第二章 牛顿定律
一,牛顿定律
二、物理量的单位和量纲
三,常见的几种力
四,惯性参考系 力学相对性原理
五,牛顿定律的应用举例
§ 2.1 牛顿运动定律
1、第一定律（惯性定律）
1686年，牛顿在他的名著, 自然哲学的数学原理,
一书中写道,
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受
到力的作用迫使它改变这种状态为止。
其数学形式为,
关于该定律应 明确 以下几点,
①该定律是以实验实事为基础，通过思维、推理、想
像而总结出来的规律。
0, 恒矢量Fv ?＝
古希腊哲学家亚里士多德 (Aristotle，公元前
384— 322)：静止是物体的自然状态，要使物体运动，
必须对它施加力的作用。
17世纪，意大利物理学家和天文学家伽利略
（ 1564～ 1642）作了一系列斜面实验指出,力不是维
持物体运动的原因，而是使物体运动状态改变的原因。
② 该定律表明，任何物体都具有保持其运动状态不
变的性质～称为惯性
牛顿总结了伽利略等人的重大发现加以普遍化，即
一个物体保持静止或匀速运动，不需要任何, 原因, 。
是任何物体具有保持其运动状态不变的特性
③ 重要意义,
定性说明力和运动的关系 。
物体的运动不需力去维持，只在物体运动状态发
生变化时，即产生加速度，才要力的作用。
定义：力～一个物体对另一个物体的作用。
说明物体具有惯性。
在之前，认为力是维持速度的原因。即
保持静止。
④ 该定律不是适合任何参照系。
定义,
惯性参照系 ～凡是符合牛顿第一定律的参照系
地球可近似惯性参照系
凡是相对地球静止或匀速直线运动的参照系均
为惯性参照系
0, 0Fv ?＝
2、第二定律
动量为 的物体，在合外力 的作用下，
其动量随时间的变化率应当等于作用于物体的合外
力，即。
p ()iFF??
F i j k
F i j k
? ? ?
? ? ?
yxz
x y z
dvd v d vdv
＝m m m m
d t d t d t d t
m a m a m a
amvm
dt
d
dt
PdF m＝ 视为常量宏观低速运动中＝ )(?
～牛顿力学质点动力学方程
即,
明确,
(1)牛顿第二定律只适用于质点的运动。
特例：物体作平动时，物体上各质点的运
动情况完全相同，可看作是质点的运动。
(2)牛顿第二定律所表示的合外力与加速度之间的
关系是瞬时关系。
加速度只在外力有作用时才产生。外力改变了，
加速度也随之改变。
(3)牛顿第二定律公式为矢量式，其分量与坐标系。
(4)牛顿第二定律仅适合惯性参照系。
(5)牛顿第二定律概括了力的独立性原理（或力的
叠加性原理）
矢量具有的叠加性或独立性
,,nnF m a F m a??? ? ? ?
,,x x y y z zF m a F m a F m a? ? ? ? ? ?
平面运动,
曲面运动
3、第三定律
两个物体之间的作用力 和反作用力,沿同一
直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 F
F?
明确,
(1)作用力和反作用力是矛盾的两个方面，它们互
以对方为自己存在的条件，同时产生，同时消
灭，任何一方都不能孤立地存在，没有主从、
先后之分。
(2)作用力和反作用力是分别作用在两个物体上的
，因此它们不能相互抵消 。
(3)作用力和反作用力总是属于同种性质的力。
(4)与参照系无关。
§ 2.2 物理量的单位和量纲
1984年 2月 27日，我国国务院颁布实行以国
际单位制 (SI)为基础的法定单位制。
国际单位制规定，力学的基本量是长度、质量和
时间，并规定,
长度的基本单位名称为, 米,,
单位符号为 m；
质量的基本单位名称为, 千克,,
单位符号为 kg,
时间的基本单位名称为, 秒,,
单位符号为 s,
其他力学物理量都是导出量,
用 L,M和 T分别表示长度、质量和时间三个基本
量的量纲，其他力学量 Q的量纲与基本量量纲之
间的关系可按下列形式表达出来,
注：只有量纲相同的物理量才能相加减和用等
号联接
在物理学中，导出量与基本量之间的关系可以
用 量纲 来表示
d i m p q sQ L M T?
§ 2.3 几种常见的力
1、万有引力,
12
12 123
G m mFr
r??
G=6.67?10-11Nm2/kg2
例、地球对物体的引力 P＝ mg=GMm/R2
所以 g=GM/R2
2、电磁力：（库仑力）
k=9 ?109Nm2/C2
注意：电磁力远远大于万有引力！
12
1 2 1 23
qqF k r
r?
3、强力：粒子之间的一种相互作用，作用范围在
0.4?10-15米至 10-15米。
4、弱力：粒子之间的另一种作用力，力程短、力
弱（ 10－ 2牛顿）
四种基本自然力的特征和比较
力的种类 相互作用的物体 力的强度 力 程
万有引力 一切质点 10－ 34N 无限远
弱力 大多数粒子 10－ 2N 小于 10－ 17m
电磁力 电荷 102N 无限远
强力 核子、介子等 104N 10－ 15m
重力：由于地球吸引使物体所受的力。质量与重
力加速度的乘积，方向竖直向下。
弹力：发生形变的物体，由于力图恢复原状，对
与它接触的物体产生的作用力。如压力、张力、
拉力、支持力、弹簧的弹力。在弹性限度内 f =
- kx,方向总是与形变的方向相反。
摩擦力：物体运动时，由于接触面粗糙而受到的
阻碍运动的力。分滑动摩擦力和静摩擦力。大小
分别为 fk=? kN 及 fsmax=?sN。
作业,P54 2-1,2-4
例题,教材 37页 例 1
例 1 质量为,长为 的柔软细绳，一端系着
放在光滑桌面上质量为 的物体，如图 2-2(a)所示。
在绳的另一端加如图中所示的力 。绳被拉紧时会
略有伸长 (形变 )，一般伸长甚微，可略去不计。现设
绳的长度不变，质量分布是均匀的。
lm
m?
F
求,(1)绳作用在物体上的力；
(2)绳上任意点的张力。
m?
l
F
m
解,如图 2-2(b)所示，设想在绳索上点 P将绳索分
为两段，它们之间有拉力 和 作用，这一对
拉力称为张力。它们的大小相等、方向相反。 TF TF?
P
TF TF?
m?
l
F
m
a a
x0TF 0TF?
(1)已知：绳和物体均被约束在如图所示的 X轴上运
动，且绳的长度不变。
所以，它们的加速度相等，均为 a
设绳作用在物体上的拉力为,物体作用在绳端的
力为 0TF
0TF?
～作用力与反作用力
由牛顿定律，对物体与绳可分别有,
m
o l x
dx
md
（ 2）在绳上取微元 md
md1
T 2T
21T T d m a? ? ?
条件12 TT ?
绳静止或匀速直线运动
不计绳质量
0
0d
?
?
a
m
本题均不满足
0 0 0 0；；T T T TF m a F F F F m a? ? ?? ? ? ? ? ?
0； TFma F a
m m m m
?? ? ?
????
mdTF TTF dF?
()T
mFd F d x
m m l
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()T T T mF dF F dm a a dx
l
? ? ? ? ? ?
由于绳的长度不变，且质量分布均匀，故其单位长
度的质量即质量线密度为 /ml
由初始条件,； Tx l F F??
()T
Fl
F T x
mFd F d x
m m l
? ? ? ?
? ?
边界条件
故：取一线元 则,/d m m d x l??dx
从式中可以看出，绳中各点的张力是随位置而变的，
即
当 时 ； Tm m F F? ?
()
()T
mFF F l x
m m l
? ? ? ?
? ?
()T xFF m m
l m m
???
? ?
化简,
()TTF F x?
此时绳中各点的张力近似相等，均约等于外力。
§ 2.4 惯性参考系 力学相对性原理
问题,
车的 a=0时单摆和小球的状态符合牛顿定律
结论,在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为
惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性
系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯
性系。
a≠ 0时单摆和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？
一 惯性参考系
设 系相对于惯性参照系 系以恒定速度 沿
轴正向运动，以 和 重合时为计时起点
SS? u
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x
y
z
x?
y?
z?
u
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S S?
O O?
,即d v d v aad t d t? ???
对时间求导,
二 力学相对性原理
,v v u???速度矢量
x
当惯性参考系 以恒定的速度相对惯性参考系 作
匀速直线运动时，质点在这两个惯性系中的加速度
是相同的。
S? S
在这两个惯性系中，牛顿第二定律的数学表达
式具有相同形式
F m a m a F??? ? ?
由于, 均为惯性参考系，即满足牛顿第二定律 S? S
F m a?
相对于惯性系作匀速直线运动的一切参照系均为惯性
系；即由惯性系 变换到惯性系 时，牛顿运动方程
的形式不变。
S?S
结论,对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相
同的形式，在一惯性系内部所作的任何力学实验，
都不能确定该惯性系相对于其他惯性系是否在运
动．这个原理叫做 力学相对性原理 或 伽利略相对性
原理,
一 分类
牛顿运动定律定量地反映了物体所受的合外力、惯
性（质量）和运动之间的关系，是物体作机械运动
基本定律，有着广泛地应用。
具体应用大致分为三类,
§ 2.5 牛顿定律的应用举例
1.已知物体的质量及运动情况，求所受的作用力
2.已知作用在物体上的力和物体的质量求质点的运
动情况。
3.已知物体的运动情况及受力情况，求物体的质量。
二 研究方法
1.基本思想,
在解决具体问题时，不能脱离定律本身的含义
作用在物体上的力是研究对象所受的合外力。
外力是相对内力而言的；研究对象内部各部分之间
的相互作用～ 内力 ；研究对象与外界物体之间的相
互作用～ 外力
并且，内力不会改变研究对象的整体运动状态，外
力才能 改变研究对象的整体运动状态。
方程式的右端～研究对象运动状态的变化，等号仅
表明两端量值的相等。
2.研究方法,
隔离体法：用力的图示法（示力图法）将研究对象
（质点）从与之相联系的其它物体中隔离出来，然
后画出所有作用在其上的力的大小及方向的分析方
法。
(2)选取研究对象，用隔离体法画出有关物体的 示力
图。
(1)弄清题意：明确已知条件和求解的问题（作出
总草图，有助于理解题意）
(3)描写研究对象运动状态的变化。
3.步骤,
(5)求解方程，一般先文字计算，然后代入数值运算。
作数值计算时，注意统一单位。
(4)建立坐标或规定正方向，判定力的方向，由牛
顿第二定律列出方程。
(6)分析、检验计算结果，得出符合题意的解答。
作业,P55 2-9,2-12
例 1、水平面上有一质量为 51kg的小车 D，其上有一定
滑轮 C，通过绳在滑轮两侧分别连有质量为 m1=5kg和
m2=4kg的物体 A 和 B。其中物体 A在小车的水平面上，
物体 B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如图所示。各
接触面和滑轮轴均光滑，求以多大力作用在小车上，
才能使物体 A与小车 D之间无相对滑动。（滑轮和绳的
质量均不计，绳与滑轮间无滑动）
D
C
B
A
三 举例
解：建立坐标系并作受力分析图,
X
Y
O
B
m2g
T
列方程,
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
x
x
x
MaTTF
gmT
amT
amT
?
?
?
s i n
c o s
s i n
2
2
1
＝
解出,
2
2
2
1
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2
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1
2
)(
mm
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F
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a
x
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??
?
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=784N
A
m1g
N1
T
D
Mg
N2
F
T
?
T
例 2、质量为 m的小球，在水中受的浮力为常力 F，当
它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f = kv
(k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度 v与时
间 t的关系为
f
F
mg
a
x
)1( m
kt
e
k
Fmgv ????
式中 t 为从沉降开始计算的时间
证明：取坐标，作受力图。
dt
dvmmaFkvmg ????
根据牛顿第二定律，有
初始条件,t=0 时 v=0
keFmgv
dt
mFkvmg
dv
m
kt
tv
/)1)((
/)( 00
?
????
?
?? ??
得证。
例 3、在倾角为 ?的圆锥体的侧面放一
质量为 m的小物体，圆锥体一角速度 ?
绕竖直轴匀速转动。轴与物体间的距
离为 R，为了使物体能在锥体该处保
持静止不动，物体与锥面间的静摩擦
系数至少为多少？并简单讨论所得到
的结果。
?
ω
R
0c o ss i n,
s i nc o s, 2
???
??
mgNNy
RmNNx
???
????
对给定的 ω, R和 θ, μ 不能小于此
值否则最大静摩擦力不足以维持 m在
斜面上不动。
?
ω
R
mg
N fs
x
y
g
R2
c o ss i n
s i nc o s ?
???
??? ?
?
??
???????? s i nc o ss i nc o s 22 RRgg ????
???
????
s i nc o s
c o ss i n
2
2
Rg
Rg
?
???
讨论：由 μ >0,可得,gcosθ -ω 2 Rsinθ >0
R
g
2t a n ?? ?
所以,
时，物体不可能在锥
面上静止不动
例 4、顶角为 2?的直圆锥体，底面固定在水平面上，
如图所示。质量为 m的小球系在绳的一端，绳的另一
端系在圆锥的顶点，绳长为 l,且不能伸长，质量不
计。圆柱面是光滑的，今使小球在圆锥面上以角速
度 ?绕 OH轴匀速转动，求,
当
R
g
2t a n ?? ?
(1)、锥面对小球的支持力 N和细绳的张力 T；
(2)、当 ? 增大到某一值 ? c 时，小球将离开锥面，
这时 ? c 及 T又各是多少？
H
O
l ?
解：设小球所在处圆锥体的水平截面半径为 r
mg
H
O
?
N T
x
y
2,s i n c o s
,c o s s i n 0
X T N m a m r
Y T N m g
? ? ?
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2
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( 1 ) s in s in c o s
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N m g m l
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c o s/ c o s/
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mgTlg
N
c
c
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??
例 5 质量为 m的小球最初位于 A点，然后沿半径为 R的光滑圆弧
面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。
A
x
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mg
?
N
解,c o s dvm g m
dt? ?
2
s in vN m g m
R
???
d v d v d s d vv
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c o sv d v R g d???
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2 v R g ??
2 s i nv R g ??
2 sinsin 3 sinRgN m g m m g
R
???? ? ?
sR
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?
?
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一,牛顿定律
二、物理量的单位和量纲
三,常见的几种力
四,惯性参考系 力学相对性原理
五,牛顿定律的应用举例
§ 2.1 牛顿运动定律
1、第一定律（惯性定律）
1686年，牛顿在他的名著, 自然哲学的数学原理,
一书中写道,
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受
到力的作用迫使它改变这种状态为止。
其数学形式为,
关于该定律应 明确 以下几点,
①该定律是以实验实事为基础，通过思维、推理、想
像而总结出来的规律。
0, 恒矢量Fv ?＝
古希腊哲学家亚里士多德 (Aristotle，公元前
384— 322)：静止是物体的自然状态，要使物体运动，
必须对它施加力的作用。
17世纪，意大利物理学家和天文学家伽利略
（ 1564～ 1642）作了一系列斜面实验指出,力不是维
持物体运动的原因，而是使物体运动状态改变的原因。
② 该定律表明，任何物体都具有保持其运动状态不
变的性质～称为惯性
牛顿总结了伽利略等人的重大发现加以普遍化，即
一个物体保持静止或匀速运动，不需要任何, 原因, 。
是任何物体具有保持其运动状态不变的特性
③ 重要意义,
定性说明力和运动的关系 。
物体的运动不需力去维持，只在物体运动状态发
生变化时，即产生加速度，才要力的作用。
定义：力～一个物体对另一个物体的作用。
说明物体具有惯性。
在之前，认为力是维持速度的原因。即
保持静止。
④ 该定律不是适合任何参照系。
定义,
惯性参照系 ～凡是符合牛顿第一定律的参照系
地球可近似惯性参照系
凡是相对地球静止或匀速直线运动的参照系均
为惯性参照系
0, 0Fv ?＝
2、第二定律
动量为 的物体，在合外力 的作用下，
其动量随时间的变化率应当等于作用于物体的合外
力，即。
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～牛顿力学质点动力学方程
即,
明确,
(1)牛顿第二定律只适用于质点的运动。
特例：物体作平动时，物体上各质点的运
动情况完全相同，可看作是质点的运动。
(2)牛顿第二定律所表示的合外力与加速度之间的
关系是瞬时关系。
加速度只在外力有作用时才产生。外力改变了，
加速度也随之改变。
(3)牛顿第二定律公式为矢量式，其分量与坐标系。
(4)牛顿第二定律仅适合惯性参照系。
(5)牛顿第二定律概括了力的独立性原理（或力的
叠加性原理）
矢量具有的叠加性或独立性
,,nnF m a F m a??? ? ? ?
,,x x y y z zF m a F m a F m a? ? ? ? ? ?
平面运动,
曲面运动
3、第三定律
两个物体之间的作用力 和反作用力,沿同一
直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 F
F?
明确,
(1)作用力和反作用力是矛盾的两个方面，它们互
以对方为自己存在的条件，同时产生，同时消
灭，任何一方都不能孤立地存在，没有主从、
先后之分。
(2)作用力和反作用力是分别作用在两个物体上的
，因此它们不能相互抵消 。
(3)作用力和反作用力总是属于同种性质的力。
(4)与参照系无关。
§ 2.2 物理量的单位和量纲
1984年 2月 27日，我国国务院颁布实行以国
际单位制 (SI)为基础的法定单位制。
国际单位制规定，力学的基本量是长度、质量和
时间，并规定,
长度的基本单位名称为, 米,,
单位符号为 m；
质量的基本单位名称为, 千克,,
单位符号为 kg,
时间的基本单位名称为, 秒,,
单位符号为 s,
其他力学物理量都是导出量,
用 L,M和 T分别表示长度、质量和时间三个基本
量的量纲，其他力学量 Q的量纲与基本量量纲之
间的关系可按下列形式表达出来,
注：只有量纲相同的物理量才能相加减和用等
号联接
在物理学中，导出量与基本量之间的关系可以
用 量纲 来表示
d i m p q sQ L M T?
§ 2.3 几种常见的力
1、万有引力,
12
12 123
G m mFr
r??
G=6.67?10-11Nm2/kg2
例、地球对物体的引力 P＝ mg=GMm/R2
所以 g=GM/R2
2、电磁力：（库仑力）
k=9 ?109Nm2/C2
注意：电磁力远远大于万有引力！
12
1 2 1 23
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3、强力：粒子之间的一种相互作用，作用范围在
0.4?10-15米至 10-15米。
4、弱力：粒子之间的另一种作用力，力程短、力
弱（ 10－ 2牛顿）
四种基本自然力的特征和比较
力的种类 相互作用的物体 力的强度 力 程
万有引力 一切质点 10－ 34N 无限远
弱力 大多数粒子 10－ 2N 小于 10－ 17m
电磁力 电荷 102N 无限远
强力 核子、介子等 104N 10－ 15m
重力：由于地球吸引使物体所受的力。质量与重
力加速度的乘积，方向竖直向下。
弹力：发生形变的物体，由于力图恢复原状，对
与它接触的物体产生的作用力。如压力、张力、
拉力、支持力、弹簧的弹力。在弹性限度内 f =
- kx,方向总是与形变的方向相反。
摩擦力：物体运动时，由于接触面粗糙而受到的
阻碍运动的力。分滑动摩擦力和静摩擦力。大小
分别为 fk=? kN 及 fsmax=?sN。
作业,P54 2-1,2-4
例题,教材 37页 例 1
例 1 质量为,长为 的柔软细绳，一端系着
放在光滑桌面上质量为 的物体，如图 2-2(a)所示。
在绳的另一端加如图中所示的力 。绳被拉紧时会
略有伸长 (形变 )，一般伸长甚微，可略去不计。现设
绳的长度不变，质量分布是均匀的。
lm
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求,(1)绳作用在物体上的力；
(2)绳上任意点的张力。
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解,如图 2-2(b)所示，设想在绳索上点 P将绳索分
为两段，它们之间有拉力 和 作用，这一对
拉力称为张力。它们的大小相等、方向相反。 TF TF?
P
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(1)已知：绳和物体均被约束在如图所示的 X轴上运
动，且绳的长度不变。
所以，它们的加速度相等，均为 a
设绳作用在物体上的拉力为,物体作用在绳端的
力为 0TF
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～作用力与反作用力
由牛顿定律，对物体与绳可分别有,
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（ 2）在绳上取微元 md
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条件12 TT ?
绳静止或匀速直线运动
不计绳质量
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本题均不满足
0 0 0 0；；T T T TF m a F F F F m a? ? ?? ? ? ? ? ?
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即
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此时绳中各点的张力近似相等，均约等于外力。
§ 2.4 惯性参考系 力学相对性原理
问题,
车的 a=0时单摆和小球的状态符合牛顿定律
结论,在有些参照系中牛顿定律成立，这些系称为
惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性
系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯
性系。
a≠ 0时单摆和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？
一 惯性参考系
设 系相对于惯性参照系 系以恒定速度 沿
轴正向运动，以 和 重合时为计时起点
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z z?y y?// //
x
y
z
x?
y?
z?
u
ut
S S?
O O?
,即d v d v aad t d t? ???
对时间求导,
二 力学相对性原理
,v v u???速度矢量
x
当惯性参考系 以恒定的速度相对惯性参考系 作
匀速直线运动时，质点在这两个惯性系中的加速度
是相同的。
S? S
在这两个惯性系中，牛顿第二定律的数学表达
式具有相同形式
F m a m a F??? ? ?
由于, 均为惯性参考系，即满足牛顿第二定律 S? S
F m a?
相对于惯性系作匀速直线运动的一切参照系均为惯性
系；即由惯性系 变换到惯性系 时，牛顿运动方程
的形式不变。
S?S
结论,对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相
同的形式，在一惯性系内部所作的任何力学实验，
都不能确定该惯性系相对于其他惯性系是否在运
动．这个原理叫做 力学相对性原理 或 伽利略相对性
原理,
一 分类
牛顿运动定律定量地反映了物体所受的合外力、惯
性（质量）和运动之间的关系，是物体作机械运动
基本定律，有着广泛地应用。
具体应用大致分为三类,
§ 2.5 牛顿定律的应用举例
1.已知物体的质量及运动情况，求所受的作用力
2.已知作用在物体上的力和物体的质量求质点的运
动情况。
3.已知物体的运动情况及受力情况，求物体的质量。
二 研究方法
1.基本思想,
在解决具体问题时，不能脱离定律本身的含义
作用在物体上的力是研究对象所受的合外力。
外力是相对内力而言的；研究对象内部各部分之间
的相互作用～ 内力 ；研究对象与外界物体之间的相
互作用～ 外力
并且，内力不会改变研究对象的整体运动状态，外
力才能 改变研究对象的整体运动状态。
方程式的右端～研究对象运动状态的变化，等号仅
表明两端量值的相等。
2.研究方法,
隔离体法：用力的图示法（示力图法）将研究对象
（质点）从与之相联系的其它物体中隔离出来，然
后画出所有作用在其上的力的大小及方向的分析方
法。
(2)选取研究对象，用隔离体法画出有关物体的 示力
图。
(1)弄清题意：明确已知条件和求解的问题（作出
总草图，有助于理解题意）
(3)描写研究对象运动状态的变化。
3.步骤,
(5)求解方程，一般先文字计算，然后代入数值运算。
作数值计算时，注意统一单位。
(4)建立坐标或规定正方向，判定力的方向，由牛
顿第二定律列出方程。
(6)分析、检验计算结果，得出符合题意的解答。
作业,P55 2-9,2-12
例 1、水平面上有一质量为 51kg的小车 D，其上有一定
滑轮 C，通过绳在滑轮两侧分别连有质量为 m1=5kg和
m2=4kg的物体 A 和 B。其中物体 A在小车的水平面上，
物体 B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如图所示。各
接触面和滑轮轴均光滑，求以多大力作用在小车上，
才能使物体 A与小车 D之间无相对滑动。（滑轮和绳的
质量均不计，绳与滑轮间无滑动）
D
C
B
A
三 举例
解：建立坐标系并作受力分析图,
X
Y
O
B
m2g
T
列方程,
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
x
x
x
MaTTF
gmT
amT
amT
?
?
?
s i n
c o s
s i n
2
2
1
＝
解出,
2
2
2
1
221
2
2
2
1
2
)(
mm
gmMmm
F
mm
gm
a
x
?
??
?
?
?
=784N
A
m1g
N1
T
D
Mg
N2
F
T
?
T
例 2、质量为 m的小球，在水中受的浮力为常力 F，当
它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f = kv
(k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度 v与时
间 t的关系为
f
F
mg
a
x
)1( m
kt
e
k
Fmgv ????
式中 t 为从沉降开始计算的时间
证明：取坐标，作受力图。
dt
dvmmaFkvmg ????
根据牛顿第二定律，有
初始条件,t=0 时 v=0
keFmgv
dt
mFkvmg
dv
m
kt
tv
/)1)((
/)( 00
?
????
?
?? ??
得证。
例 3、在倾角为 ?的圆锥体的侧面放一
质量为 m的小物体，圆锥体一角速度 ?
绕竖直轴匀速转动。轴与物体间的距
离为 R，为了使物体能在锥体该处保
持静止不动，物体与锥面间的静摩擦
系数至少为多少？并简单讨论所得到
的结果。
?
ω
R
0c o ss i n,
s i nc o s, 2
???
??
mgNNy
RmNNx
???
????
对给定的 ω, R和 θ, μ 不能小于此
值否则最大静摩擦力不足以维持 m在
斜面上不动。
?
ω
R
mg
N fs
x
y
g
R2
c o ss i n
s i nc o s ?
???
??? ?
?
??
???????? s i nc o ss i nc o s 22 RRgg ????
???
????
s i nc o s
c o ss i n
2
2
Rg
Rg
?
???
讨论：由 μ >0,可得,gcosθ -ω 2 Rsinθ >0
R
g
2t a n ?? ?
所以,
时，物体不可能在锥
面上静止不动
例 4、顶角为 2?的直圆锥体，底面固定在水平面上，
如图所示。质量为 m的小球系在绳的一端，绳的另一
端系在圆锥的顶点，绳长为 l,且不能伸长，质量不
计。圆柱面是光滑的，今使小球在圆锥面上以角速
度 ?绕 OH轴匀速转动，求,
当
R
g
2t a n ?? ?
(1)、锥面对小球的支持力 N和细绳的张力 T；
(2)、当 ? 增大到某一值 ? c 时，小球将离开锥面，
这时 ? c 及 T又各是多少？
H
O
l ?
解：设小球所在处圆锥体的水平截面半径为 r
mg
H
O
?
N T
x
y
2,s i n c o s
,c o s s i n 0
X T N m a m r
Y T N m g
? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
?s inlr ?
2
22
( 1 ) s in s in c o s
c o s sin
N m g m l
T m g m l
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
???
??
c o s/ c o s/
0 )2(
mgTlg
N
c
c
??
??
例 5 质量为 m的小球最初位于 A点，然后沿半径为 R的光滑圆弧
面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。
A
x
y ?
mg
?
N
解,c o s dvm g m
dt? ?
2
s in vN m g m
R
???
d v d v d s d vv
d t d sd t R d ???
c o sv d v R g d???
00 c o s
v v d v R g d? ?????
21 sin
2 v R g ??
2 s i nv R g ??
2 sinsin 3 sinRgN m g m m g
R
???? ? ?
sR
ds R d
?
?
?
?
