
qSD
内
0d
??电介质中的高斯定理,
注意,
② 穿过闭合曲面的 通量仅与
? ?s SD,d ?? ?内s
q0 有关, D?
特例,真空 —— 特别介质
.0, 0' ?? Pq ? EPED ????
00 ?? ???
与 均有关,
0 PED
??? ?? ? '0,qq① 电位移矢量
?? ??
)(
0
0
1d
内Ss
qSE
?
??回到,
0 0 0D E P E E? ? ? ?? ? ? ?
0(1 )DE????
EED r ??? ??? ?? 0
二,之间的关系,EDP ???,、
(1 )r????
0??? r?
电容率 permittivity 或 介电常量 dielectric constant。
相对电容率或相对介电常量
?以充满均匀、各向同性电介质的平行电容器,
0
0 0 0
0
1
r
rr
E E D E? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
?注意,
～辅助矢量，描写电场性质的物理量仍为 D,EV
解：导体内场强为零。
0qSdD
S
???? ??? 0 2
4 r
qD e r R
r?
? ? ?
∵ ED
r
?? ??
0＝ 0
2
04
r
r
qE e r R
r? ? ?
? ? ?
0q
均匀地分布在球表面上,
球外的场具有球对称性
R
0q
r
高斯面
0PE???
00' ( 1 )nrP E E? ? ? ? ?? ? ? ? ?
0
2
1' 1 )
4r
q
R
?
??
? ? ?（
例一：一个金属球半径为 R，带电量 q0，放在均匀的
电容率为 ?r 电介质中。求任一点场强及界面处？ '?
r
EE
?
0
??
＝?
00 ED
??? ?＝
rEE ?/0
?? ＝?
上例也说明当均匀电介质充满电场的全部空间时,
或当均匀电介质的表面正好是等势面时，有,
例二：平行板电容器充电后，极板
上面电荷密度,
将两板与电源断电以后，再插入
的电介质后计算空隙中和
电介质中的
mC /1077.1 60 ????
8?r?
PDE ???,、
+?0 –?0
∵ 断电后，插入介质。 ∴ 极板上电
荷面密度不变，电位移线垂直与极板。
ED r ??? ?? 0＝
+?0 –?0 根据高斯定理,高斯面
高斯面
SSDD III ???? 0)( ?
I II III I
SSDD IIII ???? 0)( ?
0??IID
0??IIID
0
0
?
??
IIE
r
IIIE ??
?
0
0? EP e ??? 0???
0
00
0
( 1 )I I I r
r
PE ?? ? ? ?
??
? ? ? ?
0)
11(' ?
?
?
r
???
电位移线
退极化场
作业,P96 9-12 9-13 9-19
电荷是能量的携带着。
以电容器为例，通过电容器的
能量来说明电场的能量。
§ 9-5 静电场的能量 能量密度
两种观点,
电场是能量的携带着 — 近代观点。
在电磁波的传播中，如通讯工程中能充分说明：场
才是能量的携带者。
?
R
I
C
?电容器充放电的过程是能量从
电源到用电器，（如灯炮）上
消耗的过程。
电容器冲电过程中,电量 在电场力的作用下，从
负极板 → 正极板，这微小过程中外力克服静电力作功
为,
dq?
1d W Ud q q d q
C??
0
2
21 1 1
2 2 2
Q q
W dW dq
C
Q
QU C U
C
??
? ? ?
??
所以，储存在电容器中的能量为,
2
211
2 2 2e
QW C U Q U
C? ? ?
一、电容器的电能
?
R
I
C
22
2200
00
()
2 2 2 2
rr
e
rr
Q Q d QW S d E S d
C S S
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
二、静电场的能量 能量密度
1.静电场的能量
以平行平板电容器为例，略去边缘效应,
两式物理意义差异,
① 2
2e
QW
C?
～能量携带者为电荷
② 2
0
1 ()
2erW E Sd???
～能量携带者为电场
变化的电磁场（电磁波的传播）过程中，并无电
荷伴随着电磁波传播，电磁波能量的携带者为电场
和磁场～此式具有普遍意义。
2
0
2
r
ee
EW w d V d V??????
2
0
11
22
e
er
Ww E D E
Sd ??? ? ? ?
2,电场的能量密度
电场中单位体积
内的能量,
??? rddrdrdV ??? s i n?
?
?
z
y
x
球坐标的体元
22
0 0 0s i n
Rd V r d r d d?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
计算方法,① 先求电场强度分布
② 2
0
2
r
e e e e
Ed W w d V W w d V d V??? ? ???
例一：一个球半径为 R，体电荷密度为 ?，试利用
电场能量公式求此带电球体系统的静电能。
R
?
1
03
r
r
rE e r R?
??
??
3
2 2
03
r
r
RE e r R
r
?
??
??
2
0
2
r
ee
EW w d V d V??????
??
?
??
R
rR r drrEdrrE 2
2
20
0
2
2
10 4
2
4
2
??????
球内 球外空间
??
?
??
R
r
rR
r
r drr
r
Rdrrr 22
2
0
3
0
0
22
0
0 4)
3
(
2
4)
3
(
2
?
??
????
??
???
rr
RR
??
??
??
??
0
52
0
52
18
4
185
4 ?
?
?
2
0
2
r
ee
EW w d V d V??????
r
R
??
??
0
52
15
4?
例二,用能量法推导球形电容器 (R1,R2,?r)电容公式
q?解,设极板带电量
)( 4 212
0
RrRrq
r
?????
)( 0 1Rr ?
?E
)( 0 2Rr ?
取同心球壳为积分元
2
1
2 2 2
00 2
0
11 d ( ) 4 d
2 2 4
R
e r rVR
r
qW E V r r
r? ? ? ? ?? ? ?? ? ???
21
12
0
2
8 RR
RRq
r
??
???
q?
q?
2R
r?
1Ro
r
Vd
2
2e
qW
C?
12
21
04 RR
RRC
r ?? ???
例三（ P99 习题 9-28）：一平板电容器面积为 S，间
距 d，用电源充电后，两极板分别带电为 +q和 -q,断
开电源，再把两极板拉至 2d, 试求,① 外力克服电
力所做的功。 ② 两极板间的相互作用力？
q?q
d2
解：① 根据功能原理可知，外力的
功等于系统能量的增量。电容器两个
状态下所存贮的能量差等于外力的功。
22
2122
ee
qqWW
CC
? ? ? ?
q?q
d
初态
末态
S
dq
CC
CCq
r?? 0
2
21
21
2
22
???
22
12
1 2 022
e
r
CCq q dW
C C S??
???
② 若把电容器极板拉开一倍的距离，所需外力的功等
于电容器原来具有的能量。
2
12
e
qW
C
??
解,外力反抗极板间的电场力作功
W F d? ? ?
22
0022 rr
W q d qF
d S d S? ? ? ?
? ? ? ?
极板间的力
