第三章 动量 守恒定律和 能量守恒定律
学时,8
研究内容,力对时间的累积作用和力对空间的累积作
用力，即作用于质点或者质点系往往还有一段持续时
间，或者持续一段距离。
在这两种累积作用中，质点或质点系的动量、动能
或能量将发生变化或转移。
主要内容,质点和质点系的动量定理和动能定理，外
力与内力、保守力与非保守力等概念，以及动量守恒
定律、机械能守恒定律和能量守恒定律
动量 动量守恒定律
质量
速度
动量
变化率
动量
定理
动量守
恒定律
牛顿运动定律
动
量
恒力，质点，惯性系 变力，质点系
以 动量及其守恒定律为主线，从动量变化率引入 牛顿运
动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。
结构框图
§ 3.1 质点和质点系的动量定理
一, 冲量 质点的动量定理
1,质点的动量
vmp ?? ?
量度质点机械运动的强度
2,质点动量的时间变化率
? ? )(
d
d
d
d
d
d cvFam
t
vm
t
vm
t
p ?????? ?????
质点动量的时间变化率是质点所受的合力
单位,kgm/s 量纲,MLT－ 1
3,冲量
d ()
d
p F F dt dp d m v
t ?? ? ? ?
2
1
2 1 2 1
t
t
F d t p p m v m v? ? ? ? ??
牛顿第二定律的一般形式
? ?cvamF
t
pF ???? ????
d
d
特例
大小,? 2
1
t
t F d t
方向：速度变化的方向
冲量 ～力的作用对时间的积累，矢量 I
单位,Ns 量纲,MLT－ 1
2
1
t
t
I F d t?＝
2
1
21
t
tP P I F d t? ? ? ?
F 为恒力时，可以得出 I＝ F? t
F 作用时间很短时，可用力的平均值来代替。
PtFIPdtFI ?????? ? ? ＝
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的
增量。这个结论称为 动量定理 。
4,动量定理,（将力的作用过程与效果 〔 动量变化 〕
联系在一起）
注意,动量为状态量，冲量为过程量。
2
1
2
1
2
1
21
21
21
t
x x x x
t
t
y y y y
t
t
z z z z
t
I F d t m v m v
I F d t m v m v
I F d t m v m v
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
动量定理可写成分量式，即,
动量的物理意义,
由动量定理，在相等的冲量作用下，不同质量的物体，
其速度变化是不相同的，但它们的动量的变化却是一
样的，所以从过程角度来看，动量比速度能更恰当地
反映了物体的运动状态。因此，一般描述物体作机械
运动时的状态参量，用动量比用速度更确切些。动量
和位矢是描述物体机械运动状态的状态参量。
例 1、质量为 2.5g的乒乓球以
10m/s的速率飞来，被板推挡
后，又以 20m/s的速率飞出。
设两速度在垂直于板面的同一
平面内，且它们与板面法线的
夹角分别为 45o和 30o，求：（ 1）
乒乓球得到的冲量；（ 2）若
撞击时间为 0.01s，求板施于球
的平均冲力的大小和方向。
45o
30o
n
v2
v1
45o
30o
n
v2
v1
O
x
y 解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力
影响。设挡板对球的冲力为
则有,
F
12 vmvmdtFI ???? ?
取坐标系，将上式投影，有,
tFmvmvdtFI xxx ?????? ? )45c o s(30c o s 12 ??
tFmvmvdtFI yyy ????? ? ?? 45s i n30s i n 12
2, 5 g m / s20 m / s10 0, 0 1 s 21 ????? m vvt
N14.6 N7.0 N1.6 22 ????? yxyx FFFFF
?为 I与 x方向的夹角。
此题也可用矢量法解，作矢
量图用余弦定理和正弦定理，
可得,mv2 v
1
mv1
Ft??
?6, 5 4 1148.0t a n ??? ??
x
y
I
I
Ns1014.6 222 ????? yx III
Ns007.0 Ns061.0 ?? yx II
075
0105
2 2 2 2 2
1 2 1 22 c o s 1 0 5
I F d t
m v m v m v v? ? ?
＝
N14.6 Ns1014.6 2 ?
?
??? ?
t
I
F
1 0 5s ins in
2
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tFmv ??
?
5 1, 8 6 0, 7 8 6 6s i n ??? ??
??? 86.6455 1, 8 6 ???? ?
例 2 (P103 习题 3-9) 一
质量均匀分布的柔软细绳
铅直地悬挂着，绳的下端
刚好触到水平桌面上，如
果把绳的上端放开，绳将
落在桌面上。试证明：在
绳下落的过程中，任意时
刻作用于桌面的压力，等
于已落到桌面上的绳重量
的三倍。
o
x
dt
dt
dxdx
dt
dP ??? ?
一维运动可用正负代表其方向
o
x
证明,取如图坐标，设 时
刻已有 长的柔绳落至桌面，
随后的 时间内将有质量为
即 的柔绳以
的速率碰到桌面而停止，它
的动量变化率为,
t
M dx
L
dx?
dt
dx
dt
x
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为,
2v
dt
dt
dxdx
dt
dPF ?? ＝－＝ ????
柔绳对桌面的冲力 F＝－ F’ 即,
LM g xFgxvvLMvF /2 2 222 ????? 而?
而已落到桌面上的柔绳的重量为
/m g M g x L?
所以
总
2 / / 3
F F m g
M g x L M g x L m g
??
? ? ?
作业,P102 3-3 3-4
二、质点系的动量定理 动量守恒定律
1、质点系的动量定理 质点系（内力、外力）
? 两个质点的系统
1
1 1 2 1 1 1 2
2
2 2 1 2 2 2 1
dP
m F F F F
dt
dP
m F F F F
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??
??
12
1 1 2 2 2 1
12
1 2 2 1 1 2
-
d P d P
F F F F
d t d t
d P d P
F F F F
d t d t
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
1m 2m
12F?
21F?
1F 2F
? n个质点的系统
由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。
所以,
?? ?
i
i
i
i Pdt
dF
dPF
dt?
质点系的动量定理,
PddtF ＝
22
11
tP
tPI Fd t d P P? ? ??? ＝
积分形式
微分形式
以 和 表示系统的合外力和总动量，上
式可写为,F P
2、动量守恒定律
常矢量?? ??
i
ii
i
i vmp
一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的
总动量就保持不变。
0 0 常矢量??? Pdt PdF
作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增
量～ 质点系动量定理
1
2
3；（ 0)；（ 0)；（ 0)
ex
x x ix x
i
ex
z y iy y
i
ex
z z iz z
i
p m v C F
p m v C F
p m v C F
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
?
动量定理可写成分量式，即,
注意,
1、动量的矢量性：系统的总动量不变是指系统内各
物体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的
动量不变。系统动量守恒，但每个质点的动量可能变
化。
2、系统动量守恒的条件：①系统不受外力；②合外
力 =0；③内力 >>外力。在碰撞、打击、爆炸等相互作
用时间极短的过程中，内力 >>外力，可略去外力。
3、若系统所受外力的矢量和 ≠ 0，但合外力在某个坐
标轴上的分矢量为零，动量守恒可在某一方向上成立。
4、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
5、动量守恒定律只适用于惯性系。
例 1(P102 习题 3-6) 一炮弹发射
后在其运行轨道上的最高点 h＝
19.6m处炸裂成质量相等的两块。
其中一块在爆炸后 1秒钟落到爆炸
点正下方的地面上，设此处与发
射点的距离 S1＝ 100米,问另一块
落地点与发射点的距离是多少？
（空气阻力不计,g=9.8m/s2)
解,
2
00
1
2r r v t a t? ? ?
y
h
x
o
11mv
22mv
1x
1 0,y ?
① 第一块 方向竖直向下,其运动方程为
1m
当 落地时，有,
1m 1 1, 0 0t t s??
2
11
1
2y h v t g t? ? ?
③ 爆炸中系统动量守恒
2 2 0
2 2 1 1
:
:0
xx
yy
x m v m v
y m v m v
?
??
② 爆炸前，物体 作抛体运动，在最高点处 m
在最高点处的速度为,
0 0 0xyv v i v j??
其中,
0 0yv ?
1
01
0
5 0 ( )
2x
x g mvx
sth? ? ?
0 0 1 1 2 2P m v P m v m v? ? ? ?0
mv
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1 1 4, 7 ( / )v j m s??
2 1 2 2
2
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x x v t
y h v t g t
??
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落地时,
作业,P102 3-7
20
21
2 1 0 0 /
1 4,7 /
xx
yy
v v m s
v v m s
? ? ?
? ? ?
④ 爆炸后，物体 作斜抛运动，其运动方程为,
2m
2 0y ?,所以 2 4,ts?
(舍去） 2 1ts??得,2 500xm?
12
1
2m m m??
学时,8
研究内容,力对时间的累积作用和力对空间的累积作
用力，即作用于质点或者质点系往往还有一段持续时
间，或者持续一段距离。
在这两种累积作用中，质点或质点系的动量、动能
或能量将发生变化或转移。
主要内容,质点和质点系的动量定理和动能定理，外
力与内力、保守力与非保守力等概念，以及动量守恒
定律、机械能守恒定律和能量守恒定律
动量 动量守恒定律
质量
速度
动量
变化率
动量
定理
动量守
恒定律
牛顿运动定律
动
量
恒力，质点，惯性系 变力，质点系
以 动量及其守恒定律为主线，从动量变化率引入 牛顿运
动定律，并在中学基础上扩展其应用范围。
结构框图
§ 3.1 质点和质点系的动量定理
一, 冲量 质点的动量定理
1,质点的动量
vmp ?? ?
量度质点机械运动的强度
2,质点动量的时间变化率
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牛顿第二定律的一般形式
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1
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方向：速度变化的方向
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F 为恒力时，可以得出 I＝ F? t
F 作用时间很短时，可用力的平均值来代替。
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质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的
增量。这个结论称为 动量定理 。
4,动量定理,（将力的作用过程与效果 〔 动量变化 〕
联系在一起）
注意,动量为状态量，冲量为过程量。
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1
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动量定理可写成分量式，即,
动量的物理意义,
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其速度变化是不相同的，但它们的动量的变化却是一
样的，所以从过程角度来看，动量比速度能更恰当地
反映了物体的运动状态。因此，一般描述物体作机械
运动时的状态参量，用动量比用速度更确切些。动量
和位矢是描述物体机械运动状态的状态参量。
例 1、质量为 2.5g的乒乓球以
10m/s的速率飞来，被板推挡
后，又以 20m/s的速率飞出。
设两速度在垂直于板面的同一
平面内，且它们与板面法线的
夹角分别为 45o和 30o，求：（ 1）
乒乓球得到的冲量；（ 2）若
撞击时间为 0.01s，求板施于球
的平均冲力的大小和方向。
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v1
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y 解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力
影响。设挡板对球的冲力为
则有,
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此题也可用矢量法解，作矢
量图用余弦定理和正弦定理，
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例 2 (P103 习题 3-9) 一
质量均匀分布的柔软细绳
铅直地悬挂着，绳的下端
刚好触到水平桌面上，如
果把绳的上端放开，绳将
落在桌面上。试证明：在
绳下落的过程中，任意时
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于已落到桌面上的绳重量
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一维运动可用正负代表其方向
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随后的 时间内将有质量为
即 的柔绳以
的速率碰到桌面而停止，它
的动量变化率为,
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根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为,
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柔绳对桌面的冲力 F＝－ F’ 即,
LM g xFgxvvLMvF /2 2 222 ????? 而?
而已落到桌面上的柔绳的重量为
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所以
总
2 / / 3
F F m g
M g x L M g x L m g
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作业,P102 3-3 3-4
二、质点系的动量定理 动量守恒定律
1、质点系的动量定理 质点系（内力、外力）
? 两个质点的系统
1
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2
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由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。
所以,
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积分形式
微分形式
以 和 表示系统的合外力和总动量，上
式可写为,F P
2、动量守恒定律
常矢量?? ??
i
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一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的
总动量就保持不变。
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作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增
量～ 质点系动量定理
1
2
3；（ 0)；（ 0)；（ 0)
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注意,
1、动量的矢量性：系统的总动量不变是指系统内各
物体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的
动量不变。系统动量守恒，但每个质点的动量可能变
化。
2、系统动量守恒的条件：①系统不受外力；②合外
力 =0；③内力 >>外力。在碰撞、打击、爆炸等相互作
用时间极短的过程中，内力 >>外力，可略去外力。
3、若系统所受外力的矢量和 ≠ 0，但合外力在某个坐
标轴上的分矢量为零，动量守恒可在某一方向上成立。
4、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
5、动量守恒定律只适用于惯性系。
例 1(P102 习题 3-6) 一炮弹发射
后在其运行轨道上的最高点 h＝
19.6m处炸裂成质量相等的两块。
其中一块在爆炸后 1秒钟落到爆炸
点正下方的地面上，设此处与发
射点的距离 S1＝ 100米,问另一块
落地点与发射点的距离是多少？
（空气阻力不计,g=9.8m/s2)
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1
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① 第一块 方向竖直向下,其运动方程为
1m
当 落地时，有,
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③ 爆炸中系统动量守恒
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② 爆炸前，物体 作抛体运动，在最高点处 m
在最高点处的速度为,
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其中,
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④ 爆炸后，物体 作斜抛运动，其运动方程为,
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