§ 11-6 载流导线在磁场中的受力～安培力
导线中的电流：由大量自由电子的定向运动形成的。
带电粒子运动在磁场中会受到力的作用～洛伦兹力
安培力的来源,
在洛伦兹力的作用下，导体中定向运动的自由电子
和金属导体中晶格上的正离子不断碰撞，将动量传给
导体，使整个导体在磁场中受到磁力作用。
一、安培力 (Ampere’s force)
设,～电流元内自由电子定
向漂移速度； d
v
方向,//
dv Id l?
- - -
-
-
-
I
B
dv
Idl
由洛仑兹力公式，一个电子
在磁场中受力,
df e v B? ? ?
( ) ( ) ( )dd F n S d l f n S d l e v B? ? ? ? ?
电流元 的截面积为 S，单位体积中有 n个自由电子。 Idl
-
-
-
I
B
dv
Idl
??
夹角为,(,)Idl B ?
夹角为,
(,)dvB ?
? ? ???
s i ndf e v B ???大小,方向,×
磁场作用在电流元上的力为,
nSdl
电流元 中的自由电子数,
Idl
( ) ( )dd F n S d l e v B
I d l B
? ? ? ?
??
dI n e v S?
lF I d l B???
磁场对电流元的作用规律,
-
-
-
I
B
dv
Idl
?
?
d F Id l B??
～安培定律
B
I Idl
?
一段有限载流导线在磁
场中受力为,
安培定律,一个电流元在磁场中
所受磁场力为电流元 与磁感
应强度 的矢量积。 IdlB
dF
注意：①载流直导线在均匀磁场中受力,
s i n s i nLF I B d l I B L?????
d F I d l B??方向由 决定。
xxLF d F? ? yyL
F d F? ? zz
L
F d F? ?
② 一般而言，各电流元受安培力大小与方向都不一
样，则求安培力时应将其分解为坐标分量后，再求
和。
L
?I
B
x y zF F i F j F k? ? ?
a
b
I
BlI ?d
例 1,均匀磁场中弯曲导线所受磁场力
～与 P163例 1,2类似
其所受安培力
BlIF ??? ?? dd
在导线上取电流元 lI ?d
dd
( d )
F F I l B
I l B
? ? ?
??
??
?
L??
Ll ??? ?? d
BLIF ??? ??? s i nF B IL ??
均匀磁场中，弯曲载流导线所受磁场力与从起点到
终点间载有同样电流的直导线所受的磁场力相同。
解,
方向,?
RBIF 2 ??
方向向右
0?F
练习,
B
IIo R
b
a
I 1
I
I
求电流 I在磁场中所受的力
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?B
受力 0?FI
例 2 圆柱形磁铁 N 极上方水平放置一个载流
导线环，求其受力。
由图可知：圆环受的总磁力的
方向在铅直方向，其大小为,
??? ?s i ndFFF z
B? B?
Fd?
R
Fd?
N
lId?
?
?
z已知在导线所在处磁场 B的
方向与竖直方向成 ?角
?? s in2 R IB?
? ?? Ro dlIB? ?2 s i n
R
2I
1I
o
d ? B?
F?d
y
x
d?
?
lI ?d2
例 3(P165)载流导线间的磁场力。如图所示，一无限
长载流直导线与一半径为 R的圆电流处于同一平面内，
它们的电流分别为 和,直导线与圆心相距为 d，
且 R＜ d。求作用在圆电流上的磁场力。 1I 2I
解,建立坐标系
2I dl
在圆电流上取电流
元
0 1
4 c os
IB
dR
?
??? ?
无限长载流直导线
在电流元所在处的
磁感强度大小为,
方向,
R
2I
1I
o
d ? B?
F?d
y
x
d?
?
lI ?d2
2
0 1 2
4 c o s
d F B I d l
II dl
dR
?
??
?
?
?
电流元所受磁力大
小为,
xdF
ydF
d l R d??
0 1 2 c o sc o s
4 c o sx
II Rd F d F d
dR
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0 1 2 sinsin
4 c o sy
II Rd F d F d
dR
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20 1 2
0
c o s
4 c o sx
I I RFd
dR
?? ? ?
??? ??
查表,
0 1 2 22( 1 )x
dF I I
dR
???
?
c os
c os c os
x x a dxdx
a b x b b a b x
??
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1
22
2 t a n ( t a n )
c o s 2
d x a b x
a b x a bab
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22
00
sin c o s 0
c o s c o s
dd
d R d R
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??? ? ?????
0yF??
0 1 2 22( 1 )xy
dF F i F j I I i
dR
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?
dR?
22
( 1 ) 0d
dR
??
?
//Fi??
～圆电流所受的磁场力指向无限长载
流直导线，或被载流长直导线所吸引。
二、两无限长平行载流直导线间的相互作
用
当直导线的长度 平行导线间距 d，视其为, 无限
长,
l ??
如图所示，两平行直导线通有流
向相同的电流,
1I 2I
1I
1l
2I
2l
d
1 1 1 2d F I d l B??
① 作用力,导线 1处在导线 2的磁
场中，受到 2给 1的作用力,
0 2
2 2
IB
d
?
??
方向,
2B
1dF
12d l B? 0 12
1 1 2 1 12
IId F I B d l d l
d
?
?
??
方向,
2 2 2 1d F I d l B??
同理,
导线 2处在导线 1的磁场中，受到
1给 2的作用力,
0 1
1 2
IB
d
?
??
?方向,
?
1B
1I
1l
2I
2l
d
2B
1dF 2dF
21d l B?
0 12
2 2 1 2 22
IIdF I B dl dl
d
?
?
??
方向,
说明,同向电流相互吸引；
同样分析：异向电流相斥。
② 电流单位：安培的定义
由上述分析，单位长度载
流直导线所受的力大小,02 1 2
2 2
d F I If
d l d
?
?
??
若
12I I I??
202
2 2
dFfI
d l d
?
?
??
定义,选取,规定,1dm?
72 1 0fN??? 1IA?
由此,
7 2 7 10 4 1 0 4 1 0N A H m? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
亨利
国际单位制中，电磁学范围内有
四个基本物理量：长度：米 (m)、
质量：千克 (kg)、时间：秒 (s)、
电流强度：安培 (A)。
作业：习题 P182
11-27,11-28
M
N
O
P
B
§ 11-7 磁场对载流线圈的作用
一、磁场作用于载流线 圈 的磁力矩
? I
1l
2l
ne
如图，矩形载流线圈 MNOP放在均
匀磁场 中。 B
规定：线圈平面的单位矢量
的方向与线圈中电流 I的流向构
成右手螺旋关系。 (右手定则 )
ne
分析,线圈各边受力～四条边均受磁场力。
1F
3 1 1s i n ( ) s i nF B I l B I l? ? ?? ? ?
2F
3F
4F
① PM,NO边受力情况,
由安培定律,
41 s i nF B Il ??
?
??
?()MN
()PO
ne
B
1F
2F
34FF??
M r F??
～在一条直线上
力学中力矩,
∴ PM, NO所受合力、合力矩均为零
② MN,OP边受力情况,
Id l B?
?
1 2 2F F B Il? ? ?
12FF??
～不在同一条直线上
∴ MN, OP所受合力为零；但合力
矩不为零。
合力矩大小为,
M
N
O
P
B
? I
1l
2l
ne
3F
4F
?
1F
2F
1 1 2 1s i n s i n s i nM F l B I l l B I S? ? ?? ? ?12S l l?
nm IS e?
～线圈的磁矩
线圈所受
磁力矩,nM I S e B m B? ? ? ?
??
?()MN
()PO
ne
B
1F
2F
?
M
若线圈有 N匝,
nm N IS e?
nM N I S e B m B? ? ? ?
注意,
上式不仅对矩形线圈成立，对于匀强磁场中任意形状
的平面线圈均成立；而且，对于带电粒子沿闭合回路运
动以及带电粒子自旋磁矩被看成为载流线圈时所受到的
磁力矩也适用。
所以，今后讨论磁介质、原子结构及原子核结构时，
均会用到磁矩的概念。
～此结论具有普遍意义。
M
N
O
P
讨论,
～线圈处于稳定平衡态。 //,
neB
①
0,? ? 0M ?
ne
B
1F
2F
()MN
()PO
1F
2F ?
? ne B
,neB?
②
,2?? ? m a xM I SB??
?
ne
()MN
()PO
1F
2F ?
?
ne
()MN
()PO
1F
2F
I
Bne
??()MN
()PO
1F
2F
若外界的扰动使线圈稍有偏转，磁场产生的 使
其会回到平衡位置。 M
ne
M
N
O
P
～线圈处于非稳定平衡态。
//,neB?③,??? 0M ?
B
1F
2F
()MN
()PO
1F
2F ?
?
ne
B
I
只要外界有轻微扰动而使线圈稍稍稍偏离该平衡
位置，磁场产生的力矩使其继续偏转，直到
为止；即回到稳定平衡位置。 //neB
()MN
()PO
1F
2F ?
ne
()MN
()PO
1F
2F?
?
ne
I
y
xo
R
B
例 1:(P170例 2)如图 11-42(a)所示，半径为 0.20m，电
流为 20A，可绕 0y轴旋转的圆形载流线圈放在均匀磁
场中，磁感强度 的大小为 O.08T，方向沿 轴正向。
问线圈受力情况怎样？线圈受的磁力矩又为多少？
B x
z P
K
J
Q
解：①把线圈分为 JKP,PQJ两部分。
由第 11-6节例 2的讨论中可知，
半圆 JKP受力与 相同。 POJ
1 (2 ) 2F B I R k B I R k? ? ? ?
半圆 JQP受力与 相同。 JOP
2 ( 2 ) 2F B I R k B I R k??
12FF? ? ?
2 0, 0 8 2 0 0, 2 0 0, 6 4kk? ? ? ? ?()N
0F??
I
y
xo
R
B
z
d??
dIl
② 用两种方法求力矩,
方法一,由力矩的定义
选取电流元
Idl
d F Id l B??
x
电流元 所受力矩,Idl
d M x d F?? x d F?
s i nd M x d F j I d l B x j?? ? ? ? ?
s i n ( ) s i nd F I d l B k I d l B k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
s i nxR ??
d l R d ??
22s i nd M I B R d j??? ? ? ?
I
y
xo
R
B
z
2 22
0
s i nM d M I B R d j? ??? ? ? ???
2 1sin ( 1 c o s 2 )
2
????
2M IB R j?? ? ?
方法二,磁场作用于
载流线 圈 的磁力矩,M m B??
2m I S k I R k?? ? ? ?B B i??
22M I R B k i I B R j??? ? ? ? ? ?
～结果是相同的。
B?
?
? R
例题：一半径为 R的薄圆盘，放在磁感强度为 的均
匀磁场中,的方向与盘面平行。圆盘表面电荷面密
度为,其中 为常数,为距圆盘中心的
距离。若圆盘以角速度 绕通过盘心并垂直盘面的
轴转动。求作用在圆盘上的磁力矩 。
B
M
B
kr? ? k r
?
解：在带电圆盘上取半径,
宽 的圆环
r
rd
B?rrd o
?
2dm I r???
rrq d2d ?? ??
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45
0
1d d
5
R
m m k r r k R? ? ? ?? ? ???
51
5
m k R???
B?r
rd
o
?
M m B??
大小,
?? BRkM 5
5
1?
方向向上
M
作业：习题
P183 11-35
N
应用,磁场对载流线圈的作用力原理是制造各种直流
电机、动圈式电压电流表的基本原理
S I
磁悬浮列车