第十一章 稳恒磁场
静止的电荷周围存在电场，而运动的电荷周围不但有
电场而且还存在磁场～ 电磁场 。
本章着重讨论稳恒电流 (或相对参考系以恒定速度运动
的电荷 )激发稳恒磁场～不随时间变化的磁场的规律和
性质。
主要内容
② 介绍电流激发磁场的规律～毕奥 — 萨伐尔定律；
③ 反映磁场性质的基本定理～磁场的高斯定理和安培环
路定理；
④ 磁场对运动电荷、电流的作用力～洛伦兹力、安培力。
① 引入描述磁场的基本物理量～磁感强度 ； B
结构框图
运
动
电
荷
间
的
相
互
作
用
磁
场
稳
恒
磁
场
磁感应强
度
毕 -萨
定律
磁场的高斯定理
安培环路定理
磁场的
基本性质
洛仑兹力
安培定律
带电粒子在磁场中的运动 霍耳效应
磁力和磁力矩 磁力的功
顺磁质、抗磁质和
铁磁质的磁化
磁场
强度
介质中的安培
环路定理
学时,10
本章研究方法与静电场非常相似，应有意识地对比。
常用的数学知识：①矢量叉乘 ②微积分 (定积分 )
引言,基本磁现象（ Basic Magnetic phenomena）
磁现象的发现要比电现象早得多。公元前六、七世
纪（春秋战国时期），就发现磁石吸铁现象；
东汉时期，发明了磁性指南器具～, 司南, ；十一
世纪北宋时，发明了, 指南针, 。
明朝郑和七下西洋比哥仑布、达加玛早半世纪
一、基本磁现象
① 我国是发现并最早应用磁现象的国家；
② 永久磁铁及其特性
天然磁铁 ----磁铁矿（ Fe3O4）
人造磁铁：用 Ni,Fe,Co合金制成条形、马蹄形等，
再放入通有电流的线圈中磁化成为永久磁铁。
N S
S N 特性 (演示 ),
?能吸引铁、钴、镍等物质 --这种性质叫 磁性
N S ?条形磁铁或磁针两端磁性特
别强～ 磁极
?具有两极且同性磁极相斥，异性磁极相吸。
N S
?指向性,
指向北方的磁极～北极 N；指向南方的磁极～北极 S。
磁铁具有指向性的事实说明,
地球本身就是一个巨大的磁体，其 N极位于地理南
极附近，其 S极位于地理北极附近。
将磁针悬挂或支撑使其能在水平面内自由转动，磁针
自动地转向南北方向。
?目前还无法获得磁单极～磁极不能单独存在。
N S
S N S N S N S N S N S N S N S N
S N S N S N S N
S N S N
磁性、极性和极性的不可分割性
二、电流的磁效应
早期人们认为电现象和磁现象互不相干，直到十九
世纪初，才发现二者的联系。
1.载流直导线的磁效应
从 1807年～ 1820年 4月，丹麦物理学家奥斯特发现：
载流直导线周围的磁铁会受到力的作用而发生偏转。
演示,I
?如果周围没有其它磁性物质，小磁针仅受地磁场作
用指向南北；
?当导体通有电流时，小磁针发生偏转，达到一新的
平衡位置。
?说明,
电流对磁极有作用力，电流也能激发磁场与磁铁一样。
2.1820年 9月法国物理学家安培发现磁场对电流有作用
力；后来，又发现载流导线之间或载流线圈之间也有
相互作用。
N
S
N
S
F?
I
S N
演示,
I
I I
以上实验说明,
② 载流线圈的 N,S极可用右手螺旋法则定出。
电现象和磁现象之间是紧密联系的，电流和磁铁均能
在其周围激发磁场，磁场对电流和磁铁均施加作用力。
问题,
N S
① 电流周围具有磁性。且电流与磁铁、电流与电流之
间通过磁场相互作用。
电流和磁铁在磁现象中作用相似，谁为 根本？
三、磁性的起源～物质磁性的电本质。
安培假说：（ 1822年）
① 一切磁现象都是电流产生的（或运动电荷）
② 磁铁的磁性是分子电流产生的。
这一假说又称 分子环流假说 。
?物质由分子组成，分子
?
电子 (-):绕核旋转，自旋
原子核 (+):质子、中子
?电子的运动形成电流，激发磁场。一个分子可能含
多个原子，每个原子又可含多个电子。
一个分子所有运动着的电子激发的磁场，从总的
效果看，相当于一个环形电流所激发的磁场，此环
形电流～ 分子电流
分子电流产生的磁场在轴线上；其 方向 用右手定则
判定。
i
- + v?
N
S
磁中性
N
S
N
S
成功解
释现象,
① 磁铁具有磁性和被磁化；
③ 为什么不存在磁单极
总之：无论是磁铁，还是导线中的电流，它们的磁效
应均 起源 于电流 (即运动的电荷 ) 磁场力是电荷之间
的另一种力。
② 磁铁在外磁场中受到的力矩作用；
所以，磁场是电流 (即运动的电荷 )的场，磁场对电
流有力的作用。
分子电流的思想最早是由安培以假说形式提出来的，
近代物理的研究证实并丰富了这一思想。
如何研究磁场、利用磁场？
磁场有何性质？电流产生磁场有些什么规律？等等
1821年～ 1831年英国的物理学家和化学家法拉第从事
,磁生电, 的研究。～第十三章内容
其首要任务：如何描写磁场？
§ 11-1 磁场、磁感应强度
（ Magnetic Field, Magnetic Induction）
一、磁场
S N
磁铁 S N 磁铁
电流 电流
磁场 磁场
磁场 ---磁铁或电流周围存在的一种能显示磁力的物质。
磁场最基本的性质,
① 磁场对磁铁、电流、运动电荷均有磁作用力；
即磁场对磁极有力的作用；磁极与磁极之间的作
用是通过磁场来实现的。
I
② 载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对其
作功。
③ 与电场一样，磁场也是一种场类物质。
?下面借助于磁场中的小磁针来描述磁场方向,
当通有电流 I长直导线，各处
小磁针指向各异。
说明,小磁针所受磁力不同；
但其某一点，其指向
总是确定的。
N S
N S
规定,小磁针受磁力作用后，静止时，其 N极所
指方向即为该点磁场的方向。
磁
场
静电学中,
二、磁感应强度 B
q
+
v?
F
试验电荷 受力 0q F
0
FE
q
?定义：电场强度 描述电场
稳恒磁场中,
描述磁场
运动电荷 受磁力 Fq
定义：磁感应强度 B
参见 P127 图 11-1 电子射线在磁
场力作用下，发生偏转现象。
由大量实验得出,
① 运动电荷 在磁场中所受磁力
垂直于电荷运动的方向 ；
q F
v
Fv?即,
磁
场
0力线
④ 存在一个特殊的方向～, 0力线方向,,电荷沿这个
方向受力为零。
⑤ 存在一个特殊的平面～垂直于 0力线的平面，电
荷在这个平面内运动时受力最大。
只决定于
磁场强弱
q
+
v?
N
S
maxF
?
即小磁针北极所指的方向。
② 磁力 大小正比于运动
电荷电量 ；
F
q
Fq?即,
③ 磁力 大小正比于运动
电荷速率 ；
F
v
Fv?即,
m a xF qv?
即,m a x,F c o n st
qv
?且对空间一点,
定义磁感应强度 的大小及方向,B
磁
场
0力线
maxF
?
N
S
q
+
v?
即
② 大小：等于运动电荷所受最大磁作用力 与
的比值； qvmaxF
B?
① 正电荷 +q在磁场某点的运动方向 与小磁针 N指向
相同的方向，即 为该点 的方向；
v
0F ? B
m a xFB
qv
?
注：磁感应强度是描述磁
场强弱的位置点函数。按
其意义应称为, 磁场强
度, 。由于历史原因，一
般称为磁感应强度。
单位：在国际单位制中
量纲为,[MT?2I?1]
其它单位：高斯 (Gauss)
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m a x
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F NNBT
q v C m s A m
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（特斯拉）
41 1 0GT??
若某一区域内各点的磁感应强度均相同，该区域
内的磁场称为 均匀磁场 ；
若某一区域内各点的磁感应强度不相同，该区域
内的磁场称为 非均匀磁场。
§ 11-2 毕奥－萨伐尔定律 Biot-Savart Law
在计算静电场时，先确定点电荷的场强公式；
同理,
对任意形状的带电体视为点电荷的集合，用点电荷场
强公式＋场强叠加原理，求电场分布。
任意形状的载流导线视为无数小段电流组成。
只须知道小段电流产生磁场的规律，理论上可求出任
意电流激发的磁场分布。
毕奥－萨伐尔定律～小段电流产生磁场的规律；～与
点电荷的场强公式在静电场的地位相当。
一、毕奥－萨伐尔定律
1.电流元 Idl
Idl I
2.毕奥－萨伐尔定律内容
23
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dB
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NA
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在国际单位制中
p
称为真空磁导率
在载流导线上截取一线元,电流元的大小为 ；
方向：线元 电流流向。其为矢量。 dl Idldl
表述：电流元 在空间 点
产生的磁场 为,
P
dB
Idl
场源
场点
? 叠加原理：给出任一电流产生的磁场的分布
34
o
LL
I d l rB d B
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dB
I
dl
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dB
Idl
23
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44
ooI d l r I d l rdB
rr
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??? ? ? ?
说明,
毕 -萨定律是在实验基础上，经科学抽象提出的，不
可能用实验直接加以验证。
因为电流不可能单独存在，其正确性间接地得到证实：
由它推到结果与实验结果很好相符。
二、毕奥－萨伐尔定律应用举例 P131
c o s
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因为各电流元产生的磁场方向相同,
磁场方向垂直纸面向里所以只求标
量积分。磁场方向垂直纸面向里。
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例 1：载流长直导线的磁场。
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IB
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磁感应强度 的方向，与电流成右手螺旋关系，拇指
表示电流方向，四指给出磁场方向。 B
B?
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Y
Z
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?dB
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例 2(P132)：圆形载流导线的磁场
s i n 1? ?
解：建立坐
标分割电流。
由毕奥－萨
伐尔定律,34 o I d l rdB r?? ???
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s i nd B d B ?? ?
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结论,
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2 2 2r x R??
22
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代入以上积分不变量,
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圆形载流导线在其平面通过圆心的轴线上所激发的磁
场方向只有沿轴的分量，垂直于轴的分量和为零。
2
322
22 ()
o RIB
Rx
?
?
?
得出圆电流环，在其轴上
一点的磁场，磁场方向与
电流满足右手螺旋法则。
讨论,
② 若线圈为 N匝，每匝的电流仍为 I,
则圆心 O点处
2
o IB
R
??① 圆电流环中心的场强
0x?
x
RI
x
p
2
o NIB
R
??
③ 圆电流环中心的场强
xR??
2
3 3 32 2 2
o o oIR I S mB
x x x
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??
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32 2 32()R x x??
式中,～圆环电流的圆面积
其与电流的流向遵守右手螺旋定则。
nm ISe?定义：磁距
2SR??
ne
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S
I
[附 ]:电偶极子在中垂线
上无穷远处的电场强度,3
04
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o
P
E
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E?
p
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电偶极矩
3322
oo
n
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xx
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????
注意,只有圆电流的面积 S很小，或者场点距圆电流
很远时，才能把圆电流叫做 磁偶极子
对于轴线上任一点 P能否与之类推，即 部分园 电
流在 轴线上 P点 的磁感应强度为,
课堂练习,
④ 如果园电流仅为一部分，对应的角度
为,其圆心处的磁感应强度为,?
试问,
用 毕奥－萨伐尔定律求部分园
电流中心处的磁感应强度公式,
?
o
?
I
0
22
IB
R
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0
24
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R
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0 0 0
224 4 2 2
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2
322
222()
o RIB
Rx
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?
??
?
答：不能,∵⊥ 轴线上的
分量 ≠ 0,上式仅为 //分量。
2
322
22 []
o R I n d xdB
Rx
? ?
??
?
解：长度为 内的各匝
圆线圈的总效果，是一
匝圆电流线圈的 倍。
dx
ndx
例 3,(P133)载流螺旋管 (Solenoid)在其轴上的磁场
求半径为,总长度
,单位长度上的匝
数为 的螺线管在其
轴线上一点 P的磁场？
R
L
n
选坐标如图示
2?
1?
p
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x Ro
I
dx
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1x 2x
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2 2 2 2
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( ) ( 1 )
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2
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12( c o s c o s )2
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载流螺旋管在其轴上的磁场，磁场方向与电流满足
右手螺旋法则。
讨论,
① P点在螺旋管
轴线上的中点,
12? ? ???
12c o s c o s????
2
22
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2
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无限长直 螺旋管
的磁场分布图
oB n I???
在管端口处，磁场
等于中心处的一半。
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B
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② P点处在半
,无线长, 螺旋
管一端,
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1
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1
2 onI?
2l? 2l
1 2 3;;B B B
举例：一无限长载流导线弯成如图所示的形状，其电
流强度为,四分之三圆弧的半径为 R,其圆心为 o点。
求 o点处的磁感应强度 。 B
I
o I
R
解：将导线分成三段,
1,3～半无限长直导线
2～ 3/4圆弧
1
2
3
设各段在 o点激发的磁感应强度分别为,
1 2 3B B B B? ? ? ?
① 导线 1,// ;r Id l 0;Id l r??
1 0B??
② 3/4圆弧,
0 0 0
2
3
32
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B
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③ 导线 3,
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方向,?
0
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3( 1 )
42
IB B B
R
?
?? ? ? ? ?
方向,?
关于毕奥－萨伐尔定律补充说明,
该定律名称很不统一。也有不少书刊称为毕奥－
萨伐尔 — 拉普拉斯定律；也有称为安培定律或拉普
拉斯定律。另一点，很奇怪即称定律，却不能为实
验所验证。
其实此定律的形成是有一个过程的。最初由毕奥
－萨伐尔两人用实验方法证明长直载流导线周围的
另外，与静电学中，在理论结构上相当的定律是
安培定律：关于两个电流元的相互作用的规律。
B∝I/r 。尔后，拉普拉斯进一步从数学上证明：任
何闭合载流回路产生的磁场可视为由电流元的作用
迭加起来的。他由 毕奥－萨伐尔实验结果中，倒推
出毕奥－萨伐尔定律的 公式。从这里也可看出，
数学在人们认识世界、改造世界的巨大作用。
dB
1 2 1 2 1 2
12 2
sin sinI I d l d ld F K
r
???
而 毕奥－萨伐尔定律可由此定律中分解出来。
若从理论上的作用的重要性而言,毕奥－萨伐尔
定律与库仑定律相当。
总之 毕奥－萨伐尔定律是经
过许多科学家的努力得到的。
作业,P176 习题
11-4； 11-8
总结：用 毕奥－萨伐尔 定律求 分布 B?
① 将电流视为电流元集合（或典型电流集合）
② 由 毕奥－萨伐尔 定律（或典型电流磁场公式）得 B?d
BB ?? d??
③ 由叠加原理 (分量积分 )
典型电流磁场公式,
3,无限长载流直螺
线管内的磁场,nIB 0??
2,圆电流轴线上磁场,
1,无限长直电流,
a
IB
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2
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圆电流圆心处磁场,
2 00 RIB ?? 电流的磁矩,
nm ISe?
2
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四、运动电荷的磁场
n q v SVqnNq
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考虑一段导体，载流子带正电 q，以同一平均
速度 运动。
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在 P点产生的磁场,
nSdllId?这是 内 个运动电荷 产生的，故每个 电荷产生的磁场,
0
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的磁场,
注意：电荷有正负。
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～适用于 v<<c的情况 (不考虑相对效应 )
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例 4(P137) 设半径为 的带电薄圆盘的电荷面密度
为,并以角速率 绕通过盘心垂直盘面的轴转动，
求圆盘中心处的磁感强度。
R
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解：方法一
利用圆形电流环在
中心处激发的磁场
将圆盘分解成许多环形电
流元环带，其带电量为,2d q r d r???
每秒转动的圈数,
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方法二,运动电荷产
生的磁场,0 34 qv rB r?? ??
将圆盘分解成许多环形电
流元环带，其带电量为,2d q r d r???
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静止的电荷周围存在电场，而运动的电荷周围不但有
电场而且还存在磁场～ 电磁场 。
本章着重讨论稳恒电流 (或相对参考系以恒定速度运动
的电荷 )激发稳恒磁场～不随时间变化的磁场的规律和
性质。
主要内容
② 介绍电流激发磁场的规律～毕奥 — 萨伐尔定律；
③ 反映磁场性质的基本定理～磁场的高斯定理和安培环
路定理；
④ 磁场对运动电荷、电流的作用力～洛伦兹力、安培力。
① 引入描述磁场的基本物理量～磁感强度 ； B
结构框图
运
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磁
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磁场的高斯定理
安培环路定理
磁场的
基本性质
洛仑兹力
安培定律
带电粒子在磁场中的运动 霍耳效应
磁力和磁力矩 磁力的功
顺磁质、抗磁质和
铁磁质的磁化
磁场
强度
介质中的安培
环路定理
学时,10
本章研究方法与静电场非常相似，应有意识地对比。
常用的数学知识：①矢量叉乘 ②微积分 (定积分 )
引言,基本磁现象（ Basic Magnetic phenomena）
磁现象的发现要比电现象早得多。公元前六、七世
纪（春秋战国时期），就发现磁石吸铁现象；
东汉时期，发明了磁性指南器具～, 司南, ；十一
世纪北宋时，发明了, 指南针, 。
明朝郑和七下西洋比哥仑布、达加玛早半世纪
一、基本磁现象
① 我国是发现并最早应用磁现象的国家；
② 永久磁铁及其特性
天然磁铁 ----磁铁矿（ Fe3O4）
人造磁铁：用 Ni,Fe,Co合金制成条形、马蹄形等，
再放入通有电流的线圈中磁化成为永久磁铁。
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N S ?条形磁铁或磁针两端磁性特
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N S
?指向性,
指向北方的磁极～北极 N；指向南方的磁极～北极 S。
磁铁具有指向性的事实说明,
地球本身就是一个巨大的磁体，其 N极位于地理南
极附近，其 S极位于地理北极附近。
将磁针悬挂或支撑使其能在水平面内自由转动，磁针
自动地转向南北方向。
?目前还无法获得磁单极～磁极不能单独存在。
N S
S N S N S N S N S N S N S N S N
S N S N S N S N
S N S N
磁性、极性和极性的不可分割性
二、电流的磁效应
早期人们认为电现象和磁现象互不相干，直到十九
世纪初，才发现二者的联系。
1.载流直导线的磁效应
从 1807年～ 1820年 4月，丹麦物理学家奥斯特发现：
载流直导线周围的磁铁会受到力的作用而发生偏转。
演示,I
?如果周围没有其它磁性物质，小磁针仅受地磁场作
用指向南北；
?当导体通有电流时，小磁针发生偏转，达到一新的
平衡位置。
?说明,
电流对磁极有作用力，电流也能激发磁场与磁铁一样。
2.1820年 9月法国物理学家安培发现磁场对电流有作用
力；后来，又发现载流导线之间或载流线圈之间也有
相互作用。
N
S
N
S
F?
I
S N
演示,
I
I I
以上实验说明,
② 载流线圈的 N,S极可用右手螺旋法则定出。
电现象和磁现象之间是紧密联系的，电流和磁铁均能
在其周围激发磁场，磁场对电流和磁铁均施加作用力。
问题,
N S
① 电流周围具有磁性。且电流与磁铁、电流与电流之
间通过磁场相互作用。
电流和磁铁在磁现象中作用相似，谁为 根本？
三、磁性的起源～物质磁性的电本质。
安培假说：（ 1822年）
① 一切磁现象都是电流产生的（或运动电荷）
② 磁铁的磁性是分子电流产生的。
这一假说又称 分子环流假说 。
?物质由分子组成，分子
?
电子 (-):绕核旋转，自旋
原子核 (+):质子、中子
?电子的运动形成电流，激发磁场。一个分子可能含
多个原子，每个原子又可含多个电子。
一个分子所有运动着的电子激发的磁场，从总的
效果看，相当于一个环形电流所激发的磁场，此环
形电流～ 分子电流
分子电流产生的磁场在轴线上；其 方向 用右手定则
判定。
i
- + v?
N
S
磁中性
N
S
N
S
成功解
释现象,
① 磁铁具有磁性和被磁化；
③ 为什么不存在磁单极
总之：无论是磁铁，还是导线中的电流，它们的磁效
应均 起源 于电流 (即运动的电荷 ) 磁场力是电荷之间
的另一种力。
② 磁铁在外磁场中受到的力矩作用；
所以，磁场是电流 (即运动的电荷 )的场，磁场对电
流有力的作用。
分子电流的思想最早是由安培以假说形式提出来的，
近代物理的研究证实并丰富了这一思想。
如何研究磁场、利用磁场？
磁场有何性质？电流产生磁场有些什么规律？等等
1821年～ 1831年英国的物理学家和化学家法拉第从事
,磁生电, 的研究。～第十三章内容
其首要任务：如何描写磁场？
§ 11-1 磁场、磁感应强度
（ Magnetic Field, Magnetic Induction）
一、磁场
S N
磁铁 S N 磁铁
电流 电流
磁场 磁场
磁场 ---磁铁或电流周围存在的一种能显示磁力的物质。
磁场最基本的性质,
① 磁场对磁铁、电流、运动电荷均有磁作用力；
即磁场对磁极有力的作用；磁极与磁极之间的作
用是通过磁场来实现的。
I
② 载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对其
作功。
③ 与电场一样，磁场也是一种场类物质。
?下面借助于磁场中的小磁针来描述磁场方向,
当通有电流 I长直导线，各处
小磁针指向各异。
说明,小磁针所受磁力不同；
但其某一点，其指向
总是确定的。
N S
N S
规定,小磁针受磁力作用后，静止时，其 N极所
指方向即为该点磁场的方向。
磁
场
静电学中,
二、磁感应强度 B
q
+
v?
F
试验电荷 受力 0q F
0
FE
q
?定义：电场强度 描述电场
稳恒磁场中,
描述磁场
运动电荷 受磁力 Fq
定义：磁感应强度 B
参见 P127 图 11-1 电子射线在磁
场力作用下，发生偏转现象。
由大量实验得出,
① 运动电荷 在磁场中所受磁力
垂直于电荷运动的方向 ；
q F
v
Fv?即,
磁
场
0力线
④ 存在一个特殊的方向～, 0力线方向,,电荷沿这个
方向受力为零。
⑤ 存在一个特殊的平面～垂直于 0力线的平面，电
荷在这个平面内运动时受力最大。
只决定于
磁场强弱
q
+
v?
N
S
maxF
?
即小磁针北极所指的方向。
② 磁力 大小正比于运动
电荷电量 ；
F
q
Fq?即,
③ 磁力 大小正比于运动
电荷速率 ；
F
v
Fv?即,
m a xF qv?
即,m a x,F c o n st
qv
?且对空间一点,
定义磁感应强度 的大小及方向,B
磁
场
0力线
maxF
?
N
S
q
+
v?
即
② 大小：等于运动电荷所受最大磁作用力 与
的比值； qvmaxF
B?
① 正电荷 +q在磁场某点的运动方向 与小磁针 N指向
相同的方向，即 为该点 的方向；
v
0F ? B
m a xFB
qv
?
注：磁感应强度是描述磁
场强弱的位置点函数。按
其意义应称为, 磁场强
度, 。由于历史原因，一
般称为磁感应强度。
单位：在国际单位制中
量纲为,[MT?2I?1]
其它单位：高斯 (Gauss)
? ?
? ?
m a x
/
F NNBT
q v C m s A m
?? ? ? ? ???
??
（特斯拉）
41 1 0GT??
若某一区域内各点的磁感应强度均相同，该区域
内的磁场称为 均匀磁场 ；
若某一区域内各点的磁感应强度不相同，该区域
内的磁场称为 非均匀磁场。
§ 11-2 毕奥－萨伐尔定律 Biot-Savart Law
在计算静电场时，先确定点电荷的场强公式；
同理,
对任意形状的带电体视为点电荷的集合，用点电荷场
强公式＋场强叠加原理，求电场分布。
任意形状的载流导线视为无数小段电流组成。
只须知道小段电流产生磁场的规律，理论上可求出任
意电流激发的磁场分布。
毕奥－萨伐尔定律～小段电流产生磁场的规律；～与
点电荷的场强公式在静电场的地位相当。
一、毕奥－萨伐尔定律
1.电流元 Idl
Idl I
2.毕奥－萨伐尔定律内容
23
?
44
ooI d l r I d l rdB
rr
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??? ? ? ?r
Idl
dB
72
2
1 4 1 0 ( / )
o
o
NA
c
??
?
?? ? ?
在国际单位制中
p
称为真空磁导率
在载流导线上截取一线元,电流元的大小为 ；
方向：线元 电流流向。其为矢量。 dl Idldl
表述：电流元 在空间 点
产生的磁场 为,
P
dB
Idl
场源
场点
? 叠加原理：给出任一电流产生的磁场的分布
34
o
LL
I d l rB d B
r
?
?
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?
r
p
dB
I
dl
r
dB
Idl
23
?
44
ooI d l r I d l rdB
rr
??
??
??? ? ? ?
说明,
毕 -萨定律是在实验基础上，经科学抽象提出的，不
可能用实验直接加以验证。
因为电流不可能单独存在，其正确性间接地得到证实：
由它推到结果与实验结果很好相符。
二、毕奥－萨伐尔定律应用举例 P131
c o s
sino
lr
rr
?
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?
ol r c tg ?? ? ?
2/ s in
od l r d ????
因为各电流元产生的磁场方向相同,
磁场方向垂直纸面向里所以只求标
量积分。磁场方向垂直纸面向里。
?
r
or
dl
I
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B
2
1
2 2 2
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L
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???
例 1：载流长直导线的磁场。
34
o I d l rdB
r
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2
1
2 2 2
12
sin
sin
4 sin / sin 4
( c os c os )
4
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当,时,
1 0? ? 2???
2
o
o
IB
r
?
?
?
磁感应强度 的方向，与电流成右手螺旋关系，拇指
表示电流方向，四指给出磁场方向。 B
B?
I
x
?r
I
Y
Z
X O
lId? Bd?
//dB
?
?dB
p
R
例 2(P132)：圆形载流导线的磁场
s i n 1? ?
解：建立坐
标分割电流。
由毕奥－萨
伐尔定律,34 o I d l rdB r?? ???
?
// c o sd B d B ??
s i nd B d B ?? ?
p 24
o Id B d l
r
?
?
?
结论,
c o sxB B d B ??? ?
2 2 2r x R??
22
c o s RR
r Rx
? ??
?
代入以上积分不变量,
2 ;4
o Id B d l
r
?
?
?
22
c o s c o s 2
44
ooIIB d l R
rr
? ? ? ? ?
??
? ? ?? ? ?
?
圆形载流导线在其平面通过圆心的轴线上所激发的磁
场方向只有沿轴的分量，垂直于轴的分量和为零。
2
322
22 ()
o RIB
Rx
?
?
?
得出圆电流环，在其轴上
一点的磁场，磁场方向与
电流满足右手螺旋法则。
讨论,
② 若线圈为 N匝，每匝的电流仍为 I,
则圆心 O点处
2
o IB
R
??① 圆电流环中心的场强
0x?
x
RI
x
p
2
o NIB
R
??
③ 圆电流环中心的场强
xR??
2
3 3 32 2 2
o o oIR I S mB
x x x
? ? ?
??
? ? ?
32 2 32()R x x??
式中,～圆环电流的圆面积
其与电流的流向遵守右手螺旋定则。
nm ISe?定义：磁距
2SR??
ne
m
S
I
[附 ]:电偶极子在中垂线
上无穷远处的电场强度,3
04
e
o
P
E
r??
?
?
E?
p
eP ql?
电偶极矩
3322
oo
n
mmBe
xx
??
????
注意,只有圆电流的面积 S很小，或者场点距圆电流
很远时，才能把圆电流叫做 磁偶极子
对于轴线上任一点 P能否与之类推，即 部分园 电
流在 轴线上 P点 的磁感应强度为,
课堂练习,
④ 如果园电流仅为一部分，对应的角度
为,其圆心处的磁感应强度为,?
试问,
用 毕奥－萨伐尔定律求部分园
电流中心处的磁感应强度公式,
?
o
?
I
0
22
IB
R
? ?
??
0
24
I dldB
R
?
??
0 0 0
224 4 2 2
IIIB d B d l R
R R R
? ? ? ??
? ? ?? ? ? ? ? ???
2
322
222()
o RIB
Rx
? ?
?
??
?
答：不能,∵⊥ 轴线上的
分量 ≠ 0,上式仅为 //分量。
2
322
22 []
o R I n d xdB
Rx
? ?
??
?
解：长度为 内的各匝
圆线圈的总效果，是一
匝圆电流线圈的 倍。
dx
ndx
例 3,(P133)载流螺旋管 (Solenoid)在其轴上的磁场
求半径为,总长度
,单位长度上的匝
数为 的螺线管在其
轴线上一点 P的磁场？
R
L
n
选坐标如图示
2?
1?
p
l
x Ro
I
dx
?
1x 2x
x
x R c tg ??
2 2 2 2
22
( ) ( 1 )
c s c
R x R c tg
R
?
?
? ? ?
?
2c s cd x R d????
2
1
2
1
32
33
c sc
2 c sc
sin
2
o
o
nI Rd
B
R
nI
d
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?
?
?
? ??
?
?
??
?
? ? ?
? ? ?
?
?
12( c o s c o s )2
o nIB ? ??? ? ?
载流螺旋管在其轴上的磁场，磁场方向与电流满足
右手螺旋法则。
讨论,
① P点在螺旋管
轴线上的中点,
12? ? ???
12c o s c o s????
2
22
2c os
()
2
l
l R
? ?
?
无限长直 螺旋管
的磁场分布图
oB n I???
在管端口处，磁场
等于中心处的一半。
12/ 2,0,? ? ???
B
x
0
02
22
c o s
2 ()
2
nI l
B n I
l R
?
????
?
lR??当
12,0? ? ???即
② P点处在半
,无线长, 螺旋
管一端,
12,/ 2? ? ? ???
1
2 oB nI???
onI?
1
2 onI?
2l? 2l
1 2 3;;B B B
举例：一无限长载流导线弯成如图所示的形状，其电
流强度为,四分之三圆弧的半径为 R,其圆心为 o点。
求 o点处的磁感应强度 。 B
I
o I
R
解：将导线分成三段,
1,3～半无限长直导线
2～ 3/4圆弧
1
2
3
设各段在 o点激发的磁感应强度分别为,
1 2 3B B B B? ? ? ?
① 导线 1,// ;r Id l 0;Id l r??
1 0B??
② 3/4圆弧,
0 0 0
2
3
32
2 2 2 2 8
I I I
B
R R R
?? ? ??
??
? ? ?方向,?
③ 导线 3,
1 ;2
?? ?
2 ;???
00
3 1 2( c o s c o s )44
IIB
RR
?? ??
??? ? ? ?
方向,?
0
23
3( 1 )
42
IB B B
R
?
?? ? ? ? ?
方向,?
关于毕奥－萨伐尔定律补充说明,
该定律名称很不统一。也有不少书刊称为毕奥－
萨伐尔 — 拉普拉斯定律；也有称为安培定律或拉普
拉斯定律。另一点，很奇怪即称定律，却不能为实
验所验证。
其实此定律的形成是有一个过程的。最初由毕奥
－萨伐尔两人用实验方法证明长直载流导线周围的
另外，与静电学中，在理论结构上相当的定律是
安培定律：关于两个电流元的相互作用的规律。
B∝I/r 。尔后，拉普拉斯进一步从数学上证明：任
何闭合载流回路产生的磁场可视为由电流元的作用
迭加起来的。他由 毕奥－萨伐尔实验结果中，倒推
出毕奥－萨伐尔定律的 公式。从这里也可看出，
数学在人们认识世界、改造世界的巨大作用。
dB
1 2 1 2 1 2
12 2
sin sinI I d l d ld F K
r
???
而 毕奥－萨伐尔定律可由此定律中分解出来。
若从理论上的作用的重要性而言,毕奥－萨伐尔
定律与库仑定律相当。
总之 毕奥－萨伐尔定律是经
过许多科学家的努力得到的。
作业,P176 习题
11-4； 11-8
总结：用 毕奥－萨伐尔 定律求 分布 B?
① 将电流视为电流元集合（或典型电流集合）
② 由 毕奥－萨伐尔 定律（或典型电流磁场公式）得 B?d
BB ?? d??
③ 由叠加原理 (分量积分 )
典型电流磁场公式,
3,无限长载流直螺
线管内的磁场,nIB 0??
2,圆电流轴线上磁场,
1,无限长直电流,
a
IB
?
?
2
0?
圆电流圆心处磁场,
2 00 RIB ?? 电流的磁矩,
nm ISe?
2
332 2 2 2
2222( ) ( )
ooR I mBi
R x R x
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?
??
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四、运动电荷的磁场
n q v SVqnNq
t
qI ?????
?
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考虑一段导体，载流子带正电 q，以同一平均
速度 运动。
v?
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I
dl
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n S d lqv r
r
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?
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?
在 P点产生的磁场,
nSdllId?这是 内 个运动电荷 产生的，故每个 电荷产生的磁场,
0
34
d B q v r
B
d N r
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Id l jS d l
n S d lq v
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+ + +
+
+
+
I
dl
S
v? 在 P点产生
的磁场,
注意：电荷有正负。
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2
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B
?
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P
～适用于 v<<c的情况 (不考虑相对效应 )
R
?
o
例 4(P137) 设半径为 的带电薄圆盘的电荷面密度
为,并以角速率 绕通过盘心垂直盘面的轴转动，
求圆盘中心处的磁感强度。
R
? ?
0
2
IB
r
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r
dr
解：方法一
利用圆形电流环在
中心处激发的磁场
将圆盘分解成许多环形电
流元环带，其带电量为,2d q r d r???
每秒转动的圈数,
2n
?
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0
0
1
22
dId B d r
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1
2
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0
1
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方向,?
方法二,运动电荷产
生的磁场,0 34 qv rB r?? ??
将圆盘分解成许多环形电
流元环带，其带电量为,2d q r d r???
vr??? vr??
00
032
21
4 4 2
v r d q r r d rd B d r
rr
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1
2
RB d B d r? ??? ? ??? 方向,?
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1
2 R? ???
