静电场习题课
② 由高斯定理求具有
对称性分布的场强,
① 由点电荷场强公式
一、教学要求
1.掌握电场强度 和电通量 概念，
建立电场, 分布, 概念 0
FE
q? e s E d S? ? ??
2.掌握三种求场强 的方法,E
2
0
1
4 r
qEe
r????
和叠加原理
2
0
1
4
reE d E d q
r??????
??? ??
ii n s i d e
iS qSdE
,0
1
?
??
③ 由场强 与电势 V 的关系, E
()E i j k V g r a d V Vx y z? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
典型静电场,
点电荷,
均匀带电圆环轴线上,
无限长均匀带电直线,
均匀带电球面,
无限大均匀带电平面,
32
00
11
44 r
q r qEe
rr? ? ? ???
2
3)(4
1
22
0 xR
iqxE
?
?
??
?? 带电直线）?? (
2 0 rE ??
?
() 32
00
110,
44r R r
q r qE E e
rr? ? ? ?? ?
?? ? ?
( r R ) 带电平面）?? (
2 0?
?E
3.理解静电场的保守性（环路定理）,
0E d l??? ～静电场为保守场（无源场）
4.理解电势差,B
A B A B AU V V E d l? ? ? ??
电势,
dAB
A
V E l V? ? ??
B
A AV E d l
????或,
电势能,
0
B
A B p A p B p AW E E E q E d l? ? ? ? ? ? ??
电场力作功,
0 0 0()
B
A B A B A B AW q U q V V q E d l? ? ? ? ??
的物理意义。
dab
a
V E l V? ? ??
b
① 场强积分法,
注意,
(1)积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路
径。
(2) 为路径上各点总场，若各区域 表达式不同，
应分段积分,
E?E?
(3)积分值与零势点选取有关，选取原则,
0V ?有 限 b
?电荷有限
分布选,0V? ?
5.掌握电势计算的两种方法
?电荷无
限分布选,
② 叠加法 思路,d q d V V d V? ? ? ?
注意：应用典型带电体的电势公式
选取相同的零势点 。
典型带电体的电势,
点电荷,
均匀带电圆环
轴线上,
均匀带电球面,
0
1
4
qV
r???
1 222
0
1
4 ()
qV
Rx??? ?
0
1
4
qV
r???(r>R)() 0
1
4rR
qV
R???
?
二、讨论题,
1.下列说法是否正确?试举例说明,
(2)若闭合曲面 S上各点的场强为零时，则 S面内必未
包围电荷。
(1)静电场中的任一闭合曲面 S，若有
则 S面上的 处处为零。 0S E d S???E
0S E d S??? 0
in
i
S
q???答,不对,
S面上的 是由空间所有电荷
及分布所决定的。
E
q? q?S
如,
0,0SE E d S? ? ? ??
0iq???
答,不对,如,
q?
q?
S
但不能说 S面内未包围电荷。
(3)通过闭合曲面 S的总电通量，仅由 S面所包围的电
荷提供。
(4)闭合曲面 S上各点的场强，仅由 S面所包围的电荷
提供。
(5)应用高斯定理求场强的条件是电场具有对称性。
答,正确。
答,错。理由同（ 1）。
答,错。这只是必要条件但不是充分条件。用高斯
定理求场强只有对某些具有特殊对称的场的情况下
才能解出。
如 S面,//E dS 的部分,相同； E E dS? 中的 ； 0E?
0
1
iS
i
E d S E S q?? ? ? ? ? ??
求出 E
2.三个相等的点电荷置于等边三角形的
三个顶点上，以三角形的中心为球心作
一球面 S如图所示，能否用高斯定理求出
其场强分布?对 S面高斯定理是否成立? q
q
q
o
S
答,不能用高斯定理求出其场强
分布；对 S面高斯定理是成立的,
0
3
S
qE d S
????
3.在真空中有两个相对的平行板，相距为 d，
板面积均为 S，分别带 +q和 -q的电量。
2
2
0
1
4
qF
d????
d??
q? q?
S
① 有人说，根据库仑
定律，两板间作用力,
② 又有人说,
问以上说法对不对?为什么?
2
00
,,,qqF q E E FSS? ???? ? ? ? ?
答,均不对。 2
2
0
1
4
qF
d????
① ～视为点电荷；
② 似乎是把带电平板看成是无限大
2
0
qF
S??
其中
0
qE
S??
～带等量异号电荷 ± q
的大平板间的场强
中的 E 受力电荷 q所在处、场源电荷所
激发的电场强度。
F qE?
所以，如果带电平板的线度 >>二板间距 d时,+q
受 -q的作用力的大小为,
2
0022
qF E d q d q
S
?
??
? ? ???
4.指出下列有关电场强度 与电势 V的关系的说法是否
正确?试举例说明。
E
(1)已知某点的 就可以确定该点的 V。 E
答,不能。
a aV E d l
????
由 a点至 ∞ 中 分布决
定，而不是该点的 决定 a
V E
E
? ?
? ?
q?
q?
q?
q?
o
如：中心 o点处,仅由该点的且是不能求出 V的，
必须知道场的分布才能求出。按点电荷电场分布及
电势叠加原理可以求出该点,
0E ?
00
114
4
qqV
aa? ? ? ?? ? ?
为正方形对角线的一半
(2)已知某点的 V就可以确定该点的 。 E
答,不对。,某点的 应由该点附近电
势 V分布求得。
EV? ?? E
例如，已知均匀带电细
圆环中心 o点的电势,014o qV R??? q o
R
?如由电势 V沿 X方向的分
布,
? 仅由那点的电势是不能求出
的，必须知道 的分布,0?E ? (,,)V V x y z?
1 222
0
1
4 ()
qV
Rx??? ?
3 222
0
1
4 ()x
V q xE
x Rx??
?? ? ?
? ?
中心,
00,0xE? ? ?
(3) 不变的空间,V也一定不变。 E
答,不对。 不变的空间,V值不一定不变。 E
例如：无限大均匀带电平面的一侧，电场强度各处
均相等，而与平面距离不相等的各点的电势是不相
等；与大平面距离相等的各点的电势是相等的。
0
,,
2 n
VVE C E e C
nn
?
?
??? ? ? ? ? ?
??
～ V沿 有变化。 ne
0,0,VEVn????只有当 不变。
(4) 值相等的曲面上,V值不一定相等 E
答,对。如上题 (3)中，任取一曲面，在该曲面上
值相等,V是不一定相等的。但如电荷均匀分布的球
面，在与它同心的球面上 值相等，且 V值也相等。
E
E
(5)V值相等的曲面上,值不一定相等。 E
答,对。 V值相等的曲面是等势面，在等势面上各点
场强不一定是相等的，这还要看某点邻近的电势分布
而定。
例如，电偶极子的电场中，在偶极子连线的中垂面是
一等势面，求出在这一等势面上各点场强是不相等的。
(参见 P45 例 2)
而由上例 (4)知在均匀带电球面的电场中，等势面上
各点的场强大小相等。
3
0
1
4
pE
y???
场点到偶极子连线中点的距离
4.在无限大带电平面和无限长带电直线的电场中，确
定场中各点电势 V时，能否选无穷远处为电势零点?
答,不能。 无限大平面,0,V
? ?
02
E ???
a aaV E d l E d l E
??? ? ? ? ? ? ??? ～无法确定。
?
q
?
a??
P
6.在与面电荷密度为 的无限大均
匀带电平板相距为 a处有一点电荷 q，求
点电荷 q至平板垂线中点 P处的电势。
Q
S? ?
有人用电势叠加法计算 P点电势,
0 0 0 0
11
4 2 2 2 42P
q a q aV
a a
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
对不对？
答,不对。分别选择了两个不同电势零点计算。
q为 而后一项以平板上一点 V=0。
由于零点不同，不能相加。
0,V ? ?
?
q
?
a??
P
正确的解法,是选共同零点，选取 q
所在点为坐标原点 0。连接 OP并延长
之为 x轴。
? ?
O a
x
?选 x=a处即大平板上一点为电势零点。
?任一点 x处的场强由点电荷 q及带电
大平板的场叠，即
2
00
1
42x
qE
x
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2
22 00
1()
42
a a a
Px aaP
qV E d l E d x d x
x
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00
1
44
qa
a
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? ? ???
?
R
y
xo
? EEq ?? ?? dd
思路：叠加法
例 1 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度。
E?d
qd
解,①
2
04
r
dq Rd
dq
dE e
R
??
??
?
?
?d
?① 均匀带电，线密度为
三、计算题
?② 上半部带正电，下半部带负电，线密度为
??? s in0?③ 非均匀带电，线密度为
～与 P51习题 8-6类似。
?
R
y
xo
?
E?d
qd
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RR
EEE
xx
0
0
0
24
ds i n
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?
?
???
?????
R
iE
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?
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??
用分量叠加，由对称性,
0yyE d E???E??d
q?d
?
y
x
R
?
?d
E?d
qd
o
?? E??d
q?d
解：②
2
04
r
dq Rd
dq
dE e
R
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?
?
对称性分析与 ① 有何不同？
0xxE d E???
2
0
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000
2 c os
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yy
E d E d E
d
RR
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R
j
E
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有无对称性？
)-s in (s in ??? ?
0d ???? yy EE
2
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48x
iE i E i
RR
? ? ? ? ?
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解,③
0
2
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4
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dq R d
dq
dE e
R
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??
?
?
R
y
xo
?
E?d
qd
?d
E??d
q?d
例 2 (P51 习题 8-7) 求均匀带电半球面 (已知 R,?) 球
心处电场。
思考, (1) 用哪种方法求解?
(2)?d ?q
叠加法,d q d E d E?? ?
对否？
2d q d S y d x? ? ?? ? ? ?
2
2 c o s
d q y d l
R R d
??
? ? ? ?
??
? ? ?
╳
√
x
R
?
o
y
将半球面视为由许多圆环拼成。
E?d xxo? x
y
R
ld
(3) 的大小，方向？ E?d
?
?
???
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?
??
d
2
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)(4
d
d
0
3
0
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0
2
3
??
?
?
R
qR
xy
qx
E
沿 方向 。 x?
(4) 能不能由 直接积分？ 积分限如何确定？ Ed
因为各圆环在 o 点处 同向,可直接积分 。
E?d
0
0
0
0 4d2
s i nc o sd 2
?
??
?
???? ??? ? ?EE 沿 方向 。 x?
E?d xxo? x
y
R
ld
思考：①选用哪种方法求解更方便？
R
?
o
② 选高斯面？
例 3,求半径 R,电荷体密度
（ 为常数, ）带电球体内外的场强 。 k
rk??
Rr ?
未破坏电场分布的球对称性。
用高斯定理求解方便,
rk??
选高斯面 EqSE
s
???
1d
0
求内?? ??
?
r
Ro
?
S
r
S
? ???s rESE 24d ???
同心球面 S (半径 r )
╳
:Rr ? 22
0 0
2d4d kRrr
r
kVq R R ??? ????
?
?? ? ?? 内
:Rr ? 22
0 0
2d4d krrr
r
kVq r r ??? ????
?
?? ? ?? 内
r
r?d
Ro
?
S
r?
24kd q d V r d r
r
?? ??? ? ?
?
34
3i
q V r
r
???? ? ? ?? 对否？
i
in
q ??③
④ 电场强度的大小，方向？
由高斯定理,1d
0
?? ?? 内qSEs ???
14
0
2 ???
内qrE ??
总效果 大小为恒量 inE
⑤ 对结果的定性理解,
2
inqr? 2
1
r
E ?
得,
沿径向 2
0
2
0
2
2
r
R
E
?
?
?
?
?
?
外
内
r
r?d
Ro?
S
r?
o R r
E
02?
?
2
1r?
例 4,(P53习题 8-17)在半径 R1,体电荷密度 ? 的均匀带电
球体内挖去一个半径 R2的球形空腔。空腔中心 o2与带电
球体中心 o1 相距为 a [(R2+ a )< R1],
求空腔内任一点电场 。
思考,(1) 选用何种方法求解？
挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？补偿法！
所求场强 而, 均可由高斯定理求出。
21 EEE P
??? ?? 1E
? 2E?
半径 R 1均匀带电实心球体在 P点的场强,
半径 R 2均匀带电实心球体在 P点的场强,2E?
1E?
1o
1R
? 2o
a 2R
P1r? 1
E?2E?
2r?
(2) 作高斯面 求, 21,SS 21,EE ??
0
1
1 3?
? rE ?? ? 31
0
2
11 3
414 rrE ??
?? ???
3
2
0
2
22 3
414 rrE ??
?? ???
0
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0
21
0
21 3)(3 ?
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? arrEEE
P
??????
?????
1o
1R
? 2o
a 2R
E?
腔内为平行于
的均匀电场！
aoo ??21
1o
1R
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a 2R
P1r?
1E
?
2E
?
2r?
1s
2s
(3) 思考,请总结获得均匀电场的方法
?
02?
??E
E?
?? ??
0?
??E
……
1o
1R
? 2o
a 2R
E?
R
?
例 5,求无限长均匀带电圆柱体 电势分布。 ),( ?R
解,场强积分法,
先由高斯定理求电场分布,
0
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in
is
S
E S E r h q?
?
? ? ? ? ??
2
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2
02
RE
r
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?2 径向
2 ir R q r h??? ? ?? 1
02
rE ?
?
? 径向
选高 h 半径 r 的同轴圆柱面
为高斯面 S
R
?h
R
S
? r
令 r = 0 处 V= 0,沿径向积分
00
1
0
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2
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?
r
1?
r?
对数曲线
2r?
E
ro
V
R
例 6,电量 q均匀分布在长为 2L的细棒上 。求,
(1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处 P点的电势 。
(2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势。
L? o L?q
Pa
b? x? ??
?
'P
y 解,叠加法 将带电细棒视为点电荷集合
1
222
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Lb
Lb
L
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L? o L?q b? x? ?? 'P
y
qd
(2) 求细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势
作业,P53 8-15
8-16 8-27
② 由高斯定理求具有
对称性分布的场强,
① 由点电荷场强公式
一、教学要求
1.掌握电场强度 和电通量 概念，
建立电场, 分布, 概念 0
FE
q? e s E d S? ? ??
2.掌握三种求场强 的方法,E
2
0
1
4 r
qEe
r????
和叠加原理
2
0
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reE d E d q
r??????
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ii n s i d e
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,0
1
?
??
③ 由场强 与电势 V 的关系, E
()E i j k V g r a d V Vx y z? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
典型静电场,
点电荷,
均匀带电圆环轴线上,
无限长均匀带电直线,
均匀带电球面,
无限大均匀带电平面,
32
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11
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?? 带电直线）?? (
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( r R ) 带电平面）?? (
2 0?
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3.理解静电场的保守性（环路定理）,
0E d l??? ～静电场为保守场（无源场）
4.理解电势差,B
A B A B AU V V E d l? ? ? ??
电势,
dAB
A
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B
A AV E d l
????或,
电势能,
0
B
A B p A p B p AW E E E q E d l? ? ? ? ? ? ??
电场力作功,
0 0 0()
B
A B A B A B AW q U q V V q E d l? ? ? ? ??
的物理意义。
dab
a
V E l V? ? ??
b
① 场强积分法,
注意,
(1)积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路
径。
(2) 为路径上各点总场，若各区域 表达式不同，
应分段积分,
E?E?
(3)积分值与零势点选取有关，选取原则,
0V ?有 限 b
?电荷有限
分布选,0V? ?
5.掌握电势计算的两种方法
?电荷无
限分布选,
② 叠加法 思路,d q d V V d V? ? ? ?
注意：应用典型带电体的电势公式
选取相同的零势点 。
典型带电体的电势,
点电荷,
均匀带电圆环
轴线上,
均匀带电球面,
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qV
R???
?
二、讨论题,
1.下列说法是否正确?试举例说明,
(2)若闭合曲面 S上各点的场强为零时，则 S面内必未
包围电荷。
(1)静电场中的任一闭合曲面 S，若有
则 S面上的 处处为零。 0S E d S???E
0S E d S??? 0
in
i
S
q???答,不对,
S面上的 是由空间所有电荷
及分布所决定的。
E
q? q?S
如,
0,0SE E d S? ? ? ??
0iq???
答,不对,如,
q?
q?
S
但不能说 S面内未包围电荷。
(3)通过闭合曲面 S的总电通量，仅由 S面所包围的电
荷提供。
(4)闭合曲面 S上各点的场强，仅由 S面所包围的电荷
提供。
(5)应用高斯定理求场强的条件是电场具有对称性。
答,正确。
答,错。理由同（ 1）。
答,错。这只是必要条件但不是充分条件。用高斯
定理求场强只有对某些具有特殊对称的场的情况下
才能解出。
如 S面,//E dS 的部分,相同； E E dS? 中的 ； 0E?
0
1
iS
i
E d S E S q?? ? ? ? ? ??
求出 E
2.三个相等的点电荷置于等边三角形的
三个顶点上，以三角形的中心为球心作
一球面 S如图所示，能否用高斯定理求出
其场强分布?对 S面高斯定理是否成立? q
q
q
o
S
答,不能用高斯定理求出其场强
分布；对 S面高斯定理是成立的,
0
3
S
qE d S
????
3.在真空中有两个相对的平行板，相距为 d，
板面积均为 S，分别带 +q和 -q的电量。
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S
① 有人说，根据库仑
定律，两板间作用力,
② 又有人说,
问以上说法对不对?为什么?
2
00
,,,qqF q E E FSS? ???? ? ? ? ?
答,均不对。 2
2
0
1
4
qF
d????
① ～视为点电荷；
② 似乎是把带电平板看成是无限大
2
0
qF
S??
其中
0
qE
S??
～带等量异号电荷 ± q
的大平板间的场强
中的 E 受力电荷 q所在处、场源电荷所
激发的电场强度。
F qE?
所以，如果带电平板的线度 >>二板间距 d时,+q
受 -q的作用力的大小为,
2
0022
qF E d q d q
S
?
??
? ? ???
4.指出下列有关电场强度 与电势 V的关系的说法是否
正确?试举例说明。
E
(1)已知某点的 就可以确定该点的 V。 E
答,不能。
a aV E d l
????
由 a点至 ∞ 中 分布决
定，而不是该点的 决定 a
V E
E
? ?
? ?
q?
q?
q?
q?
o
如：中心 o点处,仅由该点的且是不能求出 V的，
必须知道场的分布才能求出。按点电荷电场分布及
电势叠加原理可以求出该点,
0E ?
00
114
4
qqV
aa? ? ? ?? ? ?
为正方形对角线的一半
(2)已知某点的 V就可以确定该点的 。 E
答,不对。,某点的 应由该点附近电
势 V分布求得。
EV? ?? E
例如，已知均匀带电细
圆环中心 o点的电势,014o qV R??? q o
R
?如由电势 V沿 X方向的分
布,
? 仅由那点的电势是不能求出
的，必须知道 的分布,0?E ? (,,)V V x y z?
1 222
0
1
4 ()
qV
Rx??? ?
3 222
0
1
4 ()x
V q xE
x Rx??
?? ? ?
? ?
中心,
00,0xE? ? ?
(3) 不变的空间,V也一定不变。 E
答,不对。 不变的空间,V值不一定不变。 E
例如：无限大均匀带电平面的一侧，电场强度各处
均相等，而与平面距离不相等的各点的电势是不相
等；与大平面距离相等的各点的电势是相等的。
0
,,
2 n
VVE C E e C
nn
?
?
??? ? ? ? ? ?
??
～ V沿 有变化。 ne
0,0,VEVn????只有当 不变。
(4) 值相等的曲面上,V值不一定相等 E
答,对。如上题 (3)中，任取一曲面，在该曲面上
值相等,V是不一定相等的。但如电荷均匀分布的球
面，在与它同心的球面上 值相等，且 V值也相等。
E
E
(5)V值相等的曲面上,值不一定相等。 E
答,对。 V值相等的曲面是等势面，在等势面上各点
场强不一定是相等的，这还要看某点邻近的电势分布
而定。
例如，电偶极子的电场中，在偶极子连线的中垂面是
一等势面，求出在这一等势面上各点场强是不相等的。
(参见 P45 例 2)
而由上例 (4)知在均匀带电球面的电场中，等势面上
各点的场强大小相等。
3
0
1
4
pE
y???
场点到偶极子连线中点的距离
4.在无限大带电平面和无限长带电直线的电场中，确
定场中各点电势 V时，能否选无穷远处为电势零点?
答,不能。 无限大平面,0,V
? ?
02
E ???
a aaV E d l E d l E
??? ? ? ? ? ? ??? ～无法确定。
?
q
?
a??
P
6.在与面电荷密度为 的无限大均
匀带电平板相距为 a处有一点电荷 q，求
点电荷 q至平板垂线中点 P处的电势。
Q
S? ?
有人用电势叠加法计算 P点电势,
0 0 0 0
11
4 2 2 2 42P
q a q aV
a a
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
对不对？
答,不对。分别选择了两个不同电势零点计算。
q为 而后一项以平板上一点 V=0。
由于零点不同，不能相加。
0,V ? ?
?
q
?
a??
P
正确的解法,是选共同零点，选取 q
所在点为坐标原点 0。连接 OP并延长
之为 x轴。
? ?
O a
x
?选 x=a处即大平板上一点为电势零点。
?任一点 x处的场强由点电荷 q及带电
大平板的场叠，即
2
00
1
42x
qE
x
?
? ? ???
2
22 00
1()
42
a a a
Px aaP
qV E d l E d x d x
x
?
? ? ?? ? ? ? ?? ? ?
00
1
44
qa
a
?
? ? ???
?
R
y
xo
? EEq ?? ?? dd
思路：叠加法
例 1 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度。
E?d
qd
解,①
2
04
r
dq Rd
dq
dE e
R
??
??
?
?
?d
?① 均匀带电，线密度为
三、计算题
?② 上半部带正电，下半部带负电，线密度为
??? s in0?③ 非均匀带电，线密度为
～与 P51习题 8-6类似。
?
R
y
xo
?
E?d
qd
?d
RR
EEE
xx
0
0
0
24
ds i n
s i ndd
??
?
??
???
?
?
???
?????
R
iE
o
02 ??
?
??
??
用分量叠加，由对称性,
0yyE d E???E??d
q?d
?
y
x
R
?
?d
E?d
qd
o
?? E??d
q?d
解：②
2
04
r
dq Rd
dq
dE e
R
??
??
?
?
对称性分析与 ① 有何不同？
0xxE d E???
2
0
/2
000
2 c os
c os
2
42
yy
E d E d E
d
RR
?
?
?
? ? ? ?
?? ??
? ? ?
??
??
?
R
j
E
o
0
2 ??
?
?
? ?
??
有无对称性？
)-s in (s in ??? ?
0d ???? yy EE
2
0
000
sin dd
48x
iE i E i
RR
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ???
解,③
0
2
0
sin ;
4
r
dq R d
dq
dE e
R
? ? ? ? ?
??
??
?
?
R
y
xo
?
E?d
qd
?d
E??d
q?d
例 2 (P51 习题 8-7) 求均匀带电半球面 (已知 R,?) 球
心处电场。
思考, (1) 用哪种方法求解?
(2)?d ?q
叠加法,d q d E d E?? ?
对否？
2d q d S y d x? ? ?? ? ? ?
2
2 c o s
d q y d l
R R d
??
? ? ? ?
??
? ? ?
╳
√
x
R
?
o
y
将半球面视为由许多圆环拼成。
E?d xxo? x
y
R
ld
(3) 的大小，方向？ E?d
?
?
???
??
?
??
d
2
s i nc os
4
ds i n
)(4
d
d
0
3
0
22
0
2
3
??
?
?
R
qR
xy
qx
E
沿 方向 。 x?
(4) 能不能由 直接积分？ 积分限如何确定？ Ed
因为各圆环在 o 点处 同向,可直接积分 。
E?d
0
0
0
0 4d2
s i nc o sd 2
?
??
?
???? ??? ? ?EE 沿 方向 。 x?
E?d xxo? x
y
R
ld
思考：①选用哪种方法求解更方便？
R
?
o
② 选高斯面？
例 3,求半径 R,电荷体密度
（ 为常数, ）带电球体内外的场强 。 k
rk??
Rr ?
未破坏电场分布的球对称性。
用高斯定理求解方便,
rk??
选高斯面 EqSE
s
???
1d
0
求内?? ??
?
r
Ro
?
S
r
S
? ???s rESE 24d ???
同心球面 S (半径 r )
╳
:Rr ? 22
0 0
2d4d kRrr
r
kVq R R ??? ????
?
?? ? ?? 内
:Rr ? 22
0 0
2d4d krrr
r
kVq r r ??? ????
?
?? ? ?? 内
r
r?d
Ro
?
S
r?
24kd q d V r d r
r
?? ??? ? ?
?
34
3i
q V r
r
???? ? ? ?? 对否？
i
in
q ??③
④ 电场强度的大小，方向？
由高斯定理,1d
0
?? ?? 内qSEs ???
14
0
2 ???
内qrE ??
总效果 大小为恒量 inE
⑤ 对结果的定性理解,
2
inqr? 2
1
r
E ?
得,
沿径向 2
0
2
0
2
2
r
R
E
?
?
?
?
?
?
外
内
r
r?d
Ro?
S
r?
o R r
E
02?
?
2
1r?
例 4,(P53习题 8-17)在半径 R1,体电荷密度 ? 的均匀带电
球体内挖去一个半径 R2的球形空腔。空腔中心 o2与带电
球体中心 o1 相距为 a [(R2+ a )< R1],
求空腔内任一点电场 。
思考,(1) 选用何种方法求解？
挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？补偿法！
所求场强 而, 均可由高斯定理求出。
21 EEE P
??? ?? 1E
? 2E?
半径 R 1均匀带电实心球体在 P点的场强,
半径 R 2均匀带电实心球体在 P点的场强,2E?
1E?
1o
1R
? 2o
a 2R
P1r? 1
E?2E?
2r?
(2) 作高斯面 求, 21,SS 21,EE ??
0
1
1 3?
? rE ?? ? 31
0
2
11 3
414 rrE ??
?? ???
3
2
0
2
22 3
414 rrE ??
?? ???
0
2
2 3?
? rE ?? ?
0
21
0
21 3)(3 ?
?
?
? arrEEE
P
??????
?????
1o
1R
? 2o
a 2R
E?
腔内为平行于
的均匀电场！
aoo ??21
1o
1R
? 2o
a 2R
P1r?
1E
?
2E
?
2r?
1s
2s
(3) 思考,请总结获得均匀电场的方法
?
02?
??E
E?
?? ??
0?
??E
……
1o
1R
? 2o
a 2R
E?
R
?
例 5,求无限长均匀带电圆柱体 电势分布。 ),( ?R
解,场强积分法,
先由高斯定理求电场分布,
0
1d2
in
is
S
E S E r h q?
?
? ? ? ? ??
2
ir R q R h??? ? ??
2
02
RE
r
?
?
?2 径向
2 ir R q r h??? ? ?? 1
02
rE ?
?
? 径向
选高 h 半径 r 的同轴圆柱面
为高斯面 S
R
?h
R
S
? r
令 r = 0 处 V= 0,沿径向积分
00
1
0
d( ) d
2rr
rrV r R E r ?
?
?? ? ? ???
? ???
0
0
2
0 4
d
2 r
rrr
?
?
?
?
0
2
0
2
4ln2 ?
?
?
? R
r
RR ??
0
1( ) d d
R
rR
V r R E r E r? ? ? ? ???2
h
R
S
? r
????
0
00
2
2
d
2
d
R
R
r
rr
r
rR
?
?
?
?
r
1?
r?
对数曲线
2r?
E
ro
V
R
例 6,电量 q均匀分布在长为 2L的细棒上 。求,
(1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处 P点的电势 。
(2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势。
L? o L?q
Pa
b? x? ??
?
'P
y 解,叠加法 将带电细棒视为点电荷集合
1
222
0
8 ( )
L
P L
qdxV d V
L x a???
??
??? a
LaL
L
q 22
0
ln4 ??? ??
(1)
04
dqdV
r???
1 222
0
8 ( )
qdx
L x a??
?
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xLqq d2d ? 0V ? ?令
qd
r
0
0
4 ( )
8 ( )
dq
dV
bx
qdx
L b x
??
??
?
?
?
?
'
0
8 ( )
L
P L
qdxV d V
L b x???
??
???
Lb
Lb
L
q
?
?? ln
8 0??
L? o L?q b? x? ?? 'P
y
qd
(2) 求细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势
作业,P53 8-15
8-16 8-27
