静电场中的导体和电介质 习题课
一、教学要求
1.理解导体静电平衡的条件。
2.掌握 导体达到静电平衡后，导体 电荷分布的计算。
s u r f a c eE s u r f a ce ??
② 导体表面邻近处的 场强
必定和导体表面垂直 。
0?i n si d eE?① 导体内部场强处处为零
或, ① 导体是等势体。 ② 导体表面是等势面。
① 导体内处处净电荷为零,0in s id eq ?
o
E ?
?
?
② 导体表面邻近处的场强,
3.掌握有导体存在时的电场分布的计算。
计算有导体存在时的静电场分布的基本依据,
① 导体静电平衡条件；
② 电荷守恒定律；
③ 高斯定理。
对各向同性电介质,
0 ( 1 )rPE????
'??nP
4.理解电位移矢量 的定义。 D
0D E P???
0 rDE???
5.确切理解有电介质的高斯定理，并能利用它求解
有电介质存在时具有一定对称性的电场问题。
平行板电容器,
0 e
SSV
D d S q d V?? ? ????
～静电场有电介质时的高斯定理
6.理解电容的定义，掌握汁算简单电容器和电容器组
的电容的方法。
电容的定义,
U
qC ?
并联电
容器组
0 r SC
d
???
串联电
容器组 ??
i
iCC
??
i iCC
11
7.掌握电容器的电能公式并能计算电容器的能量。
8.理解电场能量密度的概念并会计算电荷系的静电能。
电容器的能量,
2
211
2 2 2e
QW C U Q U
C? ? ?
2
0
11
22erw E D E??? ? ?
电场的能量密度,
电荷系的静电能,
2
0
2
r
ee
EW w d V d V??????
二、讨论题,
1.将一个带电 +q半径为 RB的大导体球 B移近一个半径为
RA而不带电的小导体球 A，试判断下列说法是否正确？
并说明理由。
(1)B球电势高于 A球。
对。不带电的导体球 A在带
电 +q的导体球 B的电场中，
将有感应电荷分布于表面。
定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电
势逐点降低，又由图看出电场线自导体球月指
向导体球 A，故 B球电势高于 A球。
(2)以无限远为电势零点,A球的电势, UA < 0
不对。若以无穷远处为电势
零点 U∞ ＝ 0，从图可知 A球的
电力线伸向无穷远处。
所以,UA ＞ 0。
对。当 r >> RB,必有 r >> RA,因为 A在 B附近，
这时可将 B球看成点电荷 q,A球的感应电荷也可看
成点电荷，而 A球的感应电荷等量异号，它们在 P点
产生的场强大小相等方向相反，不必计算。
2
0
1
4P
qE
r????
(3)带电的 B球在 P点的场强大小等于,
r为 P点距 B球球心的距离，且 r >> RB 。 20
1
4P
qE
r????
所以,P点的场强,
不一定正确。
(4)在 B球表面附近任一点的场强等于
B
o
E ?
?
?
其中,
2 4B
B
q
R? ??
2 4B
B
q
R? ??
B
o
?
?
∵ 导体球 B表面附近的场强虽等于
但 B球表面电荷不一定是均匀分布的。
2 4
B
o o B
qE
R
?
? ? ?
??2 4B B
q
R? ??
若是均匀分
布的,
若不是均匀
分布的,
2 4
B
o o B
qE
R
?
? ? ?
??
2.怎样能使导体净电荷为零,而其电势不为零?
3.怎样使导体有过剩的正 (或负 )电荷，而其电势为零？
4.怎样使导体有过剩的负电荷，而其电势为正？
将不带电的绝缘导体 (与地绝缘并与其它任何带电
体绝缘 )置于某电场中，则该导体有 ∑ q＝ 0而导体
的电势 U≠0 。
将不带电的导体置于负电荷 (或正电荷 )的电场中,
再将该导体接地，然后撤除接地线。则该导体有正
电荷 (或负电荷 )，并且电势为零。
将一带少量负电荷 -q的导体置于另一正电荷 Q(Q>>q)的
电场中，由于 Q>>q,带负电荷的导体并未明显改变原
电场，这时该导体有过剩的负电荷，而其电势为正。
举例说明,
则导体球电势,
P
R
Q
O -q
= P Q qU U U???
11
44oo
Qq
a R a? ? ? ?
?? ? ? ?
?
qQ?? 0PU??
设正电荷 Q处于 O点，将带 -q的导体球置于 P点，导
体球半径为 R，如图
5.已知无限大均匀带电平板，面电荷密度为 ?,
其两侧的场强为 ?/2?0,这个公式对于有限大的
均匀带电面的两侧紧邻处的电场强度也成立。又
已知静电平衡的导体表面某处面电荷密度为 ?,
在表面外紧靠该处的场强等于 ?/?0 。为什么前者
比后者小一半，说明之。
?
S??
?/2?0
?/?0
?/2?0
6.在一个绝缘的不带电的导体球周围做一同心球面的
高斯面，定性讨论将一正电荷 q移向高斯面上 A点的过
程,
（ 1） A点处的场强大小和方向怎样变化？
（ 2） B点处的场强大小和方向怎样变化？
（ 3）过 S面的电通量怎样变化？
o B A
q
电通量不变
+
7.一不接地的球形金属壳不带电，现球心处放一正电
荷 q1，在球壳外放一点电荷 q2，问,
（ 1） q2能否感受 q1的场的作用；
（ 2） q1能否感受电场力的作用；
（ 3） q1在球壳内运动,q2能否感受得到？
若 q1数值变化时又如何？
（ 4） 若将球壳接地以上三问的答案又如何？
q1
q2
（ 1）能
（ 2）不能
（ 3）不能，能
（ 1）不能
（ 2）不能
（ 3）都不能
(4)
8,如图，在电量为 q的点电荷附近，有一细长的圆柱
形均匀电介质棒，则由高斯定理,
q
P
r?
r
2
1
4
qD
r???
可算出 P点的电位
移矢量的大小,
所以,P点场强大小为,
0 rDE???
讨论以上解法是否正确？为什么？
2
1
4oo
DqE
r? ? ?
? ? ?
不正确 。因为自由电荷是点电荷，介质棒在该电场
中极化，极化电荷分布在棒的两端面上，不是对称分
布，故不能用高斯定理求出 D，也求不出 E。
～ 只有当自由电荷及介质分布有一定的对称性,应用
高斯定理，使面积分 中的 能以标量形式
提出来，即可求出 D。 S
D dS??? D
② 另一部分高斯面上 D dS?
① 高斯面上 处处相等 D//dS D
再由 求出 E。
0 rDE???
选取高斯
面 S的原则,
9.电介质在外电场中极化后，两端出现等量异号电荷，
若把它截成两半后分开，再撤去外电场，问这两个半
截的电介质上是否带电?为什么?
不带电。 因为从电介质极化的微观机制看有两类,
① 非极性分子在外电场中沿电场方向产生感应电偶极矩；
② 极性分子在外电场中其固有电偶极矩在该电场作用
下沿着外电场方向取向。
其在外电场中极化的宏观效果是一样的，在电介质的
表面上出现的电荷是束缚电荷，这种电荷不象导体中
的自由电荷那样能用传导的方法引走。
当电介质被裁成两段后撤去电场，极化的电介质又恢
复原状，仍各保持中性。
qC
V?
10.同心金属球壳 A和 B分别带有电荷 q和 Q，已测得 A、
B间电势差为 V，问由 A,B组成的球形电容器的电容值
为何?
据 导体静电平衡条件 及 高斯
定理 可知金属球壳 B的内表面
有 -q电荷，外表面有电荷
(Q+q)。 A
q
B Q
由电容器定义可求,
1.一绝缘导体球不带电，距球心 r 处放一点电荷 q,
求导体电势。
导体为等势体，能求得球心 o处的电势即可。
导体上感应电荷都在球表面，距球心 R
r4
q
R4
q
r4
qU
00
i
0
o ????
?
??
??? ?
电荷守恒
0qs i ?? ?
解,
q
r o
R
三、计算题
2.一球形电容器内、外导体球壳 A和 B的半径 R1和 R3，
两球壳间充满两层球壳形的均匀各向同性介质 ?1,
?2，两介质分层处半径 R2，内球壳带电 Q，外球壳接
地，求,
（ 1）两介质区的电场 E=？
（ 2）四个界面上的束缚面电荷密度 ?=？
（ 3）电容 C=？
R3
R2
R1
?2 ?1
A
B
Q
（ 1）
s
D d S Q????
24 r
QDe
r??
2 2
24
r
QEe
r???
1 2
14
r
QEe
r??
?
解,
R3
R2
R1
?2 ?1
A
B
Q
（ 2）
0()PE????
0' ( )P n E? ? ?? ? ? ? ?
10
1 2
11
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4
Q
R
???
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20
4 2
23
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4
Q
R
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22
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4
Q
R
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??
???
10
2 2
12
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4
Q
R
???
??
??
1'?
2'? 3'?
4'?
（ 3） C=Q/U
23
12
12
1 1 2 2 2 3
1 1 1 1
( ) ( )
44
RR
RR
U E d r E d r
QQ
r r r r? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
1 1 2 2 2 3
4
1 1 1 1 1 1
( ) ( )
C
r r r r
?
??
?
? ? ?
R3
R2
R1
?2 ?1
A
B
Q
3, 在均匀外电场 处，一介质球，半径为 R,
相对介电常数为 ?r，被 均匀极化，求,
（ 1）极化面电荷密度；（ 2）极化球的内部电场；
（ 3）极化强度 （ 4）中垂线距球心 r处电场。
0E
?
P?
E?
P?
R
Pn? ? ??
' c osP???
(1)
(2)
0 'E E E??
球心处由极化电荷产生
电场方向如图。
E?
P? P?
n?
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?? +
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-
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?
'Ed?
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2
000
' c o s s i n
23
PPEd ? ? ? ?
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0
03
P
EE
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2
2
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0
1 2 sin '
' c o s
4
sin c o s
2
Rd
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R
P
d
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0E
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E?
（ 3）
0
003 ( 1 )r
PP
EE
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3 ( 1 )
2
r
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( 1 )orPE????
（ 4）
3
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P
3
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3
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1
r
p
4
1
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?
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?
?
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3
0
3
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P
3
REE
???
?
??
Rr ?
等于球内电场
r E?
P?
R
r
? ?? ?r?pr?3p
r4
1E
3
0
???
????
??
?q ?q
?l
?r
??
r?
P
?r
特殊情况
?连线上，正电荷右侧
一点 P 的场强
P
pp ?? ??r
3
0 r4
p2E
??
??
?
?垂直连线上的一点
0?? p??r
3
0 r4
p
E
??
??
?
?
P?
?r
P?
?r
lqp ?? ?
4.带电为 Q的导体薄球壳（可看成球面）
半径为 R，壳内中心处有点电荷 q，已知球
壳电势为 Ua，则壳内任一点 P 的电势为
r
qUU
aP
04 ??
?? 对不对？
【 解 】 根据电势叠加原理
0044
P
qQU
rR? ? ? ???
q
Q
R
P r
P点的电势为
q
Q
R
P r
0044
P
qQU
rR? ? ? ???
0044
a
QqU
RR? ? ? ???
球壳 的电势为
0044
Pa
qqUU
rR? ? ? ?? ? ? ?
04
Pa
qUU
r??
??
0044
a
qQU
RR? ? ? ???
为什么不对？
原来 Ua并不是 Q单独存在时的电势。
0044
a
qQU
RR? ? ? ???
Q ?
04aQ U R q??? ? ?
电势叠加,
00
0
00
00
44
4
44
44
P
a
a
qQ
U
rR
U R qq
rR
qq
U
rR
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
??
? ? ?（结果一样）
方法二,
方法三,
R
P P r RU E d l E d l E d l
??? ? ? ? ? ?? ? ?
2
04
R
ar
q d r U
r??
???
0044
a
qq U
rR? ? ? ?
? ? ?
0044
Pa
qqUU
rR? ? ? ?
? ? ?
结论是
（结果相同）
5.今有两个电容值均为 C的电容器，其带
电量分别为 Q和 2Q，求两电容器在并联前
后总能量的变化？
C C +Q +2Q
-2Q -Q 前
C +3Q
-3Q
C 后
【 解 】 并联前
? ? 222
0
2 5
2 2 2
QQQW
C C C
? ? ?
并联后
电容为 2C,
带电量为 3Q
C +Q
-Q
C +2Q
-2Q 后
? ? 2 2
1
319
2 2 4
Q QW
CC
??
2 2 2
01
59
2 4 4
Q Q QW W W
C C C? ? ? ? ? ?
为什么能量减少了？能量到哪里去了？
问题是：并联以后两个电容器上的
电量还是原来的分布吗？
设 C +q
1 -q
1
C +q
2 -q
2
C +q
1 -q
1
C +q
2 -q
2
求 q1,q2,
12 3 ( 1 )q q Q??
12 ( 2 )qq
CC
??
由（ 2）得
12
3
2
q q Q??
由（ 1）得
12qq?
C +1.5Q
-1.5Q
C +1.5Q
-1.5Q
原来是在电量的流动
过程中，电场的能量
损失掉了一些。
R 铜球
?r
6.(P97 习题 9-17)黄铜球浮在相对介电常数为 ?r=3.0
的大油槽中，球的一半浸在油中，球的上半部在空
气中,如图所示。已知球上净电荷为 Q =2.0?10-6C,
（ 1）求球的上、下部分各有多少自由电荷？
（ 2）求下半球表面附近极化电荷的 ?’,q’?
R 铜球
?r
因为铜球是等势体，所以可以看成是空气
中的半球电容器和油为介质的半球电容器
并联,RC
01 2???
RC r??? 01 2?
21 UU ??
21 C
Q
C
Q 下上 ?
R
Q
R
Q
r????? 00 22
下上 ?
（ 1）求球的上、下
部分各有多少
自由电荷？
【 解 】
QQQ ?? 下上
…… (2)
上下 QQ r??
…… (1) 得
可以解得
CQQ
r
6105.0
1
????
?
? ?
?上
C105.1QQ 6r ????? ?上下 ?
（ 2）求下半球表面附近极化电荷的 ?’,q’?
D)
1
1(
D
)1(
E)1(PP
rr0
r0
r0n
???
??
???
??????
???????
?r
R 铜球
S
作半球形高斯面 S 如图,
? ????S 2 Qr2DSdD 下???
2r2
Q
D
?
下?
2
rr R2
Q
)
1
1(D)
1
1(
???
? 下????????
高斯定理
2
2
r
2
R2
R2
Q
)
1
1(
R2q
?
??
??
????
????
下
下Q)
1
1(
r?
???
此 ?’,q’ 即为所求。
2
r R2
Q
)
1
1(
??
? 下?????
就有
下Q)
11(q
r?
????
rr
Q
Q)11(QqQ
??
下
下下下 ??????
可知 qQQ ??? 下上
R Q上
Q下 +q’
讨论,
即把极化电荷也算上,
球的上、下部分带电
情况是相同的。
上下 QQ r??对比
上半空间电场的分布可等效为均匀带电 2Q上
的整个球面在空气中的电场分布,
R 铜球
?r
Q上
Q下 +q’= Q上
R4
Q2
U
0??
上
上 ?
上半球的电势为
2
0 r4
Q2E
??
上
上 ?
R4
Q2
R4
Q2
U
r00 ?????
下上
下 ??
下半空间电场的分布可等效为均匀带电 2Q下
的整个球面浸在油中的电场分布，即
由下半球的电势分布公式，还可以看出,
下半球的电势是一样的,
2
r0 r4
Q2
E
???
下
下 ?
有
下
上
上 Er4
Q2E
2
0
??
??
7.(P95 习题 9-6)一绝缘导体球不带电，距球心 r 处
放一点电荷 +q,金属球半径 R,
求,(1)金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度及
此时导体球的电势。
(2)若将金属球接地，球上的净电荷为何？
导体为等势体，能求得球心 o处的电势即可。
o
解,(1) 如图,
+
+
+
+
q??+q
r? qE?E?
0qEE ?? ??
2
0
4qr
qE E e
r???
?? ? ? ?
q??
-
- -
-
-
导体上感应电荷都在
球表面，距球心 R,
0 0 04 4 4
i
o
qqq
U
r R r? ? ? ? ? ?
?
? ? ??
电荷守恒
? q is? ? 0
o
+
+
+
+
q??+q
r? qE?
q??
-
- -
-
-
E?
0
44 00
????
r
q
R
q
???? qr
Rq ??
接地 即
0U ?
设,感应电量为
o点的电势为 0 则
q??
(2) 若将金属球接地，球上的净电荷为何？
o +q
r?
q??
-
- -
-
-
9。 (P97习题 9-16类似 )一球形电容器内、外导体球壳 A
和 B的半径 R1和 R2，两球壳间充满两层球壳形的均匀各
向同性介质 ?r1,?r2，两介质分层处半径 R，内球壳带
电 Q。求：（ 1）两介质区的
（ 2）介质区的电能密度？
(3) 四个界面上的束缚面电荷密度 ?=？
分布。、、,UPED ???
R2
R
R1
?r2 ?r1
A
B
Q
（ 1）介质区,
QSdDS ??? ??
24 r
QDe
r??
22 2
02
R r R4 r
r
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11 2
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A
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2202 )1( EP r
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2
2
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RR
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介质 1r?
内表面
外表面
介质
2r?
2
2
2
3 4
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Q
r
r
??
?? ???
内表面
2
22
2
4 4
)1(
R
Q
r
r
??
?? ??外表面
一、教学要求
1.理解导体静电平衡的条件。
2.掌握 导体达到静电平衡后，导体 电荷分布的计算。
s u r f a c eE s u r f a ce ??
② 导体表面邻近处的 场强
必定和导体表面垂直 。
0?i n si d eE?① 导体内部场强处处为零
或, ① 导体是等势体。 ② 导体表面是等势面。
① 导体内处处净电荷为零,0in s id eq ?
o
E ?
?
?
② 导体表面邻近处的场强,
3.掌握有导体存在时的电场分布的计算。
计算有导体存在时的静电场分布的基本依据,
① 导体静电平衡条件；
② 电荷守恒定律；
③ 高斯定理。
对各向同性电介质,
0 ( 1 )rPE????
'??nP
4.理解电位移矢量 的定义。 D
0D E P???
0 rDE???
5.确切理解有电介质的高斯定理，并能利用它求解
有电介质存在时具有一定对称性的电场问题。
平行板电容器,
0 e
SSV
D d S q d V?? ? ????
～静电场有电介质时的高斯定理
6.理解电容的定义，掌握汁算简单电容器和电容器组
的电容的方法。
电容的定义,
U
qC ?
并联电
容器组
0 r SC
d
???
串联电
容器组 ??
i
iCC
??
i iCC
11
7.掌握电容器的电能公式并能计算电容器的能量。
8.理解电场能量密度的概念并会计算电荷系的静电能。
电容器的能量,
2
211
2 2 2e
QW C U Q U
C? ? ?
2
0
11
22erw E D E??? ? ?
电场的能量密度,
电荷系的静电能,
2
0
2
r
ee
EW w d V d V??????
二、讨论题,
1.将一个带电 +q半径为 RB的大导体球 B移近一个半径为
RA而不带电的小导体球 A，试判断下列说法是否正确？
并说明理由。
(1)B球电势高于 A球。
对。不带电的导体球 A在带
电 +q的导体球 B的电场中，
将有感应电荷分布于表面。
定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电
势逐点降低，又由图看出电场线自导体球月指
向导体球 A，故 B球电势高于 A球。
(2)以无限远为电势零点,A球的电势, UA < 0
不对。若以无穷远处为电势
零点 U∞ ＝ 0，从图可知 A球的
电力线伸向无穷远处。
所以,UA ＞ 0。
对。当 r >> RB,必有 r >> RA,因为 A在 B附近，
这时可将 B球看成点电荷 q,A球的感应电荷也可看
成点电荷，而 A球的感应电荷等量异号，它们在 P点
产生的场强大小相等方向相反，不必计算。
2
0
1
4P
qE
r????
(3)带电的 B球在 P点的场强大小等于,
r为 P点距 B球球心的距离，且 r >> RB 。 20
1
4P
qE
r????
所以,P点的场强,
不一定正确。
(4)在 B球表面附近任一点的场强等于
B
o
E ?
?
?
其中,
2 4B
B
q
R? ??
2 4B
B
q
R? ??
B
o
?
?
∵ 导体球 B表面附近的场强虽等于
但 B球表面电荷不一定是均匀分布的。
2 4
B
o o B
qE
R
?
? ? ?
??2 4B B
q
R? ??
若是均匀分
布的,
若不是均匀
分布的,
2 4
B
o o B
qE
R
?
? ? ?
??
2.怎样能使导体净电荷为零,而其电势不为零?
3.怎样使导体有过剩的正 (或负 )电荷，而其电势为零？
4.怎样使导体有过剩的负电荷，而其电势为正？
将不带电的绝缘导体 (与地绝缘并与其它任何带电
体绝缘 )置于某电场中，则该导体有 ∑ q＝ 0而导体
的电势 U≠0 。
将不带电的导体置于负电荷 (或正电荷 )的电场中,
再将该导体接地，然后撤除接地线。则该导体有正
电荷 (或负电荷 )，并且电势为零。
将一带少量负电荷 -q的导体置于另一正电荷 Q(Q>>q)的
电场中，由于 Q>>q,带负电荷的导体并未明显改变原
电场，这时该导体有过剩的负电荷，而其电势为正。
举例说明,
则导体球电势,
P
R
Q
O -q
= P Q qU U U???
11
44oo
a R a? ? ? ?
?? ? ? ?
?
qQ?? 0PU??
设正电荷 Q处于 O点，将带 -q的导体球置于 P点，导
体球半径为 R，如图
5.已知无限大均匀带电平板，面电荷密度为 ?,
其两侧的场强为 ?/2?0,这个公式对于有限大的
均匀带电面的两侧紧邻处的电场强度也成立。又
已知静电平衡的导体表面某处面电荷密度为 ?,
在表面外紧靠该处的场强等于 ?/?0 。为什么前者
比后者小一半，说明之。
?
S??
?/2?0
?/?0
?/2?0
6.在一个绝缘的不带电的导体球周围做一同心球面的
高斯面，定性讨论将一正电荷 q移向高斯面上 A点的过
程,
（ 1） A点处的场强大小和方向怎样变化？
（ 2） B点处的场强大小和方向怎样变化？
（ 3）过 S面的电通量怎样变化？
o B A
q
电通量不变
+
7.一不接地的球形金属壳不带电，现球心处放一正电
荷 q1，在球壳外放一点电荷 q2，问,
（ 1） q2能否感受 q1的场的作用；
（ 2） q1能否感受电场力的作用；
（ 3） q1在球壳内运动,q2能否感受得到？
若 q1数值变化时又如何？
（ 4） 若将球壳接地以上三问的答案又如何？
q1
q2
（ 1）能
（ 2）不能
（ 3）不能，能
（ 1）不能
（ 2）不能
（ 3）都不能
(4)
8,如图，在电量为 q的点电荷附近，有一细长的圆柱
形均匀电介质棒，则由高斯定理,
q
P
r?
r
2
1
4
qD
r???
可算出 P点的电位
移矢量的大小,
所以,P点场强大小为,
0 rDE???
讨论以上解法是否正确？为什么？
2
1
4oo
DqE
r? ? ?
? ? ?
不正确 。因为自由电荷是点电荷，介质棒在该电场
中极化，极化电荷分布在棒的两端面上，不是对称分
布，故不能用高斯定理求出 D，也求不出 E。
～ 只有当自由电荷及介质分布有一定的对称性,应用
高斯定理，使面积分 中的 能以标量形式
提出来，即可求出 D。 S
D dS??? D
② 另一部分高斯面上 D dS?
① 高斯面上 处处相等 D//dS D
再由 求出 E。
0 rDE???
选取高斯
面 S的原则,
9.电介质在外电场中极化后，两端出现等量异号电荷，
若把它截成两半后分开，再撤去外电场，问这两个半
截的电介质上是否带电?为什么?
不带电。 因为从电介质极化的微观机制看有两类,
① 非极性分子在外电场中沿电场方向产生感应电偶极矩；
② 极性分子在外电场中其固有电偶极矩在该电场作用
下沿着外电场方向取向。
其在外电场中极化的宏观效果是一样的，在电介质的
表面上出现的电荷是束缚电荷，这种电荷不象导体中
的自由电荷那样能用传导的方法引走。
当电介质被裁成两段后撤去电场，极化的电介质又恢
复原状，仍各保持中性。
qC
V?
10.同心金属球壳 A和 B分别带有电荷 q和 Q，已测得 A、
B间电势差为 V，问由 A,B组成的球形电容器的电容值
为何?
据 导体静电平衡条件 及 高斯
定理 可知金属球壳 B的内表面
有 -q电荷，外表面有电荷
(Q+q)。 A
q
B Q
由电容器定义可求,
1.一绝缘导体球不带电，距球心 r 处放一点电荷 q,
求导体电势。
导体为等势体，能求得球心 o处的电势即可。
导体上感应电荷都在球表面，距球心 R
r4
q
R4
q
r4
qU
00
i
0
o ????
?
??
??? ?
电荷守恒
0qs i ?? ?
解,
q
r o
R
三、计算题
2.一球形电容器内、外导体球壳 A和 B的半径 R1和 R3，
两球壳间充满两层球壳形的均匀各向同性介质 ?1,
?2，两介质分层处半径 R2，内球壳带电 Q，外球壳接
地，求,
（ 1）两介质区的电场 E=？
（ 2）四个界面上的束缚面电荷密度 ?=？
（ 3）电容 C=？
R3
R2
R1
?2 ?1
A
B
Q
（ 1）
s
D d S Q????
24 r
QDe
r??
2 2
24
r
QEe
r???
1 2
14
r
QEe
r??
?
解,
R3
R2
R1
?2 ?1
A
B
Q
（ 2）
0()PE????
0' ( )P n E? ? ?? ? ? ? ?
10
1 2
11
()'
4
Q
R
???
??
???
20
4 2
23
()'
4
Q
R
???
??
??203 2
22
()'
4
Q
R
???
??
???
10
2 2
12
()'
4
Q
R
???
??
??
1'?
2'? 3'?
4'?
（ 3） C=Q/U
23
12
12
1 1 2 2 2 3
1 1 1 1
( ) ( )
44
RR
RR
U E d r E d r
r r r r? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
1 1 2 2 2 3
4
1 1 1 1 1 1
( ) ( )
C
r r r r
?
??
?
? ? ?
R3
R2
R1
?2 ?1
A
B
Q
3, 在均匀外电场 处，一介质球，半径为 R,
相对介电常数为 ?r，被 均匀极化，求,
（ 1）极化面电荷密度；（ 2）极化球的内部电场；
（ 3）极化强度 （ 4）中垂线距球心 r处电场。
0E
?
P?
E?
P?
R
Pn? ? ??
' c osP???
(1)
(2)
0 'E E E??
球心处由极化电荷产生
电场方向如图。
E?
P? P?
n?
n?
?? +
'?
-
?
'E?
?
'Ed?
'?
2
000
' c o s s i n
23
PPEd ? ? ? ?
??
? ? ? ??
0
03
P
EE
?
??
2
2
0
2
0
1 2 sin '
' c o s
4
sin c o s
2
Rd
dE
R
P
d
? ? ? ?
?
??
? ? ?
?
??
?? 'E?
?
'Ed?
'?
0E
?
E?
（ 3）
0
003 ( 1 )r
PP
EE
? ? ?
? ? ?
?
0
0
3 ( 1 )
2
r
r
PE??
?
??
? 0
3
2r
EE
?
?
?
( 1 )orPE????
（ 4）
3
0
3
3
3
0
3
0
r
r
P
3
R
r
PR
3
4
4
1
r
p
4
1
E
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
3
0
3
0 r
P
3
REE
???
?
??
Rr ?
等于球内电场
r E?
P?
R
r
? ?? ?r?pr?3p
r4
1E
3
0
???
????
??
?q ?q
?l
?r
??
r?
P
?r
特殊情况
?连线上，正电荷右侧
一点 P 的场强
P
pp ?? ??r
3
0 r4
p2E
??
??
?
?垂直连线上的一点
0?? p??r
3
0 r4
p
E
??
??
?
?
P?
?r
P?
?r
lqp ?? ?
4.带电为 Q的导体薄球壳（可看成球面）
半径为 R，壳内中心处有点电荷 q，已知球
壳电势为 Ua，则壳内任一点 P 的电势为
r
qUU
aP
04 ??
?? 对不对？
【 解 】 根据电势叠加原理
0044
P
qQU
rR? ? ? ???
q
Q
R
P r
P点的电势为
q
Q
R
P r
0044
P
qQU
rR? ? ? ???
0044
a
QqU
RR? ? ? ???
球壳 的电势为
0044
Pa
qqUU
rR? ? ? ?? ? ? ?
04
Pa
qUU
r??
??
0044
a
qQU
RR? ? ? ???
为什么不对？
原来 Ua并不是 Q单独存在时的电势。
0044
a
qQU
RR? ? ? ???
Q ?
04aQ U R q??? ? ?
电势叠加,
00
0
00
00
44
4
44
44
P
a
a
U
rR
U R qq
rR
U
rR
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
??
? ? ?（结果一样）
方法二,
方法三,
R
P P r RU E d l E d l E d l
??? ? ? ? ? ?? ? ?
2
04
R
ar
q d r U
r??
???
0044
a
qq U
rR? ? ? ?
? ? ?
0044
Pa
qqUU
rR? ? ? ?
? ? ?
结论是
（结果相同）
5.今有两个电容值均为 C的电容器，其带
电量分别为 Q和 2Q，求两电容器在并联前
后总能量的变化？
C C +Q +2Q
-2Q -Q 前
C +3Q
-3Q
C 后
【 解 】 并联前
? ? 222
0
2 5
2 2 2
QQQW
C C C
? ? ?
并联后
电容为 2C,
带电量为 3Q
C +Q
-Q
C +2Q
-2Q 后
? ? 2 2
1
319
2 2 4
Q QW
CC
??
2 2 2
01
59
2 4 4
Q Q QW W W
C C C? ? ? ? ? ?
为什么能量减少了？能量到哪里去了？
问题是：并联以后两个电容器上的
电量还是原来的分布吗？
设 C +q
1 -q
1
C +q
2 -q
2
C +q
1 -q
1
C +q
2 -q
2
求 q1,q2,
12 3 ( 1 )q q Q??
12 ( 2 )qq
CC
??
由（ 2）得
12
3
2
q q Q??
由（ 1）得
12qq?
C +1.5Q
-1.5Q
C +1.5Q
-1.5Q
原来是在电量的流动
过程中，电场的能量
损失掉了一些。
R 铜球
?r
6.(P97 习题 9-17)黄铜球浮在相对介电常数为 ?r=3.0
的大油槽中，球的一半浸在油中，球的上半部在空
气中,如图所示。已知球上净电荷为 Q =2.0?10-6C,
（ 1）求球的上、下部分各有多少自由电荷？
（ 2）求下半球表面附近极化电荷的 ?’,q’?
R 铜球
?r
因为铜球是等势体，所以可以看成是空气
中的半球电容器和油为介质的半球电容器
并联,RC
01 2???
RC r??? 01 2?
21 UU ??
21 C
Q
C
Q 下上 ?
R
Q
R
Q
r????? 00 22
下上 ?
（ 1）求球的上、下
部分各有多少
自由电荷？
【 解 】
QQQ ?? 下上
…… (2)
上下 QQ r??
…… (1) 得
可以解得
CQQ
r
6105.0
1
????
?
? ?
?上
C105.1QQ 6r ????? ?上下 ?
（ 2）求下半球表面附近极化电荷的 ?’,q’?
D)
1
1(
D
)1(
E)1(PP
rr0
r0
r0n
???
??
???
??????
???????
?r
R 铜球
S
作半球形高斯面 S 如图,
? ????S 2 Qr2DSdD 下???
2r2
Q
D
?
下?
2
rr R2
Q
)
1
1(D)
1
1(
???
? 下????????
高斯定理
2
2
r
2
R2
R2
Q
)
1
1(
R2q
?
??
??
????
????
下
下Q)
1
1(
r?
???
此 ?’,q’ 即为所求。
2
r R2
Q
)
1
1(
??
? 下?????
就有
下Q)
11(q
r?
????
rr
Q
Q)11(QqQ
??
下
下下下 ??????
可知 qQQ ??? 下上
R Q上
Q下 +q’
讨论,
即把极化电荷也算上,
球的上、下部分带电
情况是相同的。
上下 QQ r??对比
上半空间电场的分布可等效为均匀带电 2Q上
的整个球面在空气中的电场分布,
R 铜球
?r
Q上
Q下 +q’= Q上
R4
Q2
U
0??
上
上 ?
上半球的电势为
2
0 r4
Q2E
??
上
上 ?
R4
Q2
R4
Q2
U
r00 ?????
下上
下 ??
下半空间电场的分布可等效为均匀带电 2Q下
的整个球面浸在油中的电场分布，即
由下半球的电势分布公式，还可以看出,
下半球的电势是一样的,
2
r0 r4
Q2
E
???
下
下 ?
有
下
上
上 Er4
Q2E
2
0
??
??
7.(P95 习题 9-6)一绝缘导体球不带电，距球心 r 处
放一点电荷 +q,金属球半径 R,
求,(1)金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度及
此时导体球的电势。
(2)若将金属球接地，球上的净电荷为何？
导体为等势体，能求得球心 o处的电势即可。
o
解,(1) 如图,
+
+
+
+
q??+q
r? qE?E?
0qEE ?? ??
2
0
4qr
qE E e
r???
?? ? ? ?
q??
-
- -
-
-
导体上感应电荷都在
球表面，距球心 R,
0 0 04 4 4
i
o
qqq
U
r R r? ? ? ? ? ?
?
? ? ??
电荷守恒
? q is? ? 0
o
+
+
+
+
q??+q
r? qE?
q??
-
- -
-
-
E?
0
44 00
????
r
q
R
q
???? qr
Rq ??
接地 即
0U ?
设,感应电量为
o点的电势为 0 则
q??
(2) 若将金属球接地，球上的净电荷为何？
o +q
r?
q??
-
- -
-
-
9。 (P97习题 9-16类似 )一球形电容器内、外导体球壳 A
和 B的半径 R1和 R2，两球壳间充满两层球壳形的均匀各
向同性介质 ?r1,?r2，两介质分层处半径 R，内球壳带
电 Q。求：（ 1）两介质区的
（ 2）介质区的电能密度？
(3) 四个界面上的束缚面电荷密度 ?=？
分布。、、,UPED ???
R2
R
R1
?r2 ?r1
A
B
Q
（ 1）介质区,
QSdDS ??? ??
24 r
QDe
r??
22 2
02
R r R4 r
r
QEe
r? ? ?? ? ?
11 2
01
R r R
4 rr
QEe
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R2
R
R1
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A
B
Q
1101 )1( EP r
?? ?? ??
2202 )1( EP r
?? ?? ??
2
2
1 1 2 3()
RR
r r R RU E d r E d r E d r?
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2
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11( ) ( )
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1 1 1 1 1 1{ ( ) ( ) }
4 rr
Q
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（ 2）
2
02
1
2
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22 2
02
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11 2
01
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2
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1 32w r
Q
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4
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2 32w r
Q
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A
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（ 3）
2
1
1
2 4
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R
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2
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1
1 4
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R
Q
r
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介质 1r?
内表面
外表面
介质
2r?
2
2
2
3 4
)1(
R
Q
r
r
??
?? ???
内表面
2
22
2
4 4
)1(
R
Q
r
r
??
?? ??外表面
