§ 14-3 简谐振动的能量
2222 11sin()
22 K
EmvmAt ??? ???
222 11cos()
22 P EkxkAt ?? ???
动能
势能
以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。
系统总的机械能,
22222 11
sin()cos()
22
KP
EEE
mAtkAt ?????
??
????
P KE E E? ?
～表明简谐振动
的机械能守恒。
2 2 211
22
E m A k A?? ? ?
2 km? ?
能量平均值
2
00
2 2 2
4
1 d ) ( sin
2
1 1kA t t A m
T E
T
K? ? ??? ? ?
2
00
2 2
4
1 d ) ( cos
2
1 1kA t t kA
T E
T
P? ? ??? ?
2 E E EP K? ? ～对任一谐振系统均成立 。
谐振子的动能, 势能和总能量随时间的变化曲线,
tAx ?c o s? txO
2
2
1 kAE ?
PE
kE tO
E
简谐振动的机械能守恒
简谐振动的总能量与振幅的平方成正比
例 1,一质量为 m 的平底船, 其平均水平截面积为 S，
吃水深度为 h,如不计水的阻力, 求此船在竖直方向
的振动周期 。
解, 船静止时, 浮力与重力平衡
mghSg ??
O
y
P P y
船在任一位置时, 以水面为坐标原点,竖直向
下的坐标轴为 y 轴, 船的位移用 y 表示 。
船的位移为 y 时船所受合力为,
SgymgSgyhf ?? ?????? )(
船在竖直方向作简谐振动, 其角频率和周期为,
m
Sg?? ?
gS
mT
???
? 22 ??
∵,Shm ??
g
hT ?2?
∴
§ 15-5 同方向的简谐振动的合成
一, 同方向同频率的两个简谐振动的合成
设,一质点同时参与沿同一方向 (x 轴 )的两个独
立的同频率的简谐振动，两个振动位移为,
1 1 1c o s ( )x A t???? 2 2 2c o s ( )x A t????
合位移,
12 c o s ( )x x x A t??? ? ? ?
22
1 2 1 2 2 12 c o s ( )A A A A A ??? ? ? ?
1122
1122
sinsin tg
coscos
AA
AA
?? ?
??
? ?
?
合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。
?
1 A
?
1?
2x
2 1A A A
? ? ?? ?
A?矢量沿 X 轴之投影表征了合运动的规律 。
旋转矢量图示法
XO
2 A
?
2?
1x x
(1)当相位差
21 ()2k ???? ????
同相迭加, 合振幅最大 。
2 1A A A? ?
反相迭加, 合振幅最小 。
当 A1=A2 时, A=0。
(3)通常情况下, 合振幅介于 和 之间 。 2 1A A?
2 1A A?
讨论,
1 A?
2 A
?
XO
1 A
?
2 A
?
XO
(0,1,2,........) k???
2 1A A A? ?
(2)当相位差
21 ()(21) k ???? ?????
(0,1,2,........) k???
求,它们的合振动的振幅和初相。
解,采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦
琐的三角函数运算。
根据矢量合成法则,N 个简谐振动对应的旋转矢量
的合成如下图所示,
二, 多个同方向同频率简谐振动的合成
设,N 个同方向、同频率的简谐振动，其振幅相等，
且依次间位相差恒为, N 个振动表达式可写成 ??
11cos xAt ? ?
22cos() xAt ?? ???
......
cos{(1)} NNxAtN ?? ????
O X
1A
2A
3A
4A
5A
??
??
??
??
P
A?
Q
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为,上图
中各个矢量的起点和终点都在以 P 为圆心的圆周上，
根据简单的几何关系，可得
??
O P Q N ?? ? ?
O P B ?? ? ?
B
R
...P O P B P Q R? ? ? ?
1 2 0.....,NA A A A? ? ? ?
)c o s ( ?? ?? tAx
在三角形 OPQ 中,OQ 的长度就是和振动位移矢量的
位移,角度 就是和振动的初相，得, QOX?
2 sin( )
2
NAR ???
0 2 sin( )2AR
???
0 sin ( ) sin ( )22
NAA ?????
Q O B P O B P O Q? ? ? ? ? ? ?
1 1 1( ) ( )
2 2 2
NN? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?
当 时 (同相合成 )，有 0???
0,A N A? 0? ? 。
三, 两个同方向不同频率简谐振动的合成 拍
11112222 cos(),cos() xAtxAt ???? ????
设,
两个简谐振动的频率 和 很接近，且 1? 2? 12 ?? ?
2 1 2 1
12 c o s( ) c o s( )22A t t
? ? ? ?????
两个简谐振动合成得,
12AA?
12 xxx ??
120 ????
2 1 2 1
12 c o s 2 c o s 222x A t t
? ? ? ?????????
????
21
12
2 ??
?? ???因,~ 21 ?? 112 ??? ???或,2? 有
在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时
间作缓慢变化,第二项是角频率近于 的简谐
函数。合振动可视为是角频率为,振幅为
的简谐振动。
1?或 2? 2)(
21 ?? ? 2)(c o s2
12 tA ?? ?
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动
出现时强时弱的 拍现象 。
拍频,单位时间内强弱变化的次数 。
21
212
??? ? ?
?
?? ? ?
t
1x
t2
x
t
x
四、相互垂直的同频率的简谐振动的合成
两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式
消时间参数, 得
11c o s ( )x A t????
22
2
2 1 2 122
1 2 1 2
2 c o s ( ) s in ( )x y x y
A A A A
? ? ? ?? ? ? ? ?
22c o s ( )y A t????
～ 椭圆方程
～椭圆的性质 (方位, 长短轴, 左右旋 )在 A1, A2
确定之后,主要决定于 。
21 ??? ???
x
A
Ay
1
2?
xAAy
1
2??
几种特殊情况,
(1),两个分振动同相位, 得 21 0????
(2),两个分振动反相位, 得 21? ? ???
12
2
2
2
1
2
??
A
y
A
x
12
2
2
2
1
2
??
A
y
A
x
～ 这是坐标轴为主轴的椭圆，
质点的轨迹是顺时针旋转。
与 (3)相同，只是质点的轨迹
沿逆时针旋转。
(3), 得 21 2?????
(4), 得
21 3 2?????
～ 右旋椭圆运动
～ 左旋椭圆运动
对应不同相位差的合运动轨迹
21 0????
21? ? ???
4? 2? 3 4?
5 4? 3 2? 7 4?
五、两个相互垂直的不同频宰的简谐运动的合成
合运动具有稳
定封闭的轨迹
李萨如图形
讨论,相互垂
直、频率成简
单整数比
作业：习题
P39 14-22
14-27
2222 11sin()
22 K
EmvmAt ??? ???
222 11cos()
22 P EkxkAt ?? ???
动能
势能
以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。
系统总的机械能,
22222 11
sin()cos()
22
KP
EEE
mAtkAt ?????
??
????
P KE E E? ?
～表明简谐振动
的机械能守恒。
2 2 211
22
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能量平均值
2
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2 2 2
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1 1kA t t kA
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2 E E EP K? ? ～对任一谐振系统均成立 。
谐振子的动能, 势能和总能量随时间的变化曲线,
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2
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PE
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简谐振动的机械能守恒
简谐振动的总能量与振幅的平方成正比
例 1,一质量为 m 的平底船, 其平均水平截面积为 S，
吃水深度为 h,如不计水的阻力, 求此船在竖直方向
的振动周期 。
解, 船静止时, 浮力与重力平衡
mghSg ??
O
y
P P y
船在任一位置时, 以水面为坐标原点,竖直向
下的坐标轴为 y 轴, 船的位移用 y 表示 。
船的位移为 y 时船所受合力为,
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船在竖直方向作简谐振动, 其角频率和周期为,
m
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∵,Shm ??
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∴
§ 15-5 同方向的简谐振动的合成
一, 同方向同频率的两个简谐振动的合成
设,一质点同时参与沿同一方向 (x 轴 )的两个独
立的同频率的简谐振动，两个振动位移为,
1 1 1c o s ( )x A t???? 2 2 2c o s ( )x A t????
合位移,
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1122
1122
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合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。
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A?矢量沿 X 轴之投影表征了合运动的规律 。
旋转矢量图示法
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(1)当相位差
21 ()2k ???? ????
同相迭加, 合振幅最大 。
2 1A A A? ?
反相迭加, 合振幅最小 。
当 A1=A2 时, A=0。
(3)通常情况下, 合振幅介于 和 之间 。 2 1A A?
2 1A A?
讨论,
1 A?
2 A
?
XO
1 A
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2 A
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2 1A A A? ?
(2)当相位差
21 ()(21) k ???? ?????
(0,1,2,........) k???
求,它们的合振动的振幅和初相。
解,采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦
琐的三角函数运算。
根据矢量合成法则,N 个简谐振动对应的旋转矢量
的合成如下图所示,
二, 多个同方向同频率简谐振动的合成
设,N 个同方向、同频率的简谐振动，其振幅相等，
且依次间位相差恒为, N 个振动表达式可写成 ??
11cos xAt ? ?
22cos() xAt ?? ???
......
cos{(1)} NNxAtN ?? ????
O X
1A
2A
3A
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P
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因各个振动的振幅相同且相差依次恒为,上图
中各个矢量的起点和终点都在以 P 为圆心的圆周上，
根据简单的几何关系，可得
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B
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...P O P B P Q R? ? ? ?
1 2 0.....,NA A A A? ? ? ?
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在三角形 OPQ 中,OQ 的长度就是和振动位移矢量的
位移,角度 就是和振动的初相，得, QOX?
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当 时 (同相合成 )，有 0???
0,A N A? 0? ? 。
三, 两个同方向不同频率简谐振动的合成 拍
11112222 cos(),cos() xAtxAt ???? ????
设,
两个简谐振动的频率 和 很接近，且 1? 2? 12 ?? ?
2 1 2 1
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两个简谐振动合成得,
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在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时
间作缓慢变化,第二项是角频率近于 的简谐
函数。合振动可视为是角频率为,振幅为
的简谐振动。
1?或 2? 2)(
21 ?? ? 2)(c o s2
12 tA ?? ?
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动
出现时强时弱的 拍现象 。
拍频,单位时间内强弱变化的次数 。
21
212
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四、相互垂直的同频率的简谐振动的合成
两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式
消时间参数, 得
11c o s ( )x A t????
22
2
2 1 2 122
1 2 1 2
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22c o s ( )y A t????
～ 椭圆方程
～椭圆的性质 (方位, 长短轴, 左右旋 )在 A1, A2
确定之后,主要决定于 。
21 ??? ???
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A
Ay
1
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几种特殊情况,
(1),两个分振动同相位, 得 21 0????
(2),两个分振动反相位, 得 21? ? ???
12
2
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～ 这是坐标轴为主轴的椭圆，
质点的轨迹是顺时针旋转。
与 (3)相同，只是质点的轨迹
沿逆时针旋转。
(3), 得 21 2?????
(4), 得
21 3 2?????
～ 右旋椭圆运动
～ 左旋椭圆运动
对应不同相位差的合运动轨迹
21 0????
21? ? ???
4? 2? 3 4?
5 4? 3 2? 7 4?
五、两个相互垂直的不同频宰的简谐运动的合成
合运动具有稳
定封闭的轨迹
李萨如图形
讨论,相互垂
直、频率成简
单整数比
作业：习题
P39 14-22
14-27
