一、定义
其主要 特征 是动量守恒。
1 1 0 2 2 0 1 1 2 2m v m v m v m v? ? ?
如打桩，基本粒子在加速器中的散射，两球组
成的系统发生的 对心碰撞 。
两球在踫撞前的相对速度沿着两球心的连线的碰撞。
§ 3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
两个或两个以上的物体在相遇的极短促
时间内产生非常之大的相互作用力，而其他的相
互作用力相对来说显得微不足道的过程。
1.碰撞,
分类, 弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞
2.弹性碰撞,
v2 v1 v20 v10
2211202101 vmvmvmvm ???
动量守恒,
动能守恒,2
22
2
11
2
202
2
101 2
1
2
1
2
1
2
1 vmvmvmvm ???
解得,
? ?
21
2021021
1
2
mm
vmvmmv
?
???
? ?
21
1012012
2
2
mm
vmvmmv
?
???
碰撞后物体的变形可以完全恢复，
且碰撞前后系统的总机械能守恒。
请看 弹性碰撞示例
参见教材
P92～ 94例 2
的结论。
参见教材
P92例 2,
3.完全非弹性碰撞,
动量守恒,
vmmvmvm )( 21202101 ???
21
202101
mm
vmvmv
?
??
机械能损失,
)2121()(21 220221012210 vmvmvmmEEE kk ???????
)(2
)(
21
2
201021
mm
vvmmE
?
???
碰撞过程中物体的变形完全不能恢复，以致两
物体合为一体一起运动,即两物体在非弹性碰撞
后以同一速度运动。 系统有机械能损失。
动量守恒,
4.非弹性碰撞,
2211202101 vmvmvmvm ???
碰撞定律,碰撞后两球的分离速度（ v2-v1）与碰撞
前两球的接近速度（ v10-v20）成正比。
比值由两球的质料决定。
2010
12
vv
vve
?
?? e 称为恢复系数
弹性碰撞,e =1 （ v2-v1） = （ v10-v20）
完全非弹性碰撞,e =0 v2=v1
非弹性碰撞,0 < e < 1
碰撞后物体的变形只有部分恢复，
系统有部分机械能损失。
举例 教材 P105 习题 3-28,如图所示，质量为
的子弹水平地穿过摆锤后，速率由 减少到 。
已知摆锤的质量为,摆长 。如果摆锤恰能在
垂直平面内完成一个完全的圆周运动，求子弹速度
的最小值应多少？不计一切摩擦。
m?
m
v 2v
l
总之,碰撞问题属于系统的动量守恒定律问题，而弹
性碰撞和非弹性碰撞之分是与机械能守恒与否有关。
2v
l
v
o
m?m
解,该题可分为两个过程,
①子弹射穿摆锤的过程。
以子弹与摆锤作为一系统，由于
穿越过程的时间很短，重力和绳
的张力在水平方向的冲量远小于 mg?
T
v?
mg?T?
x
选最底点为重力势能零点，则有,
0
2211 2
22m v m gl m v? ? ? ? ???
冲击力的冲量。因此，系统在水平方向不受外力的
冲量的作用，系统沿 水平 方向的动量守恒。
02
vm v m m v????
② 摆锤作铅直圆周运动，取摆锤与地球为系统，受
重力 Mg（保守性内力）和摆线拉力 T（系统的外力）
作用，在上述运动过程中，拉力 T处处垂直于位移，
故不作功。则系统的机械能守恒。
有,
③ 为使 摆锤恰能在垂直平面内完成一个完全的圆周
运动，在最高点时，摆线中的张力 T=0。 则有,
联立求解，可得子弹
所需速率的最小值,2 5mv g lm ??
2mv
mg l??? ?
例,如图所示，一倔强系数为 k的竖直弹簧一端与质
量为 M的水平板相联接，另一端与地面固定。一个质
量为 m的泥球自距离板 M上方 h处自由下落到板上。求
此后泥球与平板一起向下运动的最大位移？
解：分阶段、分系统、不同过
程用不同的力学规律求解。
① 泥球自由下落过程 ;
系统：泥球、地球
0e x i nncWW??
M
m
?
h
k
x
0
0x???
选 M(x=0)处为重力势能
零点，系统机械能守恒。 212m g h m v?
② 泥球与板发生非弹性碰撞；
～取向下为正
③ 泥球、板共同向下运动过程 ;
系统：泥球、平板、地球 0,0
e x i nncWW??
系统：泥球 m、板 M；由于撞击力 (内力 )>>系统外
力：重力、弹性恢复力，系统的动量守恒。
()m v m M V??
系统机械能守恒。
选平板 M(x=0)原始位置为重力势能零点，此时弹
簧压缩量为,选 位置为弹性势能零点,
0x 0x?
0
2 2 2
0
1 1 1( ) ( ) ( )
2 2 2k x m M V k x x m M g x? ? ? ? ? ?
由初始平衡条件,
0M g k x?
所求最大位移为,则有,x
联立求解，得,
2( 1 1 )
()
m g k hx
k m M g? ? ? ?
作业,P105 3-27 3-29
§ 3-8 能量守恒定律
封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，
能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。
封闭系统：不受外界作用的系统。（孤立系统）
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有
能量的总和保持不变。这是普遍的 能量守恒定律 。
即对于一个与自然界无任何联系的系统来说，
系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是
不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭。
这一结论叫做能量守恒定律，它是自然界的基本
定律之一。
在能量守恒定律中，系统的能量是不变的，但能
量的各种形式之间却可以相互转化。
例：机械能、电能、热能、光能以及分子、原子、
核能等等能量之间都可以相互转换
在能量转换的过程中，功是能量变化的量度。在
机械运动范围内，功是机械能变化的唯一量度。
注意：功是过程量，能量是状态量。
§ 3-9 质心 质心运动定律
1、质心：质点系的质量中心
质点系 N个质点
质心的位矢：
(m’ 为总质量 ) iiii
ii
c
i
i
m r m r
r
mm
??
?
??
?
质量,
位矢,
12,,.,,,,.,,,iNm m m m
12,,.,,,,.,,,iNr r r r
直角坐标系中的分量式为,
y z
i i i i i i
i i i
c c c
m x m y m z
x
m m m
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? ? ?
? ? ?
质量连续分布时,
111 y z
cccx x dm y dm zdmmmm?????????
对称物体的质心就是物体的对称中心。由两个质点
组成的质点系，常取质心处 xc=0以便于分析和计算 。
质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点
系，质心的位置是固定的。
例：一段均匀铁丝弯成半径为 R的半圆形，求此半圆
形铁丝的质心。
解,选如图坐标系，取长为 dl的铁
丝，质量为 dm，以 λ 表示线密度，
dm=?dl.分析得质心应在 y轴上。
,s i nc
y d l
y y R
m
?
?? ? ???
注意：质心不
在铁丝上。
? ?
2
0
11sin 2
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2
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x d l
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1 c o s s in 0
c
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mm
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2、质心运动定律
c i ci
i
m v m v P P m v?? ? ? ??
质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动
速度的乘积。
11ci
ci ii
ii
d r d rv m m v
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????
ii
i
c
mr
r
m
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ex c
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dvdPF m m a
d t d t
??? ? ?
质心运动定律,系统的总质量和质心加速度的乘
积等于质点系所受外力的矢量和。
举例教材 P98例 3,
设有一质量为 2m的弹丸，从地面斜抛出去，它飞行在
最高点出爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个碎片
垂直自由下落，另一个碎片水平抛出，它们同时落地，
试问第二个碎片落地点在何处？
解：考虑弹丸为一系统，空气阻力略去不计。爆炸
前和爆炸后弹丸质心的运动轨迹都在同一抛物线上。
即，爆炸以后两碎片质心的运动轨迹仍沿爆炸前弹
九的抛物线运动轨迹。 请看 图示
2 2 cxx??
1 1 2 2
12
12
10,
2c
m x m xx x x
mm
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作业,P107 3-35
其主要 特征 是动量守恒。
1 1 0 2 2 0 1 1 2 2m v m v m v m v? ? ?
如打桩，基本粒子在加速器中的散射，两球组
成的系统发生的 对心碰撞 。
两球在踫撞前的相对速度沿着两球心的连线的碰撞。
§ 3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
两个或两个以上的物体在相遇的极短促
时间内产生非常之大的相互作用力，而其他的相
互作用力相对来说显得微不足道的过程。
1.碰撞,
分类, 弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞
2.弹性碰撞,
v2 v1 v20 v10
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动量守恒,
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碰撞后物体的变形可以完全恢复，
且碰撞前后系统的总机械能守恒。
请看 弹性碰撞示例
参见教材
P92～ 94例 2
的结论。
参见教材
P92例 2,
3.完全非弹性碰撞,
动量守恒,
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碰撞过程中物体的变形完全不能恢复，以致两
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后以同一速度运动。 系统有机械能损失。
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4.非弹性碰撞,
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碰撞定律,碰撞后两球的分离速度（ v2-v1）与碰撞
前两球的接近速度（ v10-v20）成正比。
比值由两球的质料决定。
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弹性碰撞,e =1 （ v2-v1） = （ v10-v20）
完全非弹性碰撞,e =0 v2=v1
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碰撞后物体的变形只有部分恢复，
系统有部分机械能损失。
举例 教材 P105 习题 3-28,如图所示，质量为
的子弹水平地穿过摆锤后，速率由 减少到 。
已知摆锤的质量为,摆长 。如果摆锤恰能在
垂直平面内完成一个完全的圆周运动，求子弹速度
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② 摆锤作铅直圆周运动，取摆锤与地球为系统，受
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③ 为使 摆锤恰能在垂直平面内完成一个完全的圆周
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③ 泥球、板共同向下运动过程 ;
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力：重力、弹性恢复力，系统的动量守恒。
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联立求解，得,
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§ 3-8 能量守恒定律
封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒，
能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。
封闭系统：不受外界作用的系统。（孤立系统）
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有
能量的总和保持不变。这是普遍的 能量守恒定律 。
即对于一个与自然界无任何联系的系统来说，
系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是
不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭。
这一结论叫做能量守恒定律，它是自然界的基本
定律之一。
在能量守恒定律中，系统的能量是不变的，但能
量的各种形式之间却可以相互转化。
例：机械能、电能、热能、光能以及分子、原子、
核能等等能量之间都可以相互转换
在能量转换的过程中，功是能量变化的量度。在
机械运动范围内，功是机械能变化的唯一量度。
注意：功是过程量，能量是状态量。
§ 3-9 质心 质心运动定律
1、质心：质点系的质量中心
质点系 N个质点
质心的位矢：
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质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点
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例：一段均匀铁丝弯成半径为 R的半圆形，求此半圆
形铁丝的质心。
解,选如图坐标系，取长为 dl的铁
丝，质量为 dm，以 λ 表示线密度，
dm=?dl.分析得质心应在 y轴上。
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注意：质心不
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质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动
速度的乘积。
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质心运动定律,系统的总质量和质心加速度的乘
积等于质点系所受外力的矢量和。
举例教材 P98例 3,
设有一质量为 2m的弹丸，从地面斜抛出去，它飞行在
最高点出爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个碎片
垂直自由下落，另一个碎片水平抛出，它们同时落地，
试问第二个碎片落地点在何处？
解：考虑弹丸为一系统，空气阻力略去不计。爆炸
前和爆炸后弹丸质心的运动轨迹都在同一抛物线上。
即，爆炸以后两碎片质心的运动轨迹仍沿爆炸前弹
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