q
一、静电场力做功：与路径无关～静电场力是保守力
用库仑定律和叠加原理证明
c o sre d l d l d r?? ? ?
§ 8-6 静电场的环路定理 电势能
① 点电荷的场中移动点电荷
从 到,电场做的功,
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0
1
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点电荷 从 A 到 B 点，
电场所做的功为,o
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44
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Br
B
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A
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② 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成的点电荷系。
12 nE E E E? ? ? ?
0 1 0 2 0 nl l lq E d l q E d l q E d l? ? ? ? ? ?? ? ?
?结论,静电场力作功，仅与试验电荷电量及路径
的起点和终点的位置有关，而与路径的形状无
关 ～静电场力为保守力。
～上式中每一项都与路径无关，所以它们的代数和
也必然与路径无关。
由场强叠加原理,
?任意点电荷系的电场力所作的功，等于组成此点电
荷系的各点电荷的电场力所作功的代数和，即
0 0 1 2() nllW q E d r q E E E d l? ? ? ? ? ? ???
?静电场的保守性表述为,
静电场中，场强沿任意闭合路径
的线积分等于零 ～称为静电场的
环路定理或环流定理。
二、静电场的环路定理
? ??L ldE 0??
?运动电荷的场不是保守场,而是
非保守场，将在磁场部分讨论。
(Circuital theorem of electrostatic field)
?静电场力为保守力, 0
L F d l??? 0
F q E?
静电场为保守场
三、电势能
静电力将电荷 从电场中 点移
到 点静电场力做正功时，静电
场的电势能减少。
0q
A
B
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Br
B
A
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B
A B p A p B p AW E E E q E d l? ? ? ? ? ? ??
?若选 在点 B处的电势能为零，即
，则有,0q 0pBE ?
0
B
pA AE q E d l???
～试验电荷 在电场中某点处的电势能，在数值上
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。 0
q
?通常规定无限远处为电势能零点（ ） 0
pE ? ?
0pA AE q E d l
????
?在国际单位制中，电势能的单位,焦耳，符号为 J
一、电势
?定义,
A AV E d l
????
场点 A的电势为,将单位正电荷从 A点沿任意路径
移到电势为零的点时，静电力所做的功。
§ 8-7 电势 (electric potential)
?依电势能（ ） 0
pE ? ?
0pA AE q E d l
????
0
pA
A
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E d l
q
?
???
?当电荷只分布在有限区域时，
零点通常选在无穷远处。
～与场中试验电荷 无关，描述了静电场中 A
点的性质的物理量。
0q
?注意,
① 电势为标量，仅有大小、正负之分，而无方向可言。
② 取决于,不能认为仅取决于 A点的电场
强度 。 A
V
A E d l
? ??
E
() BA B A B B A AU V V V V E d l? ? ? ? ? ? ??
二、电势差
定义：静电场中 A,B两点的电势差，在数值上等于
把单位正试验电荷从点 A移到点 B时，静电场力所作
的功。
?静电力将电荷 从电场中 点移到 点静电场力
作的功为,
q A B
( ) ( )BA B A B A B B AAW q E d l q U q V V q V V? ? ? ? ? ? ? ??
?电势与电势的零点选取有关；而电势差与电势的零
点选取无关。
① 电场力 对 作正功
ABVV? 0ABW ? F q?
② 电场力 对 作负功
ABVV? 0ABW ? F q?
③ 电场力 对 不作功
ABVV? 0ABW ? F q?
?电势差和电势的单位相同
?在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。任何
导体接地后，就认为它的电势也为零。
也称为, 伏特 (Volt,V)
国际单位制 (SI制 )单位为：焦耳 /库仑 记作, 1JC??
111J C V???
二、点电荷的电场的电势
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r
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～用场强分布和电势的定义直接积分。
?电势的正负与源电荷 q正负有关
② 负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电
势越高。
① 正点电荷周围的场电势为正，离电荷越远，电
势越低。
?场强总是从电势高处指向电势低处 。
三、电势的叠加原理
由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。
12()AiAA
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当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元
组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电
势的叠加就是总的电势。可写为,
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ii A
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表述,一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
表达式,
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?电荷体密度为 的
带电体产生的电势,
?
?电荷面密度为 的
带电体产生的电势,
?
?电荷线密度为 的
带电体产生的电势,
?
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1
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r
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四、电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
① 确定 分布 E?
② 选零势点和便于计算的积分路径
③ 由电势定义
dAB
A
V E l V? ? ??
B
注意,
?若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。 E?
?选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
一般,场源电荷有限分布,选 0V
? ?
场源电荷无限分布,不选 0V
? ?
许多实际问题中选
0V ?地 球2,叠加法
① 将带电体划分为电荷元 dq
② 选零势点，写出 在场点的电势 dVdq
③ 由叠加原理,
0
1()
4
dqV V r
r???? ?
04
dqdV
r??
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P37 例 1 如图，正电荷 q均匀地分布在半径为 R的细
圆环上，计算在环的轴线上与环心 O相距为 x处点 P的
电势。
在圆环上取点电荷,
令
dq
0V? ?
解,
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2
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0
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14 qR??
xPxo
R
Q
?P38 计算一均匀带电 Q薄圆盘，在通过盘心且垂直
盘面的轴线上任意点的电势。
22xr?
把圆盘分成许多个小圆环。
2 2
Qd q d S rd r
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解,
1 222
0
1
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dqdV
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dr
r半径为 r，宽为 dr的小圆环的电荷为
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2
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P39 例 2.求均匀带电球面的电场中的电势分布。
令 沿径向积分 0V
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22 3
0
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解,由高斯定理
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2
恒 量
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U均匀带电球面内电势与球面处电
势相等,
球面外电势与电量集中于球心的
点电荷情况相同。
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1
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qV
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例 3,无限大均匀带电平面 场中电势分布。 ??
? ? ? xaoa ?
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电场分布
),( 0
)(
0
axax
axa
E
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????
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电荷无限分布，在有限远处选零势点,令,
沿 轴方向积分。 0oV ?x
0
00
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a
xa
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解,
xaoa?
V
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0
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x
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,区域ax ?
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d d
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a
xa
V E x E x
a
a
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??
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? ? ? ? ?
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— 曲线如图 Vx
0?
?a?
0?
?a
作业, P55 8-26
1.定义,
～将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫做 等
势面 。即 的空间曲面称为等势面。 (,,)V V x y z C??
一、等势面
§ 8-8 电场强度与电势梯度
?等势面上的任一曲线叫做 等势线 或 等位线
。 2.等势面的性质,
证明：因为将单位正电荷从等势面上 M 点
移到 N 点，电场力做功为零，而路径不为
零
c o s 0MNd W E d l E d l ?? ? ? ?
0?dl
对任何静 电场,电场线与等势面正交 。
ld?
M
N
E?
2/?? ??
?电场线的方向指向电势降落的方向。
沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。
? 为了能使等势面表示出电场的强弱，规定,两个相
邻等势面的电势差相等
q? q?
结论,
② 静 电场，电场线是与等势面正交的线族。
① 静 电场中，沿着等势面移动电荷时，电场力
做功为零；
?等势面较密集的地
方，场强较大。
?等势面较稀疏的
地方，场强较小。
二、电场强度与电势梯度
()ABV V V V V V? ? ? ? ? ? ? ?
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B
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0V?? A,B两点的间距：,则有,l?
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若 0l??
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沿着场强方向，电势由高 → 低；逆着场强方向，电势由低 → 高
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考虑特定方向，等势面的法向
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?直角坐标系,(,,)V V x y z?;x VE x????
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定义,
～标量函数的梯度 (gradient)运算符
～场强等于电势梯度的负值。
()E i j k V g r a d V V
x y z
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?电势 V是标量，与矢量 相比,V比较容易计算。 E
～实际计算时，先计算电势 V，再用上式来求出
电场强度 E
? 的单位：伏特 /米,E 1()Vm ??
1伏特 /米 =1牛顿 /库仑
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P45 例 2 计算电偶极子场中任一点 A的电势和电场强度
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解,①求 电偶极子场中 A点的电势
其电偶极矩为,
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当 可做如下近似,
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② 由电偶极子的电势公式，求其电场的分布。
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～电偶极子中垂线上一点的场强。
～电偶极子联线上一点的场强。
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作业, P55
8-28 8-29
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1.外电场为匀强电场时的情况
一、外电场对电偶极子的力矩和取向作用
§ 8-9 静电场中的电偶极子
?作用在电偶极子上的合力为
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?电偶极子所受的力矩,
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电偶极子的电偶极矩为,
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～电偶极子将作顺时针转动
讨论,
② 当 时 ???
① 当 时,0??
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～电偶极子的稳定平衡位置
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～电偶极子处于非稳定平衡
只要稍微偏离此处,0 / /,0M p E ?? ? ?
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2.外电场为非匀强电场时的情况
?作用在电偶极
子上的合力为, 0F F F q E q E? ? ? ?? ? ? ? ?
～在非均匀电场中，电偶极子不仅要转动，而且
还会在电场力作用下发生移动。
外电场为匀强电场时，电偶极子的电势能,
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
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pE p E? ? ? ?讨论,
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～电偶极子的稳定平衡位置
① 当 时,0??
//,pE 0M ?
② 当 时
2
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③ 当 时 ??? //,pE? 0M ?
～电偶极子处于非稳定平衡
0pE ?
pE p E m a x??
?从能量的观点,能量越低，系统的状态越稳定。
结论,在电场中的电偶极子，一般情况下总具有使自
己的电偶极矩转向与外电场强度方向平行的趋势。
一、静电场力做功：与路径无关～静电场力是保守力
用库仑定律和叠加原理证明
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§ 8-6 静电场的环路定理 电势能
① 点电荷的场中移动点电荷
从 到,电场做的功,
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点电荷 从 A 到 B 点，
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② 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体，可看成是由无数电荷元组成的点电荷系。
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0 1 0 2 0 nl l lq E d l q E d l q E d l? ? ? ? ? ?? ? ?
?结论,静电场力作功，仅与试验电荷电量及路径
的起点和终点的位置有关，而与路径的形状无
关 ～静电场力为保守力。
～上式中每一项都与路径无关，所以它们的代数和
也必然与路径无关。
由场强叠加原理,
?任意点电荷系的电场力所作的功，等于组成此点电
荷系的各点电荷的电场力所作功的代数和，即
0 0 1 2() nllW q E d r q E E E d l? ? ? ? ? ? ???
?静电场的保守性表述为,
静电场中，场强沿任意闭合路径
的线积分等于零 ～称为静电场的
环路定理或环流定理。
二、静电场的环路定理
? ??L ldE 0??
?运动电荷的场不是保守场,而是
非保守场，将在磁场部分讨论。
(Circuital theorem of electrostatic field)
?静电场力为保守力, 0
L F d l??? 0
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静电场为保守场
三、电势能
静电力将电荷 从电场中 点移
到 点静电场力做正功时，静电
场的电势能减少。
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?若选 在点 B处的电势能为零，即
，则有,0q 0pBE ?
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～试验电荷 在电场中某点处的电势能，在数值上
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。 0
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?通常规定无限远处为电势能零点（ ） 0
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?在国际单位制中，电势能的单位,焦耳，符号为 J
一、电势
?定义,
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场点 A的电势为,将单位正电荷从 A点沿任意路径
移到电势为零的点时，静电力所做的功。
§ 8-7 电势 (electric potential)
?依电势能（ ） 0
pE ? ?
0pA AE q E d l
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A
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?当电荷只分布在有限区域时，
零点通常选在无穷远处。
～与场中试验电荷 无关，描述了静电场中 A
点的性质的物理量。
0q
?注意,
① 电势为标量，仅有大小、正负之分，而无方向可言。
② 取决于,不能认为仅取决于 A点的电场
强度 。 A
V
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() BA B A B B A AU V V V V E d l? ? ? ? ? ? ??
二、电势差
定义：静电场中 A,B两点的电势差，在数值上等于
把单位正试验电荷从点 A移到点 B时，静电场力所作
的功。
?静电力将电荷 从电场中 点移到 点静电场力
作的功为,
q A B
( ) ( )BA B A B A B B AAW q E d l q U q V V q V V? ? ? ? ? ? ? ??
?电势与电势的零点选取有关；而电势差与电势的零
点选取无关。
① 电场力 对 作正功
ABVV? 0ABW ? F q?
② 电场力 对 作负功
ABVV? 0ABW ? F q?
③ 电场力 对 不作功
ABVV? 0ABW ? F q?
?电势差和电势的单位相同
?在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。任何
导体接地后，就认为它的电势也为零。
也称为, 伏特 (Volt,V)
国际单位制 (SI制 )单位为：焦耳 /库仑 记作, 1JC??
111J C V???
二、点电荷的电场的电势
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～用场强分布和电势的定义直接积分。
?电势的正负与源电荷 q正负有关
② 负点电荷周围的场电势为负，离电荷越远，电
势越高。
① 正点电荷周围的场电势为正，离电荷越远，电
势越低。
?场强总是从电势高处指向电势低处 。
三、电势的叠加原理
由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。
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A
当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元
组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电
势的叠加就是总的电势。可写为,
04
i
ii A
i
qV E d l
r??
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04
i
A
i i
qV
r??
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表述,一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
表达式,
0
1()
4
dqV V r
r???? ?
0
1
4 V
dVV
r
?
??? ?
0
1
4 S
dSV
r
?
??? ?
?电荷体密度为 的
带电体产生的电势,
?
?电荷面密度为 的
带电体产生的电势,
?
?电荷线密度为 的
带电体产生的电势,
?
0
1
4 l
dlV
r
?
??? ?
四、电势的计算（两种基本方法）
1.场强积分法（由定义求）
① 确定 分布 E?
② 选零势点和便于计算的积分路径
③ 由电势定义
dAB
A
V E l V? ? ??
B
注意,
?若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。 E?
?选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
一般,场源电荷有限分布,选 0V
? ?
场源电荷无限分布,不选 0V
? ?
许多实际问题中选
0V ?地 球2,叠加法
① 将带电体划分为电荷元 dq
② 选零势点，写出 在场点的电势 dVdq
③ 由叠加原理,
0
1()
4
dqV V r
r???? ?
04
dqdV
r??
?
P37 例 1 如图，正电荷 q均匀地分布在半径为 R的细
圆环上，计算在环的轴线上与环心 O相距为 x处点 P的
电势。
在圆环上取点电荷,
令
dq
0V? ?
解,
1
2
0
0
22
0
4
1
4 ()
q dq
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r
q
Rx
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r
R
dq
x
V
o
1 2220
14 ()qRx?? ?
0
14 qR??
xPxo
R
Q
?P38 计算一均匀带电 Q薄圆盘，在通过盘心且垂直
盘面的轴线上任意点的电势。
22xr?
把圆盘分成许多个小圆环。
2 2
Qd q d S rd r
R?????
解,
1 222
0
1
4 ()
dqdV
rx??? ?
dr
r半径为 r，宽为 dr的小圆环的电荷为
11
222 2 2 20
00
22
0
1 1 2
44 ( ) ( )
()
2
Rd q r d r
V
r x r x
x R x
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?
?
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??
? ? ?
??
P39 例 2.求均匀带电球面的电场中的电势分布。
令 沿径向积分 0V
? ?
22 3
0
0
d
d
4
1
4
Pr
q r r
V E r
r
q
rr
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解,由高斯定理
1
2 3
0
= 0 ( )
( )
4
E r R
E qr
E r R
r??
?
?
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q
o Pr?
E?
o
21r?
r
E
R
R
q
o Pr?
E?
o
21r?
E
R
P?
r
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11
3
00
d d d
d
44
R
RPP
R
V E r E r E r
q r r q
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?
2
恒 量
r1?
rRo
Rq04??
U均匀带电球面内电势与球面处电
势相等,
球面外电势与电量集中于球心的
点电荷情况相同。
0
1
4
qV
rr??
??2
例 3,无限大均匀带电平面 场中电势分布。 ??
? ? ? xaoa ?
?? ??
电场分布
),( 0
)(
0
axax
axa
E
???
????
? ?
?
电荷无限分布，在有限远处选零势点,令,
沿 轴方向积分。 0oV ?x
0
00
V d d 0 ( )
a
xa
ax a E x E x a??
??
?
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? ? ? ? ? ? ? ? ???：
解,
xaoa?
V
? ? ? xaoa ?
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0
00
d ( ) ( )
x
xV E x x??
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,区域ax ?
0
00
d d
0 ( ) ( )
a
xa
V E x E x
a
a
??
??
??
? ? ? ? ?
??
— 曲线如图 Vx
0?
?a?
0?
?a
作业, P55 8-26
1.定义,
～将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫做 等
势面 。即 的空间曲面称为等势面。 (,,)V V x y z C??
一、等势面
§ 8-8 电场强度与电势梯度
?等势面上的任一曲线叫做 等势线 或 等位线
。 2.等势面的性质,
证明：因为将单位正电荷从等势面上 M 点
移到 N 点，电场力做功为零，而路径不为
零
c o s 0MNd W E d l E d l ?? ? ? ?
0?dl
对任何静 电场,电场线与等势面正交 。
ld?
M
N
E?
2/?? ??
?电场线的方向指向电势降落的方向。
沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。
? 为了能使等势面表示出电场的强弱，规定,两个相
邻等势面的电势差相等
q? q?
结论,
② 静 电场，电场线是与等势面正交的线族。
① 静 电场中，沿着等势面移动电荷时，电场力
做功为零；
?等势面较密集的地
方，场强较大。
?等势面较稀疏的
地方，场强较小。
二、电场强度与电势梯度
()ABV V V V V V? ? ? ? ? ? ? ?
l
VE
l
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cosABV V E l E l ?? ? ? ? ? ?
E?
B
A
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V
I
VV??
II
邻近等势面：,I II,V V V??电势,
0V?? A,B两点的间距：,则有,l?
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c o slEE ??
lV E l? ?? ? ?
若 0l??
0
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l
VVE
ll
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沿着场强方向，电势由高 → 低；逆着场强方向，电势由低 → 高
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VEE
n
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VE E e e
n
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考虑特定方向，等势面的法向
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B
A
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V
I
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II
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ne
?直角坐标系,(,,)V V x y z?;x VE x????
()x y z V V VE E i E j E k i j k
x y z
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y
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?
?? z VE
z
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g r a d i j k
x y z
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? ? ? ? ?
定义,
～标量函数的梯度 (gradient)运算符
～场强等于电势梯度的负值。
()E i j k V g r a d V V
x y z
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?电势 V是标量，与矢量 相比,V比较容易计算。 E
～实际计算时，先计算电势 V，再用上式来求出
电场强度 E
? 的单位：伏特 /米,E 1()Vm ??
1伏特 /米 =1牛顿 /库仑
0p q r?
P45 例 2 计算电偶极子场中任一点 A的电势和电场强度
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A
x
y
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解,①求 电偶极子场中 A点的电势
其电偶极矩为,
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qV
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q? 在 A点产生的电势,
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q? 在 A点产生的电势,
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00 c o srrp e q r e q r ?? ? ? ?
当 可做如下近似,
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lr ??当 可做如下近似,
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② 由电偶极子的电势公式，求其电场的分布。
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已知电偶极
子的电势为,
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～电偶极子中垂线上一点的场强。
～电偶极子联线上一点的场强。
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作业, P55
8-28 8-29
E
1.外电场为匀强电场时的情况
一、外电场对电偶极子的力矩和取向作用
§ 8-9 静电场中的电偶极子
?作用在电偶极子上的合力为
M p E? ? ?
00s i n s i n s i nM F r q E r p E? ? ??? ? ? ? ?
?电偶极子所受的力矩,
0F F F q E q E??? ? ? ? ?
?
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q?
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电偶极子的电偶极矩为,
F qE??
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～电偶极子将作顺时针转动
讨论,
② 当 时 ???
① 当 时,0??
//,pE 0M ?
～电偶极子的稳定平衡位置
//,pE? 0M ?
～电偶极子处于非稳定平衡
只要稍微偏离此处,0 / /,0M p E ?? ? ?
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2.外电场为非匀强电场时的情况
?作用在电偶极
子上的合力为, 0F F F q E q E? ? ? ?? ? ? ? ?
～在非均匀电场中，电偶极子不仅要转动，而且
还会在电场力作用下发生移动。
外电场为匀强电场时，电偶极子的电势能,
二、电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
0
0
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y
pE p E? ? ? ?讨论,
pE p E m i n? ? ?
～电偶极子的稳定平衡位置
① 当 时,0??
//,pE 0M ?
② 当 时
2
?? ?,pE? 0M m a x??
③ 当 时 ??? //,pE? 0M ?
～电偶极子处于非稳定平衡
0pE ?
pE p E m a x??
?从能量的观点,能量越低，系统的状态越稳定。
结论,在电场中的电偶极子，一般情况下总具有使自
己的电偶极矩转向与外电场强度方向平行的趋势。
