结构框图
动能 动能
定理
功能
原理
机械能
守恒
能量守恒
动 能
变化率
功
势能
§ 3-4～ § 3-6 功和能
一,功和功率 二,动能定理
三,保守力和势能 四,能量守恒定律 及其应用
基本内容,
牛顿第二定律
dPF
dt?
功的定义,
b
ab aW F d r???
保守力作功特点
0l F dr???
动能
a b k b k aW E E??
动能定理
21
2kE m v?
0
11
e x i n
nn
k i k i
ii
WW
EE
??
?
????
势能
()a b P b P aW E E? ? ?
( 0 )
Pa aE F d r???
机械能
kPE E E??功能原理
0nce x i nW W E E? ? ?
机械能守恒定律
0inncW ?0exW ?
0EE?
=常量
质点
质点系
质点系
基本要求,
1.功的计算，熟练计算变力的功，理解保守力
做功的特征；
2.质点、质点系的动能；
3.保守力与其相关势能的关系，由势能曲线分
析物体运动特征；
4.熟练使用动能定理或功能原理解题，注意内
力的功可以改变质点系的总动能；
5.熟练使用机械能守恒定律解题，对综合性问
题要能划分阶段，分别选用恰当的力学定理或
守恒定律求解。
一、功和功率
1.恒力的功 ?W=Fcos? ?r
rFW ????记作
位移无限小时,
rdFdW ??
dW 称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积
单位,J 【 焦耳（ Joule） 】 量纲,ML2T－ 2
§ 3-4 动能定理
力对质点所作的功为力在质点位移方向的分
量与位移大小的乘积。
功的定义,
?
F?
s?
F?
元功,dW 元位移,
r d
在元位移中将力视为恒力，力沿 ab
的功为所有无限小段位移上的元功
之和。
c o s c o s
d W F d r
F d r F d s??
??
??
解析式,()b
a b x y zaW F d x F d y F d z? ? ??
bb
ab aaW d W F d r? ? ???
如果力是位置的函数，设质点在力
的作用下沿一曲线运动，则功的计
算如下,
2、变力的功
cos F?
o 1r 1 dr 2r
r
a
b
o
F?
r?d
sd
r?
r??
?
F?
① 功与运动过程有关。
注意,
② 功是标量，有正负之分。
其正负由力与位移夹角 θ所决定。
只有在质点的位置发生变动的过程才存在功 。
一般而言，功的值还和受力质点由初、末位置
所经历的运动途径有关；即功是过程量。
由于位移具有相对性导致的结果。
③ 功的值与参照系有关～相对性。
s’
s
车厢参照系 位移 s’ 功 w’=Fs’
地面参照系 位移 s w’=F(s’+s)
例：匀速前进车中，物体在 作用下，沿
直线由 a→b F a b
F F
3、功率 力在单位时间内所作的功
t
WP
?
??平均功率：
单位,W或 Js-1 【 瓦特（ Wate） 】
量纲,ML2T－ 3
功的其它单位,1eV=1.6× 10-19J
dt
dW
t
WP
t
????
?? 0
l i m瞬时功率：
drd W F d r P F F v
dt? ? ? ? ? ? ?
④ 合力的功为各分力的功的代数和。
( ) ( )i i id W F d r F d r d W? ? ? ? ? ? ?
例 1、一陨石从距地面高为 h处由静止开始落向地
面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引
力的功是多少？
解：取地心为原点，引力与矢径方
向相反
? ? ?? R hR rdFW
)( hRR
G M m h
??
2?
?
?? R
hR
drrMmG
?
?
??
?
?
????? ? ? hRRG M mr
drG M m R
hR
11
2
a
b h
R
o
F
r
例 2、质量为 2kg 的质点在力 itF ?? 12＝ (SI)
的作用下，从静止出发，沿 x轴正向作直线运动。
求前三秒内该力所作的功。
解,? ?? ???? v d ttdt
dt
drFrdFW 12??＝
2
00
0
0
3
2
12
0 tdt
t
dt
m
F
a d tvv
tt
t
????
??
??
?
Jtdtt
dtttW
729936
312
43
0
3
3
0
2
???
???
?
?
作业,P104 3-13
1dr
1f
1m
1r
o
4,,一对力, 的
功
1111 rdfrm
???
m1,m2组成一个封闭系统 在 ?t时间内
2211 dfrdfdW
???? ????
2222 rdfrm
???
2 1 2 1r r r??
)()( 122122 rrdfrdrdfdW ?????? ???????
21 ff
??? ??
212 rdfdW
?? ???
把作用力与反作用力，更一般地，把两个大小相
等、方向相反的力～, 一对力,
2 f
2r
2dr
2m
21r
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等
于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质
点所移动的路径所做的功。
即,一对力”作功与参照系无关。
可选取最方便的参照系（如选在其中一质点上）
来计算一对力的功。
mMNN rdNdWdWW ?
? ???? ?d
① 一对正压力的功恒为零。
常见情况下“一对力”的
功
N? N?? 元功,
m M
N
N?
v u
设 m,M相对地面都在运动，
一对正压力, 的功与
参考系无关,选取 M为参照系最方便。
N N?
② 一对静摩擦力的功恒为零。
因为两个接触物体间无相对运动，以其中一个
物体为参照系，则另一物体的相对位移为零。
//斜面，即
Nrd mM ?? ?mMrd
??
mMrd
? ～ m相对 M的元位移 式中,
0???? mMrdNdW ??
～ 一对正压力的功恒为零
③ 一对滑动摩擦力的功恒为负。
因为滑动摩擦力的方向总是与相对运动方向相
反，以其中任一个物体为参照系，则另一物体的
受到的滑动摩擦力的方向一定与它相对参照系的
位移方向相反。所以，其功恒为负。
二、质点的动能定理
1,质点的动能定理
22
2
1
2
1
AB
v
v
B
AAB mvmvv d vmv d tdt
dvmW B
A
???? ??＝
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
??? ??? BABABAAB rdamrdFrdFW ??＝
v d trddtdva ?? ?
～力对物体所做功与物体状态之间的关系。
设质点 m受合外力 F，从 A移至 B
定义,单位,J
量纲,ML2T－ 2
2
2
1 mvE
k ?
～质点的动能
12 kk EEW ?? ～质点的动能定理
2、关于质点动能定理的说明
① 式中 W～合外力作功；当 W>0作正功，质点的
动能才增加，反之,W<0，其动能减少。
② 功与动能之间的联系与区别。
联系,当合外力对质点作功，质点的动能才发生变化。
功是动能变化的量度。
区别,动能是与物体状态有关的量～状态量
功是与物体运动过程有关的量～过程量
③ 该定理不是力学的一个新的独立的定律，是
定义了功和动能之后，直接有牛顿第二定律推
导出来的。
④ 功与动能、动能定理适用于惯性系。
⑤ 用该定理对于求解某些力学问题十分有用。
例、质量为 0.01kg的子弹，以 200m/s的速度射击
木板。①射入木板内 4cm时，子弹停留在木板内，
求木板的平均阻力；②若木板厚 2cm，求子弹穿过
木板后的速度（设木板的平均阻力不变）。
解,
2
0
2
2
1
2
1' mvmvsf ???
2 2 2
00
1 1 1
2 2 2f s m v m v m v? ? ? ? ?
① 子弹停留在木板内，末动能为零
m
0v?
0v?
v?
② 子弹穿过木板后，仍有一定速度。
20,0 1 2 0 0
5 0 0 0 ( )2 0,0 4fN ?? ? ? ??
ds
?
教材 P73 例 2,一质量为 m=1.0kg的
小球系在长为 l=1.0m的细绳下端，
起初把绳子放在与竖直线成 30° 角
处，然后放手使小球沿圆弧下落。
试求绳与竖直线成 10° 角时，小球
的速率。
解,合外力的元功
Td W F d s F d s P d s? ? ? ? ? ?
s
m
m
sf
vv
22
2
0
102
01.0
02.05 0 0 02
200
'2
??
??
??
?
???
mg
TF
由动能定理,
22
00
11( c o s c o s )
22W m g l m v m v??? ? ? ?
02 ( c o s c o s )v g l ????
代入数值,l=1 m,?0=30°, ?=10°
12 9, 8 1 ( c o s 1 0 c o s 3 0 ) 1, 5 3v m s ?? ? ? ? ? ? ? ?
0
0s in ( c o s c o s )W m g l d m g l
?
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ??
d s l d ???
作业,P104 3-17 3-20
0TF d s??
s i nm g d s m g l d??? ? ?
0 0v ?
§ 3-5 保守力与非保守力 势能
保守力,某些力对质点做功的大小只与质点的始末
位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。
势能,在具有保守力相互作用的系统内，只由质点
间的相对位置决定的能量称为势能。
一 万有引力、重力、弹性力作功的特点
1.万有引力作功
'mA
B
r?d
r
drr?
?
Ar
Br
re?
m
如图,设万有引力存在于质
量为 m和 m`物体之间,m`物
体相对不动,m 物体在 m`物
体的引力场中从 A 点沿任意
路径移到 B 点。 两个质点之
间在引力作用下相对运动时,
2
1
rd W F d r G m m e d rr?? ? ? ? ?
万有引力做功只取决于质点 m的起、末点位
置，而与路径无关。万有引力是 保守力 。
以 所在处为原点,指向 的方向为矢径的
正方向。 受的引力方向与矢径方向相反。 则万
有引力对质点所作的功为,
m?
m
mm?
│ │ │ │ c o s
│ │ c o s
rre d r e d r
d r d r
?
?
? ? ?
??
2
11BB
AA
rr
AB
drW d W G m m G m m
r r r
??
??? ? ? ? ? ???
??
??
re
dr
r dr?
r
?
2,重力作功
设质点 m在重力作用下由 A运动到 B，取地面为坐标原
点,y轴向上为正,A,B的坐标分别为 y1,y2 。
d W m g d r m g d y? ? ? ?
可见，重力是保守力。
2
1
21
12
()
()
y
y
W m g d y
m g y y
m g y y
??
? ? ?
??
?
3,弹性力作功
如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一
端固定，另一端与一质量为 m的物体相连接。
y
y2
y1 m
mg
o
可见，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧
来说，弹性力所作的功只由弹簧起始和终了的位
置决定，而与弹性形变的过程无关。弹性力是保
守力。
2
1
22
21
11
()
22
x
x
W k x d x
k x k x
??
? ? ?
?
当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不
发生形变，此时物体位于点 0(即位于 x=0处 )，
这个位置叫做 平衡位置
现以平衡位置 0为坐标原点，向右为 x轴正向。
F k x i??
x
k m
o m
o
o
m x
k
k x1
x2
x F?
F?
二 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式
凡其作功与路径无关，仅与始、末位置有关的力
称为 保守力 。
凡作功与路径有关的力称为 非保守力 。
推导保守力作功的数学表达式
设一物体 m在保守力作用下,自点 A沿路径 ACB到达
点 B，或沿路径 ADB到达点 B。 根据保守力作功与路
径无关的特点 做功与路径无关，只与起点、终点位
置有关。
重力和弹性力，万有引力（重力就是一种万有
引力）、分子间相互作用的分子力、静电力等都
属于保守力。
常见的摩擦力，物体间相互作非弹性碰撞时的
冲击力都属于非保守力。
?对沿闭合路径 ACBDA运动一周的物体做功为
d d dA C B B D A
L
W F r F r F r? ? ? ? ? ?? ? ?
dd
A C B A D B
A C B A D B
WW
F r F r
?
? ? ? ???
（路径 L1） （路径 L2） A
m B
L1
L2
F?
C
D
ddB D A A D BF r F r? ? ? ???
d d d 0A C B A D B
L
W F r F r F r? ? ? ? ? ? ?? ? ?
物体沿闭合路径运动一周时，保守力做功为零
d0
L
W F r? ? ??
1.定义,
由物体间的相对位置所决定的能量，其改变量
可以度量保守力所作的功。该能量称为 势 (位 )能 。
PE?
～为势能增量
～保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。
三 势能
pE
PaE
设保守力 将质点 由 a→b,其势能分别为 F m
PbE
,
b
P a P b P a b aE E E W F d r? ? ?? ? ? ??
则有,
若选取 b为零势能点, 0
PbE ?
( 0 )
P a PaE F d r E? ? ??
则有,
2.几种常见保守力的势能
① 重力势能
设 m在重力作用下由 a运动到 b，取地面为坐标原点，
y轴向上为正,a,b的坐标分别为 ya,yb。
()a b b a PW m g y y E? ? ? ?＝ －
重力的功等于重力势能增量的负值。
重力势能以地面为零势能点,
m g yymgm g d yE
yP
?????? ? )0(0
y a
b
o
( ) ( )b
a
y
a b b a a byW m g d y m g y y m g y y? ? ? ? ? ? ??
② 引力势能
设两个质点之间在引力作用下相对运动时,以 M
所在处为原点,M 指向 m 的方向为矢径的正方向。 m受
的引力方向与矢径方向相反。
2
1 1 1b
a
r
a b Pr
ab
W G M m d r G M m E
r r r
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
???
万有引力的功等于引力势能增量的负值。
引力势能以无穷远为零势能点。
r
G M mdr
r
MmGE
rP
1
2 ???
? －＝
③ 弹性势能
2211()
22
b
a
x
a b b a PxW k x d x k x k x E? ? ? ? ? ? ? ??
o M
m F? r?
弹性势能以弹簧原长为零势能点。
220
2
1)
2
10( kxkxk x d xE
xP
??????? ?
x
E p
0
r
E p
保守力
重 力
弹 力
引 力
势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
21
2 kx
mMG
r
?
h = 0
x = 0
r = ∞
h
E p
0
0
势能曲线对照表 (势能随位置变化的曲线～势能曲线 )
保守力沿某一给定的 l方向的分量等于与此保守力
相应的势能函数沿 l方向的空间变化率。
m
lF
l θ
F?
l?d
3.势能和保守力的关系,
势能是保守力对路径的线积分,b
P aE F d l??＝
b
a
dl
dEF P
l ???
若势能为 EP（ x,y,z)
c o sPld E F d l F d l F d l?? ? ? ? ?
xEF Px ???? yEF Py ???? zEF Pz ????
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向空间变化率
= = gr a d
P P P
x y z
PP
E E E
F F i F j F k i j k
x y z
EE
??? ? ?
? ? ? ? ? ? ???
? ? ???
? ? ?
～保守力等于势能的负梯度。 grad～梯度运算
= g r a d i j kx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?
① 势能是状态的函数。 在保守力作用下，保守力所
作的功与路径是无关的。所以，势能是坐标的函数，
亦即是状态的函数。
说明,
(,,)PPE E x y z＝② 势能的量值仅有相对意义。 必须指出零势能参考
点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相
对位置的单值函数。
③ 势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的,
不应将其看作属于某一物体的。
重力势能～物体和地球组成的重力系统；
弹簧势能～物体和弹簧组成的弹性系统。
只有当我们选定某一位置为系统的势能零点时，
其他系统的势能才有确定的量值。势能零点的选取
是任意的。通常，选地面为重力势能零点；无穷远
处为引力势能零点；平衡位置为弹簧势能零点。须
加以说明。
④ 系统具有势能的条件 是物体之间的相互作用力必
须是保守力，而对非保守力系统谈论势能，则没有
任何意义。
如：摩擦力为非保守力，不存在什么摩擦势能。
§ 3-6 功能原理 机械能守恒定律
动能定理适合于单个物体，也可将其推广到多个
物体组成的系统，成为系统的功能原理。
一、质点系的动能定理
设系统由 n个物体（质点）组成，作用于各个质点
的力所作的功分别为,
各质点的初动能,
0kiE
末动能,
kiE
1 1 1 0kkW E E??
1,.,,,,,,,.,,,,,,inW W W
1,2,.,,,,,,in?
由质点的
动能定理,
0i k i k iW E E??2 2 2 0kk
W E E??
........
以上各式相加得,
0
1 1 1
n n n
i k i k i
i i i
W W E E
? ? ?
? ? ?? ? ?
作用在 n个质点上
的力所作的功之和
系统内 n个质点
的初动能之和
系统内 n个质点
的末动能之和
作用于质点系的力所作之功，等于该质点系的
动能增量。 这也叫做 质点系的动能定理 。
系统内的质点所受的 力,既有来自系统外的 外
力,也有来自系统内各质点间相互作用的 内力 。
作用于质点系的力所作的功，应是一切外力
（系统外力）对质点系所作的功与质点系内一
切内力（系统内力）所作的功之和
即,
～所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功
之和等于质点系总动能的增量。
作用质点系上的所
有力所作的功之和
质点系的动能定理,
1 1 1
n n n
e x i n e x i n
i i i
i i i
W W W W W
? ? ?
? ? ? ?? ? ?
0
11
nn
e x i n
k i k i
ii
W W E E
??
? ? ???
作用于质点系的
所有外力作的功
质点系内一切
内力所作的功
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统
的总动量。
即,
质点系内各非保
守内力作功之和
质点系内一切
内力所作的功
质点系内各保守
内力作功之和
因为系统内保守力作的功等于势能增量的负值，
所以，质点系内各内力的保守力所作的功应为,
i n i n i n
c n cW W W??
0
11
()C
nn
in
P i P i
ii
W E E
??
? ? ???
二、质点系的功能原理
将系统内力分成保守力与非保守力，其对质点系
作功分成保守内力作的功和非保守内力作的功。
则,
质点系的初机械能 质点系的末机械能
～质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作
功之和。 这就是质点系的 功能原理
0nce x i nW W E E E? ? ? ? ?
11
nn
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ii
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????
000
11
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( ) ( )nc
n n n n
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k i P i k i P i
i i i i
W W E E E E
? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ?
定义,机械能 E：系统中各物体的动能与势能之总和。
质点系的动能定理,
0,0inncWE? ? ? 即无外力作用下，其机械能增加。
0,0exWE? ? ? 即外力作功之和为负，其机械能减少；
0,0exWE? ? ? 即外力作功之和为正，其机械能增加。
④ 在解决具体问题时，可以使用动能定理，也可
以使用功能原理。
③ 当,
0exW E E E? ? ? ?0ncinW ?
② 当,
0inncW E E E? ? ? ?0exW ?
0,0inncWE? ? ? 即无外力作用下，其机械能减少；
注意,
① ～各质点所受外力作功之和，不是合外力
作功；同理,同上。
exW
inncW
研究某个物体～动能定理；外力作功～物体上所有合
外力作功，包括重力、弹性力等保守力；
研究某个系统～功能原理；保守内力作功由系统势能
变化代替了，不再计入功的总和之中。
三,机械能守恒定律
则有,
若外力和非保守性内力都不作功，即
0inncW ?0exW ? 0 0E E E? ? ? ?
00
1 1 1 1
n n n n
k i P i k i P i
i i i i
E E E E
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，
质点系的总机械能是守恒的 ～ 机械能守恒定律
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。
上式可改写为,
说明：在满足机械能守恒的条件下，系统内的动
能与势能是可以相互转换的，而其转换是通过系
统内保守力作功来实现的。
00
1 1 1 1
()
n n n n
k i k i P i P i
i i i i
E E E E
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
即,
kpEE? ? ??
分析：在机械能守恒的条件下，常见几种保守
力的 势能曲线。
其中，曲线斜率为保守力的大小。由曲线观察零
势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量的
转化。
重力势能曲线 弹性势能曲线 万有引力势能曲线
在牛顿运动定律的基础上，研究力的空间积累作
用与受力质点运动状态变化之后，建立的功和能
的概念。各概念定理之间的联系如下图所示,
四,功与能的关系
牛顿第二定律
dPF
dt?
功的定义,
b
ab aW F d r???
保守力作功特点
0l F dr???
动能
a b k b k aW E E??
动能定理
21
2kE m v?
0
11
e x i n
nn
k i k i
ii
WW
EE
??
?
????
势能
()a b P b P aW E E? ? ?
( 0 )
Pa aE F d r???
机械能
kPE E E??功能原理
0nce x i nW W E E? ? ?
机械能守恒定律
0inncW ?0exW ?
0EE?
=常量
质点
质点系
质点系
结构框图
① 选系统，看运动。
分析系统内各物体受力情况：分清内力、外
力；保守力、非保守力。由功的定义，定性判
断各力是否作功及作功的正负等。
五、利用功能原理解题步骤
② 查受力，分析功。
依题意，选择合适的系统～关键第一步。要
求能将已知条件和所求量相联系起来。
较复杂问题须将此步与下一步骤结合考虑。
若涉及势能，所选系统应包括有保守力作用的
物体系。
确定后，应定性分析系统内各物体的运动状态。
分析,m下滑,M必向后退
例,已知物体的质量分别为 M,m,M槽的半径为 R。
各处光滑，开始时,M,m均静止。求 m自顶端滑到
1/4圆弧槽底时对地的速度？
R
M
m
其受力如图。
Mv
mv
Mg
1N
N? mg
N因涉及重力势能，因
此，所选系统应包括
地球。
若系统：物体 m、地球；
分析功,～外力，
则
1 0
ex NWW??
N
N而 m的位移,未知，用功能原理求解有困难。
若系统：物体 m,M、地球；分析功：无外力,
涉及势能时，首先确定参考点（势能零点）。
明确系统的始末状态（位置、速度），写出相
应状态的能量。应用原理列方程。
③ 审条件，用定理。
0inn c N NW W W ?? ? ?0exW ?
, 为一对作用力与反作用力；所以，满足
机械能守恒条件。可以用机械能守恒列方程；
同时，水平方向系统合外力为零，满足动量守
恒条件。
N N?
④ 明状态，列方程。
对于复杂问题，要结合运动学、牛顿定律等
力学知识求解。之后，按常规解题步骤处理。
举例 教材 P83 例 1,如图 3-21所示，一雪橇从高度
为 50米的山顶上点 A沿冰道由静止下滑，山顶到山
下的坡道长为 500米，雪橇滑至山下点 B后，又沿水
平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在 C处．若雪
橇与冰道的摩擦因数为 0.050。求此雪橇沿水平冰
道滑行的路程。点 B附近可视为连续弯曲的滑道。
略去空气阻力的作用。
解,选系统,雪橇、地球；
1 2 2 2 1 1( ) ( )k P k PW W W E E E E? ? ? ? ? ?
m
NF?
mg
NFfF
分析受力,系统不受外力；
内力：重力、正压力、支
持力、摩擦力。其中：正
压力、支持力为, 一对
力,,其作功之和为零；
重力为保守内力；摩擦力
为非保守内力。摩擦力作
功为,
雪
橇
沿
斜
坡
下
滑
时
，
摩
擦
力
作
的
功
雪
橇
沿
水
平
冰
道
运
动
时
，
摩
擦
力
作
的
功
雪
橇
静
止
在
水
平
滑
道
上
的
动
能
雪
橇
静
止
在
水
平
滑
道
上
的
势
能
雪
橇
在
山
顶
时
的
动
能
雪
橇
在
山
顶
时
的
势
能
选系统,势能零点为水平滑道。有,
1 1 2 2,0,0,0P k k PE m g h E E E? ? ? ?
上式为,
12W W m g h? ? ?
由功的定义式,
1 c o s
BB
ff AAW F d r F d r m g d r??? ? ? ? ? ?? ? ?
0,c o s 1??? ? ? 1W m g s? ???
2
C
f BW F d r m g d r m g s??? ? ? ? ? ???
所以,
50 5 0 0 5 0 0 ( )
0, 0 5 0
hs s m
?
?? ? ? ? ?
作业,P104 3-25
例,一粗细均匀的柔软绳子，一部分置于光滑水平桌
面上,另一部分自桌边下垂，绳全长为 。 开始时，
下垂部分长为 b，初速为 。求整个绳全部离开桌
面时瞬间的速度？ (设绳不可伸长）
l
0 0v ?
1mA B
C
x
lx?
x
2m
本题将分别用牛顿定律、动能定理、功能原理求解，
通过对比了解功能原理解题的优点。
解一, 用牛顿定律求解；
用隔离体法：绳分成两部
分，桌上,AB、下垂,BC,
t时刻,
11
22
:,,
:,,
A B l x m a
B C x m a
?
1mA B
C
x
lx?
x
2m
1m
A
B
1a
1mg
1N
1T
2m
C
B
2a
2T
2mg
牛顿第二定律，列方程,
① AB,
1
1 1 1 1
11
:
:0
dv
x T m a m
dt
y N m g
??
??
③ 绳不可伸长,
牛顿第三定律,
12dv dv dv
dt dt dt??
12TT?
绳质量均匀分布,
12,
l x xm m m m
ll
???
联立求解,x d v
gl d t? x d vg d x d x v d vl d t??
0
vl
b
xvd v g d x
l???
2 2 211 ()
22
gv l b
l? ? ?
22()gv l b
l? ? ?
～绳全部离开桌面的速度大
小，其方向向下。
2
2 2 2 2 2:
dvx m g T m a m
dt? ? ?
② BC,
解二, 用动能定理求解；
系统：整个绳子；绳分成
两部分，桌上,AB、下垂：
BC,受力如图。
1m
A
B
1a
11m g P?
1N
1T
2m
C
B
2a
2T
22m g P?
作功,
111
12
ex
N P P
in
TT
W W W W
W W W
? ? ?
??
2
22
2 ()2
le x in
P b
x m gW W W W m g d x m g d x l b
ll? ? ? ? ? ? ? ???
12 0TTWW??
其中,, 为, 一对力, 作功，
有 1T 2T
而, 与位移方向垂直,有
1N 1P 11 0NPWW??
系统动能：初态 (静止 ),
0 0kE ?
由动能定理，有,
即
0
e x i n kkW W E E? ? ?
末态：设绳速率为,动能为,v
21
2kE m v?
2 2 21( ) 0
22
mg l b m v
l ? ? ?
22()gv l b
l? ? ?
～与解法一结果完全相同。
解三, 用功能原理求解；
系统：整个绳子、地球；外力：,其作功为零。
1N
由绳不可伸长，有,0in
ncW ?
由功能原理知，系统机械能守恒。
选取水平桌面处为重力势能零点,
初态机械能,
00
0
20
2
0 ( )
2
22
kP
E E E
b
mg
b b b
m g m g
ll
??
? ? ?
? ? ? ?
0PE ?
20m
m
b
l
2l
2b
0PE ?
初态 末态
v0 0v ?
末态机械能,
21 ()
22kP
lE E E m v m g? ? ? ? ?
功能
原理,0EE? 221 ()2 2 2lbm v m g m gl? ? ? ?
22()gv l b
l? ? ?
～与前面解法的结果完全相同。
比较三种方法,
① 牛顿定律方程两端,
均为瞬时值，需对方程两端积分；
② 动能定理方程两端,
功的一侧为过程量，动能一侧为状态量，仅需
对过程量积分；
③ 功能原理方程两端,
功的一侧由势能改变取代，不需再求积分，所
以，最简单。
动能 动能
定理
功能
原理
机械能
守恒
能量守恒
动 能
变化率
功
势能
§ 3-4～ § 3-6 功和能
一,功和功率 二,动能定理
三,保守力和势能 四,能量守恒定律 及其应用
基本内容,
牛顿第二定律
dPF
dt?
功的定义,
b
ab aW F d r???
保守力作功特点
0l F dr???
动能
a b k b k aW E E??
动能定理
21
2kE m v?
0
11
e x i n
nn
k i k i
ii
WW
EE
??
?
????
势能
()a b P b P aW E E? ? ?
( 0 )
Pa aE F d r???
机械能
kPE E E??功能原理
0nce x i nW W E E? ? ?
机械能守恒定律
0inncW ?0exW ?
0EE?
=常量
质点
质点系
质点系
基本要求,
1.功的计算，熟练计算变力的功，理解保守力
做功的特征；
2.质点、质点系的动能；
3.保守力与其相关势能的关系，由势能曲线分
析物体运动特征；
4.熟练使用动能定理或功能原理解题，注意内
力的功可以改变质点系的总动能；
5.熟练使用机械能守恒定律解题，对综合性问
题要能划分阶段，分别选用恰当的力学定理或
守恒定律求解。
一、功和功率
1.恒力的功 ?W=Fcos? ?r
rFW ????记作
位移无限小时,
rdFdW ??
dW 称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积
单位,J 【 焦耳（ Joule） 】 量纲,ML2T－ 2
§ 3-4 动能定理
力对质点所作的功为力在质点位移方向的分
量与位移大小的乘积。
功的定义,
?
F?
s?
F?
元功,dW 元位移,
r d
在元位移中将力视为恒力，力沿 ab
的功为所有无限小段位移上的元功
之和。
c o s c o s
d W F d r
F d r F d s??
??
??
解析式,()b
a b x y zaW F d x F d y F d z? ? ??
bb
ab aaW d W F d r? ? ???
如果力是位置的函数，设质点在力
的作用下沿一曲线运动，则功的计
算如下,
2、变力的功
cos F?
o 1r 1 dr 2r
r
a
b
o
F?
r?d
sd
r?
r??
?
F?
① 功与运动过程有关。
注意,
② 功是标量，有正负之分。
其正负由力与位移夹角 θ所决定。
只有在质点的位置发生变动的过程才存在功 。
一般而言，功的值还和受力质点由初、末位置
所经历的运动途径有关；即功是过程量。
由于位移具有相对性导致的结果。
③ 功的值与参照系有关～相对性。
s’
s
车厢参照系 位移 s’ 功 w’=Fs’
地面参照系 位移 s w’=F(s’+s)
例：匀速前进车中，物体在 作用下，沿
直线由 a→b F a b
F F
3、功率 力在单位时间内所作的功
t
WP
?
??平均功率：
单位,W或 Js-1 【 瓦特（ Wate） 】
量纲,ML2T－ 3
功的其它单位,1eV=1.6× 10-19J
dt
dW
t
WP
t
????
?? 0
l i m瞬时功率：
drd W F d r P F F v
dt? ? ? ? ? ? ?
④ 合力的功为各分力的功的代数和。
( ) ( )i i id W F d r F d r d W? ? ? ? ? ? ?
例 1、一陨石从距地面高为 h处由静止开始落向地
面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引
力的功是多少？
解：取地心为原点，引力与矢径方
向相反
? ? ?? R hR rdFW
)( hRR
G M m h
??
2?
?
?? R
hR
drrMmG
?
?
??
?
?
????? ? ? hRRG M mr
drG M m R
hR
11
2
a
b h
R
o
F
r
例 2、质量为 2kg 的质点在力 itF ?? 12＝ (SI)
的作用下，从静止出发，沿 x轴正向作直线运动。
求前三秒内该力所作的功。
解,? ?? ???? v d ttdt
dt
drFrdFW 12??＝
2
00
0
0
3
2
12
0 tdt
t
dt
m
F
a d tvv
tt
t
????
??
??
?
Jtdtt
dtttW
729936
312
43
0
3
3
0
2
???
???
?
?
作业,P104 3-13
1dr
1f
1m
1r
o
4,,一对力, 的
功
1111 rdfrm
???
m1,m2组成一个封闭系统 在 ?t时间内
2211 dfrdfdW
???? ????
2222 rdfrm
???
2 1 2 1r r r??
)()( 122122 rrdfrdrdfdW ?????? ???????
21 ff
??? ??
212 rdfdW
?? ???
把作用力与反作用力，更一般地，把两个大小相
等、方向相反的力～, 一对力,
2 f
2r
2dr
2m
21r
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等
于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质
点所移动的路径所做的功。
即,一对力”作功与参照系无关。
可选取最方便的参照系（如选在其中一质点上）
来计算一对力的功。
mMNN rdNdWdWW ?
? ???? ?d
① 一对正压力的功恒为零。
常见情况下“一对力”的
功
N? N?? 元功,
m M
N
N?
v u
设 m,M相对地面都在运动，
一对正压力, 的功与
参考系无关,选取 M为参照系最方便。
N N?
② 一对静摩擦力的功恒为零。
因为两个接触物体间无相对运动，以其中一个
物体为参照系，则另一物体的相对位移为零。
//斜面，即
Nrd mM ?? ?mMrd
??
mMrd
? ～ m相对 M的元位移 式中,
0???? mMrdNdW ??
～ 一对正压力的功恒为零
③ 一对滑动摩擦力的功恒为负。
因为滑动摩擦力的方向总是与相对运动方向相
反，以其中任一个物体为参照系，则另一物体的
受到的滑动摩擦力的方向一定与它相对参照系的
位移方向相反。所以，其功恒为负。
二、质点的动能定理
1,质点的动能定理
22
2
1
2
1
AB
v
v
B
AAB mvmvv d vmv d tdt
dvmW B
A
???? ??＝
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
??? ??? BABABAAB rdamrdFrdFW ??＝
v d trddtdva ?? ?
～力对物体所做功与物体状态之间的关系。
设质点 m受合外力 F，从 A移至 B
定义,单位,J
量纲,ML2T－ 2
2
2
1 mvE
k ?
～质点的动能
12 kk EEW ?? ～质点的动能定理
2、关于质点动能定理的说明
① 式中 W～合外力作功；当 W>0作正功，质点的
动能才增加，反之,W<0，其动能减少。
② 功与动能之间的联系与区别。
联系,当合外力对质点作功，质点的动能才发生变化。
功是动能变化的量度。
区别,动能是与物体状态有关的量～状态量
功是与物体运动过程有关的量～过程量
③ 该定理不是力学的一个新的独立的定律，是
定义了功和动能之后，直接有牛顿第二定律推
导出来的。
④ 功与动能、动能定理适用于惯性系。
⑤ 用该定理对于求解某些力学问题十分有用。
例、质量为 0.01kg的子弹，以 200m/s的速度射击
木板。①射入木板内 4cm时，子弹停留在木板内，
求木板的平均阻力；②若木板厚 2cm，求子弹穿过
木板后的速度（设木板的平均阻力不变）。
解,
2
0
2
2
1
2
1' mvmvsf ???
2 2 2
00
1 1 1
2 2 2f s m v m v m v? ? ? ? ?
① 子弹停留在木板内，末动能为零
m
0v?
0v?
v?
② 子弹穿过木板后，仍有一定速度。
20,0 1 2 0 0
5 0 0 0 ( )2 0,0 4fN ?? ? ? ??
ds
?
教材 P73 例 2,一质量为 m=1.0kg的
小球系在长为 l=1.0m的细绳下端，
起初把绳子放在与竖直线成 30° 角
处，然后放手使小球沿圆弧下落。
试求绳与竖直线成 10° 角时，小球
的速率。
解,合外力的元功
Td W F d s F d s P d s? ? ? ? ? ?
s
m
m
sf
vv
22
2
0
102
01.0
02.05 0 0 02
200
'2
??
??
??
?
???
mg
TF
由动能定理,
22
00
11( c o s c o s )
22W m g l m v m v??? ? ? ?
02 ( c o s c o s )v g l ????
代入数值,l=1 m,?0=30°, ?=10°
12 9, 8 1 ( c o s 1 0 c o s 3 0 ) 1, 5 3v m s ?? ? ? ? ? ? ? ?
0
0s in ( c o s c o s )W m g l d m g l
?
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ??
d s l d ???
作业,P104 3-17 3-20
0TF d s??
s i nm g d s m g l d??? ? ?
0 0v ?
§ 3-5 保守力与非保守力 势能
保守力,某些力对质点做功的大小只与质点的始末
位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。
势能,在具有保守力相互作用的系统内，只由质点
间的相对位置决定的能量称为势能。
一 万有引力、重力、弹性力作功的特点
1.万有引力作功
'mA
B
r?d
r
drr?
?
Ar
Br
re?
m
如图,设万有引力存在于质
量为 m和 m`物体之间,m`物
体相对不动,m 物体在 m`物
体的引力场中从 A 点沿任意
路径移到 B 点。 两个质点之
间在引力作用下相对运动时,
2
1
rd W F d r G m m e d rr?? ? ? ? ?
万有引力做功只取决于质点 m的起、末点位
置，而与路径无关。万有引力是 保守力 。
以 所在处为原点,指向 的方向为矢径的
正方向。 受的引力方向与矢径方向相反。 则万
有引力对质点所作的功为,
m?
m
mm?
│ │ │ │ c o s
│ │ c o s
rre d r e d r
d r d r
?
?
? ? ?
??
2
11BB
AA
rr
AB
drW d W G m m G m m
r r r
??
??? ? ? ? ? ???
??
??
re
dr
r dr?
r
?
2,重力作功
设质点 m在重力作用下由 A运动到 B，取地面为坐标原
点,y轴向上为正,A,B的坐标分别为 y1,y2 。
d W m g d r m g d y? ? ? ?
可见，重力是保守力。
2
1
21
12
()
()
y
y
W m g d y
m g y y
m g y y
??
? ? ?
??
?
3,弹性力作功
如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一
端固定，另一端与一质量为 m的物体相连接。
y
y2
y1 m
mg
o
可见，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧
来说，弹性力所作的功只由弹簧起始和终了的位
置决定，而与弹性形变的过程无关。弹性力是保
守力。
2
1
22
21
11
()
22
x
x
W k x d x
k x k x
??
? ? ?
?
当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不
发生形变，此时物体位于点 0(即位于 x=0处 )，
这个位置叫做 平衡位置
现以平衡位置 0为坐标原点，向右为 x轴正向。
F k x i??
x
k m
o m
o
o
m x
k
k x1
x2
x F?
F?
二 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式
凡其作功与路径无关，仅与始、末位置有关的力
称为 保守力 。
凡作功与路径有关的力称为 非保守力 。
推导保守力作功的数学表达式
设一物体 m在保守力作用下,自点 A沿路径 ACB到达
点 B，或沿路径 ADB到达点 B。 根据保守力作功与路
径无关的特点 做功与路径无关，只与起点、终点位
置有关。
重力和弹性力，万有引力（重力就是一种万有
引力）、分子间相互作用的分子力、静电力等都
属于保守力。
常见的摩擦力，物体间相互作非弹性碰撞时的
冲击力都属于非保守力。
?对沿闭合路径 ACBDA运动一周的物体做功为
d d dA C B B D A
L
W F r F r F r? ? ? ? ? ?? ? ?
dd
A C B A D B
A C B A D B
WW
F r F r
?
? ? ? ???
（路径 L1） （路径 L2） A
m B
L1
L2
F?
C
D
ddB D A A D BF r F r? ? ? ???
d d d 0A C B A D B
L
W F r F r F r? ? ? ? ? ? ?? ? ?
物体沿闭合路径运动一周时，保守力做功为零
d0
L
W F r? ? ??
1.定义,
由物体间的相对位置所决定的能量，其改变量
可以度量保守力所作的功。该能量称为 势 (位 )能 。
PE?
～为势能增量
～保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。
三 势能
pE
PaE
设保守力 将质点 由 a→b,其势能分别为 F m
PbE
,
b
P a P b P a b aE E E W F d r? ? ?? ? ? ??
则有,
若选取 b为零势能点, 0
PbE ?
( 0 )
P a PaE F d r E? ? ??
则有,
2.几种常见保守力的势能
① 重力势能
设 m在重力作用下由 a运动到 b，取地面为坐标原点，
y轴向上为正,a,b的坐标分别为 ya,yb。
()a b b a PW m g y y E? ? ? ?＝ －
重力的功等于重力势能增量的负值。
重力势能以地面为零势能点,
m g yymgm g d yE
yP
?????? ? )0(0
y a
b
o
( ) ( )b
a
y
a b b a a byW m g d y m g y y m g y y? ? ? ? ? ? ??
② 引力势能
设两个质点之间在引力作用下相对运动时,以 M
所在处为原点,M 指向 m 的方向为矢径的正方向。 m受
的引力方向与矢径方向相反。
2
1 1 1b
a
r
a b Pr
ab
W G M m d r G M m E
r r r
??? ? ? ? ? ? ? ?
??
???
万有引力的功等于引力势能增量的负值。
引力势能以无穷远为零势能点。
r
G M mdr
r
MmGE
rP
1
2 ???
? －＝
③ 弹性势能
2211()
22
b
a
x
a b b a PxW k x d x k x k x E? ? ? ? ? ? ? ??
o M
m F? r?
弹性势能以弹簧原长为零势能点。
220
2
1)
2
10( kxkxk x d xE
xP
??????? ?
x
E p
0
r
E p
保守力
重 力
弹 力
引 力
势能（ E p ） 势能零点 势能曲线
mgh
21
2 kx
mMG
r
?
h = 0
x = 0
r = ∞
h
E p
0
0
势能曲线对照表 (势能随位置变化的曲线～势能曲线 )
保守力沿某一给定的 l方向的分量等于与此保守力
相应的势能函数沿 l方向的空间变化率。
m
lF
l θ
F?
l?d
3.势能和保守力的关系,
势能是保守力对路径的线积分,b
P aE F d l??＝
b
a
dl
dEF P
l ???
若势能为 EP（ x,y,z)
c o sPld E F d l F d l F d l?? ? ? ? ?
xEF Px ???? yEF Py ???? zEF Pz ????
保守力在 l 方向投影 E p 在 l 方向空间变化率
= = gr a d
P P P
x y z
PP
E E E
F F i F j F k i j k
x y z
EE
??? ? ?
? ? ? ? ? ? ???
? ? ???
? ? ?
～保守力等于势能的负梯度。 grad～梯度运算
= g r a d i j kx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?
① 势能是状态的函数。 在保守力作用下，保守力所
作的功与路径是无关的。所以，势能是坐标的函数，
亦即是状态的函数。
说明,
(,,)PPE E x y z＝② 势能的量值仅有相对意义。 必须指出零势能参考
点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相
对位置的单值函数。
③ 势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的,
不应将其看作属于某一物体的。
重力势能～物体和地球组成的重力系统；
弹簧势能～物体和弹簧组成的弹性系统。
只有当我们选定某一位置为系统的势能零点时，
其他系统的势能才有确定的量值。势能零点的选取
是任意的。通常，选地面为重力势能零点；无穷远
处为引力势能零点；平衡位置为弹簧势能零点。须
加以说明。
④ 系统具有势能的条件 是物体之间的相互作用力必
须是保守力，而对非保守力系统谈论势能，则没有
任何意义。
如：摩擦力为非保守力，不存在什么摩擦势能。
§ 3-6 功能原理 机械能守恒定律
动能定理适合于单个物体，也可将其推广到多个
物体组成的系统，成为系统的功能原理。
一、质点系的动能定理
设系统由 n个物体（质点）组成，作用于各个质点
的力所作的功分别为,
各质点的初动能,
0kiE
末动能,
kiE
1 1 1 0kkW E E??
1,.,,,,,,,.,,,,,,inW W W
1,2,.,,,,,,in?
由质点的
动能定理,
0i k i k iW E E??2 2 2 0kk
W E E??
........
以上各式相加得,
0
1 1 1
n n n
i k i k i
i i i
W W E E
? ? ?
? ? ?? ? ?
作用在 n个质点上
的力所作的功之和
系统内 n个质点
的初动能之和
系统内 n个质点
的末动能之和
作用于质点系的力所作之功，等于该质点系的
动能增量。 这也叫做 质点系的动能定理 。
系统内的质点所受的 力,既有来自系统外的 外
力,也有来自系统内各质点间相互作用的 内力 。
作用于质点系的力所作的功，应是一切外力
（系统外力）对质点系所作的功与质点系内一
切内力（系统内力）所作的功之和
即,
～所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功
之和等于质点系总动能的增量。
作用质点系上的所
有力所作的功之和
质点系的动能定理,
1 1 1
n n n
e x i n e x i n
i i i
i i i
W W W W W
? ? ?
? ? ? ?? ? ?
0
11
nn
e x i n
k i k i
ii
W W E E
??
? ? ???
作用于质点系的
所有外力作的功
质点系内一切
内力所作的功
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统
的总动量。
即,
质点系内各非保
守内力作功之和
质点系内一切
内力所作的功
质点系内各保守
内力作功之和
因为系统内保守力作的功等于势能增量的负值，
所以，质点系内各内力的保守力所作的功应为,
i n i n i n
c n cW W W??
0
11
()C
nn
in
P i P i
ii
W E E
??
? ? ???
二、质点系的功能原理
将系统内力分成保守力与非保守力，其对质点系
作功分成保守内力作的功和非保守内力作的功。
则,
质点系的初机械能 质点系的末机械能
～质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作
功之和。 这就是质点系的 功能原理
0nce x i nW W E E E? ? ? ? ?
11
nn
k i P i
ii
E E E
??
????
000
11
nn
k i P i
ii
E E E
??
????
00
1 1 1 1
( ) ( )nc
n n n n
e x i n
k i P i k i P i
i i i i
W W E E E E
? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ?
定义,机械能 E：系统中各物体的动能与势能之总和。
质点系的动能定理,
0,0inncWE? ? ? 即无外力作用下，其机械能增加。
0,0exWE? ? ? 即外力作功之和为负，其机械能减少；
0,0exWE? ? ? 即外力作功之和为正，其机械能增加。
④ 在解决具体问题时，可以使用动能定理，也可
以使用功能原理。
③ 当,
0exW E E E? ? ? ?0ncinW ?
② 当,
0inncW E E E? ? ? ?0exW ?
0,0inncWE? ? ? 即无外力作用下，其机械能减少；
注意,
① ～各质点所受外力作功之和，不是合外力
作功；同理,同上。
exW
inncW
研究某个物体～动能定理；外力作功～物体上所有合
外力作功，包括重力、弹性力等保守力；
研究某个系统～功能原理；保守内力作功由系统势能
变化代替了，不再计入功的总和之中。
三,机械能守恒定律
则有,
若外力和非保守性内力都不作功，即
0inncW ?0exW ? 0 0E E E? ? ? ?
00
1 1 1 1
n n n n
k i P i k i P i
i i i i
E E E E
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，
质点系的总机械能是守恒的 ～ 机械能守恒定律
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。
上式可改写为,
说明：在满足机械能守恒的条件下，系统内的动
能与势能是可以相互转换的，而其转换是通过系
统内保守力作功来实现的。
00
1 1 1 1
()
n n n n
k i k i P i P i
i i i i
E E E E
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
即,
kpEE? ? ??
分析：在机械能守恒的条件下，常见几种保守
力的 势能曲线。
其中，曲线斜率为保守力的大小。由曲线观察零
势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量的
转化。
重力势能曲线 弹性势能曲线 万有引力势能曲线
在牛顿运动定律的基础上，研究力的空间积累作
用与受力质点运动状态变化之后，建立的功和能
的概念。各概念定理之间的联系如下图所示,
四,功与能的关系
牛顿第二定律
dPF
dt?
功的定义,
b
ab aW F d r???
保守力作功特点
0l F dr???
动能
a b k b k aW E E??
动能定理
21
2kE m v?
0
11
e x i n
nn
k i k i
ii
WW
EE
??
?
????
势能
()a b P b P aW E E? ? ?
( 0 )
Pa aE F d r???
机械能
kPE E E??功能原理
0nce x i nW W E E? ? ?
机械能守恒定律
0inncW ?0exW ?
0EE?
=常量
质点
质点系
质点系
结构框图
① 选系统，看运动。
分析系统内各物体受力情况：分清内力、外
力；保守力、非保守力。由功的定义，定性判
断各力是否作功及作功的正负等。
五、利用功能原理解题步骤
② 查受力，分析功。
依题意，选择合适的系统～关键第一步。要
求能将已知条件和所求量相联系起来。
较复杂问题须将此步与下一步骤结合考虑。
若涉及势能，所选系统应包括有保守力作用的
物体系。
确定后，应定性分析系统内各物体的运动状态。
分析,m下滑,M必向后退
例,已知物体的质量分别为 M,m,M槽的半径为 R。
各处光滑，开始时,M,m均静止。求 m自顶端滑到
1/4圆弧槽底时对地的速度？
R
M
m
其受力如图。
Mv
mv
Mg
1N
N? mg
N因涉及重力势能，因
此，所选系统应包括
地球。
若系统：物体 m、地球；
分析功,～外力，
则
1 0
ex NWW??
N
N而 m的位移,未知，用功能原理求解有困难。
若系统：物体 m,M、地球；分析功：无外力,
涉及势能时，首先确定参考点（势能零点）。
明确系统的始末状态（位置、速度），写出相
应状态的能量。应用原理列方程。
③ 审条件，用定理。
0inn c N NW W W ?? ? ?0exW ?
, 为一对作用力与反作用力；所以，满足
机械能守恒条件。可以用机械能守恒列方程；
同时，水平方向系统合外力为零，满足动量守
恒条件。
N N?
④ 明状态，列方程。
对于复杂问题，要结合运动学、牛顿定律等
力学知识求解。之后，按常规解题步骤处理。
举例 教材 P83 例 1,如图 3-21所示，一雪橇从高度
为 50米的山顶上点 A沿冰道由静止下滑，山顶到山
下的坡道长为 500米，雪橇滑至山下点 B后，又沿水
平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在 C处．若雪
橇与冰道的摩擦因数为 0.050。求此雪橇沿水平冰
道滑行的路程。点 B附近可视为连续弯曲的滑道。
略去空气阻力的作用。
解,选系统,雪橇、地球；
1 2 2 2 1 1( ) ( )k P k PW W W E E E E? ? ? ? ? ?
m
NF?
mg
NFfF
分析受力,系统不受外力；
内力：重力、正压力、支
持力、摩擦力。其中：正
压力、支持力为, 一对
力,,其作功之和为零；
重力为保守内力；摩擦力
为非保守内力。摩擦力作
功为,
雪
橇
沿
斜
坡
下
滑
时
，
摩
擦
力
作
的
功
雪
橇
沿
水
平
冰
道
运
动
时
，
摩
擦
力
作
的
功
雪
橇
静
止
在
水
平
滑
道
上
的
动
能
雪
橇
静
止
在
水
平
滑
道
上
的
势
能
雪
橇
在
山
顶
时
的
动
能
雪
橇
在
山
顶
时
的
势
能
选系统,势能零点为水平滑道。有,
1 1 2 2,0,0,0P k k PE m g h E E E? ? ? ?
上式为,
12W W m g h? ? ?
由功的定义式,
1 c o s
BB
ff AAW F d r F d r m g d r??? ? ? ? ? ?? ? ?
0,c o s 1??? ? ? 1W m g s? ???
2
C
f BW F d r m g d r m g s??? ? ? ? ? ???
所以,
50 5 0 0 5 0 0 ( )
0, 0 5 0
hs s m
?
?? ? ? ? ?
作业,P104 3-25
例,一粗细均匀的柔软绳子，一部分置于光滑水平桌
面上,另一部分自桌边下垂，绳全长为 。 开始时，
下垂部分长为 b，初速为 。求整个绳全部离开桌
面时瞬间的速度？ (设绳不可伸长）
l
0 0v ?
1mA B
C
x
lx?
x
2m
本题将分别用牛顿定律、动能定理、功能原理求解，
通过对比了解功能原理解题的优点。
解一, 用牛顿定律求解；
用隔离体法：绳分成两部
分，桌上,AB、下垂,BC,
t时刻,
11
22
:,,
:,,
A B l x m a
B C x m a
?
1mA B
C
x
lx?
x
2m
1m
A
B
1a
1mg
1N
1T
2m
C
B
2a
2T
2mg
牛顿第二定律，列方程,
① AB,
1
1 1 1 1
11
:
:0
dv
x T m a m
dt
y N m g
??
??
③ 绳不可伸长,
牛顿第三定律,
12dv dv dv
dt dt dt??
12TT?
绳质量均匀分布,
12,
l x xm m m m
ll
???
联立求解,x d v
gl d t? x d vg d x d x v d vl d t??
0
vl
b
xvd v g d x
l???
2 2 211 ()
22
gv l b
l? ? ?
22()gv l b
l? ? ?
～绳全部离开桌面的速度大
小，其方向向下。
2
2 2 2 2 2:
dvx m g T m a m
dt? ? ?
② BC,
解二, 用动能定理求解；
系统：整个绳子；绳分成
两部分，桌上,AB、下垂：
BC,受力如图。
1m
A
B
1a
11m g P?
1N
1T
2m
C
B
2a
2T
22m g P?
作功,
111
12
ex
N P P
in
TT
W W W W
W W W
? ? ?
??
2
22
2 ()2
le x in
P b
x m gW W W W m g d x m g d x l b
ll? ? ? ? ? ? ? ???
12 0TTWW??
其中,, 为, 一对力, 作功，
有 1T 2T
而, 与位移方向垂直,有
1N 1P 11 0NPWW??
系统动能：初态 (静止 ),
0 0kE ?
由动能定理，有,
即
0
e x i n kkW W E E? ? ?
末态：设绳速率为,动能为,v
21
2kE m v?
2 2 21( ) 0
22
mg l b m v
l ? ? ?
22()gv l b
l? ? ?
～与解法一结果完全相同。
解三, 用功能原理求解；
系统：整个绳子、地球；外力：,其作功为零。
1N
由绳不可伸长，有,0in
ncW ?
由功能原理知，系统机械能守恒。
选取水平桌面处为重力势能零点,
初态机械能,
00
0
20
2
0 ( )
2
22
kP
E E E
b
mg
b b b
m g m g
ll
??
? ? ?
? ? ? ?
0PE ?
20m
m
b
l
2l
2b
0PE ?
初态 末态
v0 0v ?
末态机械能,
21 ()
22kP
lE E E m v m g? ? ? ? ?
功能
原理,0EE? 221 ()2 2 2lbm v m g m gl? ? ? ?
22()gv l b
l? ? ?
～与前面解法的结果完全相同。
比较三种方法,
① 牛顿定律方程两端,
均为瞬时值，需对方程两端积分；
② 动能定理方程两端,
功的一侧为过程量，动能一侧为状态量，仅需
对过程量积分；
③ 功能原理方程两端,
功的一侧由势能改变取代，不需再求积分，所
以，最简单。
