§ 15-2 平面简谐波的波函数
一,平面简谐波的 波函数的建立
平面简谐波 —— 波阵面为平面的简谐波
u
给出波线上任意 x 处质点的位移 y 随时间 t 的变
化规律 ～ 波函数 y ( x,t )
同一波阵面上各点
振动状态相同
x
y
O
0t ?
设 O 点的振动表达式为
振动从 O 点传波到 P 点需时
x
y
O
P
0?t
u
0 ( ) c o sy t A t??
xt
u
??
0(,) ( ) c o s ( )
xxy x t y t A t
uu
?? ? ? ?
考察波线上任意点 P,P点振动的相位将落后于 O点。
沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波函数
(,) c o s ( )xy x t A t
u
???
2(,) c o s ( )xy x t A t
Tu
???c o s 2 )txA
T
?
?
??
(,) c o s 2 ( )txy x t A
T
?
?
??
利用关系式 和,得 ???? 22 ?? T??uT
角波数
(,) c o s 2 ( )xty x t A
T
?
?
?? 2c os ( )A x ut?
?
??
2(,) c o s ( )y x t A x u t?
?
??
(,) c o s 2 ( ) c o s( )txy x t A A t k x
T
??
?
? ? ? ?
(,) c o s ( )y x t A t k x??? 2k ?
?
?
沿 x 轴 负方向 传播的平面简谐波的表达式
O 点简谐运动方程,
y
x o
u?
x
P
0 c o sy A t??
P 点的运动方程为,
(,) c o s ( )xy x t A t
u
???
(,) c o s 2 ( )txy x t A
T
?
?
??
一般情况,设 x0 点的振动表达式为,
在 x 轴上传播的平面简谐波的波函数
x
y
O
P
x0
0
0
xP
xxt
u?
???
1t
0(,) c o s ( )y x t A t????
0(,) c o s ( )xxy x t A t
u
??
?
??
u
上式代表 x1 处质点在其平衡位置附近以角频率 w 作
简谐运动。
?
?
??
?
? ??
?
?? 12co s xtAy
即
x 一定 。令 x=x1，则质点位移 y 仅是时间 t 的函数。
t
y
O
A
二、波函数的物理意义
(,) c o s 2 ( )txy x t A
T
?
?
??
???
?
???
?
??
?
?
?
x
tAy
2
c o s 1即
以 y为纵坐标,x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
它是 t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移
所构成的波形曲线 (波形图 )。
x
y
A
u?
?
t 一定 。令 t=t1，则质点位移 y 仅是 x 的函数。
沿波线方向，任意两点 x1,x2的简谐运动相位差为,
???????
xxx ????????? 22 12
12
x,t 都变化 。
实线,t1 时刻波形；虚线,t2 时刻波形
x
y u?
Δ x=u t 波的传播
例题 已知 t = 0 时的波形曲线为 Ⅰ,波沿 x 正向
传播，在 t = 0.5 s 时波形变为曲线 Ⅱ 。已知波的
周期 T > 1 s,试根据图示条件求波函数和 P 点的
振动表达式。（已知 A = 0.01 m）
解法一
y(cm)
x(cm) 1 2 3 4 5 6
Ⅱ Ⅰ P
O
u
0,0 1 mA ? 0,0 4 m? ? 10,0 1 0,0 2 m s
0,5
u ?? ? ?
0,0 4 2 s
0,0 2
T
u
?? ? ?
12 s
T
??? ???
设坐标原点振动表达式
根据初始条件,
)
2
c o s (01.0) (0 ?? ?? tty
y(cm)
x(cm) 1 2 3 4 5 6
Ⅱ Ⅰ P
O
u
0 ( ) c o s ( )y t A t????
0 c o sA ??
2
??? ? ?
s i n 0vA ??? ? ?
2
????
波函数
P点振动表达式
tty P ?c o s01.0) ( ?
)
2
c o s (01.0) (0 ?? ?? tty
(,) 0,0 1 c o s [ ( ) ]
0,0 2 2
xy x t t ??? ? ?
0,0 1( ) 0,0 1 c o s[ ( ) ]
0,0 2 2P
y t t ??? ? ?
ttAty P ?? c o s01.0c o s) ( ??
]
2
)
02.0
(c o s [01.0),( ?? ??? xttxy
解法二
根据 P 点的
初始条件,
设 P 振动表达式
波函数
y(cm)
x(cm) 1 2 3 4 5 6
Ⅱ Ⅰ P
O
u
( ) c o s ( )Py t A t????
c o sAA ?? 0???
0,0 1(,) 0,0 1 c o s ( )
0,0 2
xy x t t? ???
例题 一平面简谐波在介质中以速度 u = 20 m/s
沿 x 轴负向传播。已知 A 点的振动表达式 y =
3cos4?t,求波函数。
解 可先求 O 点的
振动表达式
波函数
A x
y
O
u
0
5( ) 3 c o s 4 ( )
20
y t t???
0 ( ) 3 c o s ( 4 )y t t????
(,) 3 c o s[ 4 ( ) ]
20
xy x t t??? ? ?
作业,P84
15-4 15-8
一,平面简谐波的 波函数的建立
平面简谐波 —— 波阵面为平面的简谐波
u
给出波线上任意 x 处质点的位移 y 随时间 t 的变
化规律 ～ 波函数 y ( x,t )
同一波阵面上各点
振动状态相同
x
y
O
0t ?
设 O 点的振动表达式为
振动从 O 点传波到 P 点需时
x
y
O
P
0?t
u
0 ( ) c o sy t A t??
xt
u
??
0(,) ( ) c o s ( )
xxy x t y t A t
uu
?? ? ? ?
考察波线上任意点 P,P点振动的相位将落后于 O点。
沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波函数
(,) c o s ( )xy x t A t
u
???
2(,) c o s ( )xy x t A t
Tu
???c o s 2 )txA
T
?
?
??
(,) c o s 2 ( )txy x t A
T
?
?
??
利用关系式 和,得 ???? 22 ?? T??uT
角波数
(,) c o s 2 ( )xty x t A
T
?
?
?? 2c os ( )A x ut?
?
??
2(,) c o s ( )y x t A x u t?
?
??
(,) c o s 2 ( ) c o s( )txy x t A A t k x
T
??
?
? ? ? ?
(,) c o s ( )y x t A t k x??? 2k ?
?
?
沿 x 轴 负方向 传播的平面简谐波的表达式
O 点简谐运动方程,
y
x o
u?
x
P
0 c o sy A t??
P 点的运动方程为,
(,) c o s ( )xy x t A t
u
???
(,) c o s 2 ( )txy x t A
T
?
?
??
一般情况,设 x0 点的振动表达式为,
在 x 轴上传播的平面简谐波的波函数
x
y
O
P
x0
0
0
xP
xxt
u?
???
1t
0(,) c o s ( )y x t A t????
0(,) c o s ( )xxy x t A t
u
??
?
??
u
上式代表 x1 处质点在其平衡位置附近以角频率 w 作
简谐运动。
?
?
??
?
? ??
?
?? 12co s xtAy
即
x 一定 。令 x=x1，则质点位移 y 仅是时间 t 的函数。
t
y
O
A
二、波函数的物理意义
(,) c o s 2 ( )txy x t A
T
?
?
??
???
?
???
?
??
?
?
?
x
tAy
2
c o s 1即
以 y为纵坐标,x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
它是 t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移
所构成的波形曲线 (波形图 )。
x
y
A
u?
?
t 一定 。令 t=t1，则质点位移 y 仅是 x 的函数。
沿波线方向，任意两点 x1,x2的简谐运动相位差为,
???????
xxx ????????? 22 12
12
x,t 都变化 。
实线,t1 时刻波形；虚线,t2 时刻波形
x
y u?
Δ x=u t 波的传播
例题 已知 t = 0 时的波形曲线为 Ⅰ,波沿 x 正向
传播，在 t = 0.5 s 时波形变为曲线 Ⅱ 。已知波的
周期 T > 1 s,试根据图示条件求波函数和 P 点的
振动表达式。（已知 A = 0.01 m）
解法一
y(cm)
x(cm) 1 2 3 4 5 6
Ⅱ Ⅰ P
O
u
0,0 1 mA ? 0,0 4 m? ? 10,0 1 0,0 2 m s
0,5
u ?? ? ?
0,0 4 2 s
0,0 2
T
u
?? ? ?
12 s
T
??? ???
设坐标原点振动表达式
根据初始条件,
)
2
c o s (01.0) (0 ?? ?? tty
y(cm)
x(cm) 1 2 3 4 5 6
Ⅱ Ⅰ P
O
u
0 ( ) c o s ( )y t A t????
0 c o sA ??
2
??? ? ?
s i n 0vA ??? ? ?
2
????
波函数
P点振动表达式
tty P ?c o s01.0) ( ?
)
2
c o s (01.0) (0 ?? ?? tty
(,) 0,0 1 c o s [ ( ) ]
0,0 2 2
xy x t t ??? ? ?
0,0 1( ) 0,0 1 c o s[ ( ) ]
0,0 2 2P
y t t ??? ? ?
ttAty P ?? c o s01.0c o s) ( ??
]
2
)
02.0
(c o s [01.0),( ?? ??? xttxy
解法二
根据 P 点的
初始条件,
设 P 振动表达式
波函数
y(cm)
x(cm) 1 2 3 4 5 6
Ⅱ Ⅰ P
O
u
( ) c o s ( )Py t A t????
c o sAA ?? 0???
0,0 1(,) 0,0 1 c o s ( )
0,0 2
xy x t t? ???
例题 一平面简谐波在介质中以速度 u = 20 m/s
沿 x 轴负向传播。已知 A 点的振动表达式 y =
3cos4?t,求波函数。
解 可先求 O 点的
振动表达式
波函数
A x
y
O
u
0
5( ) 3 c o s 4 ( )
20
y t t???
0 ( ) 3 c o s ( 4 )y t t????
(,) 3 c o s[ 4 ( ) ]
20
xy x t t??? ? ?
作业,P84
15-4 15-8
