§ 8-4 电场强度通量 高斯定理
① 曲线上每一点的切线方向表示该点电场
强度 的方向。 E
1.定义,
一、电场线 (electric line of force)
～描述电场分布情况的曲线；能表示场强的方向和
大小的曲线。
规定,
?
?
dS
dNE E
?
② 曲线的疏密表示该点处场强 的大小。即：垂
直通过单位面积的电场线条数 (电场线密度 )，在
数值上就等于该点处电场强度的大小
E
dS?
几种常见的电场线：
参见 P17 图 8-16
-
?+
-
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
+
2.静电场中电场线 的性质,
① 电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。
② 任何两条 电场线均不会相交。（反证法）空间各
点的的方向是唯一的。
③ 电场线起始于正电荷终止于负电荷，不会形成闭合
曲线。
1.定义
二、电场强度通量
通过电场中任一曲面的电场线
条数。 称为通过这 曲面 的 电场
强度通量（电通量） ?e
E?
dS
? E
?
// E
?
1、均匀电场中通过平面 S的电通量
E? ?
n?
E?
?
dNE
dS ?
? ed E d S ?? ? ?
定义,矢量面元 d S d S n??
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
?dS
dS
n?
?
E?
c o s ( ) c o sd S d S E n d S ??? ??
因此电通量,SdEd
e
?? ???
e ES?? c o se E S E S?? ? ? ?
2、非均匀电场的电通量
?
n?
E?? ? ???? S Se SdEdE
????c o s
3.对闭合曲面的电通量,
? ??? Se SdE ??
E
n n
n
S
规定：封闭曲面外法向为正
① 穿入的电场线
② 穿出的电场线
09 0,0
ed? ? ? ?
c o sed E d S E d S ?? ? ? ?
09 0,0
ed? ? ? ?
09 0,0
ed? ? ? ?
③
三、静电场的高斯定理 Gauss theorem
表
述
,
e?
0?
静电场中任何一闭合曲面 S的电通量,等于
该曲面所包围的电荷的代数和的 分之一倍。
??? ??
ii n s i d e
iS qSdE
,0
1
?
??
数学表达式
证明：可用库仑定律和叠加原理证明。
① 证明包围点电荷 的同心球面 的电通量 等于 q S
e?
0?
q
球面上各点的场强方向与其径向相同。
球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
dS
r
qE d SSdEd
e 2
04
1
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E?
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0
2
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2
0 44 ?????
qdS
r
qdS
r
qd
S S See
?????? ?? ?? ??
此结果与球面的半径无关。换句话说,
通过各球面的电力线总条数相等。 从
发出的电力线连续的延伸到无穷远。 q
q
r?
E?
② 证明包围点电荷 的任一闭合曲面 的
电通量 等于
q S
e? 0/?q
立体角 solid angle
2r
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立体角
2r
dSd ?? ?c o s'dSdS ?
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22
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04 ??
004
ee SS
qqdd
? ? ?
? ? ? ? ? ? ???
实际上因为电力线不会中断（连续性），所以
通过闭合曲面 和 的电力线数目是相等的。 'S S
'dS
dS
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?d
?
?4??? ??
S
d
可以证明，略。
由于 电力线的连续性 可知,
穿入与穿出任一闭合曲面
的电通量应该相等。所以
当闭合曲面无电荷时，电
通量为零。
③ 证明不包围点电荷的任一闭合曲面 的
电通量恒等于零。
S
E?
q
'dS
''dS
④ 证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的
电通量的代数和。
iq
2q
1q利用 场强叠加原理 可证。
1 2 3()e
SS
E dS E E E dS? ? ? ? ? ? ? ??? ??
??? ????????????
ii n s i d e
ieneeSe qSdE
,0
21
1
?
?
??
说明,
E?① 高斯定律中的场强 是由 全部电荷 产生的。
② 通过闭合曲面的 电通量只决定于它所包含的
电荷,闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。
?? ?? ?? ?????? S S S n SdESdESdE 221 ???????
意义,电场线始于正电荷，终止于负电荷，不形
成闭合曲线，进入高斯面 S的电场线根数与穿出的
电场根数相等。
③ 闭合曲面内 =∑q i＝ 0，则 0
S E d S????
四,高斯定理的应用举例
～当 场源电荷分布具有某种对称性时,应用高斯定
理，关键是选取适当的 高斯面,使面积分
中的 能以标量形式提出来，即可求出场强。
?? ?S SdE ??
E
② 另一部分高斯面上 E dS?
1.选取高斯
面 S的原则是,
④ 高斯定理来源于库仑定律，但其应用范围比库仑
定律更广泛。
?库仑定律～静电场
?高斯定理～静电场、变化电场
～电磁场理论的基本方程之一
① 高斯面上 处处相等 E//dS E
(2)轴对称性：如无限长均匀带电直线，无限长均匀
带电圆柱体或圆柱面，无限长均匀带电同轴圆柱面等
(3)面对称性：如无限大均匀带电平面或平板，或若
干个无限大均匀带电平行平面等
均匀带电无限大平板 均匀带电细棒
E?
l
S
?
O r
p o
p
? E
?
S?
① 球对称性：如点电荷，均匀带电球面或球体，均
匀带电同心球面等；
均匀带电球壳
E?
Q
2,典型的对称性有,
例 2(P26)均匀带电的球壳内外的场强分布。
设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。
解,场源的对称性决定着场强分布的对称性。
具有与场源同心的球对称性。选同心球
面为高斯面，场强的方向沿着径向，且
在球面上的场强处处相等。
当 高斯面内电荷为 Q,Rr ?
2
0
4
e
SS
E dS E dS
Q
Er ?
?
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?? ??
，
高斯面
高斯面
E?
Q
均匀带电球壳
R
r
所以,
结果表明,
均匀带电球壳外的场强分
布正象球面上的电荷都集
中在球心时所形成的点电
荷在该区的场强分布一样。
在球面内的场强均为零。
E
Q
R
r
204
Qr??
RrE ??? 0?
当 高斯面内电荷为 0 Rr ?
2
04
r
QE e r R
r??? ? ?
例 3(P27)求无限长均匀带电直线的场强分布。
设线电荷密度为 ?
该电场分布具有轴对称性。
距离导线 r 处一点 p 点的
场强方向一定垂直于带电直导线
沿径向，并且和 P点在同一圆柱
面 (以带电直导线为轴 )上的各点
场强大小也都相等，都沿径向。
以带电直导线为轴，作一个通过 P点,
高为 的圆筒形封闭面为高斯面 S,
通过 S面的电通量为圆柱侧面和上下
底面三部分的通量。
h
E?
h
S
?
O r
p
?? ?? ????? S f a c es i d ee SdESdE ????
因上、下底面的场强方向与面平行,
其电通量为零。即式中后两项为零。
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i n s i d e
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此闭合面包含的电荷总量
0
12
e s i d e s i d e
f a c e f a c e
E d S E d S E r h h??
?
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???? ???? b o t t o mt o p SdESdE ????
02
E
r
?
??
?
其方向沿求场点到直导线的垂线
方向。正负由电荷的符号决定。
E?
h
S
?
O r
p
因电荷均匀分布在无限大的平面上,
所以，电场分布对该平面对称。
解,
当 场强指离平面。 0? ?
当 场强方向指向平面。 0? ?
例 4(P27)、求无限大均匀带电平板的场强分布。
设面电荷密度为 ?
o
p
?
E?
S?由于电荷分布对于求场点 p
到平面的垂线 oP 是对称的
～ P点的场强必然垂直于该
平面。
即离平面等远处的场强大小都相等、方向都垂直
于平面。
选一其轴垂直于带电平面的 圆筒式封闭面作为高斯面
S，带电平面平分此圆筒，场点 p位于它的一个底面
上。由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法
线方向，所以电通量为零；又两个底面上场强相等、
电通量相等，均为穿出。
SESdESdESdE
f a c e
r i g h tS
f a c e
l e f te ????????? ???? ?? 2
??????
0
2 SES ?
?
??? 场强方向垂直于带电平面。
02
E ?
?
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场强方向指离平面 ; 0? ?
场强方向指向平面。 0? ?
例 5 求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。设
面电荷密度分别为 和 ?? ??
1 ?? ??2
解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用
高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯
定律求出,然后再用叠加原理 求两个带电平面产生
的总场强。
??
BA
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C
作业,P53
8-20 8-21
002
2
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～平行板电容器间的场强。
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① 曲线上每一点的切线方向表示该点电场
强度 的方向。 E
1.定义,
一、电场线 (electric line of force)
～描述电场分布情况的曲线；能表示场强的方向和
大小的曲线。
规定,
?
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② 曲线的疏密表示该点处场强 的大小。即：垂
直通过单位面积的电场线条数 (电场线密度 )，在
数值上就等于该点处电场强度的大小
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几种常见的电场线：
参见 P17 图 8-16
-
?+
-
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
+
2.静电场中电场线 的性质,
① 电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。
② 任何两条 电场线均不会相交。（反证法）空间各
点的的方向是唯一的。
③ 电场线起始于正电荷终止于负电荷，不会形成闭合
曲线。
1.定义
二、电场强度通量
通过电场中任一曲面的电场线
条数。 称为通过这 曲面 的 电场
强度通量（电通量） ?e
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1、均匀电场中通过平面 S的电通量
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定义,矢量面元 d S d S n??
大小等于面元的面积，方向取其法线方向。
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2、非均匀电场的电通量
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3.对闭合曲面的电通量,
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规定：封闭曲面外法向为正
① 穿入的电场线
② 穿出的电场线
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③
三、静电场的高斯定理 Gauss theorem
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述
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该曲面所包围的电荷的代数和的 分之一倍。
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证明：可用库仑定律和叠加原理证明。
① 证明包围点电荷 的同心球面 的电通量 等于 q S
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球面上各点的场强大小由库仑定律给出。
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通过各球面的电力线总条数相等。 从
发出的电力线连续的延伸到无穷远。 q
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② 证明包围点电荷 的任一闭合曲面 的
电通量 等于
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可以证明，略。
由于 电力线的连续性 可知,
穿入与穿出任一闭合曲面
的电通量应该相等。所以
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通量为零。
③ 证明不包围点电荷的任一闭合曲面 的
电通量恒等于零。
S
E?
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④ 证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的
电通量的代数和。
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说明,
E?① 高斯定律中的场强 是由 全部电荷 产生的。
② 通过闭合曲面的 电通量只决定于它所包含的
电荷,闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。
?? ?? ?? ?????? S S S n SdESdESdE 221 ???????
意义,电场线始于正电荷，终止于负电荷，不形
成闭合曲线，进入高斯面 S的电场线根数与穿出的
电场根数相等。
③ 闭合曲面内 =∑q i＝ 0，则 0
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四,高斯定理的应用举例
～当 场源电荷分布具有某种对称性时,应用高斯定
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中的 能以标量形式提出来，即可求出场强。
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E
② 另一部分高斯面上 E dS?
1.选取高斯
面 S的原则是,
④ 高斯定理来源于库仑定律，但其应用范围比库仑
定律更广泛。
?库仑定律～静电场
?高斯定理～静电场、变化电场
～电磁场理论的基本方程之一
① 高斯面上 处处相等 E//dS E
(2)轴对称性：如无限长均匀带电直线，无限长均匀
带电圆柱体或圆柱面，无限长均匀带电同轴圆柱面等
(3)面对称性：如无限大均匀带电平面或平板，或若
干个无限大均匀带电平行平面等
均匀带电无限大平板 均匀带电细棒
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① 球对称性：如点电荷，均匀带电球面或球体，均
匀带电同心球面等；
均匀带电球壳
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2,典型的对称性有,
例 2(P26)均匀带电的球壳内外的场强分布。
设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。
解,场源的对称性决定着场强分布的对称性。
具有与场源同心的球对称性。选同心球
面为高斯面，场强的方向沿着径向，且
在球面上的场强处处相等。
当 高斯面内电荷为 Q,Rr ?
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所以,
结果表明,
均匀带电球壳外的场强分
布正象球面上的电荷都集
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该电场分布具有轴对称性。
距离导线 r 处一点 p 点的
场强方向一定垂直于带电直导线
沿径向，并且和 P点在同一圆柱
面 (以带电直导线为轴 )上的各点
场强大小也都相等，都沿径向。
以带电直导线为轴，作一个通过 P点,
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底面三部分的通量。
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因电荷均匀分布在无限大的平面上,
所以，电场分布对该平面对称。
解,
当 场强指离平面。 0? ?
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例 4(P27)、求无限大均匀带电平板的场强分布。
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S?由于电荷分布对于求场点 p
到平面的垂线 oP 是对称的
～ P点的场强必然垂直于该
平面。
即离平面等远处的场强大小都相等、方向都垂直
于平面。
选一其轴垂直于带电平面的 圆筒式封闭面作为高斯面
S，带电平面平分此圆筒，场点 p位于它的一个底面
上。由于圆筒侧面上各点的场强方向垂直于侧面的法
线方向，所以电通量为零；又两个底面上场强相等、
电通量相等，均为穿出。
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场强方向指向平面。 0? ?
例 5 求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。设
面电荷密度分别为 和 ?? ??
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解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用
高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯
定律求出,然后再用叠加原理 求两个带电平面产生
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