第十四章 机械振动
?简谐振动的动力学特征及运动规律
?简谐振动的旋转矢量表示法
?简谐振动的能
量
?简谐振动的合成
（主要讨论简谐振动和振动的合成）
学时,4
基本要求
一、掌握简谐振动的特征和规律。
二、理解描述简谐振动的特征量 —— 振幅、周期、
频率（角频率）、相位及初相的物理意义，掌握确
定这些特征量 的方法，从而能熟练地写出简谐振动
的表达式。
三、理解简谐振动与旋转矢量的关系，会用旋转矢量
方法和振动图线的讨论来解决简谐振动的有关问题。
四、掌握同方向、同频率的两个简谐振动合成的方法
和结论。
广义振动,任一物理量 (如位移、电流等 )在
某一量值附近作周期性变化。
机械振动
电磁振动
?
振动有各种不同的形式
振动
Vibration
振 动 一个物理量随时间 t 作周期性变化
“周期性”是这种运动形式的典型特征
机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动
简谐振动
物理量按余弦函数的规律随时间变化
一个复杂的周期性运动可以分解成若干个简
谐振动的合成。
( ) ( )f t f t T??
§ 14-1 简谐振动
简谐振动的特征及其表达式
简谐振动,物体运动时, 离开平衡位置的位移 (或角位
移 )按余弦 (或正弦 )规律随时间变化 。
XO
F?
F?
XO
XO
弹簧振子,连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和
一个不发生形变的物体系统。
回复力,作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合
外力,该力与位移成正比且反向。
简谐振动的
动力学特征,
Fkx ???
2
2,
Fkdx ax
mmdt
????
据牛顿第二定律, 得 2
? ? mk令
2
2
2
dxx
dt
? ?? ～简谐运动的运动微分方程
～简谐振动的特征方程
判别物体是否作简谐振动的依据之一
k 为劲度系数
?, T 决定于振动系统的动力学性质
固有角频率
固有周期
k
m
? ?
2
m
T
k
??
2T ?
?
?
cos() xAt ?? ??位移 之解,x
或 i ( )e txA ????
简谐振动的运动学特征,物体的加速度与位移成正
比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。
速度
sin() dx vAt dt??? ????
加速度 22
2cos()
dx aAt
dt
??? ????
简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系,
t
x ?
?4??2
t
v
t
a
§ 14-2 简谐振动 的振幅、周期、频率和相位
A —— 振幅 离开平衡位置的最大位移的绝对值
三个特征量
? —— 角频率 （或称圆频率）
在 2π 秒时间内完成全振动的次数
? —— 初相
反映初始时刻振动系统的运动状态
cos() xAt ?? ??
周期 T 完成一次全振动所经历的时间
频率 ? 1 秒内完成全振动的次数
频率与周期
振动曲线
x
t o
A
-A T
2? ? ?? 2
T ?
?
?
c o s ( ) c o s [ ( ) ]x A t A T t? ? ? ?? ? ? ? ?
22T? ? ? ???
角频率, 物体在 秒内所作的完全运动的次数。 ?2
弹簧振子,mk??
,2 kmT ?? 1
2 km? ??
利用上述关系式，得谐振动表达式,
? ?c o s 2x A t T????
? ?c o s 2x A t? ? ???
相位和初相
相位,决定简谐运动状态的物理量。 ()t???
初相位, t =0 时的相位。 0?
111 cos() xAt ?? ??
222 cos() xAt ?? ??
相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动
步调上的差异。
设有两个同频率的谐振动，表达式分别为,
二者的相位差为,
2121 ()() tt ??????? ???????
(b)当 时,称两个振动为反相； ( 2 1 )k??? ? ?
(d)当 时,称第二个振动落后第一个振动 。 0??? ??
(c)当 时,称第二个振动超前第一个振动 ； 0??? ??
讨论,
相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于
简谐振动的位移、速度和加速度，存在,
cos() xAt ?? ??
(a)当 时,称两个振动为同相； 2 k????
mmsin()cos(2) vvtvt ????? ??????
2121 ()() tt ??????? ???????
mmcos()cos() aatat ????? ??????
速度的相位比位移的相位超前,加速度的相
位比位移的相位超前 。
2??
t
x ?
?4??2
t
v
t
a
00cos,sin xAvA ??? ???
2 0 2 0) (? v x A? ?
0
0
arctgv
x
?
?
??
????
??
常量 和 的确定 A ?
在 到 之间,存在两个值，可根据
进行取舍。
0sin vA????
??? ??
根据初始条件,时，,,得 0xx ? 0vv ?0?t
求解,
～简谐振动的矢量图示法
采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表
达式中各个物理量的意义。
旋转矢量,一长度等于振幅 A 的矢量 在纸平面
内绕 O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角
频率相等，这个矢量称为旋转矢量。
A?
§ 14-3 旋转矢量表示法
y
x ?P
旋转矢量表示法,
t???
A
旋转矢量的模为 A
t =0 时，旋转矢量
与 x 轴的夹角 ?
旋转矢量的角速度为 ?
矢量端点在 x 轴上
的投影点作简谐振动
旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态
?
c o s ( )Px A t????
旋转矢量法优点,
直观地表达谐振动的各特征量
便于解题,特别是确定初相位
便于振动合成
由 x,v 的符号确定 所在的象限,A?
A?
XO
速度、加速度的旋转矢量表示法,
A?
X
v?
xv
a?
x a
t ???
沿 X 轴的投
影为简谐运动的速度、
加速度表达式。
,v? a?
M 点,
M
A?
XO
mvA??
Aa m 2??
0v?
0v?
c o s( )2A t ???? ???
2 c o s ( )A t ?? ?? ???
两个同频率的简谐运动,
111 cos() xAt ?? ??
相位之差为
2121 ()(),tt ??????? ???????
X
O
1 A?
1?
??
222 cos() xAt ?? ??
采用旋转矢量直观表示为,
?
2 A
?
2?
例 1,质点沿 X轴作简谐振动，振幅为 12cm，周期为 2s。
当 t=0 时,位移为 6cm，且向 X轴正方向运动。求,
解,① 取平衡位置为坐标原
点,谐振动方程写为,
已知,A = 0.12 m,T = 2 s
初始条件,t = 0 时,x0 = 0.06 m,v0 > 0
② t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度。
③ 质点从 x = - 6 cm 向 X轴负方向运动，第一次回
到平衡位置所需要的时间。
① 振动表达式
c o s ( )x A t????
12 / sT? ? ? ???
0, 1 2 c o s ( ) xt ????
振动表达式为
方法一,由初始条件用 解析法 求初相 ?
由 v0 > 0 决定取舍
0,12 c os ( )
3
xt ???? 米
c o s ( )x A t???? 0, 0 6 0, 1 2 c o s ??
s i n ( )v A t? ? ?? ? ?
0 s i n 0vA ??? ? ?
1 c o s
23
???? ? ? ?
3
??? ? ?
方法二,由初始条件用 旋转矢量法 求初相 ?
当 t = 0 时,位移为 6cm,
且向 x 轴正方向运动
O x
A
A/2
3
??
3
??? ? ?
② t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度
0, 5
0, 5
0, 1 2 c o s ( ) 0, 1 0 4 m
3t t
xt
?
?
?
?
? ? ?
1
0, 5 0, 5
0, 5
0, 1 2 s i n ( ) 0, 1 8 9 m s
3tt t
dx
vt
dt
?
?? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
22
0, 5 0, 5
0, 5
0, 1 2 c o s ( ) 0, 1 0 3 m s
3tt t
dv
at
dt
?
?? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
y
x 43?
③ 质点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次
回到平衡位置所需要的时间。
23?
32?
x = - 6 cm
向 x 轴负方向运动
第一次回到平衡位置
所需要的时间
1
3 2 5
2 3 6 0, 8 3 s
s
t
? ? ?
?? ?
?
? ? ? ?
)cm(x24 o
练习
解,作 t = 0时刻的旋转矢量
0A
?
求,质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
已知,A = 24cm,T = 3s,t = 0时
,00 ?vcm,120 ?x
作 x = -12cm处的旋转矢量 A?
12 -12
0A
?A?
s5.061m i n ??? Tt
利用旋转矢量法作 x-t 图,
x x(cm)
t(s)
t=0
O O T
A?
12
Tt?
6
Tt? 2
Tt?
例 2 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。
当质点 1 在 x1 = A/2 处，向 x 轴负方向运动时，另一
个质点 2 在 x2 = 0 处，向 x 轴正方向运动。求这两质点
振动的相位差。
解
1 3
?? ?
2
3,
22
??? ??
质点 1 的振动超前质点 2
的振动 5 6?
12
5 ( )
3 2 6
? ? ??? ? ? ? ? ?
O x A
作业,P38 14-11 14-13
判别简谐振动的依据
（ 1）运动表达式为,
其中, A, ? 和 ? 是常数。
c o s ( )x A t????
（ 2）作用力的形式为, k 为常系数。 F k x??
弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动
在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动
（ 3）动力学方程可写成,
为常系数，其平方根即为角频率。
2
2
2
d 0
d
x x
t
???
?
§ 14-3 单摆和复摆
一, 单摆
g? m
T?
重物所受合外力矩,? sin mgl M? ?
O
?
l
..,! 5 ! 3 sin
5 3
? ? ? ?? ? ? ?
? ?? sin ? mgl M? ?
据转动定律, 得到 222dMmglg
dtJmll
??? ?????
很小时 (小于 ),可取 ?5?
令,lg?2?。 l g T? ? ?2 2? ?有
cos() mt ???? ??
转角 的表达式可写为,?
角振幅 和初相 由初始条件所决定 。 m? ?
～单摆的周期决定于摆长和该处的重力加速度 。
g
l
? ? 2 lT
g
??
～利用上式可通过测量单摆的周期以确定该地点
的重力加速度 。
二, 复摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆 。
?
g? m
C
O
刚体的质心为 C,对过 O 点的转
轴的转动惯量为 J,O,C 两点间距
离的距离为 l。
2
2sin
d Jmgl
dt
?? ??
2
2
d Jmgl
dt
?? ??
令
2mgl
J ??
2
2
20
d
dt
????? 22J T
mgl
??
?
??
据 转 动 定
律, 得
若 角度较小时 ?
?简谐振动的动力学特征及运动规律
?简谐振动的旋转矢量表示法
?简谐振动的能
量
?简谐振动的合成
（主要讨论简谐振动和振动的合成）
学时,4
基本要求
一、掌握简谐振动的特征和规律。
二、理解描述简谐振动的特征量 —— 振幅、周期、
频率（角频率）、相位及初相的物理意义，掌握确
定这些特征量 的方法，从而能熟练地写出简谐振动
的表达式。
三、理解简谐振动与旋转矢量的关系，会用旋转矢量
方法和振动图线的讨论来解决简谐振动的有关问题。
四、掌握同方向、同频率的两个简谐振动合成的方法
和结论。
广义振动,任一物理量 (如位移、电流等 )在
某一量值附近作周期性变化。
机械振动
电磁振动
?
振动有各种不同的形式
振动
Vibration
振 动 一个物理量随时间 t 作周期性变化
“周期性”是这种运动形式的典型特征
机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动
简谐振动
物理量按余弦函数的规律随时间变化
一个复杂的周期性运动可以分解成若干个简
谐振动的合成。
( ) ( )f t f t T??
§ 14-1 简谐振动
简谐振动的特征及其表达式
简谐振动,物体运动时, 离开平衡位置的位移 (或角位
移 )按余弦 (或正弦 )规律随时间变化 。
XO
F?
F?
XO
XO
弹簧振子,连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和
一个不发生形变的物体系统。
回复力,作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合
外力,该力与位移成正比且反向。
简谐振动的
动力学特征,
Fkx ???
2
2,
Fkdx ax
mmdt
????
据牛顿第二定律, 得 2
? ? mk令
2
2
2
dxx
dt
? ?? ～简谐运动的运动微分方程
～简谐振动的特征方程
判别物体是否作简谐振动的依据之一
k 为劲度系数
?, T 决定于振动系统的动力学性质
固有角频率
固有周期
k
m
? ?
2
m
T
k
??
2T ?
?
?
cos() xAt ?? ??位移 之解,x
或 i ( )e txA ????
简谐振动的运动学特征,物体的加速度与位移成正
比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。
速度
sin() dx vAt dt??? ????
加速度 22
2cos()
dx aAt
dt
??? ????
简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系,
t
x ?
?4??2
t
v
t
a
§ 14-2 简谐振动 的振幅、周期、频率和相位
A —— 振幅 离开平衡位置的最大位移的绝对值
三个特征量
? —— 角频率 （或称圆频率）
在 2π 秒时间内完成全振动的次数
? —— 初相
反映初始时刻振动系统的运动状态
cos() xAt ?? ??
周期 T 完成一次全振动所经历的时间
频率 ? 1 秒内完成全振动的次数
频率与周期
振动曲线
x
t o
A
-A T
2? ? ?? 2
T ?
?
?
c o s ( ) c o s [ ( ) ]x A t A T t? ? ? ?? ? ? ? ?
22T? ? ? ???
角频率, 物体在 秒内所作的完全运动的次数。 ?2
弹簧振子,mk??
,2 kmT ?? 1
2 km? ??
利用上述关系式，得谐振动表达式,
? ?c o s 2x A t T????
? ?c o s 2x A t? ? ???
相位和初相
相位,决定简谐运动状态的物理量。 ()t???
初相位, t =0 时的相位。 0?
111 cos() xAt ?? ??
222 cos() xAt ?? ??
相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动
步调上的差异。
设有两个同频率的谐振动，表达式分别为,
二者的相位差为,
2121 ()() tt ??????? ???????
(b)当 时,称两个振动为反相； ( 2 1 )k??? ? ?
(d)当 时,称第二个振动落后第一个振动 。 0??? ??
(c)当 时,称第二个振动超前第一个振动 ； 0??? ??
讨论,
相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于
简谐振动的位移、速度和加速度，存在,
cos() xAt ?? ??
(a)当 时,称两个振动为同相； 2 k????
mmsin()cos(2) vvtvt ????? ??????
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速度的相位比位移的相位超前,加速度的相
位比位移的相位超前 。
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t
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t
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常量 和 的确定 A ?
在 到 之间,存在两个值，可根据
进行取舍。
0sin vA????
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根据初始条件,时，,,得 0xx ? 0vv ?0?t
求解,
～简谐振动的矢量图示法
采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表
达式中各个物理量的意义。
旋转矢量,一长度等于振幅 A 的矢量 在纸平面
内绕 O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角
频率相等，这个矢量称为旋转矢量。
A?
§ 14-3 旋转矢量表示法
y
x ?P
旋转矢量表示法,
t???
A
旋转矢量的模为 A
t =0 时，旋转矢量
与 x 轴的夹角 ?
旋转矢量的角速度为 ?
矢量端点在 x 轴上
的投影点作简谐振动
旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态
?
c o s ( )Px A t????
旋转矢量法优点,
直观地表达谐振动的各特征量
便于解题,特别是确定初相位
便于振动合成
由 x,v 的符号确定 所在的象限,A?
A?
XO
速度、加速度的旋转矢量表示法,
A?
X
v?
xv
a?
x a
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沿 X 轴的投
影为简谐运动的速度、
加速度表达式。
,v? a?
M 点,
M
A?
XO
mvA??
Aa m 2??
0v?
0v?
c o s( )2A t ???? ???
2 c o s ( )A t ?? ?? ???
两个同频率的简谐运动,
111 cos() xAt ?? ??
相位之差为
2121 ()(),tt ??????? ???????
X
O
1 A?
1?
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222 cos() xAt ?? ??
采用旋转矢量直观表示为,
?
2 A
?
2?
例 1,质点沿 X轴作简谐振动，振幅为 12cm，周期为 2s。
当 t=0 时,位移为 6cm，且向 X轴正方向运动。求,
解,① 取平衡位置为坐标原
点,谐振动方程写为,
已知,A = 0.12 m,T = 2 s
初始条件,t = 0 时,x0 = 0.06 m,v0 > 0
② t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度。
③ 质点从 x = - 6 cm 向 X轴负方向运动，第一次回
到平衡位置所需要的时间。
① 振动表达式
c o s ( )x A t????
12 / sT? ? ? ???
0, 1 2 c o s ( ) xt ????
振动表达式为
方法一,由初始条件用 解析法 求初相 ?
由 v0 > 0 决定取舍
0,12 c os ( )
3
xt ???? 米
c o s ( )x A t???? 0, 0 6 0, 1 2 c o s ??
s i n ( )v A t? ? ?? ? ?
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23
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3
??? ? ?
方法二,由初始条件用 旋转矢量法 求初相 ?
当 t = 0 时,位移为 6cm,
且向 x 轴正方向运动
O x
A
A/2
3
??
3
??? ? ?
② t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度
0, 5
0, 5
0, 1 2 c o s ( ) 0, 1 0 4 m
3t t
xt
?
?
?
?
? ? ?
1
0, 5 0, 5
0, 5
0, 1 2 s i n ( ) 0, 1 8 9 m s
3tt t
dx
vt
dt
?
?? ?
??
?
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22
0, 5 0, 5
0, 5
0, 1 2 c o s ( ) 0, 1 0 3 m s
3tt t
dv
at
dt
?
?? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
y
x 43?
③ 质点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次
回到平衡位置所需要的时间。
23?
32?
x = - 6 cm
向 x 轴负方向运动
第一次回到平衡位置
所需要的时间
1
3 2 5
2 3 6 0, 8 3 s
s
t
? ? ?
?? ?
?
? ? ? ?
)cm(x24 o
练习
解,作 t = 0时刻的旋转矢量
0A
?
求,质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
已知,A = 24cm,T = 3s,t = 0时
,00 ?vcm,120 ?x
作 x = -12cm处的旋转矢量 A?
12 -12
0A
?A?
s5.061m i n ??? Tt
利用旋转矢量法作 x-t 图,
x x(cm)
t(s)
t=0
O O T
A?
12
Tt?
6
Tt? 2
Tt?
例 2 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。
当质点 1 在 x1 = A/2 处，向 x 轴负方向运动时，另一
个质点 2 在 x2 = 0 处，向 x 轴正方向运动。求这两质点
振动的相位差。
解
1 3
?? ?
2
3,
22
??? ??
质点 1 的振动超前质点 2
的振动 5 6?
12
5 ( )
3 2 6
? ? ??? ? ? ? ? ?
O x A
作业,P38 14-11 14-13
判别简谐振动的依据
（ 1）运动表达式为,
其中, A, ? 和 ? 是常数。
c o s ( )x A t????
（ 2）作用力的形式为, k 为常系数。 F k x??
弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动
在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动
（ 3）动力学方程可写成,
为常系数，其平方根即为角频率。
2
2
2
d 0
d
x x
t
???
?
§ 14-3 单摆和复摆
一, 单摆
g? m
T?
重物所受合外力矩,? sin mgl M? ?
O
?
l
..,! 5 ! 3 sin
5 3
? ? ? ?? ? ? ?
? ?? sin ? mgl M? ?
据转动定律, 得到 222dMmglg
dtJmll
??? ?????
很小时 (小于 ),可取 ?5?
令,lg?2?。 l g T? ? ?2 2? ?有
cos() mt ???? ??
转角 的表达式可写为,?
角振幅 和初相 由初始条件所决定 。 m? ?
～单摆的周期决定于摆长和该处的重力加速度 。
g
l
? ? 2 lT
g
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～利用上式可通过测量单摆的周期以确定该地点
的重力加速度 。
二, 复摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆 。
?
g? m
C
O
刚体的质心为 C,对过 O 点的转
轴的转动惯量为 J,O,C 两点间距
离的距离为 l。
2
2sin
d Jmgl
dt
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2
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据 转 动 定
律, 得
若 角度较小时 ?
